幾的幾倍單元學習之成效

經熟為目的的練習之前，皆能先安排全班性的討論活動，讓學童透過 腦力激盪的歷程建構出更完整的概念；（三）繪本延伸活動中的學童 練習機會不均：由於一些繪本延伸活動在設計上無法讓所有學童皆有 上台練習的機會，所以會造成少數學童對活動漫不經心的狀態，因此 教師可衡量實際狀況做調整，讓無法上台練習的學童在台下也有參與 每一次練習的機會，例如利用小白板練習之後再彼此分享共同討論 之；（四）繪本視覺效果難以突顯：考量到繪本尺寸較小等視覺呈現 的限制，研究者在預試階段即將繪本製作成電腦簡報透過大螢幕投影 播放，效果十足，然而因正式教學班級器材上的問題而以電視播放取 代之，研究者發現此舉確實影響了學童在繪本導讀活動中的參與情 形，讓繪本教學活動打了折扣，故研究者建議未來如要在大班級中進 行繪本活動，最好的呈現方式仍是大螢幕投影。

有幾隻腳？），雖然兩者的佈題形式有所不同，但主要目的不外乎讓 學童透過各種形式，經驗相同單位量的現象，並利用累進性合成運思 策略，學習重複製作集聚單位以進行點數，透過累加活動來解決問 題，進一步連結倍的語言，理解乘法的意義。以下除了觀察記錄和數 學繪本教學活動檢核表的資訊之外，並列舉學童數學學習日記和前後 測的代表性範例，分別就技能（解題策略）、認知（乘法意義的理解）

和情意（數學學習態度）等三方面來看學童幾的幾倍單元學習之成效。

壹、能透過累加活動或乘法算則解決等值群組的總數未知乘法問題 在本文第二章中有提到本階段之學童的數概念運思發展正處於 序列性合成運思、累進性合成運思以及部分─全體運思三個階段的過 渡時期，引導和教學的適當性關係到學童是否能順利提升自身的能 力。研究者在數學繪本延伸活動進行中發現，學童對於重複製作集聚 單位以進行點數活動和運用累加策略來解題，此二種解題策略的使用 皆駕輕就熟，解題成功率相當高，只有極少數計算上的失誤，例如4

＋4＋4＝8（1 觀 1212、2 觀 1214）。

表 4-3-1 幾的幾倍繪本教學活動前後測驗學童作答方式人數統計表

未作答 點數策略 圖示累加 數字累加 乘法 累加和乘法 正確 錯誤 正確 錯誤 正確 錯誤 正確 錯誤 正確 錯誤

前測 6 11 4 0 0 5 3 0 1 0 0

總和 6 15 0 8 1 0

總和

(％) 20％ 50％ 0％ 27％ 3％ 0％

後測 0 3 1 1 0 10 4 7 0 4 0

總和 0 4 1 14 7 4

總和

(％) 0％ 13％ 3％ 47％ 23％ 13％

從表4-3-1 可以知道實施幾的幾倍數學繪本教學活動前後，全班 30 名學童在幾的幾倍前、後測驗中，用以解決等值群組的總數未知 乘法問題的解題策略有以下的進步：（1）在前測時放棄作答的人數有 6 人，佔全班 20％；後測階段則已無人放棄作答。（2）在前測中使用 較不成熟之解題策略之點數策略解題的人數有15 人，佔全班 50％；

後測階段使用點數策略解題者則減少為 4 人，佔全班 13％。（3）在 前測中使用較成熟之累加策略解題者為8 人，佔全班 27％，2 人計算 錯誤；後測階段中使用累加策略解題者提升為15 人，佔全班 50％，

4 人計算錯誤。（4）在前測中僅有 1 人使用乘法策略解題，但解題失 敗；到後測階段已有 7 人成功運用乘法策略解題，佔全班 23％。（5）

在後測階段，有4 人會使用累加策略和乘法策略並用的兩兩驗證方式 來解題。

學童前後測─無作答提升至累加：如圖4-3-1 所示，編號 19 號 學童在幾的幾倍前測中放棄作答，在後測中已經進步到可以成功運用 累加策略解題；其中，他分別使用了圖示累加策略（上圖）和數字累 加策略（下圖）來解題，研究者對於此學童為何選擇兩種不同的形式 解題感到好奇，因此深入訪談學童得知：因為學童對於「爺爺的魔法 森林」數學繪本延伸活動中，利用色卡進行練習的過程印象非常深 刻，因此遇到同樣問到動物的問題時，就做出了圖示累加策略的反 應，順利得到答案。而當學童在解第二種題型時，則沒有考慮太多，

僅自然而然的運用課堂上習得的累加策略解題（5 訪 1219-19）。

圖4-3-1 幾的幾倍後測-19

表4-3-2 「幾的幾倍」繪本教學活動前後測驗學童對不同題型之離散量問題的 解題情形人數統計表

類型一（獨立物件） 類型二（組合物件）

正確 錯誤 正確 錯誤

前測 後測

19（63％）

30（100％）

11（37％）

0

22（73％）

25（83％）

8（27％）

5（17％）

此外，從表4-3-2 可以知道學童在解決「獨立物件」和「組合物 件」不同題型的離散量問題方面，獨立物件題型在前測的解題錯誤率 為37％，後測中則無人解題錯誤；組合物件題型在前測的解題錯誤 率為27％，後測則為 17％。由以上數據可知，學童在幾的幾倍繪本 教學活動後，對於不同型式之離散量概念的倍數關係更為熟悉。前測 階段由於學童尚無法熟練地將獨立物件看成數的集合，所以在解題上 會遇到許多瓶頸，例如「無法理解題意進行作答」、「無規則性的點數 造成點數錯誤」；而在後測階段，由於學童已透過幾的幾倍數學繪本 教學活動熟悉不同型式之離散量問題的單位量轉換，所以解題錯誤率 有明顯的下降趨勢，尤其在離散量的理解上更是有明顯的進步。

綜合以上資訊，研究者再歸納出以下幾點詳細說明：（1）在幾的 幾倍數學繪本教學活動實施前，全班有 70％的學童無法使用累加策 略或其他更成熟的解題策略來作答，大多數學童仍停留在序列性運思 階段，必須將數目一一展開後重新計數；即使有 30％的學童能用較 成熟策略解題，但解題成功率僅達 56％，可見學童尚無法確實掌握 此類型解題策略的解題技巧。（2）在幾的幾倍繪本教學活動後，已有

83％的學童發展出累加和乘法等較成熟的解題策略，且解題成功率高 達 85％，可見學童在解題策略的使用能力上確實有所提升，且大多 數學童的數概念運思發展也提升到累進性合成運思，甚至是部分全體 運思的階段；其中，使用累加策略解題的人數在實施數學繪本教學活 動前後，從 8 人（27％）增為 15 人（50％），呈現近2 倍的大幅成長，

這和在學童的數學學習日記中所得到的資料相互呼應，亦即分別有 20％和 27％的學童表示自己在「彩色冰淇淋」和「爺爺的魔法森林」

數學繪本教學活動中學到了累加策略（1 日 1212、2 日 1214）。令人 可喜的是，這同時也象徵著大多數學童已從序列性運思提升至累進性 運思階段。（3）從表 4-3-1 可以明顯發現：在後測中，使用累加策略 解題的錯誤率高達 29％，使用乘法策略解題者則皆能成功解題。研 究者深入瞭解發現學童在使用累加策略解題時，很容易被繁瑣的過程 記錄所混淆，因而常有多加幾次、少加幾次的情況發生。例如：3＋3

＋3＋3＋3＋3＝24（幾的幾倍前測-21）；3＋3＋3＋3＋3＋3＝12（幾 的幾倍後測-02）。（4）從學童解題策略的轉變，還可以知道有 36％的 學童在解題記錄的方式上，已從「過程記錄」（例如 3＋3＋3＋3＋3

＋3＝18）提升為「約定俗成的數學摘要記錄」（例如 3×6＝18），研 究者認為基於第 3 點中所提到的累加策略之易計算錯誤的特性，學童 能有此能力的提升對於解題有很大的幫助，而這也是學童在幾的幾倍

繪本教學活動中很具意義的學習成效。

由上述資料可以得知幾的幾倍繪本教學活動在「能透過累加活動 或乘法算則解決等值群組的總數未知乘法問題」這方面確實有其成 效。

貳、對乘法意義的理解有所提升

在 82 年版之新課程中，數與計算的教材設計上，把整數的乘法 問題看成是「單位量的轉換問題」，也是「倍的問題」；所以研究者在 設計數學繪本延伸活動時，即以此為準則，希望藉由繪本中的具體情 境，透過循序漸進的方式，讓學童從重複製作集聚單位中瞭解單位量 轉換問題的意義，並進一步用「幾個幾」的語言表示出來，同時利用 累進性合成運思的策略來解題，例如：

師：如果 8 株酢漿草每株有 3 片葉子，那共有幾片葉子？

生：

生：8 個 3

生：3+3+3+3+3+3+3+3=24

（2 觀 1214）

□□□ □□□ □□□ □□□

□□□ □□□ □□□ □□□

接著將「幾個幾」的活動連結到「倍」的語言，例如：

生：3 片葉子的 8 倍 生：3 的 8 倍

（2 觀 1214）

最後，再從「幾的幾倍」活動連結到乘法的算式記錄，例如：

生：3×8

（2 觀 1214）

在活動中，研究者發現學童一開始在連結「幾個幾」和「幾的幾 倍」概念以及乘法算式記錄上會有很大的困難，但是有趣的是他們非 常勇於嘗試錯誤，即使不甚瞭解，依舊踴躍爭取上台演練的機會，而 當他們從錯誤中學習到正確方向時，臉上總是洋溢著最燦爛的笑容（2 觀1214）。教學者每每遇到學童出現不同的答案，總會激發學童一起 思考，透過挑戰、反問、澄清等技巧來確認學童對乘法意義的瞭解程 度並積極地找出正確答案，此過程很具意義，因為可以發現在經過一 次又一次的師生討論、驗證之後，學童在連結「幾個幾」和「幾的幾 倍」之概念以及書寫乘法算式記錄時，答題速度明顯加快，正確率也 提升許多（1 觀 1212、2 觀 1214）。

從表4-3-1 的資料可以知道在實施幾的幾倍數學繪本教學活動前 後，學童在幾的幾倍前、後測驗中用以解決等值群組的總數未知乘法 問題的解題策略中，和乘法相關的改變為：使用乘法策略解題者從前 測的 1 人（3％）增加為後測的 11 人（37％），分別是從點數策略改

而這些學童不僅在後測中的解題正確率為100％，乘數和被乘數間的 關係亦無任何混淆，這樣的改變和在學童的數學學習日記資料中所得 到的資料不謀而合，亦即分別有 33％和 30％的學童表示自己在「彩 色冰淇淋」和「爺爺的魔法森林」數學繪本教學活動中學到了乘法；

另外，在「彩色冰淇淋」數學繪本教學活動中，有 13％的學童表示 學到了幾個幾，有 33％的學童表示學到了幾的幾倍；在「爺爺的魔 法森林」數學繪本教學活動中，有6％的學童表示學到了幾個幾，有 12％的學童學到了幾的幾倍（1 日 1212、2 日 1214）。

學習日記─乘數及被乘數：從圖4-3-2 可以發現編號 4 號之學童 不僅能夠很清楚、正確的利用圖示和文字說明呈現自己在彩色冰淇淋 繪本教學活動中所學習到的概念，而且還能將彩色冰淇淋的圖像描繪 得如此精美並做了數量上的變化，可見新概念已經為學童所接受並內 化為自身的能力。

圖4-3-2 彩色冰淇淋數學學習日記-04