設計結果

利用 GeoGebra 與網頁 JavaScript 語法為工具，複數乘法六個單元教學目標 為基礎，設計出六個動態視窗的學習環境。以下就此學習環境與其特色作說明。

一、複數乘法的動態視窗學習環境

依據複數乘法教學的六個單元教學目標，各設計出一個網頁型態的學習環 境。此六個視窗學習環境之命名與單元名稱相同，依序為：（一）一般式轉極式；

（二）極式轉一般式；（三）一般式乘積；（四）極式乘法；（五）極式除法；（六）

棣美弗定理。網址請參考附錄四。以下說明此六個視窗學習環境。

（一）一般式轉極式

本網頁為複數乘法的啟始網頁，主要功能在介紹複數的絕對值與輻角（代數 表徵與幾何表徵），進一步引導出如何將將複數一般式轉換為極式，在數學結構 上屬於複數基本性質，為複數乘法的先備知識。網頁如圖 38。

圖 38 複數乘法之動態視窗學習環境（一）一般式轉極式 在本網頁中有三個部分使用動態連結多重表徵的呈現方式：

1.在網頁右側出現「絕對值怎麼計算？」的代數示意式後，對其上的「實部 a」

按下滑鼠左鍵，則左側的 GeoGebra 之複數平面區會出現對應的複數實部，並 以相同的紅色來呈現。同理「虛部 b」也有此功能。而對絕對值「r」按下滑鼠 左鍵後，會從原點慢慢地延伸出一個線段到複數點 z，表示為原點到複數 z 的 距離（均以藍色表示）。目的是藉由動態的延伸動作讓使用者瞭解絕對值的幾 何意義，並經由操作建立代數表徵與幾何表徵的連結。

2.按下右側「顯示輻角」按鈕，會在複數平面中出現一個線段，一端點連結著原 點，另一端點自x 軸正向轉到複數點 z 所在位置。此功能之目的在讓使用者瞭 解複數輻角的幾何意義。

3.按下右側「一般式變為極式」按鈕，會在 GeoGebra 環境中出現一般式轉換為 極式的計算公式，並在右方出現目前複數點z 的一般式轉換為極式的結果。教 學者可藉由說明來強調極式的兩個重要元素為絕對值與輻角，可以透過複數平 面幾何表徵來得到極式的代數表徵。

上述三項功能，在拉動 GeoGebra 複數平面上的複數點 z 之後，重新點選右 方的功能，數值結果會隨著z 的新位置而改變。如此可提供使用者試驗在不同複 數的情況下來找尋絕對值、輻角與極式的共同模式，進而學習將一般式轉換為極 式的基本性質。另外可直接從幾何表徵中擷取極式的絕對值與輻角兩個主角，降

低極式代數表徵中三角函數讓學習者感受困難的影響程度。

（二）極式轉一般式

本網頁與前一網頁（一般式轉極式）作為對應，主要功能在介紹如何將複數 極式轉為一般式。經由此兩學習環境的觀察與操作，期望使用者能夠掌握複數一 般式與極式之間的轉換，並回想在複數平面上的幾何表徵呈現方式。如圖 39。

圖 39 複數乘法之動態視窗學習環境（二）極式轉一般式

此網頁設計與前一網頁類似，使用顏色作為實部與虛部之連結方式。在教學 一開始要說明以 GeoGebra 的極坐標格式 ( r ;θ) 來代表複數的極式

) sin (cos





r  ，此為電腦環境之功能限制。另外藉由詢問絕對值增加或減少 時，複數點z 會如何移動，以及輻角增加或減少時，複數點 z 會如何移動，按下 按鈕呈現動態的結果，讓使用者觀察到複數點伸縮與旋轉的效果，是與絕對值及 輻角有關，以作為複數的極式乘法之幾何意義的預備動作。

（三）複數乘積

此網頁是以代數表徵為主，幾何表徵為輔助角色。主要是請學習者直接計算 兩複數一般式的乘積，而以電腦計算模式來檢驗。視窗右方可以呈現兩複數點，

經由分配律計算的過程與結果，表示一般式乘積的代數表徵。拉動複數平面上的 z 點或 w 點，則兩者乘積 P 點也會隨之變動（仍在 z 與 w 的乘積位置）。而「顯 示絕對值」會在複數平面上出現z、w 與乘積 P 的絕對值線段，讓使用者觀察三

者之間的關係，並提供使用者思考藉由幾何表徵連結到極式乘法的機會。網頁如 圖 40。

圖 40 複數乘法之動態視窗學習環境（三）複數乘積

（四）極式乘法

此網頁的主要目的是在呈現極式乘法在複數平面上的幾何動作，以及極式乘 法的代數表徵與幾何變換的幾何表徵之間的連結。由前一網頁（複數乘積）所得 到電腦計算兩複數乘法的乘積點，來找出兩極式乘法的乘積點位置，如圖 41。

在本網頁中有三個部分使用動態連結多重表徵的呈現方式：

1.點選「顯示旋轉」，則在複數平面上從複數點w 開始，旋轉複數 z 的輻角角度，

對應於極式乘法的代數表徵中兩輻角相加的部分。這是將「角度加法」與「旋 轉增加」的動態連結。

2.接續旋轉動作之後，點選「顯示伸縮」，則在複數平面上從複數點w 已旋轉後 的位置開始，伸縮複數z 的絕對值長度，對應於極式乘法的代數表徵中兩絕對 值相乘的部分。此部分採用國中課程中的相似形的比例概念，來說明旋轉倍數 即為絕對值的大小，將「絕對值相乘」與「伸縮長度」做動態連結。

3.改變 z 或 w 的位置，則乘積 P 的位置隨之改變，亦可進行旋轉與伸縮動作，亦 符合極式乘法的法則。就算z 或 w 的的絕對值小於 1，或是輻角為負角，仍可 進行同樣的旋轉與伸縮動作，並不需要轉換為除法。即以一種幾何變換概念可 以用在所有的複數情況上。

圖 41 複數乘法之動態視窗學習環境（四）極式乘法

旋轉與伸縮這兩個動作在為複數極式乘法描繪出複數平面上的幾何動作，並 為極式乘法法則與幾何變換的關連作解釋。同時也在複數平面的幾何動作上，驗 證了極式乘法公式中絕對值相乘、輻角相加的結果，而並不需要透過三角函數的 代數證明。最終的目的，也期望使用者利用操作此環境建構極式乘法法則概念與 幾何變換概念之後，可以整合兩種表徵並加以應用。

（五）極式除法

本網頁為前一網頁（極式乘法）的延伸推廣。不僅在代數表徵上除法為乘法 的反運算，在幾何表徵上仍舊是旋轉與伸縮，也呈現反向動作。從單一複數z 的 極式倒數開始，進入w 除以 z 的極式表徵關係式，同時在複數平面上呈現旋轉與 伸縮的動作。如圖 42。

此網頁之動態連結多重表徵的設計，與極式乘法網頁相同。不同的是兩複數 除法進行輻角相減，動態連結到反向旋轉分母複數的輻角；進行絕對值相除，動 態連結到伸縮分母複數的的絕對值倒數倍數。期望使用者可以從代數表徵與幾何 表徵的動態連結上，看出除法即為找出輻角差，及與原點距離（絕對值）之商兩 個角色，立即形成商的極式表徵。

圖 42 複數乘法之動態視窗學習環境（五）極式除法

（六）棣美弗定理

圖 43 複數乘法之動態視窗學習環境（六）棣美弗定理

本網頁內容為極式乘法的代數性質推廣，並對複數平面上呈現複數的n 次方

的複數點來進行連結。藉由前兩個網頁（複數乘法）所獲得的旋轉與伸縮概念，

建構出複數的n 次方在複數平面上為連續建構相似三角形。這在動態幾何環境中 稱為迭代（iterate），類似遞迴概念的作圖法。由此使用者可以將代數的棣美弗定 理，轉移到幾何的相似形，並且產生連結。反之在代數上計算複數的n 次方根是

變；要呈現動態的效果可能要作多次的替換動作，在動態上與連結上的效果與 時效性有限。

4.時間差的效果：(1)利用時間差，來呈現乘法的動作，一步一步呈現旋轉與伸縮。

(2)利用時間差，呈現乘積的結果，顯示出相乘兩複數與乘積的因果關係。

（二）視窗型環境

本研究由電腦視窗環境設計的學習網頁，具有下面幾點性質：

1.上網可操作：只要透過網路，可以連結到學習網頁。不需要安裝特定的軟體。

操作元件也是學生熟悉的網頁物件。具有易進入、易操作、免費等特性。

2.單人可操作：使用者只要知道操作流程（操作過一次，或是操作手冊），即可 自行操作，並不需要教學者必須在場進行教學。

3.離場可操作：就算不在學校的電腦教室裡，只要所在場所可以上網，或是得到 本環境之電腦檔案，使用者仍可以進入本學習環境來操作，不限制在學校內才 可以使用。

由上述幾點，可知本視窗環境，除了上手容易之外，亦具備遠距教學的功能。

這也是現代科技應用於教學與學習的特色之一。

（三）教學內容

1.本環境依據設定的複數乘法教學內容來編排設計，循序漸進。進行到後面的學 習網頁時，並不需要頻頻切換回前面的網頁來比對。若需要切換其他網頁，在 每個網頁的下方有各網頁的連結，可利用電腦視窗環境的操作方式立即達成。

2.各網頁教學進行的內容與流程，均設計在網頁的右方（棣美弗定理是在網頁下 方），由上而下依序排列操作元件或相關代數表徵。教學者或使用者可以依序 進行教學或學習流程。

第伍章 動態視窗學習環境之教學實驗

程序，以及教學者均為相同。實驗組與對照組的可變變因與控制變因如表 10。

之學科能力測驗，在數學課程中曾經複習過複數一般式與極式的部分，不會因為

的訊息，故在前測時不測驗此題。進行 Cronbach’s Alpha 分析時，刪除本題提 高 Alpha 係數 0.001，對整體信度影響不大。

4.經專家建議在圖形上減少不必要的線段，減少判斷上的混淆與障礙。

1(1)Ag→Ag 1(3)Ag→Ai

1(3)Ag→G

1(2)Ag→Ag 1(4)Ai→Ag 14Ag→Ai

3Ag→G

10(1)Ai→Ag→G 10(2)Ai→Ag→G 10(3)Ai→Ag→G

6(2)G→Ag 9G→Ag

極式乘法法則

1(4)Ai→Ai 14Ag→Ai

1(4)Ai→Ai 14Ag→Ai