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建議

研究者依據本研究結果，並參酌國內目前高中的課程設計與教學實況，對複 數乘法之教學與未來研究提出建議。

一、對於複數乘法教學之建議

（一）三角函數是多數學生的困擾。在進行複數極式的教學之前，建議先讓學生 建立三角函數的概念與計算，以利學習複數的一般式與極式之間的轉換，

使學生在面對極式乘法問題時仍有轉換回一般式乘法來解題的方式。

（二）強化複數平面、極坐標平面的概念，以提供一般式與極式的代數表徵與幾 何表徵之轉移管道。同時建立極式的重要關鍵元素—絕對值與輻角的代數 與幾何意義連結，可減少三角函數運算，而從幾何表徵中獲得極式元素資 訊。

（三）極式乘法為一乘法的「動作」，建議進行其代數表徵計算之教學時，能配 合呈現幾何表徵之旋轉與伸縮動作作為比對，同時為建構幾何變換概念作 準備。

（四）由於幾何變換概念並未編入高中課程標準，教師需要自行設計教學課程。

而幾何變換是極式乘法法則的幾何意義與幾何動作，建議設計與使用多重 表徵環境，並利用動態連結多重表徵之特性，同時呈現代數乘法與幾何動 作之效果，以協助學生建立幾何變換概念，以及建立幾何表徵動作與代數 表徵運算之連結概念。

（五）教學者設計動態連結多重表徵之視窗學習環境，應注意評量其對於過程概 念知識之教學成效。設計上應輔以代數演算以強化建立過程概念，否則視 窗學習環境在需要進行代數演算的過程概念部分之教學成效，可能不如傳 統教學環境之教學成效。

（六）設計教學環境或學習環境，並不是製造計算機（計算器），輸入數值馬上

得到答案；而是為了教學、學習、輔助教學來使用，使用者藉由操作、觀 察學習環境所呈現的訊息，及比對使用者原有的數學概念，產生反思行 動，而建構新數學概念。所以學習環境配合教學的進行應該循序漸進，並 非一開始就呈現結果，而要考量依序出現的訊息，能否能達到教學的效果。

二、對於研究之建議

（一）可根據本研究的研究工具，增加診斷性問卷之受測樣本，擴大到多數學校，

以獲得多數高中生的研究資料與結果。

（二）建議爭取學習時效，在高中生剛學習複數極式乘法之後，立即進行研究與 測驗，以降低時間影響學習概念退化之因素。

（三）建議縮小研究範圍，例如僅研究極式乘法法則或幾何變換；表徵方面可以 只研究代數轉幾何等等範疇，以獲得更詳細的細部資訊與結論。

（四）建議設計工具，檢測經動態連結多重表徵教學環境後之樣本，其仍停留在 單一表徵型之確切原因。

（五）建議可以在學生尚未學習複數之極式時，進行本研究之教學實驗，以瞭解 在本環境下建構極式乘法與幾何變換之新概念之成效。

（六）在動態連結多重表徵環境下，進行以時間因素為變因之研究。例如在動態 效果出現時，過程的時間長與短，與學生建構特定數學知識的成效之關 係。以此作為改進設計之依據。

（七）可以研究設計動態連結多重表徵視窗學習環境，與設計計算機型環境（輸 入即得結果），比較兩者的教學成效差異。

（八）在高中課程中，極式的代數表徵中有三角函數的角色。本研究中顯示三角 函數表徵會形成部分學生的困難。而本研究受限於 GeoGebra 環境的元件 功能，只能以極坐標 ( r ;θ) 來表示極式。建議研究若分別以

re

i、極坐 標 ( r ;θ)（或高中課程中 [ r ;θ] 的表示法）、r(cos

isin

)三種不同 表徵來進行複數乘法教學，是否在建構概念的效果上有所差異。

參考文獻

一、中文部分

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二、英文部分

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附錄

附錄一、診斷性問卷題目

複數乘法概念結構與解題策略研究問卷

1.請計算下列各題：

(1) i 2 =

(2)

sin 30   i  cos 30 

= (3) ( 2 + 3 i )( 4 – i ) =

(4) 1 + i = 2(cos

isin

)，則θ=

(5)

 cos 15   i sin 15   cos 75   i sin 75  

=

2.請在複數平面上標出下列各複數的位置。

(1) z 1 = – 3 i –2

(2) z 2 =

cos 30   i sin 30 

(3) z 3 = 2(cos300 i sin300)

3.設 z = ( 1 + 2 i ) ( cos 45 + i sin 45 ) ，則 z 在複數平面是落在第幾象限？

30

60

120

150

4.如右圖，在複數平面上有兩點 A(z1)、B(z2)，

(1)請寫出 B 點所代表的複數（以 a+bi 表示）

(2)請寫出 A 點所代表的複數極式

5.設複數



 

 

 sin 3

cos 3

2  

i

z

，若

ki k  

i

z   2 cos  sin

，且k 為正數。求 k 的最小值

6.設 z = cos30 + i sin30，將 z 乘上下列各數以後的結果，畫在右圖的複數平面 上。

(A) –2

(B) –3(cos330 + i sin330)

(C) i

7.如右圖，在複數平面上，有一正方形 OABC。A 點代表複 數 3 + 2i。則 C 點代表複數為何？你(妳)的想法是？

G

9.在右圖的複數平面中，O、A、B、C、D 五點分別代表複數 0、1、i、z1、z2。已知

30

60

120

150

30

60

120

150

12.如右圖的複數平面上，A、B 分別代表 z、w 兩個複數。已知

IOA  30 

、

IOB 75

，試畫出 z

w 的可能位置，並說明理 由。

13.將複數

z = )

11

sin 4 (cos 4  

i

畫在右圖的複數平面上。

14.如右圖，在複數平面上有兩點 A(z1)、B(z2)，計算

2 1

z

z

的絕對值。

附錄二、第一階段研究診斷性問卷之內部一致性信度分析結 果（SPSS 13 版）

一、考量測驗題目所使用的複數乘法概念層級：（Cronbach’s Alpha = 0.844）

此種編碼即為第參章研究方法所述之編碼方式，因 Alpha 係數需為數值型， Alpha 值α=0.844，顯示此測驗具有內部一致性中等以上之信度。

Reliability

Warnings

The space saver method is used. That is, the covariance matrix is not calculated or used in the analysis.

Scale has zero variance items.

Case Processing Summary

N %

Cases Valid 25 100.0

Excluded(a) 0 .0

Total 25 100.0

a Listwise deletion based on all variables in the procedure.

Item Statistics

Mean Std. Deviation N

Reliability Statistics Cronbach's

Alpha N of Items

.844 25

E2P3 1.060 .5268 25

Item-Total Statistics

Scale Mean if Item Deleted

Scale Variance if Item Deleted

Corrected Item-Total Correlation

Cronbach's Alpha if Item

Deleted

E1P1 59.140 413.344 .000 .845

E1P2 59.220 410.585 .282 .844

E1P3 59.140 413.344 .000 .845

E1P4 59.100 412.813 .060 .845

E1P5 56.800 389.250 .293 .842

E2P1 59.140 413.344 .000 .845

E2P2 58.740 416.544 -.154 .848

E2P3 59.080 404.452 .407 .842

E3 57.260 406.544 .185 .844

E4P1 59.140 413.344 .000 .845

E4P2 59.220 411.043 .234 .844

E5 57.920 356.743 .789 .823

E6P1 57.820 374.956 .636 .831

E6P2 57.960 361.811 .689 .827

E6P3 57.880 361.485 .782 .825

E7 53.720 397.127 .132 .850

E8P1 55.380 361.089 .325 .849

E8P2 57.360 350.365 .609 .828

E9 56.680 358.518 .591 .829

E10P1 57.980 357.635 .538 .832

E10P2 58.080 360.035 .475 .835

E11 56.340 328.869 .660 .825

E12 56.820 361.706 .514 .833

E13 56.340 363.369 .544 .832

E14 57.100 387.104 .371 .839

Scale Statistics

Mean Variance Std. Deviation N of Items

60.140 413.344 20.3309 25

二、考量樣本回答時，是否使用該題雙向細目表中，使用概念之可能層級：

（Cronbach’s Alpha = 0.861）

此種編碼考量同一題中可能使用不同的層級解題概念，但並不強調是何種層 級。比對雙向細目表中，該題可能採取的解題層級，採用最高層級概念解題編碼 為 4，次高層級概念解題（如果有的話）編碼為 3，第三高層級概念解題（如果 有的話）編碼為 2，不明作法或僅有答案則編碼為 1，未做答編碼為 0。例如診 斷性問卷中第 14 題，可以使用一般式運算程序、極式乘法法則、與幾何變換三 個層次概念來解題，故樣本若以幾何變換概念解題則編碼為 4，以極式乘法法則 概念解題則編碼為 3，以一般式運算程序概念解題則編碼為 2。例如問卷中第 1(5) 題，可以使用一般式運算程序、極式乘法法則兩個層次概念來解題，故樣本若以 極式乘法法則概念解題則編碼為 4，以一般式運算程序概念解題則編碼為 1。此 種編碼方式僅就各題動用概念之高低層次，而不強調各題之間的差異性。

將此資料進行 SPSS 之內部一致性分析，樣本數 25，題數 25，所得 Cronbach’s Alpha 值α=0.861，顯示此測驗具有內部一致性高等信度。

Reliability

Warnings

The space saver method is used. That is, the covariance matrix is not calculated or used in the analysis.

Scale has zero variance items.

Case Processing Summary

N %

Cases Valid 25 100.0

Excluded(a) 0 .0

Total 25 100.0

a Listwise deletion based on all variables in the procedure.

Item Statistics

Mean Std. Deviation N

Reliability Statistics Cronbach's

Alpha N of Items

.861 25

Item-Total Statistics

Scale Mean if Item Deleted

Scale Variance if Item Deleted

Corrected Item-Total Correlation

Cronbach's Alpha if Item

Deleted

E1P1 64.960 200.040 .000 .862

E1P2 65.360 188.740 .327 .859

E1P3 64.960 200.040 .000 .862

E1P4 65.920 199.493 .090 .862

E1P5 66.000 186.833 .322 .859

E2P1 64.960 200.040 .000 .862

E2P2 65.680 199.560 -.010 .866

E2P3 66.320 185.727 .431 .855

E3 66.080 197.577 .125 .862

E4P1 64.960 200.040 .000 .862

E4P2 65.360 192.907 .189 .863

E5 66.800 167.583 .800 .841

E6P1 66.600 180.750 .561 .851

E6P2 66.880 170.027 .682 .845

E6P3 67.360 180.323 .770 .847

E7 65.400 198.500 .015 .867

E8P1 66.240 176.773 .388 .860

E8P2 67.160 178.390 .636 .849

E9 66.840 175.890 .651 .848

E10P1 67.440 179.173 .538 .852

E10P2 67.720 178.293 .578 .850

E11 66.840 168.057 .701 .844

E12 66.280 170.460 .528 .853

E13 65.920 170.827 .574 .850

E14 67.000 189.583 .372 .857

Scale Statistics

Mean Variance Std. Deviation N of Items

68.960 200.040 14.1435 25

附錄三、第一階段研究診斷性訪談開始問題

1.妳知道什麼叫做複數？

2.那複數的絕對值是？

3.換個說法，複數 a + b i 的絕對值是？

4.那複數 a + b i 的輻角是？

5.你知道什麼是複數平面？

6.什麼是複數的極式？

7.極式2(cos30 i sin30)的絕對值？輻角？

8.會不會將極式轉換為一般式？困難點？

9.你覺得複數的乘法是什麼？

10.舉個例子，( a + b i ) 乘上 ( c + d i ) 等於？

11.會不會做極式乘法？困難點？

12.如果是

r

1

(cos   i sin  )  r

2

(cos   i sin  )

，會等於什麼？

13.解題都是轉成一般式 a + b i 來解，是只會( a + b i)( c + d i)？或是喜好？

14.你覺得一個複數乘上另一個複數，在複數平面上的點會如何變動？如果從極 式的乘法來想的話？

15.各題的寫法提問。

附錄四、複數乘法之動態連結多重表徵學習網頁網址

一、一般式轉極式

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/DGE/reheart/complex/1.html

二、極式轉一般式

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/DGE/reheart/complex/2.html

三、複數乘積

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/DGE/reheart/complex/3.html

四、極式乘法

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/DGE/reheart/complex/4.html

五、極式除法

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/DGE/reheart/complex/5.html

六、棣美弗定理

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/DGE/reheart/complex/6.html

註：若未來因某些因素導致無法進入此六個學習網頁，可利用網路搜尋網頁，輸 入「許技江」、「複數乘法」兩組關鍵字，來找尋新的網頁位址。

附錄五、第二階段研究前測試題

第一份試卷

動態連結多重表徵視窗環境下 複數乘法學習之研究

教學實驗前測題目卷 第一部份

測驗研究人：許技江

測驗時間：民國 98 年 月 日

使用時間：50 分鐘

受測者： 班 號姓名

說明：感謝您接受本次測驗。受測時間長度為 50 分鐘。第一部份測驗卷共有八 大題。編號為 1~8。請盡量寫出您的想法。我們會依照您的想法來評量給分。

1.請計算下列各題：

(1)

sin 30   i  cos 30 

=

(2) ( 2 + 3 i )( 4 – i ) =

(3) 1 + i = 2(cos

isin

)，則θ=

(4)

 cos 15   i sin 15   cos 75   i sin 75  

=

2.請在右圖的複數平面上標出下列各複數的位置。

(1) z 1 = – 3 i –2

(2) z 2 =

cos 30   i sin 30 

(3) z 3 = 2(cos300 i sin300)

3.設 z = ( 1 + 2 i ) ( cos 45 + i sin 45 ) ，則 z 在複數平面是落在第幾象限？

4.如右圖，在複數平面上有兩點 A(z1)、B(z2)，

(1)請寫出 B 點所代表的複數（以 a+bi 表示）

(2)請寫出 A 點所代表的複數極式

5.如右圖，在複數平面上，有一正方形 OABC。A 點代表 複數 3 + 2i。則 C 點代表複數為何？你(妳)的想法是？

6.右圖的複數平面上有一點 z，將 z 對原點順時針方向旋轉 90 度，所得之點為 w，

6.右圖的複數平面上有一點 z，將 z 對原點順時針方向旋轉 90 度，所得之點為 w，

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