我们观察平行四边形的一组邻边
,如
图18.26, 当这组邻边相等时,这
时的平行四边形也是一个特殊 的平行四边形。有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱图18.26
形 (rh○mbus)。
菱形也是常见 的图形。一些 门窗 的窗格 、美丽 的中国结 、伸缩 的衣 帽架
(图
18.27)等
都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗?图18.27
思 考
因为菱形是平行四边形
,所
以它具有平行四边形的所有性质.由 于它 的一组邻边相等,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?第十八章 平行四边形 55
对于菱形
,我
们仍然从它的边 、角和对角线等方面进行研究,可
以发现并 证明 (请你 自己完成证明),菱
形还有以下性质:菱形的四条边都相等;
菱形的两条对角线互相垂直
,并
且每一条对角线平分一组对角.如图
18.28,比
较菱形的对角线和平行 四边形 的对角线,我
们发现,菱
形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形
,而
平行 四边形通常只被分成两 对全等的三角形。c 图18,28
菱形是轴对称图形
,它
的对角线所在的直线就是它的对称轴。例
3
如图18.29,菱
形花坛ABCD的
边长 为20m,zABC=60° ,沿
着菱形 的对角线修建了两条小路
AC和 BD,求
两条小路 的长 (结果保 留小数点后两位
)和
花坛 的面积 (结果保 留小 数点后一位)。解 :∵ 花坛
ABCD的
形状是菱形,∴
AC⊥ BD,zABO=:zA:C=:×
60°在 Rt△
OAB中
,AO=:A:=:×
2O=10,BO=√ AB2— AO2=√
202—102=10√t。∴ 花坛 的两条小路 长
AC=2AO=20(m),
BD=2BO=20Ⅳ
厅≈34.64(m)。花坛 的面积
C
图 18.2-9
=30°。
S菱形AB∞=4×S.。A:==÷Ac・ j:￡)〓=2O0√
t≈
346.4(rn2)。56 第十丿、章 平行四边形
F ∫
角 线 晏 橐 了 霍 亳 其 鑫
出它的面积吗 ? 铎
丨
1,四
边 形ABCD是
菱 形,对角 线AC,BD相
交 于 ‘点O,且 AB=5,AO=4。
求 丨AC和 BD的
长。{ 2。 已知 菱 形 的 两条 对 角 线 的 长 分 别 是 6和 8,求菱 形 的周 长 和 面积 。
上面我们研究了菱形的性质
,下
面我们研究如何判定一个平行四边形或四 边形是菱形。由菱形的定义可知
,有
一组邻边相等的平行 四边形是菱形。除此之外,还
有没有其他判定方法呢?
与研究平行 四边形 、矩形的判定方法类似
,我
们研究菱形的性质定理的逆 命题,看
看它们是否成立。思 考
我们知道
,菱
形的对角线互相垂直。反过来,对
角线互相垂直的平行 四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
例
4
如图18.210,口 ABCD的
对角线AC,BD相
交于点o,且 AB=
5,AO=4,Bo=3。
求证:口 ABCD是
菱形 。证 明 : ・
r AB=5,AO=4,BO=3,
∴
AB2=AO2+Bo2。 ^
∴ △
oAB是
直 角三 角形,AC⊥ BD.
∴ 口
ABCD是
菱形 。思考
我们知道
,菱
形 的四条边相等。反过来,四
条边 相等 的四边形是 菱 形吗?B
图 18.2-10
第十八章 平行四边形 57
可以发现并证明菱形的另一个判定定理: 四条边相等的四边形是菱形。
求证:
(1)对角线互相垂直的平行 四边形是 菱形;
(2)四条边相等 的四边形是 菱形。
一个平行 四边形的一条边长是9,两条对 角线的长分别
是 12和 6褥 ,这是 一 个特 殊 的平行 四边 形 吗?为什 么?求出它的面积。
如 图,两张等 宽的纸条 交叉叠放 在一起,重合 部 分构 成 的四边形
ABCD是
一个菱形吗?为什 么?(第 3题)
18.2.3
正 方 形正方形 (sqtlarΘ 是我们熟悉 的几何 图形
,它
的四条边都相等
,四
个角都是直角。因此,正
方 形既是矩形,又
是菱形 (图 18.211)。 它既有矩 形的性质,又
有菱形的性质。正 方 形是 轴 对 称 图形 吗?它的 对 称 轴是 什 么
? {
囡
图18,211
孛目
思考
正方形有哪些性质
?如
何判定一个 四边形是正方形?把
它们写 出来, 并和 同学交流一下,然
后证 明其 中的一些结论。例
5
求证:正
方形的两条对角线把这个正方形分成 四个全等的等腰直角 三角形。58 第十丿
`章
平行四边形
已知
:如
图 18.2-12,四 边形ABCD是
正方形,对
角线AC,BD相
交于 点O。求 证
:△ ABO,△ BCO,
△CDO,△
D⒋O是
全等的等腰直角三角形.A D
图 中共 有 多少 个 等 腰 直 角 三 角形?
图18.212
证 明:∵ 四边形
ABCD是
正方 形,∴
AC=BD,AC⊥ BD,AO=BO=CO=DO。
∴ △
ABO,△BCO,△ CDO,△ DAO都
是 等腰 直 角三 角形,并
且△
ABO≌
△BCO≌
△CDO≌
△DAO。思考
正方形、菱形、矩形、平行 四边形之间有什么关系
?与
同学们讨论一 下,并
列表或用框 图表示这些关系,(1)把一张长方形纸 片按如 图方式折一下,就可 以裁 出正方形纸 片,为什 么?
(2)如何从 一块长方形木板 中裁 出一块最大的正方形木板呢?
(第 1题 〉
(第
2题)如 图,儿
KD是
一块 正方形场地。小华和 小芳在~AB边上取 定 了一J点 E,测量知,EC=⒛ m,EB=10m。 这 块 场地 的 面积 和 对 角线 长分 别是 多少?
(第 1题〉
第十八章 平行四边形 59
满足 下列条件 的 四边 形是 不是 正 方形?为什 么?
(1)对角线 互相 垂 直且相 等 的平行 四边 形;
(2)对角线 互相 垂 直 的矩 形;
(3)对角线相 等 的菱形
;
(4)对角线 互相 垂 直平 分且相 等 的四边形,
复 习 巩 固
1,如图,四 边形
ABCD是
平行 四边形,对角线AC,BD相
交于点O,且 Z1=z2,
它是 一个矩形吗?为什 么?
o
、1
(第 1题)
2.
3.
(第 1题
) (第
3题)求证:四个 角都 相 等 的 四边 形 是 矩 形,
一 个 木 匠要 制 作 矩 形 的踏 板 。他 在 一 个 对 边 平 行 的 长 木 板 上 分 别 沿 与 长 边 垂 直 的 方 向锯 了两 次,就能得 到 矩 形 踏 板.为什 么?
在Rt△
ABC中
,zC=90° ,AB=2AC。 求ZA,zB的
度 数. 如 图,四边 形ABCD是
菱 形,zACD=30°,BD=6.求
:(D ZBAD,zABC白
勺度 数;
(2)AB,AC的
长,4, 5.
(第 5题) (第6题)
F
平 分
ZABC,且
交AE
如 图,AE∥ BF,AC平 分zBAD,且 交 BF于 点C,BD
于J点
D,连
接CD.求证:四边形ABCD是
菱形,60 第十八章 平行四边形
综 合 应 用
7.如图,把一 个长方形 的纸 片对折 两次,然后 剪下一 个角. 要得到一个正方形,剪口与折痕应成 多少度 的角?
8.如图,为 了做 一个无盖纸盒,小明先在 一块矩形硬 纸板 的四角画 出四个相 同的正 方形,用剪 刀剪 下。然后 把 纸 板 的四边沿虚线折起,并用胶 带粘好,一个无盖 纸盒就 做成 了.纸盒的底 面是什 么形状?为什 么?
(第 8题) (第 9题)
9,如图,在 Rt△ABC中 ,zACB=90° ,CD⊥ AB于 `点 D,ZACD=3ZBCD,
是斜边
AB的
中・点.ZECD是
多少度?为什 么?10.如图,四边 形 ABCD是 菱 形,点 M,N分 别 在 AB,AD上 ,且 BM=DN, MG∥ AD,NF∥ AB;J点 F,G分 别 在 BC,CD上 ,MG与 NF相 交 于J点 E,
求 证:四边 形'妯四N,EFCG都 是 菱 形.
(第 10题〉 (第 11题)
11.如图,四边 形AB(V是 菱 形,AC=8,DB=6,DH⊥
'⒋
B于点H,求 DH的 长.
12.(1)如下 页 图 (D,四 边 形 OBCD是 矩 形,O,B,D三 点 的 坐 标 分 别 是 (0,
0),(乙,0),(0,d)。 求`点 C的 坐标。
(2)如下页图 (2),四边形
ABCD是
菱形,C,D两
点 的 坐标 分 别是 (c,0)9 (0,涩),点A,B在
坐标轴上.求A,B两
J点的坐标.(3)如下页图 (3),四边形
OB(V是
正方形,O,D两
点的坐标分别是 (0,0),(0,歹),求
B,C两
点的坐标,(第7题)
第十八章 平行四边形 61
(1)
如 图
,E,F,M, DN,试
判 断 四边 形A
(2) (第 12题)
N分
别 是 正 方 形ABCD四
条 边 上 的 点,且AE=BF=ω
f=EFMN是
什 么 图形,并证 明你 的 结 论.Ⅳ D
B 刀 D 刀 C
(第 14题)
14,如 图,将等腰三角形纸片
ABC沿
底边BC上
的高AD剪
成两个三角形.用 这两个 三角形你能拼成多少种平行四边形?试一试,分别求出它们的对角线的长,拓 广探 索
15.如图,四边 形AB(D是 正 方 形.G是 BC上 的 任 意 一`点,DE⊥'钅 于.点 E,BF∥
DE,且 交AG于 点F,求证:AF— BF=EF.
(第 15题) (第 16题)
17,
如 图,在△
ABC中 ,BD,CE分
别是 边AC,AB上
的 中线,BD与
CE相交 于点O.BO与 OD的
长度 有 什 么关 系?BC边
上 的 中线是 否一定过`点
O?为
什 么?(提示:分别作BO,CO
的 中`点
M,N,连
接ED,EM,几
fN,ND。)如 图是一块正方形草地,要在上面修建两条交叉的小路,使
得这两条小路将草地分成的四部分面积相等,你有 多少种方 法?并与你的同学交流一下,
(第 17题)
62 第十八章 平行四边形
实 验 与探 究
螗
丰富多彩 的正方形
我们 学 习了平行 四边形 、矩形 、菱形和正方形。比较一下,哪种 图形 的性质最 多?答
案无疑是正方形。
正方形 的四个角相等、 四条边相等、对角线相等且互相垂直平分。它的对称轴 比其他 四边形都 多.以后我们还会 学到,它还是 中心对称 图形.这些特 点使 正方形得到 了人们 的 喜爱和广泛应用。
例如,人们用边 长 为 单位长度 的正方形 的面积,作为度 量其他 图形面积 的基本 单位;人们 也 常利 用 正 方形 美 化生活 环境,比如,用 正方形地砖镶 嵌地 面,不仅 美 观 大 方,而且 施工简单易行。
正方形还有许多有趣 的性质。例如,要用给定长度 的篱笆 围成一个 面积最 大 的 四边 形 区域,那么应 当把这个 区域选 为 正方形.
下面是 两个有关正方形 的小实验,想一想其 中的道理:
1.如 图1,正方形
ABCD的
对角 线相 交 于 点O,点 O又
是 正 方形A1BlC1O的 一个顶 点,而且这 两个正方形 的边长相等,无论正方形A1B1C1O绕 点O怎样 转动,两个 正方 形 重叠部分 的面积,总等于一个正方形面积 的÷,想一想,这是为什 么。
图1
2.给你 两个大小不等 的正方形,
图2)说明你 的拼 法的道理。
图2
你能通过切 割把 它们拼接成一个大正方形吗?(参考
第十八章 平行四边形 63
数 学 活 动
如果我们身旁没有量 角器或三角尺
,又
需要作 60°,30° ,15°等 大小 的角,可
以采用下面的方法 (如图D:
(1)对
力印矩 形纸 片ABCD,使 AD与 BC A
″D
重合
,得
到折痕EF,把
纸片展平。(2)再
一次折叠纸片,使
`点A落
在EF上 , E
狩F
并使折痕经过`点
B,得
到折痕BM.同
时,得
到: c
‘阝 线段BN。
子
观察所得的
zABM,z几
侣N和 zNBC,这
三个角有什么关系
?你
能证明吗?通过证 明可知
,这
是从矩形得到30°角的好方法,15°,60°,12O° ,150°等角就容 易得到 了。
简单而准确。由此,
图 1
宽与长的比是岬 (约为0.618)的矩形叫做黄全矩形。黄全矩形 给我们以协调 、匀称的美感。世界各 国许 多著名的建筑
,为
取得最佳的视 觉效果,都
采用了黄金矩形的设计,如
希腊的巴特农神庙 (图2)等
。64 第十八章 平行四边形
下 面我 们折 叠 出一 个黄金 矩形:
第一 步
,在
一 张矩 形 纸 片 的一 端,利 用 图3的 方 法折 出一 个 正 方 形, 然后把 纸 片展 平。″ M
Ⅳ
Ⅳ 图3