一、研究設計
本研究之第一個研究議題在瞭解高中生對複數乘法的概念結構，故研究的樣
複數乘法
概念結構
設計動態連結多重
表徵學習環境 學習環境
教學成效 數學結構
科 技 特 色
教學實驗
檢 驗 議題一
議題 二(1)
議題 二(2) 表徵整合
與使用 過程概念
解題策略
學習理論
本應選取已經學習過複數乘法相關知識的學生，探討其概念建構情形。為了使結
中等成績。高一的數學平均成績上，低分至高分各程度均有，分佈平均。樣本選
略，並提供高中生的複數乘法概念的概念結構之資料來源。研究工具以進行診斷 性測驗為主，訪談樣本為輔。研究者設計屬於研究範疇內之相關的題目形成診斷 性問卷，請研究樣本對此問卷來進行解題。其次對診斷性訪談的樣本進行訪談，
以發掘該樣本在問卷上作答情形的原因，以及找出未能在問卷上呈現之關鍵因 素。所有樣本的作答狀況以及受訪樣本的回答資訊，均可作為分析結果的資料來 源。
設計問卷時，先分析複數乘法知識的數學結構，以及表徵的使用情形。依據 第貳章所論述的表徵理論，分析複數乘法的表徵形式可分為代數和幾何兩大類，
代數的表徵形式又包含了代數一般式a + b i 與極式 r (cosθ+ i sinθ) 兩類，幾 何表徵包含了複數平面上的複數點及絕對值、輻角等相關元素。在本研究中以代 號 Ag 表示代數一般式 a + b i、Ai 表示極式 r (cosθ+ i sinθ)、代號 G 表示幾何 表徵。本研究要分析學生的概念結構，所以要瞭解其表徵的運用情形，故將重點 放在表徵之內的轉換，和表徵之間的轉移。從表徵面向來分析區分為四種類型：
(1)代數表徵轉換為代數表徵（Ag→Ag、Ag→Ai、Ai→Ag、Ai→Ai）。 (2)代數表徵轉移為幾何表徵（Ag→G、Ai→G）。
(3)幾何表徵轉移為代數表徵（G→Ag、G→Ai）。 (4)幾何表徵轉換為幾何表徵（G→G）。
分析複數乘法的數學結構，區分為複數基本性質、一般式運算程序、極式乘 法法則、幾何變換四個部分。此四個部分作為雙向細目表的縱軸項目。其中複數 基本性質為學習複數乘法時的先備知識，此部分的作答情況可以作為我們分析樣 本之先備知識部分與複數乘法三個層次概念之相關情形的資訊來源。例如某樣本 的診斷性問卷作答情形呈現該樣本處理圖形的旋轉與伸縮有困難，我們可分析是 否與該樣本處理極式與極坐標平面的轉移有關。
以表徵分析的四種類型作為橫軸項目，以複數乘法數學結構的四個部分作為 縱軸項目，可以得到複數乘法的數學結構與表徵轉換轉移的雙向細目表（如表 4）。本研究所有的測驗設計與教學設計均以此雙向細目表為基礎。
表 4 雙向細目表
此測驗題目的雙向細目表之歸屬分類之檢定。依據研究者與專家的共同意見，得
1(1)(2)Ag→Ag 1(4)Ag→Ai
1(4)Ag→G
1(3)Ag→Ag 1(5)Ai→Ag 5Ag→Ai
3Ag→G 6(1)Ai→Ag→G 6(2)Ai→Ag→G 6(3)Ai→Ag→G
8(2)G→Ag 14G→Ag
極式乘法法則
1(5)Ai→Ai 5Ag→Ai
3Ai→G
6(1)Ag→Ai→G 6(2)Ai→G 6(3)Ag→Ai→G 13 Ai→G
6(3)Ag→Ai→G 11Ai→G
7G→Ag 10(2)G→Ai 14G→Ag
8(1)G→G 9G→G 10(1)(2)G→G 11G→G
依此診斷性測驗之設計，比對第貳章圖 5 之複數乘法概念結構的分析圖形，
將各題所要測驗之概念與解題方向建構於概念結構分析圖形之上，可以得到如圖 10 之測驗分析圖，作為分析資料時建立樣本概念結構、解題策略與兩者相互關 係之圖形的範本。
圖 10 診斷性測驗分析圖 SPSS（13 版）執行內部一致性信度分析，得到 Cronbach’s Alpha 值均在 0.84 以 上（參考附錄二），顯示診斷性測驗這項工具具有中等以上的信度。（郭生玉，
（二）診斷性訪談
由於診斷性測驗結果提供受測樣本處理複數乘法問題的解題策略資料，並提 供樣本對於複數乘法概念的概念結構之資料來源，而此診斷性測驗是全部樣本對 問卷問題的一般性作答，故需依照診斷性測驗結果，挑選數名隨機樣本進行診斷 性訪談。其目的在深入探討學生對複數乘法概念的建構與使用情形，並發覺其與 解題策略的相關性；其次利用三角校正法，一為測驗結果分析找到證據，二以實 際訪談資料修正分析方向，三則找尋測驗結果無法提供的資料訊息。
診斷性訪談是以複數的基本性質（先備知識）相關問題作為開始，並根據診 斷性測驗的題型及結果，及複數乘法的數學結構層級（一般式運算程序、極式乘 法法則、幾何變換）與表徵使用情形來設計問題。為避免作過度引導式提問，需 要在進行訪談之前擬定提問問題，並採取半結構式訪談，根據受訪者的回答內 容，再進一步深入提問，不得預設答案或採誘導式提問。訪談開始問題請參考附 錄三。
四、研究過程、資料蒐集與處理
在診斷性測驗的研究工具準備完成後，於進行測驗的前一週告知受測樣本進 行方式與內容範圍。並與此兩個班受測樣本之導師與任課數學教師協商，安排連 續兩節課共一百分鐘的時間，同時間進行診斷性測驗。測驗完成後，對選取樣本 進行診斷性訪談。研究流程如表 6。
表 6 研究流程時間表
時間 對象 進行項目
97/12/31 82 位受測學生 診斷性測驗 98/ 1/12 S1、S2 診斷性訪談 98/ 1/14 S3 診斷性訪談 98/ 1/15 S4、S5 診斷性訪談 98/ 3/ 5 S6、S7 診斷性訪談 98/ 3/ 6 S8、S9 診斷性訪談
診斷性測驗完成後，將每份問卷每一題的結果進行編碼。編碼方式為：分析 每一份問卷，在各題中樣本所採用的解題方式，比對表 5 診斷性測驗之雙向細目 表，該樣本使用「複數基本性質」方式作答則編碼為 1（若題目在此級有兩種層 次作答方式則為 1 或 2，2 表示較高層次。例如測驗題目 2(2)）；使用「一般式運 算程序」方式作答則編碼為 3；使用「極式乘法法則」方式作答則編碼為 5；使 用「幾何變換」方式作答則編碼為 7（若題目在此級有兩種層次作答方式則為 7 或 8，8 表示較高層次。例如測驗題目 10(2)）。若僅有答案，或是作法不明，無
法判定屬於「複數基本性質」、「極式乘法法則」、「幾何變換」任何一種，則編碼
7、8(1)(2)、9、10(1)(2)、11、14 題之樣本作答使用概念層級，作為使用幾何變 換概念、極式乘法法則概念或一般式運算程序概念之依據；同時以第 1(5)、3、5、
6(1)(2)、12、13 題之樣本作答使用概念層級，作為使用極式乘法法則概念或一般 式運算程序概念之依據；並以第 1(3)題之作答情形作為使用一般式運算程序概念 之依據。另外第 1(1)(2)(4)、2(1)(2)(3)、4(1)(2)題題目屬於雙向細目表中「複數基 本性質」部分，在分析圖形中屬於「複數元素（表徵形式）」之類型，主要作為
五、研究限制
一、本研究之設計與標準實驗法存在不同之處。由於本研究採用質性研究法，而 實驗對象為北部某公立高中之高二兩班自然組學生，在地域、學生背景、就 讀類組上有其特殊性，並不能完全代表全國高中生的母群體。因此需要推論 到其他地區學校、其他年級或其他類組之樣本時，應注意本研究樣本之性 質。此部分有待後續的相關研究。
二、本研究所蒐集的原始資料，經過研究者依循相關理論進行處理，所獲得的結 果會受到研究者個人的研究方向、詮釋角度與個人觀點所影響。雖然研究工 具曾邀集專業研究人員與資深教師進行鑑定與提出建議，但不能認定不同的 研究者進行相同的研究過程會得到相同的研究結果。
三、本研究是針對高中「複數乘法」的數學知識（一般式運算程序、極式乘法法 則、幾何變換）及表徵使用情形來進行研究。故如果進行以下方面的研究，
使用工具可能需要調整或重新設計，結論也可能不同：
（一）單獨分析一般式運算程序、極式乘法法則或幾何變換其中一部份的複 數乘法知識。
（二）研究除了代數、幾何之外的其他表徵形式。
（三）研究「複數乘法」以外的數學知識。
（四）研究對象為大學生或研究所學生。