5⒛50
ll6第二十章 数据的分析
例
4
在一次男子马拉松长跑比赛中,抽
得 12名 选手所用的时间 (单位: miω 虫口下:136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148
(1)样
本 数据 (12名选 手 的成绩)的
中位 数是 多少?(2)一
名选 手 的成 绩是142min,他
的成 绩如何?解
:(1)先
将样本 数 据按 照 由小 到大 的顺 序排列: 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 18O 这组数 据 的 中位 数 为处 于 中间 的两个 数146,148的
平 均数,即
1准
鱼 讠 争 三 兰 旦 〓
=147。因此样本数据的中位数是 147。
(2)根
据(D中
得到 的样本数据 的中位数, 可以估计,在
这次马拉松 比赛 中,大
约有一半选 手的成绩快 于147min,有
一半选手 的成绩慢于147而
n。 这名选手的成绩是142min,快
于 中位数
147min,可
以推测他 的成绩 比一半 以上选手 的成绩好。根据例 4中的 样本数据,你还 有 其他 方 法评 价 (2)
中这名选手在 这 次 比赛 中的表现吗?
下面的条形图描述 了某车间工人 日加工零件数的情况.
345678日 加 工 零 件 数
请找 出这些工人 日加工零件数的中位数,并说明这个中位数的意义。
嫩 ω
86420
第二十章 数据的分析 117
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 (modΘ 。
当一组数据有较多的重复数据时
,众
数往往能更好地反映其集中趋势.例如, 问题 2中 公司员工月收入的众数为3OO0,这
说明公司中月收入3OO0元
的员工 人数最多。如果应聘公司的普通员工一职,这
个众数能提供更为有用的信息.例
5
一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,各
种尺码鞋的销售量 如表20乇 所示.你 能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗?尺码/cm 销售量/双
分析
:一
般来讲,鞋
店 比较关心哪种尺码的鞋销售量最大,也
就是关心卖 出的鞋的尺码组成的一组数据 的众数.一
段 时间内卖 出的 30双 女鞋 的尺码组 成一个样本数据,通
过分析样本数据可以找 出样本数据 的众数。进而可以估计 这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多。解:由表
206可
以看 出,在
鞋 的尺码组成 的分析表中的数据,
数据中
,23.5是
这组数据 的众数,即 23.5cm的
你还能为鞋店进货提鞋销售量最大。因此可 以建议鞋店多进
23.5cm
户哪些建议?的鞋.
⒛
1
⒋
3
⒛
7
0_6 "
2 ・b
表
5
⒉
2
嫩
⑷
86420
30%
(第 1题)
15 16 17 18 年龄/岁 (第 2题)
2.某校 男子足球 队的年龄分布如上 面的条形 图所 示。请找 出这 些队 员年龄 的平均 数 、众数 、中位数,并解释 它们 的意义.
1.下 面的扇形 图描述 了某种运动服 的s号
,M号 ,L号 ,XL号 ,XXL号
在 一 家 商场 的销 售情况.请 你为这 家商场提 出进货建议.ll8第二十章 数据的分析
平均数 、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势
,它
们各有 自己的 特点,能
够从不 同的角度提供信息。在实 际应用 中,需
要分析具体 问题 的情 况,选
择适 当的量反映数据的集 中趋势。例
6
某商场服装部为了调动营业员的积极性,决
定实行 目标管理,根
据 目标完成的情况对营业员进行适 当的奖励。为了确定一个适 当的月销售 目标, 商场服装部统计 了每个营业员在某月的销售额 (单位:万
元),数
据如下:17 18 16 13 2吐 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 3O 16 14 15 26
刀角定
适 当的 月 ∷
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
销 售 目标是 一 个关键 问 ∷
(1)月 销 售 额 在 哪个 值 的人 数 最 多
?中
间 的题 如果 目标定得太高,∶
月销售 额是 多少
?平
均月销售 额是 多少?
多数 营业 员完不成任 =(2)如
果 想 确 定 一 个 较 高 的销 售 目标,你
认务
,刽
吏营业员失去信 :J心;如果 目标 定得 太 为月销售额定 为 多少 合适
?说
明理 由。(3)如果 想让 一 半 左 右 的 营业 员 都 能 达 到 销
售。「
能发挥营业员的
∵ 售 目标
,你
认 为 月 销 售 额 定 为 多 少 合 适?说
明理 由。
分 析
:商
场 服装部 统计 的每个 营业 员在 某 月 的销 售 额组成 一个样本,通
过 分析样本 数据 的平均 数 、 中位 数 、众 数来估 计 总体 的情况,从
而解决 问题。解
:整
理上 面 的数 据得 到表 2O呷 和 图 ⒛。1△。用图表整理和描述 样本数据,有助于我们 分析数据解决问题. 表20-9
1314151617181922⒛ 2426⒛ 3032 销售额/万元
图20,⒈1
第二十章 数据的分析 119
(1)从
表 20彳 或图 ⒛,11可
以看 出,样
本数据 的众数是15,中
位数是18,利
用计算器求得这组数据的平均数约是20。 可以推测,这
个服装部营业员 的月销售额为 15万 元的人数最多,中
间的月销售额是 18万 元,平
均月销售额 大约是 ⒛ 万元。(2)如果想确定一个较高的销售 目标
,这
个 目标可 以定为每月 ⒛ 万元(平均数)。 因为从样本数据看
,在
平均数 、中位数和众数 中,平
均数最大。可 以估计 ,月 销售额定为每月 2O万元是一个较高 目标,大
约会有:的
营业员获得奖励。
(3)如果想让一半左右的营业员能够达到销售 目标 ,月 销售额可以定为每 月 18万元 (中位数)。 因为从样本情况看 ,月 销售额在 18万 元 以上 (含 18万 元
)的
有16人,占
总人数 的一半左右。可 以估计,如
果月销售额定 为 18万 元,将
有一半左右的营业员获得奖励.归纳
平均数、中位数、众数都刻画 了数据 的集 中趋势
,但
它们各有特点。平均数的计算要用到所有 的数据
,它
能够 充分利用数据提供 的信息,因
此在现实生活 中 较为常用。但 它受极端值 (一组数据 中与其余 数据差异很大的数据)的
影响较大。当一组数据 中某 些数据 多次重复 出现 时, 众数往往是人们关心 的一个量
,众
数不易受极 端值的影响,中位数只需要很少 的计算,它 也不易受极 端值 的影响。
你 知 道 在 体 操 比赛评 分 时,为什 么要 去掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 吗?
120第二十章 数据的分析
下 面是 某校 八 年级 (2)班两组 女 生 的体 重 (单位:k⒄:
第 1组 35 36 38 40 42 42 75 第2组 35 36 38 40 42 42 45
(1)分别 求这 两组数 据 的平 均 数 、众 数 、 中位 数,并解释 它们 的 实 际意 义 (结果 取 整数);
(2)比较 这 两组数据 的平 均数 、众数 、 中位 数,谈谈 你 对 它们 的认 识。
复 习巩 固
1.某公司有15名员工,他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示。
这个公 司平均每人所创年利润是 多少?
在一 次 中学生田径运动会 上,参加 男子跳 高的 成绩
/m 1.50 1.60 1.65
人数
2 3 2
分别计算这些运动 员成绩的平均数 、中位数 、 为 了检查一批零件 的质量,从中随机 抽 取 10 如 下:
22.36 22.35 22.33 22.34 22,38 22.36 根据 以上数据,估计这批零件 的平均长度。
每人 所创年利 润/万元
15名 运动员的成绩如下表所示, 1,70 1.75 1,80
3 4 1
众 数 (结 果 保 留 小 数 饣点后 两 位).
件,测得 它们 的长度 (单位
:mm)
22.35 22.37 22.32 22,35
部 门
A B
人 数
1 10
3 7
C D
第二十章 数据的分析 121
4.在一次青年歌手演唱比赛中,评分办法采用10位评委现场打分,每位选手的最后 得分为去掉最低分、最高分后的平均数.已知10位评委给某位歌手的打分是:
9,5 9.5 9.3 9.8 9,4 8.8 9,6 9.5 9,2 9.6
求这 位 歌 手 的 最后 得 分.
综 合 运 用
5.某商场招聘员工一名,现有 甲、乙、丙三人竞聘,通过计算机、语言和商品知识 三项测试,他们各 自成绩 (百分制)如下表所示。
应试者
计算机
语言
商品知识
甲 70 50 80
乙 90 75 45
丙 50 60 85
(1)若商场 需要招聘 负责将 商品拆装上 架的人 员,对计 算机 、语 言和 商品知识 分 别赋权
2,3,5,计
算三名应试者 的平均成 绩.从 成绩看,应该 录取谁?(2)若商场 需要 招聘 电脑 收 银 员,计算机 、语 言 、商 品知 识 成 绩 分 别 占50%,
30%,⒛ %,计
算三名应试者的平均成绩。从 成绩看,应该 录取谁?6.某 地某个月中午 12时 的气温 (单位:℃)如下:
22 31 25 13 18 23 13 28 30 22 20 20 27 17 28 21 14 14 22 12 18 21 29 15 16 14 31 24 26 29 (1)求这个月中午12时的平均气温 (结果取 整数);
(2)请以4为 组距对数据分组,作出频数分布表,根据 频数 分布表计算这 个 月 中 午 12时 的平均 气温,与 (1)中 的结果 比较,你有什 么发现,谈谈 你的看法。
7,为 了提 高农 民收入,村干部 带领村 民 自愿投 资办起 了一个养鸡场,办场 时买来的 1000只小鸡,经过一段 时间精心饲养,可以 出售 了.下表是这 些鸡 出售 时质量 的 统计数据,
质量
/kg 1.0 1.2 1,5 1.8 2
步页缕廴 112 226 323 241 98 (1)出售 时这些鸡 的平均质量是 多少 (结果保 留小数`点后 一位)?
(2)质量在哪个值 的鸡最多? (3)中 间的质量是 多少?
122第二十章 数据的分析
8.下图是交警在一个路 口统计的某个时段来往车辆的车速情况,
车辆数 10 8 6 4 2 0
应用你所学的统计知识,写一份简短的报告让交警知道这个时段路 口来往车辆的 车速情况。
拓 广 探 萦
9.下 表是某班学生右眼视力的检查结果。
视 力 4,0 4.1 4.2 4,3 座.4
人 数 12543
4,6 4.7 4.8 4,9 5.0 1 1 5 9 6
分析上表 中的数据,你能得 出哪些结论?
10.查 找 资料,了解地球 年平均 气温的计算方法.收集近 些年 的年 平均 气温,用适 当 的 图表整理 、描述这些数据,看看你 能得到哪 些信J息.
50 51 52 53 54 (第 8题)
55 车速/(km
第二十章 数据的分析 123
⒛ 。 2数 据 的波动程度
在统计学 中
,除
了平均数、中位数 、众数这类刻画数据集 中趋势的量 以 外,还
有一类刻画数据波动 (离散)程
度的量,其
中最重要 的就是方差。本节 我们将在实际问题情境中,了
解方差的统计意义并运用方差解决问题。我们来看引言中的问题。
问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子。选择种子时
,甜
玉米的 产量和产量 的稳定性是农科院所关心的问题。为了解 甲、乙两种甜玉米种子的 相关情况,农
科院各用 10块 自然条件相同的试验 田进行试验,得
到各试验 田 每公顷的产量 (单位:O女
口表 ⒛司所示。根据这 些数据估计
,农
科 院应该选择 哪种 甜玉米 种子 呢?上 面两组数 据 的平均数 分别 是
￡甲^彡7・ 54,=乙灸彡7・ 52,
说 明在试 验 田 中
,甲
、乙两 种 甜 玉 米 的平 均 产 量由样本平均数估计
相差不 大。由此可 以估 计 出这个 地 区种植 这 两 种 甜
总体平均数.
玉米
,它
们 的平 均产量相差 不 大。¨∷
…
¨ 为 了直 观地看 出 甲、乙两种甜玉米产量 的情况
,我
们 把这 两组数 据 画成 下 面 的图 ⒛。⒉1和图 ⒛。⒉2。图 20,⒉1 甲种甜玉米 的产量
2 4 6 8 10 12 数据序号 图 ⒛.2叼 乙种 甜 玉米 的产 量
表 20-8
124第二十章 数据的分析
比较上面的两幅图可以看出,甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大
,乙
种甜玉米在各试验 田的产量较集中地分布在平均产量附近.从 图中看出的结果 能否用一个量来刻画呢?为了刻画一组数据波动的大小
,可
以采用很多方法。统计 中常采用下面的 做法:设
有 ″个数据J1,J2,・・・,r″,各
数据与它们的平均数 Ι的差 的平方 分别是 (J]—Ι)2,(r2— Ι)2,…・,C~r刀 ^Ι)2’ 我们用这些值的平均数,即
用s2=⊥ E(J1~歹 )2+(r2一 歹)2+… ・+(J″ 一 歹)2彐
,z
来衡量这组数据波动的大小
,并
把它叫做这组数据的方蕞 (Ⅶ五al△cΘ,记
作s2。从上面计算方差的式子可以看出
:当
数据分布比较分散 (即数据在平均数 附近波动较大)时 ,各
个数据与平均数的差的平方和较大,方
差就较大;当
数 据分布比较集 中时,各
个数据与平均数的差的平方和较小,方
差就较小。反过 来也成立,这
样就可以用方差刻画数据的波动程度,即 :方
差越大 ‘弊牖壬i莜动越大
;岁
差越小 数据的波动越小,下面我们利用方差来分析甲、乙两种甜玉米的波动程度. 两组数据的方差分别是
(7.65-7.54)2+(7.50-7.5潍 )2+¨・+(7。 41-7.54)2
s铮 =
s乞
=
10
(7.55-7.52)2+(7.56-7.52)2+¨ ・+(7。 49-7.52)2
^彡0.01,
^吕0.0O2.
10
显然s卸 >s乞
,即
甲种甜玉米 的波 动较 大,这
与 我们从 图 ⒛。~91和 图20.2乇 看到的结果一致。
由此可知
,在
试验 田中,乙
种甜玉米 的产量 比较稳定。正如用样本的平均 数估计`总体的平均数一样,也
可以用样本的方差来估计`总体的方差。因此可以 推测,在
这个地区种植乙种甜玉米的产量 比甲种的稳定。综合考虑 甲、乙两个 品种的平均产量和产量的稳定性,可
以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米。柘刂鐾 在一次芭蕾舞 比赛 中,甲 、乙两个芭蕾舞 团都表演 了舞剧 《天鹅 湖》
,参
加表演的女演员的身高 (单位:cm)如
表209所
示.表 20-9
甲 : 163 164 16诬 165 165 166 166 167 ZL 163 165 165 166 166 167 168 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?
第二 十章 数据 的分析 125