Ⅱ
i
一个水库的水位在最近5h内
持续上涨。表 19咱 记录了这5h内
6个时间点的水位高度
,其
中 莎表示时间,y表
示水位高度。昂艮I9-6 1 2 莎
/h
丿
/m
3 3.9
5
4.5 0
3
4 4.2
图19,⒈9
(1)在
平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这
些点是否在一条直线 上?由
此你能发现水位变化有什么规律吗?(2)水
位高度 丿是否为时间 莎的函数?如
果是,试
写出一个符合表中数据 的函数解析式,并
画出这个 函数的图象。这个函数能表示水位的变化规律吗?(3)据
估计这种上涨规律还会持续2h,预
测再过2h水
位高度将为多少米。∷
| (1)如
图19.19,描
出表19咱 中 数据对应 的点。可 以看 出,这 6个
点在一 条直线上。再结合表 中数据,可
以发现每 小时水位上升 0.3m。 由此猜想,如
果 画 出这5h内
其他时刻 (如 ∠=2.5h等 )及
其水位高度所对应 的点
,它
们可能也在这 条直线上,即
在这个时间段 中水位可能是 始终以同一速度均匀上升的。(2)由 于水位在最近
5h内
持续上涨,对于时间 彦的每一个确定 的值
,水
位高度 丿都有唯一 的值与其对应,所
以 丿是 莎的 函数。开始时水位高度为3m,以
后每小 时水位上升0.3m。 函数y=0.3莎
+3(0≤
莎≤5)是符合表 中数据的一个 函数
,它
表示经过 莎h水位上升0.3彦m,即
水位 丿为 (0.3莎+
3)m。 其 图象是 图
19.110中
点A(0,3)
和点
B(5,4.5)之
间的线段AB。如果在这
5h内 ,水
位一直匀速上升, 即升速为O。3m/h,那
么 函数y=0・ 3彦+3
(0≤莎≤
5)就
精确地表示 了这种变化规律。即使在这
5h内 ,水
位 的升 速有些变 化, 80 第十九章 一次函数而由于每小时水位上升
0.3m是
确定 的,因
此这个 函数也可 以近似地表示水 位的变化规律。(3)如果水位的变化规律不变
,则
可利用上述函数预测,再
过2h,即
彦=
5+2=7(h)时 ,水
位高度丿=0.3×
7+3=5.1(m)。
把图19。 ⒈9中 的函数 图象 (线段
AB)
延伸到 莎
=7所
对应的位置,得
图19。 ⒈10,也能看出这时的水位高度约为5.1m。
1.用 列表 法与解析式法表示 ″边形的 内角和 ″ (单位:度 )关于边数 刀的函数. 2.用 解析式法与 图象法表 示等边三角形的周长 J关 于边长 夕的函数。
3.一 条小船 沿直线向码 头匀速前进。在
0min,2mh,4min,6min时
,测得 小 船 与码 头的距 离分别为 ⒛0m,150m,100m,50m。
小船 与码 头的距 离s是 时间 莎的函数吗?如果是,写 出函数 解析式,并画 出函数 图象。如果船速 不 变, 多长时间后 小船到达码 头?复 习 巩 固
1.购 买一些铅笔,单价为 0.2元/支,总价 丿元随铅 笔支数J变化。指 出其 中的常量与 变量,自 变量 与函数,并写 出表示函数与 自变量关系的式子. 2.一个三 角形 的底 边 长 为 5,高 九 可 以任 意伸 缩。
写 出面积S随九变化的解析式,并指 出其 中的常 量与 变量,自 变量 与 函数,以及 自变量 的取 值 范 围。
3.在计 算 器上按 下 面 的程 序操 作:
输人x(任意一个数)
I按键 ×
2 + 5
显示y(计算结果)
●豪
向 右
由例 4可以 看 出,
从 它 雷 擎 罗 蛋 是
.表示 法 之
第十九章 一次函数 81
填表:
显示的计算结果 丿是输入数值 男的函数吗?为什 么? 下列式子 中的y是￡ 的函数吗?为什 么?
⑴ 厂 卜 △
⑵ 疒 Ξ
;
⑶ y=√t可
・ 请再举 出一 些函数 的例 子。分别对 第4题中的各 函数解析 式进行讨论:
(1)自 变量J在什 么范围 内取值 时函数解析式有意义?
(2)当
J=5时
对应的函数值是 多少?画 出函数y=0・ 5J的图象,并指 出 自变量 ε的取值 范围。
下列各 曲线 中哪些表示y是 =的 函数?
(第7题)
“漏壶”
是一种古代计时器。在它内部盛一定量的水,水从壶下的 小孔漏出。壶内壁有刻度,人π1根据壶中水面的位置计算时间。用
￡表示漏水时间
,y表
示壶底到水面的高度.下页哪个图象适合表 示 丿与 茁的对应关系?(不考虑水量变化对压力的影响。)—ˉ4
J "冫
101 -5,2
4.
6 7
82 第十九章 一次函数
(1) (2)
(第 8题)
综 合 运 用
9,下 面的图象反映的过程是:张强从 家跑步去体育场, 文具店去买笔,然后散步走回家。图中贯表示时间,
在 那里锻炼 了一阵后又走到 丿表示张强离家的距 离,
l/kl11 2,5
15
@ 15 3o 45 65 100 t/lnin
(第 9题)
根据 图象回答下列 问题:
(1)体育场 离张强家多远?张强从 家到体育场用 了多少时间?
(2)体育场 离文具店 多远?
(3)张强在文具店停 留 了多少时间?
(4)张强从 文具店回家的平均速度是 多少?
10,某 种 活期储 蓄的月利率是0.06%,存入 100元本金 。求本 息和 丿(本金 与利 息 的和,单位:元
)随
所存 月数 ￡变化 的 函数 解析 式,并计 算存期 为4个月时的 本 ∫息和.11.正方形边长为3。 若边 长增加 劣,则 面积 增加 y。 求 丿 随J变化 的函数 解析 式, 指 出 自变量与 函数,并以表格形式表 示 当=等于1,2,3,4时 γ的值,
12.甲 、 乙两车沿直路 同向行 驶,车速 分 别 为 ⒛ m/s和 25m/s.现 甲车在 乙车前 500m处 ,设Js(0≤￡≤100)后两车相距 丿m,用解析 式和 图象表 示 丿与 贯的 对应 关 系。
13.甲 、 乙两车从A城出发前往B城.在整 个行程 中,汽车 离开
A城
的距 离y与 时刻 莎的对应 关 系如 下 页图所示。
(1)A,B两
城相距 多远?(2)哪辆 车先 出发?哪辆 车先到B城
第十九 章 一次 函数 83
(3)甲、 乙两车的平均速度分别为多少?
(4)你还能从 图中得到哪些信 息?
拓广探索
14.在同一直角坐标系中分别画出函数 丿=￡ 与y=÷的图象.利 用这两个图象回答: (1)￡ 取什么值时
,J比
⊥大?茁
(2)宽 取什么值时,￡ 比⊥`刂、?
“
边形、六边形分别有 多少条对 角线?彳 边形呢?多边形 15.四 边形有 两条对角线,
数 吗?
对 角线的条数是边数 的
5∶00 6∶00 7:30 9:00 10∶00 (第 13题)
84 第十九章 一次函数
阅读 与 思 考
科 学家如何测算岩石 的年龄
你知道科学家如何测算岩石的年龄吗?解决这个 问题时也用到函数这个数学工具。
1903年 ,英国物理学家卢瑟福通过实验证实,放射性物质放 出射线后,这种物质的 质量将减少,减少 的速度开始较快,后来较慢,物质所剩 的质量与时间成某种 函数关系。
图 1为 表示镭的放射规律的函数 图象。
由 图1我们 可 以剡 :镭的 质 量 由 幻 僦 到:昭。需
1⑺
年,由如
0翩
到÷仍°需年 数 为3⒛0—1620=1620, 由
÷99o0缩减 到七″2。 需+数为4860-3240=1620, 即镭 的质量缩减为原来 的一半所用 的时间是 一个 不变的量——1620年.一般把1620年称 为镭 的半衰期.
实际上,所有放射性物质都有 自己的半衰 期.铀的半衰 期 为45.6亿年,蜕变后 的铀 最后成为铅,因此,科学家们测 出一块岩石 中现在含铀和铅 的质量,便可 以算 出这块 岩石 原来 的含铀量,进而利用半衰期算 出从原来含铀量到现在含铀量经过 了多少 时间,从而推 算 出这块岩石 酶年龄.据此测算 出地球上最古老 的岩石的年龄约为30亿年.
请 思考下面 的问题,它能帮你理解 “ 半衰”
现象.
一个皮球从16m高处 下 落,第一次 落地 后反 弹起
8m,第
二次 落地 后反 弹起4m,
以后每次落地后 的反弹高度都减半.试写 出表 示反弹高度 九(单位
:m)与
落地 次数m的 对应关系的函数解析 式,皮球 第几次落地后 的反 弹高度 为:m?
第十九 章 一次 函数 85
19。
2一 次 函数
1θ
.2.1
正 比例 函数问题
I 2011年
开始运营的京沪高速铁路全长 1318km。 设列车的平均速 度为300km/h。 考虑以下问题:(1)乘
京沪高铁列车,从
始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约
需多少 小时 (结果保留小数点后一位)?(2)京
沪高铁列车的行程 丿(单位:km)与
运行时间 ∠(单位:h)之
间 有何数量关系?(3)京
沪高铁 列 车从北 京 南 站 出发2.5h后 ,是
否 已经 过 了距始 发 站 11OO km的南京南站?分析
:(1)京
沪高铁列车全程运行时间约需 1318÷300^彡4.4 (h).(2)京
沪高铁列车的行程 丿是运行时间 莎的函数,函
数解析式为 y=300莎 (0≤∠≤4。 4)。(3)京
沪高铁列车从北京南站出发2.5h的
行程,是
当 莎=2.5时
函数y=
300r的 值
,即
丿=300× 2.5=750(km)。
这时列车尚未到达距始发站
11O0km的
南京南站。以上我们用函数 y=300莎 (0≤莎≤4。
4)对
京沪高铁列车的行程 问题进行 了讨论。尽管实际情况可能会与此有一些小的不 同,但
这个 函数基本上反映了 列车的行程与运行时间之间的对应规律.思考
下列 问题 中,变量之 间的对应关系是 函数关系吗
?如
果是,请
写出函 数解析式.这
些函数解析式有哪些共 同特征?(1)圆的周长 J随 半径 r的 变化而变化。
(2)铁
的密度为7.8酽cm3,铁
块 的质量 解(单位:⒆
随它的体积y
86 第十九章 一次函数
(单位
:cm3)的
变化而变化。(3)每
个 练 习本 的厚度 为0.5cm,一
些练 习本摞在 一起 的总厚度 九(单位:cm)随
练习本 的本数 彳的变化而变化。(4)冷
冻 一个0℃
的物体,使
它每分 下 降2℃,物
体 的温度T(单
位:℃)随
冷冻时间 莎(单位:min)的
变化而变化。上面问题中
,表
示变量之间关系的函数解析式分别为: (1) J=2Trr;(3) 凡〓=0.5符;
(2)铭
=7.8V;
(4)T=-2莎
。正如函数y=3O0彦 一样
,上
面这些 函数都是常数与 自变量的积的形式。一般地
,形
如 丿=屁J(尼 是常数,尼≠0)的
函数,叫
做正比例 函数 (proportiond functioω ,其中 屁叫做比例系数。
(4)丿2=⒋￡。
侈刂1 (1) 解: 对应值 。
画出下列正比例函数的图象:
y=2J,y=Ⅰ J; (2)y=-1.5J,
(1)函
数y=2ε 中自变量J可
为任意实数。表y=一
4J。19-7是 丿与
J的
几 组'(lIII:;;I:∶IIl)
1.下 列式子 中,哪些表示y是J的正 比例 函数? (1) 丿=-—0.1品; (2) γ=号; (3) y=2=2;
2.列 式表 示下列 问题 中的y与 J的函数 关 系,并指 出哪 些是正 比例 函数。
(1)正方形的边长为 ￡cm,周长为 丿cm;
(2)某人一年 内的月平均收入为 ε元,他这年 (12个 月)的总收入 为 丿元;
` (3)一
个长方体 的长为2cm,宽
为1.5cm,高 为 ￡cm,体积为 丿cm3。下面我们研究正比例函数的图象。
表19-9
第十九章 一次函数 87
如图19.2△
,在
直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点。将这些点连接 起来,得
到一条经过原 点和第三、第一象 限的直线。它就是 函数y=h的
图象。
用同样的方法
,可
以得到函数 丿=告茁的图象 (图 19.2-1)。 它也是一条经 过原点和第三、第一象限的直线。你 画 出的 函数 丿
=告
￡ 的 图 象, 与 图 19.2-1中 的 相 同吗?图19.21
(2)函数y=-1・
5r中
自变量J可
为任 意 实数 。表198是 y与 r的
几 组 对应值 。表19司
= ・… -3 -2 —ˉ1 0 1 2 3 …・
y ・… 4.5 3 1.5 0 -1,5 -3 -4,5 …・
如图
19.22,在
直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点。将这些点连接 起来,得
到一条经过原点和第二 、第 四象限的直线,它
就是 函数 丿=-1.5J
的图象.
用同样的方法
,可
以得到函数 丿=一
4￡ 的图象 (图 19.22)。 它也是一条 经过原点和第二 、第四象限的直线。你 画 出的 函数 丿=一纭 的 图 象, 与 图 19,2-2中 的 相 同吗?
88 第十九章 一次函数
以上4个函数的图象都是经过原点的直线
,其
中函数y=2J和
γ=:J的
图象经过第三、第一象限
,从
左向右上升;函
数 丿=-1.5￡
和y=一
妇 的图 象经过第二、第 四象限,从
左向右下降。一般地
,正
比例函数 丿=屁J(屁 是常数,尼≠0)的
图象是一条经过原点的 直线,我
们称它为直线丿=屁J。 当/ `・ 时,直
线 y=尼J经
过第三、第一象限, 从左向右上升,即
随着`的
增大 、,也增大;当
汰 ●时,直
线y=屁 茁经过第二、第四象限
,从
左向右下降,即
随着 `的 增大p反
而减小.思考
经过原点与点 (1,屁 )(屁 是常数,屁≠
O)的
直线是哪个 函数的图象? 画正比例函数的图象时,怎
样画最简单?为
什么?因为两点确定一条直线
,所
以可用两点法画正 比例 函数 丿=尼J(屁≠0) 的图象,一
般地,过
原点和点 (1,屁) (尼 是常数,尼≠0)的
直线,即
正 比例 函数 y=屁 J(屁 ≠0)的
图象。用你认 为最简单的方法画 出下列函数的图象:
⑴丿 =:奶 ⑵ y=~⒊ ⒎
19.2.2 -次
函数闷是
R2
某登 山队大本 营所在地 的气 温为 5℃,海
拔每升高1km气
温下降6℃。登 山队员 由大本营向上登高J km时 ,他
们所在位置 的气 温是γ℃。试用函数解析式表示 丿与J的
关系。分析:丿 随
J变
化 的规律是:从
大本 营 向上
,当
海拔增加J km时,气
温从5℃ 减少6￡ ℃。因此
y与 J的
函数解析式为丿=〓5-6J。
这 个 函数 也 可 以写 为
第十九章 一次函数 89