课 题学习 选择方案

做一件事情

,有

时有不同的实施方案。比较这些方案

,从

中选择最佳方案 作为行动计划

,是

非常必要 的。在选择方案时

,往

往需要从数学角度进行分 析

,涉

及变量的问题常用到函数。同学们通过讨论下面两个问题

,可

以体会如 何运用一次函数选择最佳方案。解决这些问题后

,可

以进行后面的实践活动。

问题

1

_{怎样选取上网收费方式}?

表 19-13给 出

A,B,C三

种上宽带网的收费方式。

选取哪种方式能节省上网费^?

分析

:在

方式

A,B中 ,上

网时间是影响上网费的变量

;在

方式

C中 ,上

网费是常量。

设月上网时间为 ￡

h,则

_方案

A,B的

_收费金额

y1,y2都

_{是 ￡的函数}

:要

比 较它们

,需

在

J>0的

条件下

,考

虑何时

(D丿

_1=丿

2,0)丿

1(丿2,(3)y1>y2。

利用函数解析式

,通

过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题。在此基础 上

,再

用其 中省钱的方式与方式

C进

_{行 比较}

,则

容易对收费方式作出选择。

在方式

A中

,月使用费30元_{与包时上 网时间}

25h是

常量。考虑收费金额 时

,要

把上网时间分为

25h以

_内和超过

25h两

_种情况

,得

到的是如下的函数

ry1={::年

O。 05×60(￡

ˉ ˉ

25),

∶ ∶ ∶

^;∶:25’

化简

,得

0≤・≤^25,

ε>)25。

锟 炳

3Ο

’

艹

3・ .

r叫

ι

⒚

为

口 图

象女

图 数的 个函 这

表 ^19ˉ13

102第十九章 一次函数

图19,31

类似地

,可

以得出方式

B,C的

收费金额

y2,y3关

_{于上 网时间}

J的

函数 解析式。

问题

2

_怎样租车?

某学校计划在总费用

2300元

_的限额内

,租

用汽车送 234名 学生和 6名 教 师集体夕卜出活动

,每

辆汽车上至少要有 1名 教师。

现有 甲、乙两种大客车

,它

们的载客量和租金如表 ^19△4所示^.

表 19-14

在 图

19.31中

_{画 出}y2,丿₃ 当上 网时 间

当上网时间 当上网时间

载客量/(人/辆⁾ 租金/(元^/辆)

的 图象

,结

合 函数 图象 与解析式

,填

空^: 时

,选

择方 式

A最

_省钱;

时

,选

择方 式

B最

_省钱;

时

,选

择方 式

C最

_{省钱 。}

甲种客车 45 400

乙种客车 30 280

(1)共

_{需租多少辆汽车?}

(2)给

出最节省费用的租车方案。

分析

: (l)可

以从乘车人数 的角度考虑租多少辆汽车

,要

注意到 以下 要求^:

①要保证 240名 师生都有车坐^;

②要使每辆汽车上至少要有 l名 教师。

根据① 可知

,汽

车 总数 不 能小 于

__;根

^{据 ② 可知}

^,汽

^{车总数 不 能大}

于__。 综合起来可知汽车总数为__。

(2)租

车费用与所租车的种类有关

,可

以看出

,当

汽车总数 α确定后

,在

第十九章 一次函数 103

满足各项要求的前提下

,尽

可能少地租用 甲种客车可以节省费用^.

设租用 ￡辆 甲种客车

,则

租车费用

y(单

_位

_{:元 )是}

_ε的函数

,即

【

y=如

0J+280(Ω ˉ—_J)。

将

(D中

确定的 Ω的值代人上式

,化

简这个 函数

,得

y=

为使 240名 师生有车坐

,J不

能小于

___;为

^{使租车费用不超过}

²³⁰⁰

元,茁 不能超过

___。

综合起来可知

J的

_取值为

^。

在考虑上述问题的基础上

,你

能得出几种不同的租车方案

?为

节省费用应 选择其中哪个方案

?试

说明理由。

取一个取值能影响其他变量的值的变量作为 自变量。然后根据 问题 的条件 寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型。

实践活动^:

结合 日常生活 中某个可 以选择多种实施方案 的实际问题

,例

如购物 、配 送 、上网、通讯等

,利

用数学知识进行分析

,选

择最佳方案

,并

写出有关活动

的报告。

有多个变量的问题时

,可

以分析这些变量之间的关系

,从

中选

104第十九章 一次函数

数 学 活 动

(l)根

_{据下表的数据}

,在

直角坐标 系中画出世界人 口增长曲线图。

(2)选

择一个近似于人 口增长曲线的一次函数

,写

出它的解析式。

(3)按

_{照这样的增长趋势}

,估

计 ⒛⒛ 年的世界人 口数。

世界人 口数统计表

年份

r 196o

人 口数 γ〃乙

30

1974 1987 1999 2010 40 50 60 69

水龙 头关 闭不严会 造成 滴水,为 了调 查 漏 水量 与 漏水 时 间的 关 系

,可

进 行 以下的试验 与 研 究^:

(1)在

滴水的水龙 头下放 置一个能显 示水 量 的容 器

,每 5min记

录一 次容 器 中的 水 量^, 并填 写下表 。

时间 〃

min o 5

水量

v/mL

10 15 20 25 30

(2)建

_{立直角坐标 系}

,以

_{横轴表示时间 莎}

,纵

轴表示水量

v,描

出以 上述试验所得数据为坐标的各∫羔

,并

观察它们的分布规律。

(3)试

_{写 出}

v关

_{于莎的函数解析式}

,并

由它估算这种漏水状态下一天 的漏水量。

第十九章 一次函数 105

'l、

结

-、

本章知识结构图

{某些现实问题中变^| }量之间相互联系 }

建 立数 学模 型

应 用 一次函数

y〓饪+D(庀 ≠0)

帅勖的增大而增大;

帅勖的增大而减小

二 、 回顾 与 思 考

客观世界 中变量大量存在。本章结合 一些实际问题

,分

析 了一个变化过程 中两个变量的一种对应关系,即每 当其 中某个变量取一个定值 时,另 一变量有 唯一确定的值与其对应,由此初步认识 了函数及其表示法。

一次函数

y=加

+乙 ^(尼≠

O)是

_{一种最基本的函数},它 刻画了一类常见的变 化规律。正比例函数 丿

=切

α≠

0)是

一次函数的特例。一次函数的图象是一条 直线,利用 图象可以直观地分析 函数 丿

=加

+乙 ^(屁≠

O)的

_{增减性。观察发现}^,

当尼

)0α ^(0)时

,图象从左 向右上升 ^(下 降^)。 这表明,函数

y的

_{值随 自变量}

￡的增大而增大 ^(减小),利 用 图象研究函数的方法体现了数形结合的思想。

利用函数解决问题时,关键在于分析 问题 中变量之间的对应关系

,并

考虑 如何表示这种关系

,从

而将实际问题转化为函数模型。如果判断出某 问题的变 化规律可用一次函数模型刻画

,那

么可根据 已知条件用待定系数法得 出函数解 析式。

请你带着下面的问题

,复

习一下全章的内容吧。

1.举 例说明两个变量

J和 y满

_{足什么条件时}

,y是 J的

函数。

2.函 数有哪些表示法

?它

们各有什么优点

?请

举例说明。

3.一 次函数 丿^=屁J+乙 的图象是什么图形

?当 D=0时

,函数 丿^=乃J+乙 的 106第_十九章 一次函数

{图 象:一条直线

性 质

0 0b k

图象经过哪个定点

?常

数 尼对函数丿

=肟

+乙 的图象有什么影响

?由

此能说 明 丿与￡之间的什么变化规律^?

4.由 一条不平行于坐标轴的已知直线

,能

求出它对应的一次函数的解析式 吗

?如

果能

,应

怎样求

?由

此体会 由形到数的转化。

5.举 例说明如何利用函数解决实际问题。

复 习巩 固

1.

←吾 ^,0,

3.填空^:

已存款^100元,今 后三年每月要存款10元,

三年后捐给贫困地 区的 小朋友 。

小亮现 已存款 100元 。为赞助 “

希望工程”

,

他计划今后三年每月存款 10元.存款 总金 额 丿^(单位:元)将 随 时 间 钌^(单位:月 ⁾ 的变化 而改 变。指 出其 中的常量与 变量^,

自变量与 函数,并写 出函数 解析式。

判 断下列各 点是 否在 直线 丿=2ε

+6上

。 这条直线与坐标轴交于何 处?

(-5,—4), (-7,20),

鳜 霪

(号,7÷

)・

(D直

_{线 丿}

=:—

_号

^J经

过 第 象限^,丿 随 ￡的增 大而

___;

(2)直_{线 丿}

=3=-2经

过 第

____象

^限

^,y随

^{J的增 大而}___。

4.根据 下列条件分别确定函数 丿

=拓 +3的

解析式^:

(1)y与 _{￡成正比例,当 品}

=5时

,丿=6;

⑵ 直线 厂 加 扔 绎过 点 ⒀,ω 与点咭 ,一告

)

5.试_{根 据 函数 丿}

=3J-15的

_{性质或 图象},确定J取何值 时^: (1) 丿)0; ^{(2) y(0.}

综 合 运 用

6.在_{某火车站托运物品时},不超过1kg的_物品需付2元,以后每增加1kg(不足

第十九章 一次 函数 107

8.

7.

1kg按 1kg计 )需增加托运 费0.5元_{。设托运 夕kg} 元。试写 出 c的 计算公式^.

某水果批发 市场规定,批发 苹果不 少于100kg时 ,

带现全3000元_{到这市场采购苹果},并以批发价 买进^. 付款后还剩余现金y元.试写 出y关于J的函数 解析 式,并指 出 自变量J的取值 范围^,

匀速地 向一个容 器 内注水,最后把 容 器注满。在 注 水过程 中,水面高度 九随时间 彦的变化规律如 图所 示 ^(图 中^o⒋BC为_{一折 线})。 这 个容 器的形状是 下 图中哪一个?匀速地 向另两个容 器注水 时,你能 画 出水面高度 九随时间 莎变化 的图象 ^(草 图)吗?

(夕 为整数)物品的费用为^c 批发 价 为 ^2。 5元_/kg.刂`王携 设 购买的苹果为 r kg,`卜 王

9,已 知等腰三角形周长为^20。

(1)写_{出底 边长}y关_{于腰 长}J的 _{函数解析式} ^(J为 自变量^);

(2)写_{出 自变量取值 范围;}

(3)在_{直角坐标 系中},画出函数 图象^.

10.已 知)点

A(8,0)及

_{在 第一象限的动}J点 P(￡

,y),且

￡+丿=10,设△

0PA的

面 积 为S.

(1)求 S关于 茁的 函数 解析式^;

(2)求 J的取值 范围;

(3)当 S=12时 ,求

P点

坐标;

(4)画_出函数S的_图象.

11.(1)画 _{出函数 丿}=|￡

-1|的

图象‘

(2)设_P(贸

,0)是

J轴上 的一个动_`点,它与J轴上表 示

-3的

Ⅰ点的距 离为 γ^. 求 丿关于茁的函数解析式,并画 出这个函数的图象。

12.A,B两地相 距

25km.甲

8:00由

A地

出发 骑 自行 车 去 B地,平均 速 度 为

10km/h;乙 9:30由 A地 出发乘汽车也去B地 ,平均速度 为40km/h, (1)分别写 出两个人的行程关于时刻的函数解析式^;

(2)乙_{能否在途 中超过 甲}?如果 能超过,何时超过?

(第8题)

108第十九章 一次函数

拓 广 探 索

13.一 个有进 水 管与 出水 管 的容 器,从某 时刻 开 始 4min内只进水不 出水,在随后 的8min内既进水 又 出水,每分的进 水量和 出水 量是 两个 常数。容 器 内 的 水 量 丿 (单 位

:L)与

时 间

r(单

位:

min)之间的关 系如 图所示。

(1)当 0≤品≤4时,求 γ关于 茁的函数 解析式^, (2)当 4<J≤12时,求丿关于J的 _{函数解析式。}

(3)每分进水 、 出水各 多少升?

14.一 次越野赛跑 中,当小明跑 了

1600m时

,小刚 跑 了

1450m,此

后 两人 分别 以 Ωm/s和

bm/s

匀速跑。又过100s时小刚追上小明,⒛ 0s时小刚到 终^J点。这 次越野赛跑的全程为 多少米?

15.A城_有肥料200t,B城_有肥料300t。 现要把这些肥料全部运往

C,D两

乡。从

A城

往

C,D两

乡运肥料的费用分别为 ⒛ 元/t和 25元/t;从 B城往

C,D两

乡 运肥料的费用分别为15元_/t和 24元/t。 现C乡 _需要肥料240t,D乡 需要肥料

260t,怎_{样调运可使总运费最少}?

C乡需要肥料^{9zIO t} A城有肥料⒛0t

D乡需要肥料⒛0t B

(第13题)

达 终 点,300s时 小 明 到 达

(第 15题)

第十九章 一次函数 109

第二十章 ^{数据的分析}

用样本估计总体是统计 的基本 思想。当所要 考 察的总体 中个体很 多或 者对考察 对 象带有破 坏 性 时 ,我 们 常常通过 用样 本估计 总体 的方 法来 了解 总体。看下面的问题

^:

农科 院为 了选 出适合 某地种植 的甜 玉米种子

^,

对 甲、乙两个品种各 用 1O块 _{自然条件相 同的试验}

田进行试验 ,得 到各 试验 田每 公 顷的产 量

^(见

下 表

^)。

根 据 这 些数据 ,应 为农科 院选择 甜 玉米种子 提 出怎样的建议呢

^?

甜 玉米的产 量和产 量 的稳 定性是农科 院选择 种子 时所关心的问题。如何考察一种甜 玉米的产量 和产量 的稳 定性 呢 ?这 要 用到本 章将要 学 习的如 何 用样本 的平均数和 方差估计 总体 的平均数 和 方 差等知识。

通过本章 的 学 习 ,你 将 对数 据 的作 用有 更 多 的认识 ,对 用样本估计 总体 的思想有更深的体会。 叹

品

种 各试 验 田每公 顷产量/t

甲

7,65 7.59

7.61

乙

7.55 7,53

7.52 7.58 7.连6 7.53 7.49

F甲≈ 7.54 万乙≈^{7・ 52}

s煮≈001 s乞≈ 0,002

⒛。 1数 _{据的集中趋势}

当我们收集到数据后

,通

常是用统计图表整理和描述数据。为了进一步获 取信息

,还

需要对数据进行分析。以前通过数据计算

,我

们学习了平均数

,知

道它可以反映一组数据的平均水平。本节我们将在实际问题情境中

,进

一步探 讨平均数的统计意义

,并

学习中位数、众数和方差等另外几个统计中常用来刻画数 据特征的量,了解它们在数据分析中的重要作用^,

⒛

.1.1

_{平 均数}

问题

l

一家公司打算招聘一名英文翻译。对甲、乙两名应试者进行了听、

说、读、写的英语水平测试

,他

_{们的各项成绩} ^(百_分制

)如

表^20-1所示^.

表 ^20-1

应试 者

^听

^说

^读

^写

在文檔中 人 底垓席 瘀磁 姓 (頁 109-118)