幼兒數學概念架構與發展趨向

本節將對國內外幼兒數學概念發展特性之研究及理論實務加以蒐集並進行歸納分 析，以試圖發現幼兒數學概念發展之特性，進而做為本研究幼兒數學概念發展之分析指 標。本節分為數概念及其發展趨向；量概念及其發展趨向；空間概念及其發展趨向；邏 輯及其發展趨向；資料分析與機率概念及其發展趨向；數學概念及其發展趨向文獻結論。

ㄧ、數概念及其發展趨向：

皮亞傑根據知識最終的根源與結構形式，將知識作三種劃分：物理知識（physical knowledge）、邏輯數學知識（logic-mathematical knowledge）、社會知識（social

knowledge），而「數」是屬邏輯數學知識的一種（吳瓊洳、蔡昌明，1999）。

許惠欣（1997）在綜合文獻及調查資料後，認為幼稚園的幼兒應具備的數概念分為 分類、集合；序列；一對一之對應與配對；比較多少與一樣多；合理性計數至十；基數0 至10；敘述第一到第五；集合得組合與分解，以上8種數概念能力。

Myoungwhon & Peter & Mary (2007)認為在建構社會的教室環境中，給予具有挑戰性 問題，讓孩子一起發展自己的方法解決數學問題，當孩子感覺較少束縛時，能以較自由 的方式，來解決數學問題，兒童有一個數字自然能力和重要的解決問題的直覺。簡楚瑛 (1988)也認為幼兒從生活中的環境發展出數能力，常是自發性、與情境有關，經由早期 累積的基礎，稱為非正式數學，所接觸到的每一件關於時間、形狀、數量、重量等等，

這些與幼兒息息相關的事物，幼兒都必須具備了這些基本的數學概念，才能順利增進自 己的知識，以及預備未來成人世界應具備的知能。周淑惠(1996)指出，許多研究都證實 幼兒的確有數量方面的能力，而Ginsburg（1989）及 Baroody（1987）對幼兒這些能力 統稱為「非正式算術」（Informal Arithmetic），並認為這是幼兒期最大的成就之ㄧ，非 正式算術包括唱數、計數、多少、序列、等同與實用算數等。本研究將以上文獻所指之 學前非正式算術，即數的概念分為唱數、計數、數字表徵、序數、合成與分解等五部分，

進行發展趨向之文獻探究。

（ㄧ）唱數：

幼兒能唱數並不代表他能正確運用數來計數。周淑惠（2000）認為學習唸 1、2、3 就像是唱歌一樣，在不斷練習情形下幼兒終於學習數目的先後順序；幼兒從中發現基本 形式法則並且學習運用。在教學上，採點算實物、體驗「一組實物無論如何安置擺放，

總數不會改變」，設計讓幼兒順數與逆數對唱數與計數頗有助益。楊瑞智（1992）研究 小一新生數概念發現，約有50%新生能從 1 唱數到 100，超過一百的唱數常會發生錯誤。

簡楚瑛（1993）認為多數二、三歲的幼兒都會數 1 到 2；四歲到四歲半的幼兒已能從 1 數到39；多數在六歲時都已能從 1 數到 100。許惠欣（1995）研究五至六歲大班幼兒指 出：有85%(68/80)之幼兒能唱數至 100；10 以內之倒數全部都會；20 以內之倒數有 77.5%；

以十跳數有98.75(79/80)能數到九十，92.5%(74/80)能從一百數至一百九十；簡易加減心 算，98.75%(79/80)能正確數算兩集合數小於 10 的計算。袁媛（2001）以新竹地區大班 幼兒的研究發現所有幼兒均能正確數出數詞1-30，具有良好的數數技能。

由文獻中得知，大班幼兒唱數1-30 是沒問題的，唱數 1-50 約有 50%的幼兒可以達 成，唱數1-100 的部份，研究結果呈現不同，楊瑞智（1992）在小一新生的研究中發現 50%；簡楚瑛（1993）認為六歲時均能達成；許惠欣（1995）85%(68/80)之幼兒能唱數 至100，可以看出 1-100 的數數是超出少部份大班幼兒的能力範圍。逆數對幼兒來說又 更為抽象，需以順數做基礎。研究文獻中對於幼兒逆數的研究較為少見，許惠欣（1995）

研究發現10 以內之倒數全部都會；20 以內之倒數有 77.5%，可見 20 以上的逆數是超越 多數幼兒能力的，故教學安排時應考慮幼兒個別能力的差異。

（二）計數：

周淑惠（2000）計數能力是幼兒建構非正式算術的基礎、理解數量概念的必要條件。

幼兒必須能正確說出數詞、按物點數，同時知道數到最後一個數代表該集合的集合數，

才算真正具備數數能力（袁媛，2001）。也有人稱之為基數能力。Gelman 與 Gallistel 於1978 年經由一系列的研究指出計數運作包含五個原則：

1.一對一對應原則：計數時要點一個、唸一個數目標記。

2.固定順序原則：用以計數的數目標記，必須每次相同，遵守一定的順序。

3.基數原則：點到最後一個，其數目標記即為這堆東西的個數。

4.抽象原則：以上三個原則適用於任何可數的項目，任何是物件或想像物、物體之

間不論是否相同都可以數。

5.次序無關原則：每個項目被點到的順序不影響總數。（引自周淑惠，2000：62）

Gelman 與 Gallistel（1978）對幼兒數數行為所做的分析發現，數數是受幼兒與生 俱來的原則所引導，這些原則引導並架構兒童數數行為，並成為兒童評估實際數數行為 及引發數數行為的參考。

常孝貞（2004）所進行的三至五歲幼兒一對一對應、計數能力與基數概念之研究，

五歲組的幼兒表現答對率在固定順序原則方面達100%；一對一原則有 95.8%；基數原則 有95.8%；抽象原則有 75.0%；順序無關原則有 58.3%。以下針對一一對應原則、基數 原則做說明：

一一對應原則：Fuson 與 Mierkiewicz 於 1980 年的研究中顯示三歲的孩子計數時必 須摸著物體，而四、五歲的孩子只要指著物體即可，甚至有些五歲孩子不需指著物體（引 自簡楚瑛，1993：14）。許惠欣（1992）的研究發現三歲半的幼兒僅能用實物或是手指點 數的策略，但對4 歲以下的數能夠用目視，來獲得數目；五至六歲的孩童已經會使用默 數或是目視的數算方式。

基數：大約四歲八個月左右到五歲，幼兒可以發展出基數概念。Fuson 與

Mierkiewicz 於 1980 年的研究中發現三、四歲的孩子在同一個群體中出現不同計數結果 時，通常不會注意到有兩個不同答案，而一些五歲幼兒則會注意到不同並再數一次。這 也表示這些五歲幼兒已經發展基數概念了（引自簡楚瑛，1993：14）。黎佳欣（2008）的 研究指出大班幼兒數概念的發展歷程：自發性的計數，但是尚不瞭解基數的意義，直到 熟悉數目的類別涵屬關係，透過不斷的計數行為，以及與同儕的遊戲中，發現到數字的 合成與分解，最後可以根據不同的需要，調整不同的非正規加法策略。

綜上所述，大班幼兒（五至六歲）能以固定順序方式計數的幼兒可達100%，一對

一原則可達95.8%；基數原則有 95.8%；抽象原則有 75.0%；順序無關原則有 58.3%，且 已經會使用默數或是目視的數算方式。

（三）序數

簡楚瑛（1993）認為數字的序列通常用來描述整個已經定義好的集中某一物的相對 大小和相對位置；她從福森（Fuson）和霍爾（Hall）在 1983 的研究中發現五歲幼兒無 法回答以序數發問的問題，但他們卻能了解以基數方式發問的問題；另從柏林（Beilin）

1975 的研究中發現有 57%五歲幼兒、91%六歲幼兒與 98%七歲幼兒能數到第五，而同時 只有2%、46%的五歲、六歲幼兒能數到第二十三，意即序數順序的發展較計數順序發展 要晚了許多。袁媛（2001）研究發現，大班幼兒已能了解基數與序數的意義。

王國亨（2004）針對我國國小一年級新生學童之數學能力在 10 以內的數字，無論 在相對大小比較、數數、讀寫、分解合成方面，大多數都已能正確表現。簡楚瑛（1993）

認為大部份幼兒在五歲時才能做到十以下的比較。Saxe（1979）指出過半數的四至五歲 幼兒、六歲幼兒會以數算來比較大小；Resnick（1983）指出幼兒在未進入學校前就已經 知道兩個在數列中，相距甚遠的數的大小，而他們在五、六歲時已經建構一套數字表徵，

這種表徵可稱之為「心理數字線」（引自巫錦玲，2007：23）。

由以上文獻得知大約五到六歲大的幼兒，可以有區辨數字大小的概念，但序數比起 基數難理解，就如同Braoody（1987）所說數量多少和數字大小的比較是需要統整唱數、

計數、基數、序數四種能力才能做到的（引自簡楚瑛，1993：24）。因此序數活動的數字 不宜太大，10 以內的數字會較為適合大班幼兒。

（四）合成與分解

幼兒的運算須以「解決問題」的方式來發展其技巧，也就是利用生活實例、模擬真 實情境等方式。容許幼兒運用各種不同的方法，例如操作具體物、演示、在紙上畫圖做

記號、討論、運用計數技巧、或使用手指頭運算等以解決問題，充分地探索加減概念（周 淑惠，2000）。Geary（1994）認為，三歲孩子比較依賴具體物進行加法問題，等到四、

五歲隨著經驗與成熟而轉為用手指頭計數，這策略對十進位數字系統的幼兒較有利，幼 兒以十為基礎進行計算再衍出計數策略。五歲至六歲的幼兒多數可以不用操作實物，只 要注視物體在心中默算，幼兒學習順接數與倒數運用於加減運算，但是幼兒學習減法是 比加法困難的，因為幼兒學習逆反關係是比等量關係困難的（林嘉綏、李丹玲，1999）。

數量關係的理解被認為是學前數學教育的內容核心。Van de walle（1997）所提出學 前階段數關係其中包括部分-部分-全體（part-part-whole）的關係，即指幼兒是否具有數 的組成與分解能力；並針對新竹地區六、七歲大班幼兒所做的研究也發現，多數幼兒在 一個求解部份數的問題中無法將所有組合和分解情形找出，幼兒在此項能力的發展仍有 待加強（引自袁媛，2001）。林嘉綏、李丹玲（1999）認為數的組成「分」與「合」的過 程是不可分割的，這是數群概念發展的基礎，也是理解數關係的重要指標，在其研究結 果中發現六歲左右只有40%的幼兒能理解數的結合與分解，六至七歲則可由 60%進步至 80%，在大班後期幼兒以可掌握十以內的數的組成。兒童充分理解之後，才引導進入

「＋」、「－」等抽象符號的使用。兒童必須經過對數序列的理解，會數數，認識數的

「＋」、「－」等抽象符號的使用。兒童必須經過對數序列的理解，會數數，認識數的