Lesh(1987)提出表徵為溝通的媒介，數學表徵的五個型態為「實物情境」、「書 寫符號」、「口說語言」、「圖像模型」、「教具模型」。Lesh 並強調表徵之間的關係，
包含轉換及轉移。在複數的世界裡，我們使用「i」這個符號，來表示
1
這個 數學概念。這個i 就是一種代數表徵，而且為所有數學社群所接受、所公認的表 徵形式。我們要學習複數的概念，跟別人溝通 1
這個數學概念，就必須用到i 這個表徵方式。同樣地，我們要進行乘法的運算，要表示「乘」的這個動作，就 需要用到「×」或「‧」這個符號，這也是表徵的形式。當然我們會發現，「i」與「‧」（或「×」）是不同類型的表徵形式。「i」是一種代數表徵，象徵的是一 次的建構情形，可以從他對此三個層次的表徵使用情形來分析。Kaput(1989) 提 出合適的教學應藉由使用表徵形式及結構來建立與表達數學意義。數學意義的建 立，主要有兩大部分：
一、不同表徵之間的轉移（translation）：包含兩種不同的數學表徵系統之間的轉 移，及數學表徵系統與非數學表徵系統之間的轉移。
二、表徵之內的轉換（transformation）：（一）藉由圖案與語法（程序性）結構的 學習，透過特定表徵內部記號的轉移及操作。（二）藉由心智元件的建立，
件，抽象化到心中認知的概念，進而形成個體的「基模」(Skema)。個體不斷地 接觸新事物，使用舊基模統整新知識，發展不同的表徵形式進行抽象化及內化，
進而學習到龐大而複雜的數學知識。
由 Lesh、Kaput 與 Goldin 等人的表徵理論來分析複數乘法知識，可知其具 有代數表徵形式及幾何表徵形式等多重表徵。學生學習複數乘法時，需透過表徵
Janvier(1987a, 1987b)提出的冰山理論：一個具有多重表徵的數學概念就如同 一座冰山，每個冰山的一個角就是一種表徵形式。學生學習複數乘法，必須在心
複數乘法可分為代數表徵（以下代號為 A）與幾何表徵（以下代號為 G）兩大類。
而代數表徵包含了一般式乘法（(abi)(cdi)、代號 Ag）及極式乘法
（
r
1(cos
i sin
) r
2(cos
i sin
)
、代號 Ai），幾何表徵則為圖形上的旋轉與 伸縮。以下研究將表徵的轉換轉移分為四大類：代數轉為代數（A→A）、代數轉 為幾何（A→G）、幾何轉為代數（G→A）、幾何轉為幾何（G→G）。由冰山理論來看，學生處理複數乘法問題時，問題的本質可能只是呈現一
Hiebert(1986)提出程序性知識(procedural knowledge)有兩個面向：（一）它是 由數學的形式語言，或符號表徵系統所組成，其教學成效之考察，則在要求學習 者在一個可接受的「形式」中，對於文字符號及其文法規約操作是否熟練與覺察。
（二）它包含了完成數學作業所使用的算則或法則，也就是說，程序性知識是依 據一種執行步驟的指示之組合，教導吾人作業如何完成。其特徵是一種預先學定 的線性序列之操作。（洪萬生，民 94）
Hiebert 也提到概念性知識(conceptual knowledge)可以清楚地刻畫成富有關 係（式）的知識。這些關係（式）散佈在個別的事實與命題之中，以致於他們都 關連成為一個網絡。事實上，概念知識的一個單位，絕不可能是孤立的資訊片段；
按定義，一個資訊片段只有在它的擁有者認識到它與其他片段的關係時，才可能 是概念知識的一部份。（洪萬生，民 94）
David Tall、Eddie Gray…(1994, 2001)等人亦提出 Process-Concept-Procept 過 程概念理論。在符號數學的領域中（包含算術、代數、…），對符號靈活的使用，
可當成過程作運算(processes to do)，抑或概念來思考(concepts to think)。好比擁 有轉軸一樣，可以在過程與概念中做切換（秦爾聰，1993）。例如
「(14i)(cos60isin60)」可視為乘法運算（計算其結果），或是積的概念（瞭 解為兩複數乘積，並非進行計算）。
一個新的數學符號，對初學者來說是陌生而複雜的表徵。典型傳統的符號數 學概念的發展，是由程序步驟(Procedure)進展到過程(Process)，進而發展出過程 概念(Procept)（如圖 4）。學習者反覆練習一個步驟（例如極式乘法法則），可以