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數學繪本教學對國小二年級學童數學學習成效之研究

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Academic year: 2022

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國立中山大學教育研究所 碩士論文

數學繪本教學對國小二年級學童數學學習成效之研究

研究生:黃承諄 撰 指導教授:梁淑坤 博士

中華民國 九十五 年 四 月

(2)

謝 謝 謝

誌 誌 誌

記得剛進入中山教育所的時候,對論文這個陌生的東西既期待又 恐懼,然而沒想到,今天能夠比預期還快、還順利的完成它。

這本論文可以順利完成,最先要感謝的就是我的指導教授─梁淑 坤老師。梁老師在我眼中,不僅是親切且對學生關愛有加的老師,學 術領域上態度嚴謹且力求精進的學者,更是一位重視家庭生活的好媽 媽。雖然梁老師身兼數職,但卻能盡心盡力、快樂而從容的扮演好每 一個角色,這種對事情的負責態度與對時間的管理能力正是我最需要 努力學習的目標。真的非常開心也很感謝能成為梁老師的學生,在此 謹獻上我最誠摯的謝意:親愛的老師,謝謝您。

接著要感謝我的父母,成長路程中因為有你們的陪伴、鼓勵、肯 定和支持,讓我能有自信的面對人生中的每一次考驗,並讓我能無後 顧之憂的完成學業。親愛的爸媽,我真的好愛您們,謝謝您!

撰寫論文過程中,遇到了不少困難和挫折,也遇到了令人欣喜的 事情,很感謝身邊總有一些人,願意給我鼓勵和指導,也願意與我分 享心中的酸甜苦辣,在此,亦獻上我最深的謝意:

感謝千奇學姊、欣蓉學姊在論文過程中給予的支援和指導;感謝 一同成長的夥伴,天慈、雅婷、佳慧;感謝中山教育所的師長和同學 們;感謝每天為我打氣的成祥和所有親朋好友,真的非常謝謝你們。

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數學繪本教學對國小二年級學童數學學習成效之研究 摘要

本研究旨在利用研究者自編之 4 本數學繪本進行國小二年級「幾 的幾倍」與「分類整理」兩數學單元之教學,其中包含繪本導讀與繪 本延伸活動,並於教學後評估教學的實施情形,以及探討數學繪本教 學對國小二年級學童之數學學習成效。研究過程分為三階段:第一階 段為根據課程編製 4 本數學繪本;第二階段為實施數學繪本教學活 動;第三階段為針對第一、二階段所蒐集到的學童前後測、數學繪本 教學活動檢核表、數學學習日記、學童訪談、教學現場觀察記錄、研 究者參與觀察記錄等資料進行資料分析。

本研究結果主要可分為數學繪本設計、數學繪本教學活動實施情 形與學童數學學習成效等三個部分。(一)數學繪本設計方面:配合

「幾的幾倍」單元編製之數學繪本為「彩色冰淇淋」和「爺爺的魔法 森林」,配合「分類整理」單元編製之數學繪本為「泳衣不見了」和

「拉拉生病了」。繪本中生活化的故事情節與生動的圖文呈現,使學 童不僅能產生興趣、持續高度的專注力,並樂於探索與練習數學繪本 中隱含的數學概念。(二)數學繪本教學活動實施情形:繪本教學活 動過程中,學童皆能維持高度的參與度,且研究證實 1.透過電視螢幕 呈現繪本適合班級使用;2.和繪本內容具有高度連結性的數學延伸活

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動可提升學生的學習動機並強化學生的數學學習;3.一本數學繪本的 延伸活動可以有無限可能,甚至可以涵蓋完整的數學單元,因此教師 應把握教學契機,彈性運用之。(三)學童數學學習成效:學童不僅 在「幾的幾倍」與「分類整理」兩數學單元之認知理解與技能的表現 有顯著提升,對於數學、數學課和學習數學的態度亦有諸多正面評 價,並有大多數學童表示對數學繪本教學活動充滿高度期待。

關鍵字:國小二年級、數學繪本、幾的幾倍、分類整理

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The effects of using picture books in second-grade elementary school children's learning of mathematics

Abstract

The purpose of this study is to assess the instructional use of mathematics picture books and teaching activities in the teaching of two second-grade mathematical units:

“Multiples” and “Classification”. In order to achieve this purpose, the researcher created four mathematics picture books. Furthermore, she explored the mathematical learning effects of second-grade elementary school students through mathematics picture book teaching. The stages of this study were three: creation of 4 picture books; implementation of using picture books in mathematics class; and, data analyzes on the collection of pre-test and post-test data; checklists of picture books follow-up activities; mathematics diaries; and, notes on students interview, classroom observations by teacher and investigator.

The findings are three: 1) the creation of mathematics picture books; 2) the implementation of mathematics picture books in mathematics teaching; and, 3) the effects of using picture books in second-grade elementary school children's learning of mathematics. The creation of mathematics picture books. While “Multi-colored Ice-cream” and “Grandpa’s Magic Forest” were designed in accordance to the unit of

“Multiples”, two other books, named “My Swimsuit is Lost” and “Lala is Sick” were designed to integrate instruction in “Classification”. In these four stories, the plots were close to real life of students. These vivid presentations of illustrations and compositions not only drew students’ interests and kept their high concentration, but also made them feel happy in exploring mathematical concepts implied in these books.

The implementation of mathematics picture books. During the process of picture book teaching activities, students could keep high degrees of participation. Moreover, showing picture books through TV screen was applicable to whole class; using mathematics activities that were highly connected with contents of these picture books could motivate students’ mathematics learning; applying these extensive activities flexibly could limit these activities which were infinite. The effects of using mathematics picture books. There was not only an advance in the cognition and understanding on “Multiples” and “Classification”, but also positive attitude towards mathematics, mathematics class and mathematics learning. Besides, most students expressed their high expectations in mathematics picture book related teaching activities.

Keywords: second-grade, mathematics picture book, multiples, classification

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數學繪本教學對國小二年級學童數學學習成效之研究 目錄

第一章 緒論………...1

第一節 研究動機……….…..1

第二節 研究目的………...3

第三節 研究問題………...4

第四節 名詞解釋………...4

第二章 文獻探討 ……….6

第一節 數學學習與數學教學 ……….6

第二節 繪本教學的理論基礎………..13

第三節 國小二年級數學課程教材分析………..29

第三章 研究方法………..46

第一節 研究流程………..46

第二節 研究架構………..49

第三節 研究對象………..50

第四節 數學繪本編製與數學繪本教學活動………..50

第五節 資料收集……… … 66

(7)

第四章 研究結果與分析 ………...72

第一節 數學繪本編製及其適切性………..73

第二節 數學繪本教學活動的實施與改進………..93

第三節 幾的幾倍單元學習之成效………..99

第四節 分類整理單元學習之成效………115

第五章 結論與建議 ………...129

第一節 結論………129

第二節 建議………136

參考文獻………....140

附錄 附錄 1 幾的幾倍(前測)………146

附錄 2 幾的幾倍(後測)………149

附錄 3 分類整理(前測)………152

附錄 4 分類整理(後測)………154

附錄 5 「幾的幾倍」數學繪本教學活動檢核表………156

附錄 6 「分類整理」數學繪本教學活動檢核表………157

附錄 7 學童數學學習日記………158

附錄 8 學童訪談表………159

附錄 9 教學現場觀察記錄表………160

(8)

附錄 10 研究者參與觀察記錄表………161 附錄 11 四本數學繪本封面………163

(9)

表目錄

表 2-3-1 康軒版第三冊單元教學目標………29

表 2-3-2 「幾的幾倍」教學單元能力指標………40

表 2-3-3 「分類整理」教學單元能力指標………43

表 3-4-1 繪本及課程大綱對照表………53

表 3-4-2 每一節課之教學步驟………59

表 3-5-1 研究資料之編碼原則………69

表 4-3-1 「幾的幾倍」繪本教學活動前後測驗學童作答方式人 數統計表………101

表 4-3-2 「幾的幾倍」繪本教學活動前後測驗學童對不同題型 之離散量問題的解題情形人數統計表………103

(10)

圖目錄

圖 2-3-1 九年一貫數學領域分年能力指標─乘法部分………42

圖 2-3-2 九年一貫數學領域分年能力指標─統計與機率部分 45 圖 3-1-1 研究流程圖………48

圖 3-2-1 研究架構圖………49

圖 3-4-1 數學繪本編製架構圖………52

圖 3-4-2 「幾的幾倍」單元之數學繪本教學活動流程圖……58

圖 3-4-3 「分類整理」單元之數學繪本教學活動流程圖……58

圖 3-4-4 彩色冰淇淋教具………61

圖 3-4-5 爺爺的魔法森林教具………62

圖 3-4-6 泳衣不見了教具………63

圖 3-4-7 拉拉生病了教具………65

圖 4-1-1 彩色冰淇淋繪本封面………76

圖 4-1-2 彩色冰淇淋初稿範例………78

圖 4-1-3 彩色冰淇淋修正版範例………78

圖 4-1-4 彩色冰淇淋數學學習日記-02………80

圖 4-1-5 彩色冰淇淋數學學習日記-09………80

圖 4-1-6 爺爺的魔法森林繪本封面………81

圖 4-1-7 爺爺的魔法森林初稿範例………82

(11)

圖 4-1-8 爺爺的魔法森林修正版範例………82

圖 4-1-9 泳衣不見了繪本封面………85

圖 4-1-10 泳衣不見了初稿範例………86

圖 4-1-11 泳衣不見了修正版範例………86

圖 4-1-12 泳衣不見了-1………88

圖 4-1-13 泳衣不見了-2………88

圖 4-1-14 拉拉生病了繪本封面………90

圖 4-3-1 幾的幾倍後測-19………102

圖 4-3-2 彩色冰淇淋數學學習日記-04………107

圖 4-3-3 爺爺的魔法森林數學學習日記-05………108

圖 4-3-4 爺爺的魔法森林數學學習日記-17………109

圖 4-3-5 幾的幾倍前後測-01………110

圖 4-3-6 幾的幾倍前後測-11………111

圖 4-4-1 對對碰我最行─接龍………116

圖 4-4-2 對對碰我最行─分類………116

圖 4-4-3 泳衣不見了數學學習日記-09 ………117

圖 4-4-4 泳衣不見了數學學習日記-14 ………117

圖 4-4-5 拉拉生病了數學學習日記-05 ………118

圖 4-4-6 分類整理前後測-06………119

(12)

圖 4-4-7 腦力激盪畫記符號………121

圖 4-4-8 畫記模擬………121

圖 4-4-9 引導正字畫記………121

圖 4-4-10 拉拉生病了數學學習日記-06, 09, 14, 24 …………123

圖 4-4-11 分類整理前後測-06………124

圖 4-4-12 分類整理前後測-13………124

圖 4-4-13 分類整理前後測-04………125

圖 4-4-14 分類整理前後測-20………125

圖 4-4-15 分類整理後測-24………126

圖 4-4-16 分類整理後測-28………126

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第一章 緒論

第一節 研究動機

雖然我們都知道填鴨式的學習會侷限孩子的發展,可是在成績掛 帥等現實壓力下,有些教師們依舊會灌輸孩子背誦公式、反覆演練等 方法使孩子達到數學運算的自動化思考,且能又快又準確地完成數學 任務並獲得高分。然而,我們卻忽略了很重要的一點,也就是學童從 小開始便開始建立起有關數學的信念,而這些信念會影響日後他們對 數學的想法、學習數學的態度與學習的成果(引自 National Council of Teachers of Mathematics, 2000);因此,在這種環境下培育出來的孩 子,很多並沒有真正瞭解數學,更別提喜歡數學(許清陽、楊德清,

2000; Duguid, 2005),這也是為什麼會有許多人覺得數學枯燥乏味、

無趣、令人討厭,甚至令人害怕。

然而如上所述,我們真的沒辦法在現實中取得一個平衡,讓孩子 既能在數學成就上有好的表現又能理解數學、喜歡數學了嗎?皮亞傑 認為兒童具有主動性,學童覺得有興趣的東西才能有效促進他們的發 展;而學童對學科的興趣,更是直接影響到他們對知識的探索與追求

(王雯,無日期)。黃迺毓、李坤珊、王碧華(1994)則認為對孩子

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來說閱讀是一種遊戲,遊戲中固然有學習,也必充滿趣味。因此研究 者思考,或許將數學和閱讀結合將是一可行之方案。然而,到底怎樣 的讀物適合低年級的孩子?這些讀物要在什麼樣的時機、用何種方式 來運用最為合適?要如何讓這些讀物發揮最大的效果?又學童透過 這些讀物能在數學學習上獲得何種成效?一連串的問題盤旋在研究 者心中,但此同時也構築了本研究的雛形。

首要任務是讀物的選擇,研究者回想自身過去的實務經驗與所接 觸到的訊息,認為首選的讀物類型即是時下以精美圖畫搭配動聽故事 的繪本。因為繪本的內容包羅萬象,簡潔的文字、鮮明的插圖,讓孩 子能夠盡情遨遊於想像與現實交界的國度,且繪本又可以提升孩子的 閱讀興趣、增長孩子的語文能力、累積孩子的美感經驗、統整孩子的 生活經驗及獲得豐富的知識。再者,目前繪本主要廣泛運用於生命教 育、藝術教育和語文教育等領域,相關的教學設計、研究實證數量極 多,且成效有目共睹。雖然繪本和數學結合的部分實證資料有限,但 仍有不少學者表示透過故事性、趣味性、圖像式的方式來呈現數學概 念,不僅有助於孩子的數學學習,且能讓孩子瞭解數學在真實生活中 的應用(Murphy, 1999; Lowe & Matthew, 2000; Damian & Duguid, 2004; Duguid, 2005; Whitin & Whitin, 2005;陳佩正,2005)。另外,

David Whitin 也曾經說過:「利用與數學相關的兒童文學作品能夠幫

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助孩子瞭解到人們為了實際的意圖而運用數學的多種情況;且文學能 夠幫助孩子發現數學對於他們的真實世界將有何幫助。」(引自 Meghan, n.d.)。蘇振明(2001b)亦提及 5~8 歲的兒童前期,也就是 幼稚園大班至小學低年級這個階段是繪本的最大讀者群,也是教師應 用繪本融入教學的最重要時期。基於上述學者的觀點,讓研究者大膽 地假設繪本在數學教育中具有重要的功能,因此更加確定了研究者將 數學繪本融入數學教學的構想。

綜上所述,研究者希望利用低年級學童喜愛聽故事的天性,以趣 味性、故事性、生活化的數學繪本為媒介來進行相關數學概念的教 學,深入探討數學繪本運用於數學教學時會面臨的狀況及其因應策 略,並進一步探究學童在數學繪本教學活動中的學習成效。

第二節 研究目的

基於以上研究動機,本研究擬以國小二年級學童為研究對象,進 行數學繪本教學研究。具體而言,本研究之研究目的有以下三點:

一、以數學概念融入繪本為原則,編寫國小二年級「幾的幾倍」與「分 類整理」兩學習單元適用之數學繪本。

二、探討數學繪本教學活動在實際運作上的困難與解決方法。

三、評估數學繪本教學活動對國小二年級學童數學學習之成效。

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第三節 研究問題

根據上述研究目的,本研究欲探討之問題如下:

一、國小二年級「幾的幾倍」與「分類整理」兩學習單元適用之數學 繪本設計為何?

二、數學繪本教學活動在實際運作上的困難與解決方法為何?

三、數學繪本教學活動對國小二年級學童數學學習之成效為何?

第四節 名詞解釋

壹、數學繪本

「繪本」是日本人對「圖畫書」的稱呼,顧名思義就是「畫出來 的書」,所強調的是書中畫家手繪插圖的情趣。在台灣,圖畫書還有 另一個名稱,叫做「童書」,在歐美稱之為「Picture books」,是一種 以圖畫為主、文字為輔的書籍(林雪卿,1993;黃迺毓等人,1994;

林敏宜,2000;蘇振明,2001a;何三本,2003)。至於本研究使用之 數學繪本,是指研究者將國小二年級學童學習「幾的幾倍」與「分類 整理」單元時會遇到的數學概念與生活情境,運用圖片、例證和文字 說明等視覺方式呈現出來的兒童圖畫書。

(17)

貳、數學繪本教學活動

本研究中的數學繪本教學活動是指研究者運用自編之數學繪 本,利用綜合活動與彈性課程,對國小二年級學童進行康軒教材「幾 的幾倍」與「分類整理」兩單元之教學活動。其教學活動分為繪本導 讀與繪本延伸活動兩大主軸。

參、數學學習成效

本研究的數學學習內容是指學習康軒版數學教材第三冊之「幾的 幾倍」與「分類整理」兩單元。而數學學習成效則是指實施數學繪本 教學活動前後,學童在「幾的幾倍」與「分類整理」兩數學概念的數 學成就表現差異與數學學習態度的轉變情形。其評估依據包含了學童 前測與後測資料、數學學習日記、數學繪本教學活動檢核表、現場觀 察記錄表和研究者參與觀察記錄表等。

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第二章 文獻探討

本研究旨在設計適用於國小二年級之數學繪本,並探討數學繪本 教學活動對國小二年級學童數學學習之成效。本章主要分為三個部分 來論述:第一節數學學習與數學教學;第二節繪本教學的理論基礎;

第三節國小二年級數學課程教材分析。

第一節 數學學習與數學教學

本節將分別針對數學學習與數學教學兩主題來論述。

壹、數學學習

以下首先闡述數學學習理論,繼而說明數學知識的特徵與學童學 習數學所欲獲得的能力。

一、數學學習理論

數學學習理論是數學教學實務的依據,它可以幫助教育工作者瞭 解學童如何學習數學,瞭解學童在數學學習上可能面臨的困難,以擬 定更適合學童的課程方法、教材和順序;但是關於數學學習理論,長

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久 以 來 眾 說 紛 紜 , Baroody 將 它 們 區 分 為 兩 大 類 :「 吸 收 論 」

(Absorption Theory)與「認知論」(Cognitive Theory):(Baroody, 1987)。

(一)吸收論(Absorption Theory)

「吸收論」基本上是屬於行為主義觀點(Behaviorist Theory),

代表人物為桑代克(Thorndike)、斯金納(Skinner)和新行為學派的 蓋聶(Gagne)。在「吸收論」中,學習者通常是被動地接受知識,因 此, Baroody 將此學習模式稱之為吸收式學習。持此一理論觀點的 學者認為數學知識的本質是事實與技巧的集合,經由記憶可以學習到 事實,換言之,學習只是將知識內化或複製資訊的過程,在這個過程 中,「瞭解」是不需要存在的,學童只需要透過反覆的練習和聯想

(Association),知識即可建立並且不斷擴張,也因此,這種學習理 論又稱為「聯結論」(Association Theory)(Baroody, 1987;周淑惠,

1999)。

在增進兒童學習方面,此理論認為應該給予兒童外部的學習動機 以克制他們討厭學習的天性,進而控制他們學習上的行為和進度;另 外,除了特殊兒童之外,每一個兒童只要有效率地學習事實和技巧,

也就是有效率地完成知識的機械性記憶,則能很快地達到熟練的境界

(Baroody, 1987)。

(20)

綜合言之,在吸收論的觀點下,學童學習乃以精熟為目的,反覆 練習和記憶勝於理解的歷程。然而,Duguid(2005)指出多數教師認 為在語文學習上,「理解」是流暢閱讀的關鍵,但是為何數學學習卻 忽略了「理解」這個重要步驟呢?未經過理解而得到的數學能力是假 象的,是死的知識,真正遇到問題或是遇到更複雜的問題時,學童往 往缺乏變通能力(許清陽、楊德清,2000;吳金聰,2003)。更令人 憂心的是,這種未理解而被動接收知識的過程,將扼殺學童獨立思考 與解決問題的能力(林文生、鄔瑞香,1999:陳佩正,2005)。因此,

此學習觀點之論點確實值得我們三思。

(二)認知論(Cognitive Theory)

「認知論」是屬於認知心理學派的觀點,代表人物為皮亞傑

(Piaget)與卡蜜(Kamii)。此一理論認為數學知識的本質是建構:

資訊的元素藉著互相的關係而結合在一起,形成有組織及有意義的整 體;然而,這種「建構」是要由學習者自行創造的,如同皮亞傑所說:

「要瞭解就必須去創造」(To understand is to invent),唯有經過學習 者本身對知識的洞察與瞭解,才能從內心建構出屬於自己的知識

(Baroody, 1987;周淑惠,1999)。

在增進兒童學習方面,有別於吸收論,認知論者意識到學習者欲

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真正理解某一新概念,則必須在心靈內部將此新概念與現有既存的概 念串聯互動(Baroody, 1987;周淑惠,1999)。例如,學習「4×3=12」

時,大多數兒童已經具備「4+4+4=12」的累加運算能力,此時若 能聯結兒童的乘法新概念與既有的累加概念,整合陌生的抽象符號和 既有知識,例如「一隻烏龜有四隻腳,二隻烏龜有 4+4=8 隻腳,三 隻烏龜有4+4+4=12 隻腳。所以三隻烏龜就是要把 4 隻腳(一隻烏 龜)加 3 次,也就是 4 的 3 倍,可以進一步寫成 4×3 的乘法算式」,

那麼兒童便能很快地對乘法產生感覺、成功地計算乘積。換言之,新 概念不僅是堆積於舊概念之上,而是與舊概念整合成為一個新的關係 系統,而這也意味著兒童思考模式的改變,這對於兒童的知識發展而 言是相當重要的一環。

綜合言之,有別於吸收論的被動接受知識,認知論觀點下的學童 學習乃以主動建構知識為目的,強調的是洞察與理解的歷程。在本研 究中,研究者即以此觀點出發,設計出強調讓學童主動發現、覺知、

連結,透過理解而獲得新知識的繪本教學活動,期使學童不僅能在此 學習歷程中,維持學習的興趣,並能建構出屬於自己的知識。

二、數學知識的特徵

在眾多學科中,數學最易讓學童失去學習興趣、失去學習自信,

(22)

除了學習方式這個因素之外,和數學本身的特性也有很大的關係。其 中,馬淑茵、黃家鳴(1997)指出數學知識有三種特徵尤其容易造成 學習上的問題或困難,包括:1、順序性很強。學習內容大都需要奠 基於先備知識。2、結構組織性高。不同部分的概念或運算技巧彼此 相連。3、數學自身回溯的結構性。已有的知識在不同的時間,經過 再學習,可能會造成知識的重新理解。

三、數學能力

除了數學知識本身所具備的特徵易造成學童學習數學的困難,學 童在學習數學的過程當中,是否學習了完整的數學能力亦為影響學童 數學學習的重要因素。林美珍(1996)指出學習數學主要學得三種類 型 的 能 力 : 程 序 的 、 概 念 的 、 應 用 的 。 程 序 的 能 力 (procedural competence)意指透過一連串行動來解決問題;概念的能力(conceptual competence)指對這些一連串過程的原則加以了解的能力;應用的能 力(utilizational competence)是指知道適切情境採取這些行動的能力。

綜上所述,學童在學校教育中學習數學,瞭解與掌握數學順序 性、結構組織性和自身回溯的結構性等特徵,與他們是否能確實學得 程序、概念與應用的數學能力息息相關,且各特徵與能力環環相扣,

(23)

缺少任一項皆可能造成學童數學學習上的障礙。因此,在學校教育 中,為學童的每一個數學概念奠定良好的基礎,便成為不容忽視的課 題。

貳、數學教學

在這個部分考慮的是如何讓學童學好數學。我們會期許學童能夠 瞭解與掌握數學知識的特徵並獲得主要的三類型數學能力,但是在學 校教育中卻又往往事與願違,因此研究者整理出幾點教師們可以努力 的方向作為教學之參考:(一)瞭解學童的能力,(二)熟悉並掌握教 材內容,(三)重視過程勝於結果,(四)良好的學習環境,(五)連 結數學與生活經驗。以下分就各點詳細說明:

在「瞭解學童的能力」方面,Baroody(1987)認為教師確實瞭 解與掌握學童的心理與認知狀態對於教學成效而言相當重要。林文 生、鄔瑞香(1999)更認為教師應該熟悉哲學、心理學和社會學的內 涵,如此才能以此為出發點,引領學童主動學習、建構知識。

在「熟悉並掌握教材內容」方面,教師熟悉並掌握教材內容與學 童的能力,才能夠對課程中牽涉到的概念詳加分析以作為課程計畫的 基礎,並協助學童在新、舊觀念中做連結,讓學童有更好的學習(林 義雄、陳澤民譯,1991;王耘、葉忠根、林崇德,1995;NCTM, 2000;

(24)

Duguid, 2005)。研究者整理了 Herrera(2001)的文獻資料提出幾個 問題,教師在進行數學教學前可以先問問自己:「我對數學教學的信 念是什麼?」「我想要讓學童瞭解的是什麼?」「我希望學童學習到什 麼?」「透過這些理解,我希望學童能夠做的是什麼?」

在「重視過程勝於結果」方面,有學者(許清陽、楊德清,2000;

袁媛,2003)指出正確答案不是學習唯一的指標,答案背後所蘊含的 意義與解題歷程才是最具價值的部分。NCTM(2000)指出教師可以 提出一些問題引導學童澄清、延伸與發展新的理解,並讓有趣的問題 和激勵性的數學對話成為生活的一部分。

在「良好的學習環境」方面,有學者(王雯,無日期;林文生、

鄔瑞香,1999; NCTM, 2000;袁媛,2003)指出安全、溫暖、自由而 有趣的情境,能引領學童發揮潛能、提升學習興趣,培養學童成為主 動積極的學習者,這樣的情境包含了提供創造性的數學課程、鼓勵學 童獨立思考以及探索與尊重每一個學童的獨特性等。

至於「連結數學與生活經驗」方面,既然數學是生活中的一部分,

那麼非得用數學的方式來教數學嗎?如果脫離了生活與實務,那麼數 學一點也不迷人、不有趣了。將數學和學童熟悉的生活經驗做連結,

將可以讓學童減低數學學習的焦慮、恐懼,提升學童學習數學的興趣 和信心(Marmasse, Bletsas & Marti, n.d.;Baroody, 1987;袁媛,2003;

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黃敏晃,2003; Gibson, 2004)。

如果教師在進行數學教學時能顧及到以上幾個方面,那麼漸漸 地,學童便不再如此恐懼數學,數學課也可以成為一門很有趣的課,

一門讓學童期待的課。

第二節 繪本教學的理論基礎

「繪本」為日本人對「圖畫書」的稱呼,英文為「picture books」

(林敏宜,2000;姜文如,2002;何三本,2003)。不同於有插圖的 書(illustrated books),繪本中的插圖不僅能豐富正文的說明性,甚至 與文字具有同等或更重要的地位(Harris & Hodges, 1981;林雪卿,

1993;林敏宜,2000;何三本,2003)。孔子說過:一張圖片的價值 勝過千言萬語;就好像當兒童被問及什麼使一本書變得特別,兒童的 回答一定是插圖(Miller & Richardson, 1997)。繪本透過圖畫來敘述 故事,內含極豐富的視覺資訊,就如同故事本文,圖畫傳達出外顯和 內隱的意義(陳海泓,1997)。再者,鄭明進認為繪本可以將生活中 複雜的事物和形象加以濃縮、整理,然後用具體的圖畫、文字來突顯 它們的特徵和產生經過(引自何三本,2003),且繪本雖然內容簡短,

(26)

卻又能提供永無止盡的新奇觀念,引發兒童思考,激發兒童的想像力

(陳海泓,1997)。最後,研究者援引蘇振明教授(2001a,頁 14)

在「臺灣兒童圖畫書導賞」中對繪本所做的定義作為本段落之小結:

「狹義的圖畫書指的是專為兒童閱讀設計的精美畫本。這種圖畫書裡 頭,每一頁或每一版面,以大幅的圖畫和一些簡單的文字相互配合,

以便引發幼兒觀賞的興趣,是誘導孩子探訪知識寶庫的鑰匙。」 從以上國內外學者對繪本所做的定義與論述中可以知道繪本對 兒童而言的確具有其不可或缺的意義與價值,本節即就繪本的類別、

特性,繪本在教育上的價值,繪本與數學間的關聯,以及數學繪本的 選擇與設計原則等部份作詳細的介紹。

壹、繪本的類別

研究者彙整蘇振明(1986)、Lynch-Brown 和 Tomlinson(1993)

以及林敏宜(2000)等人對繪本的分類方式,將繪本依據不同的閱讀 對象、材質、內容和功能重新分類如下:

第一,根據不同的「閱讀對象」,可將繪本分為嬰兒書(baby books)、過渡時期書(transitional books) 、較年長讀者的圖畫書

(picture books for older readers)等。

第二,根據不同的「材質」,可將繪本分為紙書(paper books)、

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塑膠書(plastic books)、布書(cotton books)、木板書(board books)、

有聲書(talking books)等。

第三,根據不同的「內容」,可將繪本分為歌謠(rhyme songs)、

押韻書(rhyme books)、概念書(concept books)、字母書(alphabet books)、數數書(counting books)、科學書(scientific books)、知識 書(information books)、無字圖畫書(wordless picture books)、圖畫 故事書(picture storybooks)、易讀書(easy-to-read books)、預測性圖 畫書(predictable books)等。

第四、根據不同的「功能」,可將繪本分為互動書(interactive books)、玩具書(toy books)、立體書(three-dimensional books)等。

貳、繪本的特性

如果兒童文學是一座花園,那麼繪本就是花園中最燦爛的一朵 花;如果兒童文學是世界的縮影,那麼繪本就是帶領我們翱翔的翅 膀。兒童可以很容易和繪本交朋友,並盡情遨遊在每一本繪本所建構 出來的國度而不受時空限制(張嘉文,2004);而且繪本含有豐富的 視覺資訊,隱藏於文字和圖像中的感情思想、生活哲學等,都在學童 翻閱繪本的過程中達到無形的交流(陳海泓,1997;幸曼玲,1999;

何三本,2003)。

(28)

研究者彙整國內外文獻資料(Miller & Richardson, 1995;林敏 宜,2000; Henry & Simpson, 2001;蘇振明,2001a;李玉貴,2002;

姜文如,2002;何三本,2003)歸納出繪本的幾項特性如下:

一、主題廣泛

繪本中的主題涵蓋了認知、人格、生活等各種不同層面,適合各 年齡層的讀者閱讀,也適合運用於各個不同領域的教學,它不僅能引 人會心一笑,在教學與人格涵養上更能收潛移默化之效。

二、編寫故事風格多元

繪本中以想像、譬喻、描繪、敘述、誇飾、諷刺、押韻等多元的 語言創作方式勾勒出故事中的角色、情節、氣氛等元素,學童可以從 中接受多元的刺激以獲得更多的啟發。

三、直接與讀者互動

繪本,畫中有話、話中有畫,每個學童可以直接和文本進行對話,

在「視覺」─「感受」─「認識」─「思考」─「瞭解」的歷程中,

對每個故事做不同的詮釋,賦予不同的意義。

(29)

四、易於閱讀與學習

繪本的故事內容簡短,通常可在 15-30 分鐘結束,不僅能掌握住 學童的注意力,師長亦能靈活進行延伸活動,因此適合運用於學校各 年級的教學活動。再者,繪本中簡明的文字、鮮明而具體的插圖,透 過視覺(visual)與口語(verbal)的聯結,能讓學童易於閱讀與學習,

進而提升閱讀的興趣。

五、展現視覺藝術

來自世界各地的藝術創作者運用各式各樣的技法、媒材,賦予繪 本多采多姿的生命。生動的圖畫、豐富的想像,讓學童更樂於閱讀,

進而從中獲益。由蘇振明教授所形容的:「圖畫書是永不關門的家庭 美術館」,更可看出繪本在美學上的價值。

六、帶來閱讀的愉悅

閱讀的愉悅除了來自故事情節本身,有更多的部分是來自閱讀繪 本過程中所經驗到的快樂,包含了繪本簡潔的文字內容、鮮明的視覺 效果、多元的呈現風格、讀者與文本的對話等等,這些都能夠引起讀 者們的認同,帶來閱讀上的快樂。

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從一九八六年「國際兒童圖書評議會」的專家們在探討「兒童讀 物的未來」主題裡,歸納出的其中一項重要結論─圖畫書是二十一世 紀的兒童寵物和必備的精神食糧(蘇振明,2001b,頁 28)─可以看 出繪本在二十一世紀裡所扮演的角色和地位已經不可同日而語,其內 容簡潔、印刷精美與創作風格、題材、型式多元的特性,讓不同年紀 的讀者們都能樂於閱讀並享受閱讀所帶來的喜悅。

參、繪本在教育上的價值

研究者彙整了 Lynch-Brown 和 Tomlinson(1993)、黃迺毓等人

(1994)、陳海泓(1997)、Murphy(1999)、幸曼玲(1999)、林敏 宜(2000)、徐素霞(2001)、姜文如(2002)、何三本(2003)、Damian 和Duguid(2004)、Duguid(2005)等人的論述,將繪本在教育上的 價值整理如下:

一、增進學童的認知學習

很多學童都是視覺學習者,而繪本的內容包羅萬象,涵蓋了天 文、史地、動植物、科學、人體、數學等等,學童能夠藉由繪本所提 供的觀察性、思考性與感受性等認知學習管道,獲得豐富的知識。

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二、豐富學童的生活經驗

繪本是由藝術家和作家透過不同觀點對世界所做的詮釋,除了可 以讓學童用不同的觀點來審視已知事物,同時還可以間接地瞭解與體 會生活中無法直接接觸的生活經驗。

三、促進學童的語文與口語表達能力

好的繪本有助於群性閱讀,也就是說在閱讀繪本的過程中,能使 讀者─繪本─讀者間產生多面向的對話。這也是文學理論家所謂的

「互文性」(intertextuality)。而在多元對話的過程中,師長除了可以 引領並幫助學童發掘、統整書中的資訊,無形中更可以提升學童語文 與口語表達的能力。

四、讓學童學習閱讀、喜歡閱讀與有效閱讀

好的繪本具有兒童性,以學童熟悉的生活經驗為題材,文字編排 和情節設計亦符合學童的發展與興趣,並藉由視覺(visual)與口語

(verbal)的聯結,讓學童易於閱讀與學習,以培養閱讀的興趣與自 信。

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五、提升學童的藝術鑑賞能力

繪本的圖像,結合了純粹藝術的美感特質與美術設計的傳達原 理,它可以說是學童接觸美術作品最直接、最簡易的途徑,同時帶給 學童豐富而美好的視覺經驗。

六、開展學童的想像力

繪本本身具有文字簡明、插圖細膩的特性,輔以繪本中人物角 色、情節、場景、主題等元素的趣味性與表現性,可以激發學童的好 奇心與想像力,在現實與想像之間盡情探索。學童的想像力一旦開 展,將可以解放心靈、活化思考,任意翱翔於知識的殿堂。

綜觀以上所述,繪本在教育上的價值的確不容忽視,藉由閱讀繪 本的歷程,學童在認知學習、生活適應、語言發展、人格涵養、美感 提升與想像力的開展等諸多方面皆能有所成長。其中,研究者將針對 繪本與數學學習的部分作進一步的探討。

肆、繪本與數學

研究者發現不論是國內創作或國外翻譯作品,數學繪本在國內市 場上有漸漸普及的趨勢,但是實際購買來作為學童課外讀物的師長實

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屬少數,大多數人對數學繪本仍感陌生。基於此,研究者整理了一些 國內外相關文獻資料,針對數學繪本的類型、功能與其在數學教育上 的價值作介紹。

首先,在「數學繪本的類型」方面,林敏宜(2000)對繪本所做 的分類中,其中和數學相關的有:(一)數數書(counting books);數 數書可以加強數字與數量的連結。選擇數數書時必須注意數數的物件 是否清楚、數量是否正確與方式為何。(二)概念書(concept books);

概念書是描繪一件或一類物品或是一種抽象觀念的繪本,其範疇除了 數數書之外,尚包含了大小、重量、形狀、空間、感覺、時間等認知 概念。選擇概念書要注意的是所呈現的概念與代表概念的物品或實例 必須清楚明確且符合學童的認知理解能力。(三)知識書(information books);知識書是提供事實和知識的書,內容涵蓋數學、天文、史地、

食衣住行等等。在本研究中自編之數學繪本,依照其不同單元屬性,

分別屬於數數書和概念書兩類型。

在「數學繪本的功能」方面,Whitin 和 Whitin(2000)認為繪本 具有以下三種功能:(一)作為探索數學模式(mathematical patterns)

的媒介。(二)理解大數(large numbers)。(三)領會數學字彙的意 義。在本研究中,研究者即以上述三功能,作為擬定本研究數學繪本

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編製架構中「數學性」原則下之評估標準細目的依據。此外,Whitin 和Whitin(2000)並提出「傳達(communication)」、「連結(connections)」

和「解題(problem-solving)」等三項數學繪本教學概念;在傳達方面,

包含了教師選擇寫的好的、數學觀念正確的書來大聲朗讀,激發孩子 探索式的討論,並將數學內容與孩子的經驗做連結,鼓勵合作性的數 學研究;在連結方面,則必須考慮到繪本是否可以激發學童將數學內 容與他們的知識、興趣和經驗做連結?它是否用可靠真實的文章脈絡 來描繪數學?它是否能夠讓孩子在數學概念間做連結;在解題方面,

則是要選擇多層次的書(multilayered books),亦即教師要能透過繪 本的形式、劇情或插圖,引起多種的佈題(problem-posing)和解題

(problem-solving)回應。以上所提之數學繪本教學概念則是本研究 中的繪本教學活動設計之主要理論依據。

在「數學繪本在數學教育上的價值」方面,研究者整理出以下四 點:

(一)讓數學學習更有趣、更有意義、更有成效

數學有許多抽象的概念,這些複雜的概念可以透過繪本中的文 字、圖片等視覺符號加以濃縮整理,以更簡單、自然、具體而明確的 方式呈現出來,讓學童更易學習與理解(林義雄、陳澤民譯,1991;

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繪本和數學做連結,不僅可以讓數學學習更有趣、更有意義且更有成 效(Meghan, n.d.; Murphy, 1999; Whitin & Whitin, 2000; Duguid, 2005;

Whitin & Whitin, 2005)。

(二)激發學童學習與探索數學的意願

好的故事可用來強調數學概念,或當作數學教學的引起動機

(Murphy, 1999);有別於教科書的說教型式,繪本中生動趣味的文字 與圖像可以打動學童的心,讓學童願意且期待參與書中的數學冒險,

進而激發學童學習與探索數學的意願(Meghan, n.d.;幸曼玲,1999;

Lowe & Matthew, 2000)。

(三)搭起數學與生活的橋樑

生活中處處有數學(黃敏晃,2003),然而在教科書中卻往往讓 學 童 感 受 不 到 生 活 與 數 學 的 相 關 (Marmasse, Bletsas & Marti, n.d.)。Murphy(1999)認為應該提供一個媒介讓學童將所學和生活 做連結;其中,有許多學者肯定了繪本在這方面的價值,認為繪本可 以將數學巧妙地融入生活中的真實情境,讓學童感受到數學就是生活 的一部份(Meghan, n.d.; Lowe & Matthew, 2000;陳佩正,2005)。

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(四)增進數學認知能力

兒童文學研究者桃樂絲‧史提克蘭德(Dorothy Strickland)認為 學童與繪本互動的過程中,無形中可以增進學童觀察、分辨、分類、

預測、組織、應用、表達、及評斷等認知能力,你不需刻意去營造,

孩子就會因著與童書的互動而增進認知的能力(引自黃迺毓等人,

1994)。

綜上所述,我們可以發現數學繪本不僅在認知概念的主題上有很 大的選擇空間,在運用上有很大的彈性,在教育上更是具有它獨特的 價值;例如低年級學童年紀小又好動,對枯燥乏味的數學知識往往不 感興趣(王雯),但是若能藉由教材、課程與學習活動的設計,激起 學童學習數學的興趣,那麼將使數學教室變得更有趣,學童也願意從 被動的聽講轉變為主動的解題,讓學童的數學學習活動變得積極、主 動,且更具成效(王耘、葉忠根、林崇德,1995;林文生、鄔瑞香,

1999)─而數學繪本便能達到這個目的。

伍、數學繪本的選擇與設計原則

在前面幾個段落中,已經陸續提到了繪本的特性及其價值,讓我 們更確信繪本運用於學校教學的可行性,但是必須留意的是,並非坊

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過(引自張月紅、孫璐、唐子煜,2002):「繪本是孩子在人生道路上 最初見到的書,是人在漫長的讀書生涯中所讀到的書中最最重要的 書。一個孩子從繪本中體會到多少快樂,將決定他一生是否喜歡讀 書。」這簡短的一段話,不僅道出了繪本的重要性,更道出了為孩子 選擇適當繪本的必要。研究者自編數學繪本在本研究中是其中一項重 要的工作,因此在這個部分,研究者參考國內外文獻資料,歸納出一 些選擇與設計數學繪本的原則,以作為研究者自編數學繪本之依據。

首 先 , 美 國 全 國 科 學 教 師 協 會 (National Science Teachers Association)為國小教師如何選擇優良的科學繪本發展出一套指導方 針,研究者認為亦可作為選擇與設計數學繪本之參考。準則包含了(引 自Damian & Duguid, 2004):

1. 具有真實、充實而重要的科學內容。

2. 訊息必須清楚、正確且合乎時宜。

3. 原理和事實必須清楚地區別。

4. 事實不會過度簡單而讓訊息使人誤解。

5. 事實證實綜合性的歸納,而且重要事實是不能被省略的。

6. 書本在性別、種族和社會經濟的傾向是自由的。

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接著研究者對選擇數學繪本的一些想法,歸納出幾個方向,說明 如下:

一、從生活中取材

針對學童生活心智發展而設計的兒童圖畫書往往能激發教師新 的教學創意,設計適宜的教學活動(姜文如,2002),且繪本中熟悉 的內容可以助長學童新策略的學習。又內容與學童的生活經驗背景相 關,可以激發孩子討論、探索與學習的興趣。

二、以學童先備經驗與認知發展為基礎設計出好的情節內容

Norton 認為「好的情節發展要讓孩子涉入其中,感覺到衝突的發 展,了解高潮的產生,並且對圓滿的結局有所回應」(引自林敏宜,

2000)。其次,精采的問題可以引發學生解題的動力,因此數學繪本 應當以掌握學生認知發展、銜接學生舊經驗及選定適當的內容及範圍 為原則,設計出合理而有趣的故事情節(林文生、鄔瑞香,1999)。

所謂好的故事情節包含了整體的結構感、動態感、連續性、表達性、

懸疑性、親切性、安全性、幻想性及遊戲性等特質,一但這些要素都 達到了,那麼孩子將會對故事深深著迷(何三本,2003)。

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三、圖文設計與編排必須讓學童易於接受與瞭解

規律或可預測的文字架構、清晰易懂的文字敘述和插圖,這些可 以讓學童更容易瞭解繪本中所欲傳達的概念,同時也能讓學童和繪本 有更好的互動(Whitin & Whitin, 2005)。另外,要注意到繪本中的「字」

不僅表達了語言的意義,它同時考量到語音。因為繪本常常是大人唸 給小孩聽,或者小孩自己會大聲唸出來,所以也必須是能夠朗讀的文 字;且因為在一個畫面裡文圖必須能夠融合在一起,所以還有 「形」

的問題,如字體、版面編排也是繪本作家必須考慮的因素(引自朱源 泉、柯倩華、曹俊彥,2003)。

四、數學概念正確、訊息清楚,且呈現方式有助於學童的理解 數學繪本中的數學概念正確、訊息清楚,不會因為不當的鋪陳或 編排而造成學童觀念上的混淆或學習上的誤解,對數學繪本而言是很 重要的考量要素(Damian & Duguid, 2004)。

五、不傳遞價值判斷

孩子在幼年時期,由於經歷不多,所以對很多事物的第一印象和 認識會從童書中得來(何三本,2003),因此,繪本中要避免出現造 成學童刻板印象或觀念上歧視的文字或圖像。

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六、從創作者的角度出發來思考繪本的表現重點

徐素霞(2001,頁 49)以創作的角度,就圖畫書圖像的表現重 點,歸納為十個部分:1.媒材、技法與形式表現、2.造型與角色塑造、

3.肢體動態與表情語言、4.色彩規劃與傳達表現、5.空間營造與情境 氣氛表現、6.圖像敘述結構與時間節奏、7.畫面中事物的傳達解說呈 現、8.風格表現與創作者意念、9.圖像與文字互動關係的傳達表現、

10.含封面與扉頁的整體表現。

除了上述幾點,還有一些普遍的共通原則是我們在選購或設計繪 本時可以留意的:書名、作者、內容摘要、主題、字體大小、印刷與 裝訂品質、適讀年齡、出版社、著作版權等(林敏宜,2000;何三本,

2003)。

在本節中,研究者對繪本的特性、價值、數學繪本的介紹與選擇 原則做了一系列詳盡的介紹,相信在瞭解了這麼多之後,不論是父母 或是教師,都能在坊間大量的兒童讀物中找出更適合孩子的優良繪本 且作最有效的運用。

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第三節 國小二年級數學課程及教材分析

本節中,首先分析康軒版國小二年級上學期的數學課程教材,並 說明本研究選擇「幾的幾倍」與「分類整理」兩單元作為研究重點的 原因,接著介紹國小低年級學童的數概念運思發展、乘法與統計教材 相關研究,最後再就「幾的幾倍」與「分類整理」這兩個教學單元進 行教材分析。

壹、國小二年級上學期康軒版數學科教材分析

表2-3-1 康軒版第三冊單元教學目標

單元 單 元 名 稱 單 元 目 標

1 200 以內的數

建立100~200 的數詞序列。

200 以內數的說、讀、聽、寫、做。

認識及使用50 元、100 元。

200 以內數的化聚。

在生活情境中經驗概數的意義。

比較200 以內兩數的大小。

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2 二位數的加減(一)

解決100 以內數的合成、分解問題。

經驗以算式填充題記錄問題。

解決來自生活情境中的加、減法算式 填充題。

察覺加法交換律。

3 比比看

容量的認識及直接比較。

重量的認識及直接比較。

4 二位數的加減(二)

能以算式填充題記錄加減法問題。

以算式記錄二位數加減的解題過程和 結果。

解決加(減)數未知的問題。

5 長度

認識公分和公尺。

會利用刻度尺測量物件的長度。

經驗長度的可加性。

透過實測,漸次培養長度的量感,並 能進行估測。

6 鐘和錶

能報讀整點及半點。

能報讀幾點幾分。

透過感官,感覺物體運動的快慢。

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7 幾的幾倍

經驗「相同單位量」的現象。

解決生活中「倍」的問題。

認識及使用「倍」的語言。

8 分類整理

生活中資料的分類與整理。

記錄資料分類的結果。

報讀簡易圖表。

(註:灰色部分代表實施繪本教學的單元)

研究者分析了康軒版國小數學第三冊所有單元並與指導教授及 多位小學教師討論後,選擇了「幾的幾倍」與「分類整理」兩單元作 為本研究的重點。選擇此二單元的原因有四:(1)「幾的幾倍」是學 童從加法進入乘法的過渡時期,亦是概念轉換的重要時期,學童們容 易在單位數和單位量這兩個數值上產生混淆;而且正整數乘法雖然被 視為是最簡單的乘法運算,但是有不少學童在乘法教學以後仍然無法 理解與應用乘法(許美華,2001)。(2)「分類整理」是資料處理過程 中很重要的一環,嘗試著把東西分門別類不只是一種作學問的方法,

更是一項基本的生活需要(黃迺毓等人,1994)。(3)研究者發現國 內對於國小低年級學童「幾的幾倍」與「分類整理」概念的研究相當 少,針對低年級學童的相關研究多為數概念或加、減法概念,至於乘 法的研究對象則多為中、高年級學童。而這也是研究者未選擇「200

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以內的數」和「二位數的加減」這兩個單元進行研究的原因。(4)「比 比看」、「長度」和「鐘和錶」等三個單元,屬於量的單元,可以藉由 具體物的操作獲得更大的學習成效,故不使用繪本教學。

貳、低年級學童數概念的運思發展

在國小階段,數概念是數學學習的主要重點,而學童數概念的發 展更是與學童的數學解題策略息息相關。民國 82 年國小數學課程標 準設立的「國小數學課程實驗研究小組」認為學童數概念發展的運思 方式,可分為四個階段:序列性合成運思(sequential integration operation)、累進性合成運思(progressive integration operation)、部分

─ 全 體 運 思 (part-whole operation )、 測 量 運 思 ( measurement operation)。在低年級階段乃以序列性合成運思、累進性合成運思和 部分─全體運思作為數與計算教材設計的基礎(蔣治邦、謝堅、陳竹 村、吳淑娟、林昭珍,2000)。以下即以此三階段的運思方式概略說 明學童對於解決數學問題「7+5=?」與「12-5=?」時,所可能 產生的不同理解。

序列性合成運思期的學童會依數詞將指示的量依序全盤表現出 以進行量的分解與合成,並將分解或是合成的結果重新合成加以數值 化。在這種運思時期,每一個數詞所代表的數都是獨立的(甯自強,

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1992)。例如,解決「7+5=?」時,學童必須先各自做出 7 和 5 的 表徵量(例如分別畫出7 個圈和 5 個圈),然後再將兩個表徵量合併,

由1 重新數過,得到答案 12。解決「12-5=?」時,學童則先做出 12 的表徵量,然後在 12 的表徵量中利用由 1 數起的方式做出 5 的表 徵量,然後將之取走(例如先畫出 12 個圈,接著畫掉 5 個圈),最後 由1 開始計數剩下的表徵量,得到答案 7。

累進性合成運思期的學童會將一數詞將指示的量當成基礎出發 點,而不需加以全盤表現出,亦即以一個集聚單位為基礎,以進行量 的分解與合成,並且一邊進行分解或是合成的活動,一邊將累進的結 果予以數值化。在這種運思時期,較小的數是內嵌於較大的數內的,

而內嵌的關係則源自於合成運思的心智活動(甯自強,1992)。例如,

解決「7+5=?」時,數數活動開始出現往上數的策略,學童直接以 7 為基礎,依數詞序列累進性地再數 5 個數詞,而得到答案 12。相反 的,解決「12-5=?」時,學童則使用向下數的策略,學童直接以 12 為基礎,依數詞序列倒數 5 個數詞,而得到答案 7。

部分─全體運思期的學童已經可以區辨 1 單位與拾單位的計數 意義,因此可以對以「拾」、「1」為被計數單位的計數結果,分別進 行合成或分解活動,而不混淆計數的意義,再配合「拾」、「1」兩單 位間的化聚活動,進行成人所習慣的「加減算則」(蔣治邦等人,

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2000)。例如解決「7+5=?」時,若學童可直接進行合成 7+5=12,

代表學童能理解 12 是 7 和 5 兩個集聚單位所合成的全體,且能夠不 經運算即得知 12-5=( )的答案為 7。解決「12-5=?」時,若 學童能直接分解12-5=7,代表學童能理解 5 和 7 皆是 12 的部分,

且能不須運算即知 7+5=12。由此可見,此時期的兒童已經可以將 加減互逆視為必然。

參、低年級學童的分類概念運思發展

當兒童能達成真正的分類時,他必須能分辨與協調一項「種類」

(class)的兩種重要性:集中性(intension)與外延(extension);「集 中性」是界定該種類品質的規準,例如所選擇的分類屬性,「外延」

是迎合該規準的所有物體的總數。在任何充分平衡的分類系統中,集 中性與外延必須完全協調。在皮亞傑認知發展階段中,運思前期的兒 童(二~七歲)雖然已經瞭解物體的許多屬性,但是在做分類時,經 常把不符合該種類規準的物體包括在內,且經常把分類的規準改變,

故無法達成集中與外延的協調;具體運思階段的兒童(七~十二歲)

則已具備基本的邏輯思考能力,其對「種類」的概念穩定而恆存,故 其分類系統能達到充分的平衡。國小低年級學童的發展階段正屬於運 思前期與具體運思期的過渡階段,因此低年級學童在分類能力上仍有

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不穩定與個別差異的狀況存在(王文科,1996)。

再者,王耘、葉忠根、林崇德(1995)認為國小低年級的學童,

其思考活動還帶有許多學前兒童的特點,對對象和情境的判斷往往非 常片面,只能抓住某些外部特徵,依靠直覺進行推論,經由把判斷與 感知到的知識進行直接對比而得到結論。在這個階段,兒童的概括還 存有明顯的側重感知事物和現象表面的特徵。更深入來說,本研究之 對象,也就是國小二年級學童的概括水準約屬於直觀形象水準和形象 抽象水準的過渡期,在直觀形象水準階段,學童的概括水準和幼兒差 不多,他們所能概括的特徵或屬性,常常是事物之直觀的、形象的、

外部的特徵或屬性;在形象抽象水準階段,學生的概括中,直觀的、

外部的特徵或屬性的成分逐漸減少,形象的、本質的特徵或屬性的成 分逐漸增多。

肆、乘法教材的相關研究 一、乘法問題的本質

甯自強(1995)提到新課程中,數與計算的教材設計上,把整數 的乘法問題看成是「單位量的轉換問題」,也是「倍的問題」。所謂單 位量的轉換,以問題「一個碗裡有 3 顆草莓,四個碗裡總共有幾顆草 莓?」為例,問題中的草莓總量本來是以「1 碗」為單位(而不是以

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1 顆為單位),總共有4 個單位(每個單位有 3 顆草莓),現在要以「1 顆」草莓為單位,重新描述總量,也就是說要學童回答4 個 3 是多少 個1,學童必須將原來以「碗」為單位的量轉換為以「顆」為單位的 量,這就是單位量的轉換活動。在學童熟悉了單位量的轉換之後,接 著讓學童運用「幾個幾」來描述單位量轉換問題的意義,以上述問題 為例,要讓學童運用「4 個 3」描述出此問題的意義。在累進性合成 運思時期中,學童可以重復地製作一集聚單位(例如在每一個碗裡重 複放入三顆草莓),從而可對重複製作的集聚單位進行點數活動,因 此,可以理解4 個 3 的語意,並且利用累進性合成運思的策略,求出 12 的結果。接著,將此「4 個 3」的活動連結到「倍」的語言,讓學 童練習以「3 的 4 倍」來表示。最後再從「3 的 4 倍」連結到乘法算 式記錄「3×4=12」,來呈現單位量轉換問題的問題與結果。

然而,乘法問題不同於加法問題,例如在「3×4=12」這個式子 中,其中的數值代表著不同的事物,這兩種元素在傳統上稱為被乘數

(multiplicand)或單位量(一倍有多少)和乘數(multiplier)或單位 數(有幾倍)。這兩個結構中第三個數字為全體或積(product),是所 有這些部分的總和。在乘法中第 1 個和第 2 個數是指不同的事物(3

×4 是 4 個 3;4×3 是 3 個 4),前後兩者的意義是不相同的。但是可以 用陣列的方式去說明它的特性及證明為何不同的乘法會得到相同的

(49)

結果。

二、乘法結構類型

大多數的學者認為乘法結構有四種不同的類型,其中「等值群組

(連加、比例)」及「倍數比較」是國小較為常見的。乘法的傳統算 則可能是加、減、乘、除四個算則中最困難的,但是乘法算則可以在 有意義的情況下,用重複加法來發展(波多野勤子,1991),亦即讓 學童藉由加法來理解乘法的意義。為了更瞭解與加法概念的連結,初 期的乘法活動應該包括寫下相同的模型的加法算式,要注意這些例子 只寫下加法和乘法「式子」,而不包括乘積,例如 9+9+9+9=9×4。

以下分別舉出等值群組與倍數比較的乘法問題範例:

(一)等值群組(連加、比例)的總數未知乘法問題 1.重複累加問題(repeated-addition)

如果3 個學童每人有 4 顆蘋果,那共有多少顆蘋果?

2.比例問題

如果每個學童有4 個蘋果,3 個學童有多少顆蘋果?

(二)倍數比較問題的積數未知乘法問題

(一個量是另一個量的特定倍數)

1. 小威拿 6 顆蘋果,小婷拿的蘋果數是小威的 4 倍,小婷拿了

(50)

幾顆蘋果?

伍、統計教材的相關研究 一、統計概說

統計的目的乃是在於有系統地整理資料進行分析來了解現象,因 此,一個完整的統計活動應從提出疑問、針對問題蒐集資料、將蒐集 到的資料分類整理、以統計數字或圖表來表現資料、到進行分析以回 答問題。但是統計到底有何重要性呢?在 NCTM(2000)中「資料分 析和機率」的第一項標準「提出問題,並蒐集、組織和呈現資料以回 答問題」認為資料的蒐集應該是為了某種目的、回答某個問題,就像 在真實世界中一樣,而這項標準是過去所沒有的。也因此在資料分析 的課程中,應該添加一些與生活有關的議題,讓學生所蒐集的資料更 有意義。在國內九年一貫課程標準(教育部,2003,頁 57)中的「統 計與機率」主題中亦提到在科技發達的新世紀,人們須經常面對多元 的資訊。因此,如何擷取有意義的資訊,並加以解讀和分析,進而轉 變成有用的資產,更是追求知識經濟的大時代裡應具備的重要能力。

另外,國內國民中小學課程綱要中有關統計與機率的部分提到「就自 己有興趣的事件自訂主題,蒐集有意義的資料,並利用可表現整體資 料的圖表,從圖表中抽取與主題有關的資訊」,這更明白揭示了具體

(51)

的、生活化的統計活動之重要性。

二、分類與圖像表徵

所謂「分類」,是指作有關如何將東西分類的決定,這個基本的 活動對資料分析來說是十分重要的。「屬性」是指素材能被整理分類 的方式,例如學童們的屬性有頭髮的顏色、身高、性別。一個有結 構的屬性集合,每一件都能確切適用於每個屬性值的所有可能組 合。使用有結構屬性素材的好處在於這些屬性和素材可由學生清楚 的定義和易於描述。學生必須能回答「當資料蒐集後,你要用它們 來做什麼?」這樣的問題。要把資訊傳遞給誰?資料中哪些意念是 最重要的?要用什麼方式讓它們顯示出來?這些都是學生必須去思 考與回答的。

學童對於各種圖像資料缺乏經驗,也不瞭解圖表中所能提供給 我們的資訊,有時候可以建議他們使用一種新的方式去呈現資料,

讓學童學習去建構那種形式的圖表,進而做更多的思考與延伸。在 圖像表徵方面,記數圖和長條圖是蒐集和呈現資料的第一種方式,

特別是在幼稚園至國小三年級,在這早期階段,長條圖中的每條長 柱應由可數的部分組成,像是正方形、物品、可數物或圖片,圖表 必須沒有數字刻度,能很快的建構出來。一旦圖表建立之後,讓班

(52)

級討論圖表所要傳達的資訊。

陸、「幾的幾倍」與「分類整理」教學單元教材分析

一、「幾的幾倍」教學單元

表2-3-2 「幾的幾倍」教學單元能力指標

能力指標 指標內容

N-1-4

能透過累加活動連接倍的語言,理解乘法的意義並解決生 活中簡單(積≦100)的整數倍問題

C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。

C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。

C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法。

C-S-3

能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、

驗證、論證等。

C-T-1 能把情境中與問題相關的數量形析出。

C-T-2 能把情境中數量形之關係以數學語言表出。

C-C-1

瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內 涵。

(53)

C-C-3 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。

C-C-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法。

能力指標說明:

範例一:N-1-4

第1 碼表示主題:N 代表「數與量」

第2 碼表示階段:1 代表「第一階段」

第3 碼為能力指標的流水號 範例二:C-C-1

第1 碼表示連結

第2 碼表示察覺(R)、轉化(T)、解題(S)、溝通(C)、評析(E) 第3 碼為流水號

(54)

圖2-3-1 九年一貫數學領域分年能力指標─乘法部分 1-n-04 能從合成、

分解的活動中,理解 加減法的意義,使用

+、-、=作橫式紀 錄與直式紀錄,並解 決生活中的問題。

1-n-05 能熟練 基本加 減法。

1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、

10 個一 數等活 動。

一年級

2-n-04 能熟練 二位數 加減直 式計 算。

2-n-05 能作連 加、連 減與加 減混合 計算。

2-n-06 能理解 乘法的 意義,

使用

×、=作 橫式紀 錄,並 解決生 活中的 問題。

2-n-08 能理解 九九乘 二年級 法。

2-a-02 能 將具體情 境中單步 驟的加、減 問題列成 算式填充 題,並解釋 式子與原 問題情境 的關係。

3-n-03 能熟練三位 數乘以一位數的直 式計算,並解決二位 數乘以二位數的乘 法問題。

三年級

1-n-06 能作一 位數之 連加、連 減與加 減混合 計算。

(55)

Steffe, Kouba, Clark 與 Kamii 等學者針對學童倍數思考方面的廣 泛研究指出,當學童們是一個一個計數時,要思考物體的倍數是很慢 的。另外,研究亦指出倍數與心理意象是有相關的,Thornton 便曾協 助小一學生利用視覺概念來連結倍數觀念。因此,在教學上教師要提 供機會讓學童能利用畫圖或繪製海報來說明每一個數字的倍數概念 並經常性地利用口頭問答讓學童做倍數練習(引自張英傑、周菊美 譯,2005)。在本研究中,研究者即以心理意象的觀點,廣泛運用繪 本中的圖像進行多元佈題,讓學童藉由視覺圖像連結倍數觀念。

二、「分類整理」教學單元

表2-3-3 「分類整理」教學單元能力指標

能力指標 指標內容

D-1-1 能將資料做分類與整理,並說明其理由。

D-1-2 能報讀生活中常見的直接對應(一維)表格。

C-C-1

瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內 涵

C-C-3 能用一般語言與數學語言說明情境與問題 C-C-6 用一般語言及數學語言說明解題的過程

(56)

C-C-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法 C-E-4 能評析解法的優缺點

C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結

C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法 C-T-1 能把情境中與問題相關的數量形析出

C-T-3 能把情境中與數學相關的資料資訊化 C-S-2 能選擇使用合適的數學表徵

C-S-3

能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、

驗證、論證等

C-S-4

能運用解題的各種方法:分類、歸納、演繹、推理、推論、

類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、

監控等

C-S-5 瞭解一數學問題可有不同的解法,並能嘗試不同的解法 能力指標說明:

範例一:D-1-1

第1 碼表示主題:D 代表「統計與機率」

第2 碼表示階段:1 代表「第一階段」

第3 碼為能力指標的流水號 範例二:C-C-1

第1 碼表示連結

第2 碼表示察覺(R)、轉化(T)、解題(S)、溝通(C)、評析(E) 第3 碼為流水號

(57)

圖 2-3-2 九年一貫數學領域分年能力指標─統計與機率部分

研究指出在幼稚園到國小二年級階段,透過班級每位成員所提供 的資料來回答的問題最為容易處理,且二年級孩子的發展階段特質之 一就是能分類,喜歡收集(黃迺毓等人,1994)。因此在教學上,教 師應該多多善用學童生活中垂手可得的教材,讓學童增加利用不同方 法將東西分類的經驗,以對真實世界的資料產生感覺。

1-d-01 能對 生活中的事 件或活動做 初步的分類 與紀錄。

1-d-02 能將 紀錄以統計 表呈現並說 明。

一年級

3-d-01 能報 讀生活中常 見的直接對 應(一維)表 格。

3-d-02 能報 讀生活中常 見的交叉對 應(二維)表 格。

三年級

(58)

第三章 研究方法

本研究旨在設計適用於國小二年級之數學繪本,並探討數學繪本 教學對國小二年級學童數學學習之成效,瞭解數學繪本教學活動在實 際運作上的困難與解決方式,並針對研究結果提出建議作為日後相關 教育工作者或研究者的參考。為達成上述研究目的,研究者擬利用教 師觀察、錄影、數學能力評量、學童數學學習日記寫作等多元的方式 來蒐集研究所需之資料,並針對所蒐集之資料進行進一步的分析與討 論。本章共分為五節:第一節研究流程;第二節研究架構;第三節研 究對象;第四節數學繪本編製與數學繪本教學活動;第五節資料收集。

第一節 研究流程

研究者以國小二年級「幾的幾倍」和「分類整理」兩學習單元為 主軸,參考九年一貫課程數學領域中與其相關之能力指標及數學繪本 相關理論之內涵,自行編製國小二年級「幾的幾倍」與「分類整理」

兩學習單元適用之數學繪本,並將之運用於實際教學。

研究者廣泛蒐集文獻資料,並與指導教授多次討論訂定研究主 題,於94 年 9 月初步完成研究設計。9~10 月進行數學繪本的編製工

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