本節為回應本研究第一個研究議題，從診斷性問卷的測驗結果，比對抽樣樣 本的訪談資料，整理分析出高二學生關於複數乘法的概念結構，以及面對複數乘 法問題時的解題策略，並進一步分析其可能的成因，及概念結構與解題策略之間 的相互關係。
從表徵理論的觀點來看，學生是否已建構一個數學概念，可以從他對此數學 概念的表徵使用情形，以及此概念之各種表徵整合情形可以看出。例如學生可以 使用幾何變換與極式運算規則來處理複數乘法問題，也可以在幾何變換與極式乘 法法則之間互相轉移，則該學生已經建構了幾何變換概念，也同時建構了極式乘 法法則概念。
另外學生所能選擇的解題方式，受限於他已經建構的複數乘法概念。若樣本 之某部分概念未建立，則解題時無法使用該部分概念。然而各樣本可能已經建構 部分相同的複數乘法概念，但是解同樣題目時卻不一定使用相同的解題方式，這 就牽涉到該樣本的解題策略。除了從該樣本使用的數學結構與表徵使用情形來觀 察，同時也從樣本選擇的解題方式來分析。
一、高二學生關於複數乘法的概念結構
轉幾何題型的人數。只要有關幾何表徵的轉換或轉移之題型，可以處裡的樣本人 數都比可以處理代數表徵之內的轉換的樣本人數少。顯示高中生在複數乘法方 面，可以掌握代數表徵的人數多於掌握幾何表徵的人數。
另外，受訪談樣本的回應亦提供分析結果之證據，以及修正的方向。透過對 問卷結果與訪談資料之質性分析，可將受測樣本之概念結構分成三種類型：（一）
表徵整合型。（二）表徵轉移型。（三）單一表徵型。以下就各種類型進行分析與 討論。
（一）表徵整合型
表徵整合型的學生，能夠整合各種表徵，並掌握各種概念。此類型的樣本，
面對複數乘法問題，可以使用幾何變換解題，也可以使用極式乘法法則解題，亦 可以使用一般式運算程序來解題。同時可以掌握表徵之內的轉換與表徵之間的轉 移，也可以整合不同的表徵形式，同時來處理問題。
此類型學生能從極式的表徵中，瞭解進行複數乘法時，輻角的角色是在進行 旋轉的動作，絕對值的角色是在進行伸縮的動作，如圖 11。從表徵的面向來看，
顯示此類學生，可以從極式的代數表徵，藉由幾何變換，轉移為複數平面上的幾 何表徵，已經整合代數表徵與幾何表徵，同時也整合了極式乘法法則與幾何變換 兩種乘法動作之對應。
圖 11 表徵整合型學生使用幾何變換概念之作答情形之一
此類型學生可以從圖形中擷取絕對值與輻角的關鍵元素，形成極式表徵並進 行極式乘法法則運算（如圖 12）。故表徵整合型學生可以從幾何表徵轉移為代數 表徵，進行極式乘法法則所得之極式，亦能轉移為幾何表徵而繪於複數平面上。
這也顯示此類型學生在複數基本性質之先備知識方面，可以運用複數之代數表徵 與幾何表徵之間的轉移。表徵整合型學生也能使用一般式運算程序來處理問題，
如圖 13。
圖 12 表徵整合型學生使用極式乘法法則概念之作答情形之一
圖 13 表徵整合型學生使用一般式運算程序概念之作答情形之一
此類型學生面對複數乘法問題時，有時候並不只採用一種表徵，或一種數學 概念來處理；他可以整合三種複數乘法概念，並整合代數與幾何兩種表徵，進行 乘法動作時各取合適的部分，進行整合型運算，如圖 14 的作答情形。
圖 14 表徵整合型學生整合三種複數乘法概念、兩種表徵之作答情形之一
表徵整合型學生之特質為：使用過程概念來處理問題，而非程序性計算；能
夠整合數種表徵（代數、幾何），並非每一題都使用幾何變換來處理，而是針對 不同類型的題目，轉換或轉移為合適的表徵，選擇解題方式，並操弄表徵來處理 問題。此類型學生已具備完整的複數乘法先備知識，並完整建構一般式運算程序 概念、極式乘法法則概念及幾何變換概念。
在所有接受診斷性問卷測驗的有效樣本 77 人中，屬於表徵整合型的學生僅 有 4 人（約占 5%）。從高中課程安排來分析，由於高中教材中有編排一般式乘法 與極式乘法之內容，並未編排複數乘法的旋轉與伸縮課程，亦未強調。表徵整合 型的學生能夠從極式乘法的概念自行發展建構出幾何變換概念，故在全體樣本中 並不是多數。教學者要如何協助學生建構幾何變換概念，為複數乘法課程教學之 一個重要議題。
（二）表徵轉移型
表徵轉移型學生面對問題時，會選擇在代數表徵與幾何表徵之間轉移。在本 研究中，因幾何變換之概念較複數一般式乘法與極式乘法概念複雜，故此類型學 生在面對複數乘法的問題時，會將幾何類型的題目，轉移為他所熟悉的代數表徵 來處理，並不一定使用合適的表徵。此類型之樣本，可以使用極式乘法法則來解 題（如圖 15），也可以使用一般式運算程序解題，但並未使用幾何變換作法。遇 到幾何概念的題目時，會轉移為極式乘法法則（如圖 16）或一般式運算規則等 代數方式來處理。
圖 15 表徵轉移型學生使用極式乘法法則概念之作答情形
圖 16 表徵轉移型學生將圖形轉移為極式乘法法則之作答情形
表徵轉移型學生會採用極式乘法法則或一般式運算規則來處理問題，但觀察 樣本作答情形，其使用極式乘法法則的時機，又可區分為強極式概念與弱極式概 念兩類。
強極式概念的學生，面對適合使用極式乘法來處理的題目，與適合使用幾何 變換來處理的題目，均採取極式乘法法則來進行。而弱極式概念的學生，會將適 合極式乘法的題目，轉換為一般式運算規則來處理；但是在面對部分圖形題目 時，又偶爾使用極式乘法法則來處理。
以下為表徵轉移型學生中，強極式概念學生（訪談樣本 S1）之作答情形（圖 17 與圖 18）與部分訪談內容：
圖 17 表徵轉移型強極式概念學生 S1 使用極式作答情形之一
圖 18 表徵轉移型強極式概念學生 S1 使用極式作答情形之二
T：第 3 題，你嘗試去把前面 5 提出來，得到第二象限。你的想法是怎樣？
S1：…角度要相加。
T：…前面看得出來角度嗎？（指 1 + 2 i 部分）
S1：這個超過 45 度。要化成極式。
T：你的意思是要化成極式，那你是用什麼方法化？好像也不是特殊角對不對？
S1：畫複數平面，標點標上去，角度加 45 度。
…
T：像你第 10 題，你找主輻角時，你是用極式的方法作對不對？
S1：嗯！
T：絕對值相除、輻角相減。像這題目你是從極式的角度去想對不對？
S1：對！
T：那你還有別的想法嗎？除了極式以外，還有別的想法嗎？
S1：…畫圖…忘記了。
表徵轉移型學生雖然未使用幾何變換來處理問題，但事實上此類學生是否已 建構了幾何變換的概念，只是未使用呢？由圖 18、圖 19 與上面訪談資料來看，
抽樣訪談對象 S1 學生似乎會嘗試以圖形來處理問題，但實際上並未繪圖。而在 訪談中是以「角度加、減」來敘述，而非使用「旋轉」等詞語。表示其思考的模 式，是依循極式乘法法則的「輻角相加」的概念。在訪談中研究者詢問其除了極 式之外的想法，該樣本回答曾觸及畫圖，但又無法合適敘述。以表徵的角度來分 析，此類型學生的幾何變換概念相當模糊（也可能未建立），極式乘法概念強烈，
故會將幾何圖形問題轉移為極式乘法法則來處理。若能以合適的方式引導其建立 幾何變換概念，則此類樣本可以提升為表徵整合型學生。
而弱極式概念學生（訪談樣本 S7）之作答情形（圖 19 與圖 20）與部分訪談 內容如下：
圖 19 表徵轉移型弱極式概念學生 S7 以一般式運算程序處理極式乘法問題
圖 20 表徵轉移型弱極式概念學生 S7 以極式乘法法則作答情形
（三）單一表徵型
單一表徵型的學生，只能處理單一表徵，即只能使用一般式運算程序來處理 複數乘法問題，並沒有使用極式乘法法則解題，也沒有使用幾何變換作法。部分 學生會將極式轉換為一般式來進行乘法，處理複數平面題目亦嘗試擷取其實部與 虛部來轉移為一般式（如圖 21）。此類型學生不瞭解極式表徵的意義，甚至不瞭 解複數之絕對值與輻角的角色。
圖 21 單一表徵型使用一般式運算來處理圖形與極式題目之作答情形
從此類型學生在診斷性問卷中的作答情形，可以分為強表徵轉換類與弱表徵 轉換類。強表徵轉換類學生可以利用三角函數求值的概念，將極式表徵的題型，
轉換為一般式來進行乘法運算；也可將適用幾何變換題型轉移為一般式乘法來處 理。弱表徵轉換類學生則無法處理三角函數，也無法處理幾何的乘法動作，故面 對極式乘法與幾何變換的題型時，則留空白，僅能計算出一般式運算程序之題型。
以下為單一表徵型學生（訪談樣本 S8 與 S9）的部分訪談內容：
T：你知道什麼叫做極式嗎？
S8：不是很清楚…
T：你會不會做極式的乘法？像這兩個極式相乘時，你會不會用什麼公式？
S8：…不記得，很少用…
T：你覺得沒有用的問題是什麼？是極式的乘法…
S8：想的時候不好想，很難想出來。一下想不出來。
T：你會把 cos15 + i sin15變成 a + b i 這樣的數字？
S8：對呀！這我知道。…
T：像你這個就直接把極式變成 a + b i 來乘是沒有問題的。