動態連結多重表徵視窗環境下複數乘法學習之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 動態連結多重表徵視窗環境下複數乘法學習之研究. 研究生：許技江. 中華民國九十九年八月.

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(5) 感. 謝. 詞. 首先我要感謝三位口試委員李源順教授、陳明璋教授及左台益教授，在百忙之中抽空來給予指導，並提供相當豐富的專業建議，讓我的研究論文能做得更好。其中非常感謝我的指導教授左台益老師。左老師犧牲相當多個人時間來帶領團隊，並且以專家的標準來引導我們讀文章、做研究、分析資料，讓我在研究數學教育的這個領域裡學到很多，並且以審慎的態度來檢視自己，提升教學品質與教學成效。左老師也給我相當多的機會創作與發表，讓我在教育的工作之外，也找到在自己興趣上的成就感，在完成論文之後仍能繼續作研究。感謝左老師的研究團隊成員，總是在我茫然無措時給予適時協助，以及各種面向的建議，並且互相分享研究成果與生活點滴，讓我在研究這條路上不會孤單乏味。最後感謝我的家人及服務的學校，給我相當多的個人時間來進行研究工作。尤其是我的妻子總是默默付出，但也適時給我建議，讓我這一路走來順利。還有感謝各位讀者！您能夠閱讀我的文章是我莫大的榮幸，也許您能給我不一樣的想法，讓研究的領域更多采多姿！.

(6) 摘. 要. 本研究在探討高中生關於複數乘法的概念結構與處理複數乘法問題的解題策略，並依據此結果來設計動態連結多重表徵之視窗學習環境，且探討在此環境下學生之學習成效。整個研究分為兩部分。第一部分的研究以七十七名高二學生為樣本，進行診斷性問卷測驗，並抽樣進行診斷性訪談。研究結果發現：高中生對於複數乘法的概念結構可區分為表徵整合型、表徵轉移型與單一表徵型三種類型；高中生面對複數問題的解題策略也可分為靈活豐富型策略、情境型策略、機械型策略與受限型策略。第二部分的研究以一班高中二年級學生為實驗組樣本、一班高中三年級學生為對照組一之樣本、一班高中二年級學生為對照組二之樣本，來進行動態連結多重表徵視窗學習環境之教學實驗。研究結果顯示，在前測時三組之表現相近，而在後測時實驗組有 68%的樣本之概念結構提升為表徵整合型，對照組分別有 57%、50%的樣本之概念結構提升為表徵整合型，顯示動態連結多重表徵視窗環境有助於學生整合各種表徵，並能應用於解題策略上。本研究所得到之複數乘法概念結構與解題策略等等結論，可作為高中教學成效之評量與教學設計之參考。本研究設計複數乘法之動態幾何視窗學習環境，可以提供中學實務教學使用。. i.

(7) 目. 次. 第壹章緒論................................................................................................................ 1 第一節研究背景與研究動機............................................................................ 1 第二節研究目的與研究議題............................................................................ 3 第貳章理論基礎與文獻探討.................................................................................... 4 第一節複數乘法的歷史發展與中等課程結構................................................ 4 第二節數學概念的多重表徵............................................................................ 8 第三節程序性知識、概念性知識與過程概念.............................................. 11 第四節動態連結多重表徵學習環境.............................................................. 15 第參章高中生複數乘法概念結構與解題策略...................................................... 20 第一節研究方法.............................................................................................. 20 第二節研究發現與討論.................................................................................. 29 第肆章複數乘法之動態視窗學習環境設計.......................................................... 54 第一節設計理念.............................................................................................. 54 第二節設計方法.............................................................................................. 56 第三節設計結果.............................................................................................. 59 第伍章動態視窗學習環境之教學實驗.................................................................. 67 第一節研究方法.............................................................................................. 67 第二節研究發現與討論.................................................................................. 73 第陸章結論與建議.................................................................................................. 87 第一節研究結論.............................................................................................. 87 第二節建議...................................................................................................... 90 參考文獻...................................................................................................................... 92 一、中文部分...................................................................................................... 92 二、英文部分...................................................................................................... 93. ii.

(8) 附表目次表 1 複數發展編年史................................................................................................... 5 表 2 複數乘法在高中課程中的安排........................................................................... 8 表 3 診斷性訪談樣本之背景..................................................................................... 22 表 4 雙向細目表......................................................................................................... 24 表 5 診斷性測驗之雙向細目表................................................................................. 25 表 6 研究流程時間表................................................................................................. 27 表 7 診斷性問卷樣本能使用複數乘法數學結構與表徵轉換轉移之分佈表......... 30 表 8 概念結構與解題策略關係表............................................................................. 46 表 9 六個單元的學習環境其功能在雙向細目表的歸屬......................................... 58 表 10 第二階段實驗設計實驗組與對照組之可變變因與控制變因....................... 68 表 11 實驗組訪談樣本之背景 ................................................................................... 69 表 12 第二階段研究前測之雙向細目表................................................................... 70 表 13 第二階段研究後測之雙向細目表................................................................... 71 表 14 第二階段研究流程時間表............................................................................... 72 表 15 實驗組 E 之前測、後測分類統計表 .............................................................. 74 表 16 實驗組 E 之前測、後測分類交叉分析表 ...................................................... 74 表 17 對照組 C1 之前測、後測分類交叉分析表 .................................................... 80 表 18 對照組 C2 之前測、後測分類交叉分析表 .................................................... 81 表 19 後測第 1 題作答情形表................................................................................... 83 表 20 概念結構與解題策略的相互關係之五種類型............................................... 88. iii.

(9) 附圖目次圖 1 複數平面上兩複數乘法的旋轉與伸縮............................................................... 7 圖 2 Palmer 提出外部表徵的五個部分 .................................................................... 9 圖 3 複數乘法的表徵轉換轉移及乘法動作的對應連結......................................... 10 圖 4 數學的程序展現各種層次表現(摘自 Tall, 2001) ............................................. 12 圖 5 複數乘法概念結構的分析圖形......................................................................... 15 圖 6 學習過程(摘自 Tso, 2001) ................................................................................. 16 圖 7 動態連結多重表徵之學習環境設計關係圖..................................................... 17 圖 8 研究架構............................................................................................................. 20 圖 9 概念結構與解題策略研究流程......................................................................... 21 圖 10 診斷性測驗分析圖........................................................................................... 26 圖 11 表徵整合型學生使用幾何變換概念之作答情形之一 ................................... 31 圖 12 表徵整合型學生使用極式乘法法則概念之作答情形之一........................... 32 圖 13 表徵整合型學生使用一般式運算程序概念之作答情形之一....................... 32 圖 14 表徵整合型學生整合三種複數乘法概念、兩種表徵之作答情形之一....... 32 圖 15 表徵轉移型學生使用極式乘法法則概念之作答情形................................... 33 圖 16 表徵轉移型學生將圖形轉移為極式乘法法則之作答情形........................... 33 圖 17 表徵轉移型強極式概念學生 S1 使用極式作答情形之一 ............................ 34 圖 18 表徵轉移型強極式概念學生 S1 使用極式作答情形之二 ............................ 34 圖 19 表徵轉移型弱極式概念學生 S7 以一般式運算程序處理極式乘法問題 .... 35 圖 20 表徵轉移型弱極式概念學生 S7 以極式乘法法則作答情形 ........................ 36 圖 21 單一表徵型使用一般式運算來處理圖形與極式題目之作答情形............... 37 圖 22 靈活豐富型學生 S3 運用幾何變換、極式乘法法則與一般式運算規則之間的轉換轉移之作答情形.............................................................................................. 40 圖 23 靈活豐富型 S3 學生在幾何變換與極式乘法法則之間轉移之作答情形 .... 40 圖 24 情境型策略學生之作答情形之一................................................................... 42 圖 25 情境型策略學生之作答情形之二................................................................... 42 圖 26 機械型策略學生之作答情形之一................................................................... 44 圖 27 機械型策略學生 S6 之作答情形 .................................................................... 44 圖 28 受限型策略學生 S9 之作答情形之一 ............................................................ 45 圖 29 表徵整合型樣本之概念結構與解題策略關係圖........................................... 47 圖 30 表徵轉移情境型樣本之概念結構與解題策略關係圖................................... 48 圖 31 表徵轉移機械型樣本之概念結構與解題策略關係圖.................................... 50 圖 32 單一表徵機械型樣本之概念結構與解題策略關係圖................................... 51 圖 33 單一表徵受限型樣本之概念結構與解題策略關係圖................................... 53 圖 34 設計學習環境之關係圖................................................................................... 54 圖 35 GeoGebra 學習網頁與 JavaScript 關係圖 .................................................... 56 iv.

(10) 圖 36 圖 37 圖 38 圖 39 圖 40 圖 41 圖 42 圖 43 圖 44 圖 45 圖 46 圖 47 圖 48. JavaScript 操控 GeoGebra 關係圖 ................................................................ 56 GeoGebra 環境中呈現複數點的一般式與極坐標 ....................................... 57 複數乘法之動態視窗學習環境（一）一般式轉極式................................... 60 複數乘法之動態視窗學習環境（二）極式轉一般式................................... 61 複數乘法之動態視窗學習環境（三）複數乘積........................................... 62 複數乘法之動態視窗學習環境（四）極式乘法........................................... 63 複數乘法之動態視窗學習環境（五）極式除法........................................... 64 複數乘法之動態視窗學習環境（六）棣美弗定理....................................... 64 動態視窗學習環境教學實驗之研究流程....................................................... 67 樣本 S10 前測作答情形之一 .......................................................................... 76 樣本 S10 後測作答情形之一 .......................................................................... 76 樣本 S12 後測作答情形之一 .......................................................................... 79 樣本 S12 後測作答情形之二 .......................................................................... 79. v.

(11) 附錄目次附錄一、診斷性問卷題目.......................................................................................... 95 附錄二、第一階段研究診斷性問卷之內部一致性信度分析結果（SPSS 13 版） ...................................................................................................................................... 99 附錄三、第一階段研究診斷性訪談開始問題........................................................ 104 附錄四、複數乘法之動態連結多重表徵學習網頁網址........................................ 105 附錄五、第二階段研究前測試題............................................................................ 106 附錄六、第二階段研究前測問卷之內部一致性信度分析結果（SPSS 13 版）. 113 附錄七、第二階段研究後測試題............................................................................ 118 附錄八、第二階段研究後測問卷之內部一致性信度分析結果（SPSS 13 版）. 122 附錄九、第二階段研究配合實驗教學進行之學習單............................................ 125. vi.

(12) 第壹章. 緒論. 第一節研究背景與研究動機數學抽象概念通常需藉助外在的表徵作為個體內在建構與外部溝通的仲介。在數學的發展過程中，人們不僅深入發展數學的知識，同時也建構出各種表徵形式以溝通及存取抽象數學思維。例如，複數可以一般式 a + b i 或極式 r (cos  i sin  ) 的代數表徵形式表示，也可以複數平面上的圖形表徵方式呈現。學習者要瞭解、學習與應用數學，不僅要思考數學的本質意義，且能充分掌握其各種表徵以及表徵之間的轉換與轉移(Lesh, 1987; Kaput, 1987, 1989, 2008)，透過外在表徵的理解與操作來建構此概念的內在表徵(Goldin, 2000)。然而傳統的學習環境所能提供的表徵呈現方式有限，教學者可應用現代科技工具，提供多重表徵環境以協助學習者學習數學知識。因此，本研究從表徵的面向來分析與瞭解學生學習複數乘法的概念結構，並以科技工具設計複數乘法的多重表徵學習環境，以提供學習者使用。數學公式中最美的等式： ei  1  0 ，連結數學中最重要的五個常數：0、1、. π、i、e，及最基本的三個運算：加法、乘法、次方（Maor，1994/鄭惟厚譯，2000）。這個等式顯示出表徵與運算在數學界扮演的重要角色，也隱含著複數極式的指數型態。而複數的各種表徵是經過漫長的歲月及很多數學家的努力與辯證才一一現世。早期卡丹諾(Cardano, 1501~1576)、笛卡爾(G. Descartes, 1596-1650)與牛頓(I. Newton, 1643-1727)等人並不認為虛數有什麼特別意義，直到邦貝利(Bombelli, 1526~1572)、歐拉(L. Euler, 1707-1783)、高斯(F. Gauss, 1777-1855)相繼提倡以符號 i 來代表虛數單位，建立複數 a + b i 的概念，並發展其運算法則，卡丹諾的三次方程式公式才得到合理而完整的解釋，能夠做為解決問題與溝通的工具，並流傳教授。歐拉提出著名的歐拉公式 e i  cos   i sin  ，開啟複數的極式與指數表徵領域。高斯提出複數平面，賦予複數解析幾何的表徵與意義。柯西(A. Cauchy,1789-1857)和漢彌頓(W. Hamilton, 1805-1865)對複數做嚴密的代數定義，複數才完全被數學家所接納（William P. Berlinghoff，Fernando Q. Gouvêa，2004）。複數的地位，經過兩、三個世紀多位數學家的努力，終於在數學王國之中取得正統。複數的產生及應用是數學思維發展的重大成果，除了闡示複數系統本質結構的複雜度，另一方面也展現出複數為數學社群所接受之困難。自十六世紀開始發展複數概念，到十九世紀複數才完全被數學家所接受，這是經過相當長時間的發展。數學家花了幾世紀才解決的問題，高中生要用多少時間來融會貫通呢？是否如同當年的數學家不易接受複數的概念呢？現今的高中數學課程安排（九五暫行綱要），複數概念包含代數與幾何兩種表徵，複數代數表徵有一般式 a + b i 與極式 r ( cosθ+ i sinθ) 兩種，對應於複數幾何表徵的複數平面（直角坐標系）與極坐標系。極式概念之引進目的是為了. 1.

(13) 處理複數乘法時，相較於一般式乘法使用分配律計算，採用極式乘法更為精緻與便利，同時極式與複數平面的連結關係提供極式乘法在複數平面上旋轉、伸縮的幾何意義。由於複數乘法的代數表徵包含了一般式乘法及極式乘法，幾何表徵包含了旋轉與伸縮等變換，同時又蘊含了極式乘法與幾何變換兩種表徵之間的對應連結關係，可見整個複數乘法概念的複雜程度，也可以瞭解表徵是複數乘法概念的關鍵元素。而高中生可以利用複數乘法的概念來處理多項方程式解根、解複數的 n 次方根、多項式分解等等問題，也可以利用極式乘法對應的幾何變換來處理坐標平面上點旋轉的問題，可知複數乘法的概念對高中生處理多項式與方程式等代數問題與幾何變換問題而言相當重要。一些研究指出，多重表徵可以提供學習者反思行動，不僅可以豐富原有的概念性表徵，亦可重新組織認知結構，並建設新表徵(Lesh, 1987; Goldin, 2000)。由於複數乘法包含一般式乘法、極式乘法與幾何變換三種概念，為了讓學習者學習複數乘法時能掌握各種表徵而且豐富其概念，而不是因為多重表徵增加學習者的困難度，教學者應利用能夠呈現多重表徵的工具來輔助複數乘法的教學，以彌補傳統教學環境不足之處。自從電腦 Windows 系統的誕生與普及後，電腦環境已進入圖型視覺化與直覺性操控的時代，對於使用者的動作會進行立即性的回應，不再是早期的輸入指令與延後執行才會得到結果的環境。近幾年有相當多的動態幾何軟體（Dynamic Geometric Software。以下簡稱 DGS）問世，讓使用者可以很輕易地在電腦上繪出數學的幾何圖形，而且在拉動部分元件時能維持數學的性質。例如免費的 GeoGebra 軟體，使用者可以使用作圖工具繪圖，也可以利用方程式繪圖，更可以利用複數平面上的點所代表的複數來進行乘法後，直接繪在同一複數平面上（意即直接使用幾何圖形進行乘法，不需藉助代數計算），僅需使用 c  a  b 類型的指令即可達成。這在數學教育上提供了相當好的功能來設計輔助教學環境，尤其是此環境能夠同時呈現多重表徵，並且在代數表徵與幾何表徵同時變動時呈現動態的連結，讓學習者可藉由操作與觀察學習其中的數學知識。使用科技並不一定會對教學或學習有助益。電腦環境愈複雜、功能愈強大，可能對初學者產生過多的訊息來源，其陌生的操作介面也可能對數學概念不完備的人產生更多的認知上的負擔。為了要達到教學效果，教學者利用科技工具設計教學環境，應將教學內容以及教學流程妥善地安排在教學環境中呈現，讓使用者能學習到預先設計的數學知識。Dubinsky(1991)對於設計教學課程以建構數學概念思維，提出在設計教學之後，必須回顧與反思，檢討並修正教學設計。所以如何妥善利用現有的環境與資源，依據數學知識與學生的概念結構，審慎地設計出適合教學與學習的環境，是值得研究與探討的。對於設計完成的學習環境，還需評鑑其功效與學生學習效果，進行修正改進，在其後使用此環境時能達到更好的教學效果。國內有關高中生複數單元的研究文獻，大多是研究「錯誤類型」（陳美卿，民 91；陳佳吟，民 94；黃見益，民 94；林佳蓁，民 95；吳銘川，民 97）。他們提出高中生對複數概念的共通的錯誤類型，主要是「複數概念意義不清楚」、「無. 2.

(14) 法將複數與複數平面連結」、「計算錯誤」等等。另外也有文獻指出「複數根的極式表徵」及「複數平面表徵」在高中生的概念心像中較為薄弱（李昭慧，民 92）。這些結論顯示出高中生進行複數表徵的轉換（例如代數計算）與轉移（例如代數與幾何之連結）均存在著困難，但是國內並未有從代數與幾何這兩種表徵轉變的角度來分析學生的概念結構之研究，也較少提及多重表徵環境對學生建構複數乘法概念的影響。由於複數具有代數與幾何等多重表徵，而複數進行乘法時在代數與幾何兩種表徵之間存在的乘法動作之連結，基於從表徵的角度來進行研究以及利用科技來設計多重表徵的學習環境之動機，本研究將以複數乘法為單元素材，探索學生之概念結構與設計動態連結多重表徵之學習環境，並協助學生學習複數乘法之概念。. 第二節研究目的與研究議題本研究之目的，在瞭解學生學習複數乘法情形，以及利用 DGS 的功能設計動態幾何學習環境，幫助學生在此環境中，有效地學習複數乘法。依據研究目的，擬定出兩個研究議題：一、瞭解分析高中生複數乘法概念的概念結構與處理複數乘法問題的解題策略。複數乘法概念的發展，從本體論來看是複雜的，從認識論來看亦存在困難度。本研究在探索高中生學習複數乘法的情形，而表徵是複數乘法概念的關鍵元素，故本研究從複數乘法的數學本質與表徵的面向，來探討高中生關於複數乘法的概念結構與解題策略。研究者將此研究議題分成兩個子問題：（一）高中生的複數乘法概念的概念結構為何？（二）高中生處理複數乘法問題的解題策略為何？二、應用電腦動態幾何軟體，設計複數乘法的學習環境，並探討教學成效。這裡亦將此議題分成兩個子問題：（一）如何設計動態連結多重表徵的複數乘法視窗學習環境？（二）進行電腦動態學習環境之教學成效為何？. 3.

(15) 第貳章. 理論基礎與文獻探討. 本研究之研究議題為：一、瞭解分析高中生複數乘法概念的概念結構與處理複數乘法問題的解題策略。二、應用電腦動態幾何軟體，設計複數乘法的學習環境，並探討教學成效。首先對複數乘法的數學結構作分析，以此作為分析高中生概念結構與解題策略的基準。分析數學結構可從三部分來進行：（一）複數乘法的歷史發展與高中課程安排。（二）複數乘法的表徵形式、表徵之轉換轉移，及表徵的統整應用。（三）複數乘法概念的學習與發展過程。在複數乘法的歷史發展與高中課程安排中，可以發現複數乘法具有多個數學結構層次，以及多重表徵性質。另一個面向，由表徵理論來探討複數乘法的表徵特性與表徵之轉換轉移，以及學生在學習時，所需使用的表徵性質、轉變和統整。接著探討複數乘法概念包含了程序性知識與概念性知識，以乘法符號為樞紐，交互融合成過程概念（procept）。其次，相較於傳統教學環境，分析使用電腦軟體來設計動態連結多重表徵的複數乘法學習環境具有何種優勢，以及此種學習環境如何傳遞數學知識。並且分析在學習理論上，動態連結多重表徵的學習環境除了提供外部表徵之外，也在學習者的處理訊息過程、學習新的數學知識時，加強反思行動，以增進學習的成效。. 第一節複數乘法的歷史發展與中等課程結構數學知識的本質結構均源自於數學發展歷史。歷史上所誕生的數學元件，往往成為課程所需要介紹給學生的數學知識。每一個數學元件在歷史上的發展，都是從簡單的概念，朝向複雜的結構來進行。由數學史發展的先後順序，可以看出各種數學概念簡單或複雜的部分。因此，研究數學的發展史可作為分析數學概念的依據。每一種數字系統的發明，不僅要定義出其元素的意義和符號而已；從代數學的角度來看，還必須定義其元素之間的運算，此運算建立了元素之間的關係。以複數乘法為例，處理 z1‧z2 = z3 之中乘「‧」這個記號，是在建立 z1、z2 與 z3 的關係。然而同樣是使用乘的符號，卻因複數的結構不同，而有不同的運算方式。這點可以從複數的歷史發展中看出。複數的誕生與發展過程可參考表 1 複數發展編年史。. 4.

(16) 表 1 複數發展編年史西元年代. 複數的發展. 1545. 卡丹諾首先使用  15 等表示虛數。. 1572. 邦貝利訂出  1 的四則運算。. 1693. 沃利斯提出複數可視為正數與負數的比例中項。. 1722. 棣美弗提出定理 (cos x   1 sin x) n  cos nx   1 sin nx 。. 1748. 歐拉提出公式 e ix  cos x  i sin x 。威塞爾、阿爾龔提出複數平面概念。. 1797 1831. 高斯使用數對 ( a , b ) 對應他所命名的複數 a+bi，賦予在複數平面上的完整幾何概念。. 在現今的數學世界裡，提到「複數」就會想到 a + b i 的形式，包含實部及虛部，這是經過數學家多年的努力，所淬鍊出的精華，設計出讓學習者容易建構的概念。但是在四百多年前，複數的概念剛開始萌芽的時期，數學家卻不是如此想。十六世紀之前，數學家面對解一個負數的平方根時，如同現今國內國民中學的數學課程一樣，將之視為不存在，而不是實數。然而十六世紀卡丹諾等人在處理三次方程式的公式解，卻時常需要面對這種負數的平方根。卡丹諾在解. x 3  15 x  4 時，使用公式得到一解 x  3 2   121  3 2   121 ，似乎不是一個實根，但是他發現此根應該是實數 4。這造成卡丹諾的困惑，尤其是在當時對複數一無所知的時代，他並不知道應該如何妥善去處理這個式子，能夠把兩個不是實數的式子合併成為一個實數。這也可能是現今學生最初面臨複數的一種困惑。「我們都不知道這個數字是什麼，要如何去化簡它，要如何去將它進行運算呢？」最早脫離這個窘境的是邦貝利。他利用實數算則與代數式的模式，建立  1 的四則運算，但是他並未真正把  1 視為一個數，其目的是藉由這些運算找到應該是實數的根。這似乎是很多學生在面臨新概念時，常常使用的手法。「我不知道它是什麼，但是我會拿它來作運算。」邦貝利的工作為後來的數學家提供方向，不僅使實數系很自然地擴大到複數系，而且為建立複數的計算規則帶來便利。由於處理方程式的根，常會產生實數部分與非實數部分，所以數學家必須將此二部分分開處理，演變成複數的實部與虛部。在進行兩個 a + b  1 形式的式子的乘法時，沿用代數的分配律來處理，並利用  1   1  1 計算結果。然而當時（十六至十七世紀）大部 5.

(17) 分的數學家連複數的存在都無法接受，主要原因是一般數學家認為數應該有某種實在性，而無法以實體來表現負數的平方根。（袁小明，2003）十八世紀時，萊布尼茲等人不顧忌當時複數的未明確性，進行複係數分式的積分，引導出當代數學家關於複數的對數性質的廣泛研究（袁小明）。棣美弗等人從對數的微積分找出複數的極式表示式 cos x   1 sin x ，並提出棣美弗定理. (cos x   1 sin x) n  cos nx   1 sin nx 。接著歐拉提出公式 e ix  cos x  i sin x ，並且得到相當有名的 e ix  1  0 等式。其發明連結了複數、指數與三角函數，為人類瞭解複數的意義提供了新的依據(Maor)。到了這個時期，可分別使用三角函數與指對數性質來呈現極式乘法的運算規則：. (cos    1 sin  )  (cos    1 sin  )  cos(   )   1 sin(   ) ，或是 e ix  e iy  e i ( x  y ) ，並且說明了此種形式的複數乘法，較前期使用分配律計算兩個 a + b  1 形式的乘法更有便利性與豐富性。到了十九世紀，有數學家開始思考，一般以實數與數線上的點作對應，那麼複數兼具實部及虛部的話，是否有合適的對應方式呢？此時威塞爾(Wessel)、阿爾龔(Argand)皆提出複數平面概念，而由高斯接續建構完整的複數平面幾何性質，同時檢驗複數的代數結構在複數平面上仍舊成立(Maor)。他也使用數對 ( a , b ) 對應他所命名的複數 a + b i，終於使得複數能夠為數學家廣為接受。後來數學家從複數平面上找出兩複數的乘法是進行旋轉與伸縮的動作，並發現相似形的性質。（袁小明）從複數的歷史發展中，可以發現複數的表徵形式有三種，在此複數表徵的架構下，複數所進行的乘法形式也有三種：一、複數的一般形式 a + b i（後面簡稱為一般式）。這是最早提出的複數表徵方式。進行兩個一般式的乘法運算時，沿用實數的分配律，可知 (a  b i )(c  d i )  (ac  bd )  (ad  bc) i 。此種複數乘法方式在本研究中，統一稱為「一般式運算程序」。二、複數的極式（或指數式） re i  r (cos  i sin  ) 。這是從複數與對數的微積分推演而來，蘊含較多的數學概念。在進行兩個極式的乘法時，可將分配律與三角函數，經由前述一般式的運算程序，統整到極式運算的規則裡： r1 (cos   i sin  )  r2 (cos   i sin  )  r1 r2 cos(   )  i sin(   ) 。此種複數極式的乘法方式在本研究中，統一稱為「極式乘法法則」。（也可使用指數律來說明此運算，但此部分超出高中課程範圍）三、複數平面。其賦予複數幾何意義。我們可以從高斯所提出的複數平面，來找出複數 a + b i 與極式 r (cos  i sin  ) 的幾何意義與對應關係。其中複數的極式表示式 z  r (cos   i sin  ) ，r 表示 z 的絕對值，即為複數平面上 z 點與原. 6.

(18) 點 O 的距離。θ表示複數 z 的輻角。考慮複數平面上兩個複數點的乘積，與此兩點對應之極式進行乘法動作，兩極式的乘積中，輻角為兩極式的輻角和，在複數平面上可視為旋轉的動作，即將其一複數點對原點旋轉另一複數點的輻角；極式的乘積中絕對值為兩極式的絕對值乘積，在複數平面上可視為將一複數點伸縮另一複數點的絕對值倍數。故可以把複數平面上兩個複數點的乘積，以幾何動作「旋轉」及「伸縮」來表示（如圖 1），如此賦予極式乘法法則的幾何意義。此種複數平面的乘法方式，在本研究中統一稱為「幾何變換」。由於此種幾何變換，需要整合極式乘法法則與代數幾何之間的表徵轉移，故其概念層次較單純代數表徵的極式乘法法則為高。. z1z2. z2 z1. 圖 1 複數平面上兩複數乘法的旋轉與伸縮由上述的分析，以及考慮數學發展史上的先後順序，本研究提出複數乘法的數學結構可分為三個層次：（一）一般式運算程序。（二）極式乘法法則。（三）幾何變換。由於後者均建立在前者的概念之上，前者認知概念未建構完備時無法直接建構後者的概念。故後者的層級較前者為高。「一般式運算程序」與「極式乘法法則」著重於代數結構的處理方式，「幾何變換」則包含幾何結構的動作，及整合代數表徵與幾何表徵連結的過程。而極式乘法法則與幾何變換兩者概念的區分方式，不論是代數表徵或是幾何表徵，如果進行乘法時，是使用圖形的旋轉與伸縮概念，即可歸屬於幾何變換；但如果進行乘法時只是著重於輻角相加、絕對值相乘來找到代數結果，而並未從旋轉伸縮的角度來考量的話，則僅歸屬於極式乘法法則。複數的歷史發展，經過三百年左右才完全為數學家所接受。同樣的，在目前的高中課程中（九五暫行綱要），高一學生在一開始面對複數這個概念時，是否. 7.

(19) 也會產生與卡丹諾相同的困擾呢？當學生建構了複數乘法的「一般式運算程序」的概念時，需要建構「極式乘法法則」與「幾何變換」等較高層次的複數乘法概念時，會產生哪些問題？我們就複數乘法的數學結構之三個層次來看目前高中的教材編排，如表 2。表 2 複數乘法在高中課程中的安排數學結構. 高中課程編排. 教授時間. 一般式運算程序. 第一冊第一章. 高一上學期（約九月~十月）. 極式乘法法則. 第二冊第三章. 高一下學期（約六月）. 幾何變換. 課程中並未強調. 課程中並未強調. 複數乘法的一般式運算程序部分，在高中課程是在第一冊第一章中介紹複數一般式，定義四則運算時教授。此部分亦採用分配律來說明複數一般式乘法的運算模式，與歷史發展相符。極式乘法法則是在第二冊第三章，介紹完三角函數概念時教授。由於要避免牽涉複雜的微積分學（ e ix  e iy  e i ( x  y ) 並非高中課程範圍），故需要使用一般式的運算程序之分配律，及三角函數公式來證明極式乘法法則，此與歷史發展稍有不同。一般式運算程序與極式乘法法則兩部分教授時間相距約八個月，高一學生是否能夠建立完備的知識連結，是否因為時間相距久遠而影響新概念的建構，相當值得我們研究。另外，高中課程中並未強調複數乘法在複數平面上的幾何變換。複數平面的介紹，安排在第一冊第一章介紹 a + b i 的對應點，以及第二冊第三章介紹極式的絕對值與輻角的幾何意義，與極式乘法的代數表徵運算規則，均未牽涉到乘法的幾何變換。然而在大學入學測驗中，曾經出現需要使用幾何變換概念的題目。學生是否能在學習極式時，自行建構代數與幾何表徵之間的關係；教師要如何使用其他輔具，來協助學生建構幾何變換的概念，進而統整各種表徵並解決問題，也相當值得研究。. 第二節數學概念的多重表徵 Lesh(1987)提出表徵為溝通的媒介，數學表徵的五個型態為「實物情境」、「書寫符號」、「口說語言」、「圖像模型」、「教具模型」。Lesh 並強調表徵之間的關係，包含轉換及轉移。在複數的世界裡，我們使用「i」這個符號，來表示  1 這個數學概念。這個 i 就是一種代數表徵，而且為所有數學社群所接受、所公認的表徵形式。我們要學習複數的概念，跟別人溝通  1 這個數學概念，就必須用到 i 這個表徵方式。同樣地，我們要進行乘法的運算，要表示「乘」的這個動作，就需要用到「×」或「‧」這個符號，這也是表徵的形式。當然我們會發現，「i」 8.

(20) 與「‧」（或「×」）是不同類型的表徵形式。「i」是一種代數表徵，象徵的是一個「數」；而「‧」是一種運算的表徵，象徵的是一個「運算」、「動作」或「轉換」。而這些表徵的符號，其代表的可能是實體的物件，也可能代表的是非實體的數學概念。Palmer(1977)提出外部表徵由五個部分所組成：(1)被表徵世界、(2) 表徵的世界、(3)被表徵世界裡被表徵的觀點、(4)表徵的世界裡進行表徵模式的觀點、(5)被表徵觀點與表徵觀點的相互關係（參考圖 2）。我們要看表徵的結構與功能，不僅是從表徵本身（來自表徵的世界）來看，還要看被表徵的物件（來自被表徵的世界），以及其表徵所串連兩個世界的方式。. 被表徵的世界被表徵的觀點. 表徵的世界連結相互關係. 表徵的觀點. 圖 2 Palmer 提出外部表徵的五個部分以複數為例，所有複數本身是被表徵的世界。而表徵的形式有相當多種，形成了表徵的世界。我們以 a + b i 及 r (cos  i sin  ) 或複數平面上的點來表徵其中的幾個複數，如此即建立了兩個世界之間表徵的相互關係。複數乘法的數學結構可分為三個層次：（一）一般式運算程序；（二）極式乘法法則；（三）幾何變換。此三層次的數學形式可以使用代數和幾何兩種表徵來呈現。然而複數乘法這個概念本身是抽象的，必須透過符號（即表徵）來呈現各種數學知識。學生學習複數乘法，也需要透過表徵形式來建構各種數學概念。要檢驗學生的複數乘法三個層次的建構情形，可以從他對此三個層次的表徵使用情形來分析。Kaput(1989) 提出合適的教學應藉由使用表徵形式及結構來建立與表達數學意義。數學意義的建立，主要有兩大部分：一、不同表徵之間的轉移（translation）：包含兩種不同的數學表徵系統之間的轉移，及數學表徵系統與非數學表徵系統之間的轉移。二、表徵之內的轉換（transformation）：（一）藉由圖案與語法（程序性）結構的學習，透過特定表徵內部記號的轉移及操作。（二）藉由心智元件的建立，透過對於操作、程序和概念的反思，以提供在更高的層次時成為新的操作、程序和概念的基礎。 Goldin(1987)也提出個體藉由表徵將外在抽象型態進行內在建構，即為內化成內在表徵。數學的知識本身是抽象的，而我們使用代數符號來表徵實體的物件。當我們熟悉代數符號的運算時，就不需要實體物件的對應。如此將實體的物. 9.

(21) 件，抽象化到心中認知的概念，進而形成個體的「基模」(Skema)。個體不斷地接觸新事物，使用舊基模統整新知識，發展不同的表徵形式進行抽象化及內化，進而學習到龐大而複雜的數學知識。由 Lesh、Kaput 與 Goldin 等人的表徵理論來分析複數乘法知識，可知其具有代數表徵形式及幾何表徵形式等多重表徵。學生學習複數乘法時，需透過表徵（而且是多個表徵）來建構心中複數乘法的概念。而進行複數乘法時，不僅僅只能使用代數表徵之內的轉換，或幾何圖形表徵之內的轉換，還有代數與幾何表徵之間的轉移。例如進行兩個複數的乘法時，在複數平面上是將一個複數點作旋轉與伸縮的動作，對應到代數的極式乘積就是輻角相加、絕對值相乘。複數乘法不僅具有多重表徵的外在形式，而且在代數表徵與幾何表徵對應時，可以產生兩種表徵乘法動作之間的對應連結，以及代數表徵與幾何表徵的轉移。例如進行極式乘法 r1 (cos   i sin  )  r2 (cos   i sin  )  r1 r2 cos(   )  i sin(   ) 時，輻角相加對應到幾何變換的旋轉、絕對值相成對應到幾何變換的伸縮，故極式乘法的動作與幾何變換動作有連結關係的存在，我們可以視需要將極式乘法動作轉移為幾何變換動作，或反之。請參考圖 3。. 代數表徵. 代數乘法計算. 表徵內轉換表徵轉移. 表徵內轉換動態對應連結及表徵轉移. 幾何表徵表徵內轉換. 代數表徵. 表徵轉移. 幾何表徵幾何旋轉伸縮. 表徵內轉換. 圖 3 複數乘法的表徵轉換轉移及乘法動作的對應連結. Janvier(1987a, 1987b)提出的冰山理論：一個具有多重表徵的數學概念就如同一座冰山，每個冰山的一個角就是一種表徵形式。學生學習複數乘法，必須在心中建構表徵結構的冰山，使得冰山的每個角都很完整。而教學的目標是在複數乘法的概念上運用各種表徵，使學生能掌握複數乘法的多重表徵。在解決複數乘法相關問題時，題目呈現的表徵形式就像冰山浮出水面的一個角，學生要能妥善地轉動他心中建構的整座冰山，讓需要的角浮出來，亦即必須能夠掌握各個角的表徵形式，尋找數個合適的解題方式。轉動各個角，象徵著轉換及轉移。所以學生要建構與發展完整的複數乘法概念結構，需要透過表徵之內的轉換，及表徵之間的轉移，以整合各種表徵。要瞭解學生是否建構與掌握複數乘法概念，可從檢驗學生對不同表徵的瞭解，及表徵的轉換轉移及統合情形來著手。. 10.

(22) 複數乘法可分為代數表徵（以下代號為 A）與幾何表徵（以下代號為 G）兩大類。而代數表徵包含了一般式乘法（ (a  b i )(c  d i ) 、代號 Ag）及極式乘法（ r1 (cos   i sin  )  r2 (cos   i sin  ) 、代號 Ai），幾何表徵則為圖形上的旋轉與伸縮。以下研究將表徵的轉換轉移分為四大類：代數轉為代數（A→A）、代數轉為幾何（A→G）、幾何轉為代數（G→A）、幾何轉為幾何（G→G）。由冰山理論來看，學生處理複數乘法問題時，問題的本質可能只是呈現一角，但學生是否能妥善整合各種表徵，選擇合適的表徵形式來處理問題？在傳統教室中，教師講解複數乘法概念時，可能受限於學習環境與工具，不易呈現幾何表徵的旋轉與伸縮，更不易呈現代數表徵與幾何表徵之間的連結。學生要建構好完整的冰山概念，勢必要使用合適理想的工具，讓多重表徵能容易呈現，並能有動態連結的效果。. 第三節程序性知識、概念性知識與過程概念一般數學知識可大致分為程序性知識與概念性知識。進行乘法的運算時，多數都是使用程序性知識來進行。然而複數乘法的領域裡，是否有概念性知識呢？學生所應該建構的複數乘法之概念結構為何？本節從過程概念(precept)的觀點來分析。 Hiebert(1986)提出程序性知識(procedural knowledge)有兩個面向：（一）它是由數學的形式語言，或符號表徵系統所組成，其教學成效之考察，則在要求學習者在一個可接受的「形式」中，對於文字符號及其文法規約操作是否熟練與覺察。（二）它包含了完成數學作業所使用的算則或法則，也就是說，程序性知識是依據一種執行步驟的指示之組合，教導吾人作業如何完成。其特徵是一種預先學定的線性序列之操作。（洪萬生，民 94） Hiebert 也提到概念性知識(conceptual knowledge)可以清楚地刻畫成富有關係（式）的知識。這些關係（式）散佈在個別的事實與命題之中，以致於他們都關連成為一個網絡。事實上，概念知識的一個單位，絕不可能是孤立的資訊片段；按定義，一個資訊片段只有在它的擁有者認識到它與其他片段的關係時，才可能是概念知識的一部份。（洪萬生，民 94） David Tall、Eddie Gray…(1994, 2001)等人亦提出 Process-Concept-Procept 過程概念理論。在符號數學的領域中（包含算術、代數、…），對符號靈活的使用，可當成過程作運算(processes to do)，抑或概念來思考(concepts to think)。好比擁有轉軸一樣，可以在過程與概念中做切換（秦爾聰，1993）。例如「 (1  4i )(cos 60  i sin 60) 」可視為乘法運算（計算其結果），或是積的概念（瞭解為兩複數乘積，並非進行計算）。一個新的數學符號，對初學者來說是陌生而複雜的表徵。典型傳統的符號數學概念的發展，是由程序步驟(Procedure)進展到過程(Process)，進而發展出過程概念(Procept)（如圖 4）。學習者反覆練習一個步驟（例如極式乘法法則），可以 11.

(23) 幫助其正確地處理一些典型的問題。熟練了一個或多個相關步驟（進入過程 Process 階段），學習者可以更靈活並有效率地解題。當學生對數學符號發展出過程概念(Procept)時，表示該初學者能掌握此一數學符號背後所隱含的運算過程（熟練計算），而且能瞭解其數學意涵與概念，並能視情況需求而在程序與概念之間作切換。然而初學者的符號數學概念發展並非是單純線性成長關係（procedual→conceptual→proceptual），而是在過程與概念之間來來回回地修正，最後才形成穩定的過程概念。. 圖 4 數學的程序展現各種層次表現(摘自 Tall, 2001) 由 Hiebert 與 Tall、Gray 等人的理論來分析複數乘法的知識，發現當我們進行一般式或極式的乘法「運算」時，均由代數表徵經過運算成為代數表徵，此部分可屬於程序性知識。然而當我們意識到兩個複數的乘積為一個複數時，瞭解產生的複數與前二複數的關係，並且對此運算已經熟練，可能不需要實際進行運算，即可瞭解算式之意義，此時已經建立了代數的「複數乘法概念」，為概念性知識。例如可以利用「極式乘法法則」計算相關問題時，即已建構該程序性知識；瞭解兩極式相乘時，是絕對值相乘、輻角相加的意義（而不是死背公式，不先想到計算的動作），即已建立其概念性知識。若能夠掌握兩者，視需要決定何時需計算結果，何時需思考概念，即建構了過程概念。. 12.

(24) 以目前高級中學的課程綱要安排，學生需學習並熟練一般式的運算程序，並利用此程序來證明極式的運算規則。亦即學生必須先建構了一般式運算程序的過程概念，能夠從極式與一般式兩者不同表徵中看出其共同點，利用一般式運算程序的概念(concept)，進而進行一般式運算程序的運算(process)，而得到極式乘法法則的結果。所以極式乘法法則的概念，必須建構在一般式運算程序的過程概念之基礎上。如果一般式運算程序的過程概念並未建構完善，則其極式乘法法則之概念亦無法建立。同樣地，當學生已經具備極式乘法法則的過程概念時，能夠瞭解到輻角相加在複數平面上是旋轉的動作、絕對值相乘是伸縮的動作，從極式乘法法則的過程概念而「推動」幾何變換的程序(process)，此時幾何變換的動作能以極式乘法法則的概念來解釋。所以複數平面幾何變換的過程概念之建立，是基於極式乘法法則的過程概念之基礎上。如果極式運算的過程概念並未建構完善，則其複數幾何變換之概念亦無法建立。當然，此處所謂的幾何變換，是強調進行複數乘法的運算。非關複數乘法的幾何性質仍能以其他幾何概念來建立。而在複數平面的幾何變換上，其並非符號的數學，是否仍能符合 Tall 等人提出的過程概念理論呢？由於幾何變換是由極式乘法法則之概念而建構，我們以表徵的角度來看，幾何變換與極式乘法兩者個別在進行運算時，均有合適的對應關係。故在極式上的「程序」（絕對值相乘、輻角相加），對應到複數平面上也是「程序」（伸縮、旋轉）。當學習者熟悉幾何變換之程序之後，能夠思考並瞭解變換的意涵，並能視情況選擇運用概念或進行變換動作，故亦能建構幾何變換的過程概念。以下舉一個題目作為例子：. 請在右圖的複數平面上，標示出 1  4i cos 60  i sin 60 的位置。. O. 2. 4. 此題的解法有很多面向。如果我們並未建構極式乘法法則的過程概念，就可能採取全部都轉為一般式，進行一般式運算程序的作法（在已建構一般式運算程序的概念的情況下）。如果已建構極式乘法法則的過程概念，可以瞭解到 1  4 i 如果轉換為極式，可以進行極式的乘法。雖然 1  4 i 轉換為極式有程序上的困難，但可以從概念上著手，找出輻角與絕對值兩個角色，再進行極式的運算程序。如果已建構幾何變換的過程概念，可以瞭解一個複數乘上 cos 60  i sin 60 ，是在複數平面上將此複數旋轉 60 度的動作，這是概念性知識的想法（乘法為樞紐將過程概念切換到概念性知識並使用）；接著將 1  4 i 的點旋轉 60 度即為所求，此處動用了程序性知識。. 13.

(25) 依據 Tall 等人提出的各層次數學程序(Procedure-Process-Procept)的理論來看，若將整個複數乘法的全體視為一個完整的數學概念，則兩個複數一般式乘法的運算過程，使用基本的乘法分配律與加法規則，經由反覆的計算演練即可學習，屬於複數乘法概念的 Procedure 層級；而極式乘法法則的出發點同為一般式運算程序，利用三角函數性質得到精緻化、更有效率的極式乘法公式，此屬於複數乘法概念的 Process 層級；幾何變換則需擷取極式的幾何性質，並藉由極式的程序性演算來建構出幾何變換部分的乘法概念。幾何變換已是複數乘法的概念，若需進行運算亦可轉移為極式來進行，故幾何變換屬於複數乘法的 Procept 過程概念層級。不論是哪一層級的複數乘法，其概念的建構均是從基本複數元素出發。複數元素包含複數的表徵方式，代數表徵有一般式與極式兩類，對應於幾何表徵有複數平面直角坐標系 ( a , b ) 與極坐標系 [ r ,θ]，其間存在著同表徵的轉換與不同表徵的轉移。藉由一般式乘法、極式乘法或幾何變換等運算規則，建構出複數乘法的一般式運算程序、極式乘法法則與幾何變換等概念。此三者之間亦存在著表徵的轉換轉移，如圖 5。本研究以此圖形為基礎，來分析高中生對於複數乘法的各數學結構的建立情形，以及表徵的使用情形，來形成高中生的概念結構與解題策略之圖形。. 14.

(26) 一般式運算程序. 複數乘法. 幾何變換. 極式乘法法則. 運算規則（一般式、極式、幾何）. 複數元素. 代數表徵. ︵表徵形式︶. 圖例說明：. 幾何表徵. 一般式. 複數平面. a+bi. (a,b). 極式 r (cos  i sin  ). 極坐標系 [ r ,θ]. ：概念. ：建構概念. ：表徵轉換轉移圖 5 複數乘法概念結構的分析圖形. 第四節動態連結多重表徵學習環境國內關於動態連結多重表徵學習環境之研究為數不少，大多發現經由此學習環境教學之學生，其學習成效較傳統教學環境之學生為佳（蔡志仁，民 89；陳天宏，民 92；張美珠，民 92；余酈惠，民 92；張敬楷，民 95）。其中蔡志仁指出，動態連結多重表徵視窗環境的實驗組學生會在解題時，使用圖形表徵作為主要的表徵，其他訊息均會納入此表徵中，在表徵轉換間有一個依據。顯示以動態連結多重表徵的教學環境，能夠協助學生學習並使用圖形表徵。本研究與蔡志仁之研究方式相近，但與國內關於動態連結多重表徵學習環境之研究不同處在於：. 15.

(27) 國內研究之教學內容，大多選擇已具有幾何結構之數學單元；本研究以代數表徵及幾何表徵兼具的複數乘法單元為教學內容，必須設計出高中課程未強調的幾何變換部分，並且利用代數表徵與幾何表徵建立三種數學結構之間的連結。前面數節已說明複數乘法具有多重表徵的性質，其概念是複雜的，兼具程序性知識與概念性知識。教學者會利用豐富的知識來補充此概念的各種表徵，但是學習者卻可能得到不完整、不正確、非主軸方向的資訊，將影響學習者對複數乘法概念嚴謹的定義與符號表徵的認知。我們必須瞭解學生對數學學習的訊息處理方式，並且知悉動態連結多重表徵在此訊息處理模式中可以提供之功能與助力，以作為設計學習環境的準則。當學習者透過數學抽象結構外在表徵的反思抽象，以發展與應用內在表徵時，學習者開始進行數學學習。根據訊息處理理論，學習者的學習過程如圖 6。. Abstract structure of mathematical ideas (concepts, problem solving, strategies) Input stumila. Out-put response. (Embodiment). (Interpretation). External. Information process. Internal. representations. (Abstraction). representations. 圖 6 學習過程(摘自 Tso, 2001) 數學概念的抽象結構以外部表徵具體化呈現，經由學習者將接收到外部表徵的訊息過程抽象化，形成學習者的內在表徵；並由學習者對該數學概念作解釋型的回應，完成此數學概念的學習。現今因科技進步，學習過程因使用工具的介入，能夠在關鍵的部分增強效果，增加學習成效。Tso(2001)提到在學習環境中，學習者透過反思行動以形成抽象概念。而連結多重表徵系統的電腦學習環境不僅可以豐富概念性的表徵，也可以重新組織認知結構，並產生新的表徵。學習系統的設計，必須找到已知表徵與新增表徵之間共同的概念，也應鼓勵反思，鼓勵對已知概念提出質疑，及鼓勵產生新的表徵。故我們設計動態連結多重表徵的學習系統，應利用此系統增強外在表徵，提供訊息與操作以進行反思行動，其建構之內在表徵能在反思行動中重新提供訊息與認知操作。Tso 所提出的動態連結多重表徵之學習環境設計關係圖如圖 7。. 16.

(28) Multiple dynamic linked representations. Abstract structure of mathematical ideas (concepts, problem solving, strategies) Out-put response (Interpretation). Input stumila (Embodiment). External representations. Information process (Abstraction). Internal representations. Reflection-on-Action (Accommodation, Assimilation, translation, coordination). information Perceived information. Retrieved information. operation Perceptual operation. Cognitive operation. 圖 7 動態連結多重表徵之學習環境設計關係圖我們應在教學過程中，將教學工具融入教學策略中，以確實地實現有效的教學。若只使用電腦設備及軟體，而教學者未能設計合適的教學流程，是無法提升學習者的學習成效。故要設計複數乘法的動態連結多重表徵之學習環境，應注意下列幾點：一、應提供數種不同的外在表徵，以提供學習者多種訊息來源。此環境應能同時呈現複數乘法的代數表徵與幾何表徵，學習者能比對此兩種表徵之間的關係與差異。二、提供學習者能夠接收的訊息，以及概念性的操作法則。例如在複數平面上呈現一個複數點，應該能夠同時顯示該點的複數一般式或是極式（極坐標）。學習者能夠瞭解拖曳該複數點，則代表之複數同時改變，進一步瞭解藉由拖曳達到變更複數的操作方式。三、藉由操作比對舊有的概念，經過矛盾、修正與強化進行訊息處理，以建構內在表徵。所以設計有效率的複數乘法學習環境，不僅是由教學者展示給學習者觀看而已，還需要讓學習者以比對舊有概念的意識下自行操作，才能修正舊有概念，進而建構新的概念。四、重新獲得來自建構的內在表徵之訊息，有意義地操作動態連結多重表徵學習環境，不斷地反思行動，建構穩固的內在表徵概念。我們在設計學習環境時，同時設計搭配之輔助教材（例如學習單），引導學生從尋找解決輔助教材上. 17.

(29) 問題之方法過程中，操作學習環境以達到建構概念與反思的目的。如無學習單之輔助，學生可能流於模仿或無意識地嘗試而缺乏學習效果。合適的動態連結多重表徵學習環境，有助於學習者透過反思行動以學習新概念。而我們應採用何種環境，具備動態連結多重表徵的功能，可以設計出合適的學習環境呢？在認知發展上，Vygotsky 提出記號(sign)與工具(tool)兩個關鍵角色。在心理學活動上記號的作用就像心理學活動的儀器(instrument)，而工具的角色就像勞動(labour)。內在化的過程並非轉移外部活動至已事先存在內部「知覺的平面(plane of consciousness)」，而是在內在化的過程中這平面才形成。這內在化過程需透過符號的過程(semiotic process)。Mariotti(2007)等人亦提到，Vygotsky 的觀點可以解釋工具的功能是在仲介(mediate)概念形成的動作：記號生成與工具的使用有關，透過複雜的內化過程可以形成新的意義。由此觀點可知，特定工具可以如符號仲介者(semiotic mediator)發揮功能，或者說是符號仲介的儀器 (instrument of semiotic mediation)。Mariotti 進一步提出，動態幾何(dynamic geometry)環境包含了工具與記號，提供包含時間與空間的環境；拖曳工具. (Dragging tool)就像函數之自變數與應變數間互變關係的「記號」，軌跡工具(Trace tool)也可想成參照軌跡的數學概念的「記號」，就像可能的符號仲介工具。從 Vygotsky 與 Mariotti 等人的觀點與理論，可以瞭解個體在建構概念與內化時，需要記號與工具的仲介物。而 Mariotti 等人研究 Cabri 的動態幾何環境，提到 DGE（Dynamic Geometric Environment，動態幾何環境）中物件經由使用者使用拖曳工具後產生的移動，有直接動作與間接動作兩種：一、直接動作：元素直接變動，可能是一點在一區域或直線上移動、一圓在移動等等。在一般動態幾何環境中，這些元素在親子關係中是屬於「親」類，即為其他元素的決定因素。二、間接動作：當某些元素已經形成一個結構，如果拉動其中某些元素，則部分其他元素會依據此結構而產生動作，以維持原數學結構性質。在一般動態幾何環境中，這些被拉動元素在親子關係中是屬於「子」類，即被其他元素所決定。此二動作即為設計動態幾何環境的原理。我們利用 DGE 來設計數學的教學與學習環境時，需要考量環境中哪些元素需具備要教學的數學關係，學生如何透過操作，來觀察並學習到該數學關係。Mariotti 等人也提到動態幾何環境中工具的使用有一個很重要的因素：「時間」。當我們在拖曳物件，或是由軌跡的生成來觀察時，時間的因素可以讓使用者感受到「改變」。這就是動態幾何環境與一般繪圖軟體的差異。一般繪圖軟體可以呈現一張靜態的圖，圖中的某些元素可以呈現數學性質，不同之處在於動態幾何環境可以經由拖曳部分元素，使某些數學性質維持，某些數學性質改變。這是一般繪圖軟體不具備的功能。選擇使用電腦環境，甚至是動態幾何環境，來作為數學知識的教學或輔助教. 18.

(30) 學的環境，比起傳統的教學與學習環境有幾點優勢：一、目前國內高中學生已學習過電腦環境的操作與觀察輸出結果，而且目前環境已經進入視窗介面、物件介面與人性化介面，未來還有觸控點選操作的環境即將普及。比起其他傳統教學的環境與其他教具，有更大的發展空間，與更彈性的使用方式。而且幾乎每位學生的家裡都有電腦；目前新課程標準（九九課綱）中，各校應建構數學教學的電腦教室；如此使用電腦學習環境可以連貫，不致於離開傳統的教室後就無法教學或學習。二、電腦視窗環境(Windows)比起傳統環境，在呈現多重表徵的方式上較為便利。尤其視窗意味著可以同時開啟不同的工作環境，可以一個視窗呈現代數表徵，另一個視窗呈現幾何表徵，甚至於在同一視窗中同時呈現不同的表徵。三、動態幾何環境更在使用上提供了動態的效果，還有動態的連結。當我們改變（拖曳）DGE 中某個元素的位置時，可以同時改變其代數表徵性質（例如方程式），或其表列表徵（例如坐標）。這是傳統環境中不容易做到的。其次，動態拖曳時，部分元素會維持某些數學性質不變，某些數學性質會改變。不變的數學性質可提供使用者經由操作與觀察來發覺與學習。在傳統的學習環境教學者僅能透過描繪、口述與文字來呈現，學習者要觀察與想像教學者所要傳達的數學知識，相形之下較為困難。. Mariotti 等人是利用 Cabri 的軟體來進行研究。而目前有相當多的動態幾何軟體問世，各有其特性與優勢。以 GeoGebra 為例，除了在幾何環境中使用者可以使用傳統的尺規作圖、利用關鍵點來繪製正多邊形或圓錐曲線之外，此環境亦賦予每個繪出元件代數性質（點坐標、線方程式），使用者也可以在代數輸入區輸入方程式來繪圖、輸入代數名稱進行運算（例如 a 與 b 均代表向量，則執行 a  b 可呈現兩向量之和），更可以將坐標或方程式直接在物件上呈現，在物件移動時坐標或方程式可隨之移動，此屬於基本動態連結代數表徵與幾何表徵性質。最重要的，是 GeoGebra 提供複數 a  b i 與極坐標 (r , ) 環境，可以呈現複數一般式與極式（以極坐標表示），這對於本研究設計複數乘法的多重表徵學習環境來說是相當有利地。在前面提到在認知發展上有記號與工具兩個關鍵角色。我們所設計的動態幾何環境就相當於「工具」，而教師與學生透過此工具，呈現在螢幕上的幾何表徵與代數表徵，就像是「記號」。透過記號，教師可傳達數學知識給予學生；設計好的學習環境也可以傳達數學知識給予使用者，而不一定需要教學者的示範操作。DGE 不僅僅是動態幾何環境，而且是動態數學環境 Dynamic Mathematics Environment，甚至是動態數學系統(Dynamic Mathematics System)。以 GeoGebra 為例，它可以結合 JavaScript 語法整合至網頁中，使用者可以透過上網的方式，完整地使用設計好的 GeoGebra 網頁，只要支援 Java 環境，並不需要再安裝 GeoGebra 主程式。如此可設計成為網頁型態之教學與學習系統，不再是單機操作的程式而已。. 19.

(31) 第參章. 高中生複數乘法概念結構與解題策略. 本研究之目的，在瞭解學生學習複數乘法情形，以及利用 DGS 的功能設計動態幾何學習環境，幫助學生在此環境中，有效地學習複數乘法。整體研究架構如圖 8。. 表徵整合與使用. 數學結構. 過程概念. 解題策略. 概念結構議題一. 複數乘法議題二(2). 議題二(1). 設計動態連結多重表徵學習環境. 科技特色. 教學實驗. 檢驗. 學習環境教學成效. 學習理論圖 8 研究架構本章就高中生關於複數乘法之概念結構與面對複數乘法問題之解題策略來說明研究方法、研究發現與討論。第肆章則說明設計複數乘法之動態連結多重表徵之學習環境。第伍章說明此學習環境教學成效之研究方法、研究發現與討論。. 第一節研究方法一、研究設計本研究之第一個研究議題在瞭解高中生對複數乘法的概念結構，故研究的樣. 20.

(32) 本應選取已經學習過複數乘法相關知識的學生，探討其概念建構情形。為了使結果有代表性，樣本數量應該有一定數量，故不採用個案研究；同時考量研究進行之便利性，故挑選數個普通班級（未經能力篩選）的全班學生進行研究。由第貳章文獻探討之表徵理論得知，為了瞭解高中生對複數乘法的各部分概念是否建構完成，可以從他對相關概念的表徵之理解與操弄、轉換與轉移來進行分析；並且要瞭解高中生對複數乘法問題的解題策略，所以本階段採用質性的研究方法。因研究樣本總數可能達到數十人，故研究工具以進行診斷性測驗為主，訪談樣本為輔。測驗問卷可以有效率地得到整體性的訊息，訪談樣本可以釐清細節。然而現階段並沒有現成、合適的診斷性題目，可以同時測驗一般式運算程序、極式乘法法則與幾何變換三種複數乘法概念，尤其幾何變換並未列入高中課程，可能不易尋找相關測驗題目。而傳統的測驗題目多數著重於代數計算，所需進行的程序常相當繁複，故診斷性問卷題目必須依照本研究之目的重新設計，並需要檢驗其信度與效度。當測驗問卷資料蒐集完成後，對所有樣本資料編碼，尋找樣本間的相似性與差異性。比對複數乘法概念結構的分析圖形（如第貳章圖 5），將所有樣本依照相似性與差異性分為數種類型。其次，在各類型中依立意取樣，選取一至二人進行診斷性訪談，其用意在於「三角校正」：一為確認診斷性問卷的結論之正確性，另一為釐清測驗問卷中無法提供的線索。將此兩部分資訊結合，嘗試歸納出樣本的概念結構與解題策略，以及面對複數乘法題目時可能發生困難的部分及原因，作為本研究的研究成果並作成建議。第一階段關於概念結構與解題策略研究流程如圖 9。以下各節就本研究之研究樣本、研究工具、研究過程、蒐集資料與處理及研究限制詳細說明。. 設計問卷. 問卷施測. 建構圖形. 訪談樣本. 完成圖形. 圖 9 概念結構與解題策略研究流程. 二、研究樣本由於本階段研究旨在探討高中學生對複數乘法的概念概念及解題策略，並考量學習後時間過久可能會影響概念之完整性，故研究樣本選取已經學過複數乘法單元的高二學生。同時期盼研究樣本在不同的程度均有代表性，而且在進行測驗及訪談時，能夠適切並忠實地回答問題，此研究樣本必須不能經過程度篩選的分班，故此階段採立意取樣，選取北部某公立高中內兩班高二自然組學生作為研究樣本。此兩班各有 41 人，總共 82 人，並未經過程度篩選（該年級並無資優班設立）。在其高一入學之基本能力測驗，PR 值範圍為 67~79，在全國考生中約屬於 21.

(33) 中等成績。高一的數學平均成績上，低分至高分各程度均有，分佈平均。樣本選取自然組學生，而非社會組學生，其原因是考量自然組學生在書寫其數學之思考與計算歷程時，較一般社會組學生有條理而且完整。在後續進行訪談時，考量自然組學生回應數學問題的情形比社會組學生豐富，較能忠實描述其想法，故樣本選取自然組學生，以有效獲取資料。診斷性訪談樣本之選取方式，是依據診斷性問卷大略分類結果，期望在各類型中均有訪談樣本，在各類型中以電腦隨機抽取一至二人，樣本背景如表 3。表 3 診斷性訪談樣本之背景代號. 性別. 高一數學程度（區分上中下）. 樣本對自己高一數學的感覺描述. S1. 男. 中. 剛進高中時，覺得數學的難度跟國中差很多，感到很不適應，後來慢慢地覺得比較輕鬆。. S2. 男. 下. 普普通通，沒有特別感覺，部分簡單，部分難。. S3. 男. 上. 喜歡算數學，但是太難的會問老師。偶爾會想挑戰難題。又愛又恨，喜歡算對題目時的感覺。可是當別人會的題目我不會時，會難過。高中數學跟國中數學差很多，不僅要記很多公式，還要靈活運用。沒有特別的感覺，僅按部就班地去學習上課的課程。. S4. 女. 上. S5. 女. 下. S6. 女. 中. S7. 男. 上. 沒感覺，只不過是學到更多的公式、更多算法而已。. S8. 女. 中. 使用觀察法，不太需要記公式即能解題。. 下. 覺得有點困難，即使會了基本觀念和公式，也不能一一解決所有的題目。. S9. 女. 三、研究工具此階段研究工具之設計目的，在於瞭解高中生處理複數乘法問題的解題策. 22.

(34) 略，並提供高中生的複數乘法概念的概念結構之資料來源。研究工具以進行診斷性測驗為主，訪談樣本為輔。研究者設計屬於研究範疇內之相關的題目形成診斷性問卷，請研究樣本對此問卷來進行解題。其次對診斷性訪談的樣本進行訪談，以發掘該樣本在問卷上作答情形的原因，以及找出未能在問卷上呈現之關鍵因素。所有樣本的作答狀況以及受訪樣本的回答資訊，均可作為分析結果的資料來源。設計問卷時，先分析複數乘法知識的數學結構，以及表徵的使用情形。依據第貳章所論述的表徵理論，分析複數乘法的表徵形式可分為代數和幾何兩大類，代數的表徵形式又包含了代數一般式 a + b i 與極式 r (cosθ+ i sinθ) 兩類，幾何表徵包含了複數平面上的複數點及絕對值、輻角等相關元素。在本研究中以代號 Ag 表示代數一般式 a + b i、Ai 表示極式 r (cosθ+ i sinθ)、代號 G 表示幾何表徵。本研究要分析學生的概念結構，所以要瞭解其表徵的運用情形，故將重點放在表徵之內的轉換，和表徵之間的轉移。從表徵面向來分析區分為四種類型： (1)代數表徵轉換為代數表徵（Ag→Ag、Ag→Ai、Ai→Ag、Ai→Ai）。 (2)代數表徵轉移為幾何表徵（Ag→G、Ai→G）。. (3)幾何表徵轉移為代數表徵（G→Ag、G→Ai）。 (4)幾何表徵轉換為幾何表徵（G→G）。分析複數乘法的數學結構，區分為複數基本性質、一般式運算程序、極式乘法法則、幾何變換四個部分。此四個部分作為雙向細目表的縱軸項目。其中複數基本性質為學習複數乘法時的先備知識，此部分的作答情況可以作為我們分析樣本之先備知識部分與複數乘法三個層次概念之相關情形的資訊來源。例如某樣本的診斷性問卷作答情形呈現該樣本處理圖形的旋轉與伸縮有困難，我們可分析是否與該樣本處理極式與極坐標平面的轉移有關。以表徵分析的四種類型作為橫軸項目，以複數乘法數學結構的四個部分作為縱軸項目，可以得到複數乘法的數學結構與表徵轉換轉移的雙向細目表（如表 4）。本研究所有的測驗設計與教學設計均以此雙向細目表為基礎。. 23.

(35) 表 4 雙向細目表表徵轉換數學轉移結構. 代數轉代數. 代數轉幾何. 幾何轉代數. 幾何轉幾何. 複數基本性質一般式運算程序極式乘法法則幾何變換（一）診斷性測驗診斷性測驗的題目之設計，是研究者參考各版本的課本例題、歷屆大學學科能力測驗與指定科目考試等入學測驗，並依據雙向細目表中縱軸數學結構部分，與橫軸表徵的轉換轉移類型，設計適合於該欄的的測驗題型。期盼在雙向細目表中每一欄都有代表性題目，以檢驗樣本在各數學結構層級與表徵轉換轉移之概念是否完備。就表徵的角度來看，由於此部分研究在於探討高中生對複數乘法概念的解題策略，而非測驗學生的數學能力，故所選擇或設計的測驗題目，為使用單純的同一表徵內的轉換形式，或單純的兩不同表徵之間的轉移形式即可進行解題，不應使用多層次的表徵轉換與轉移，或複雜的表徵應用才可解題。就數學結構方面，除了測驗學生是否能掌握複數乘法各層級的概念，另外需要瞭解學生面對不同複數乘法的問題時，所使用的解題方式之數學結構層級，是達到一般式運算程序、極式乘法法則、幾何變換之何種層級，故在安排測驗題目時，除了考慮使用單一層級解題方式之外（例如該題目只使用極式乘法規則來解題），還需要考慮可以選擇不同層級解題方式的題目（例如該題目可使用一般式一般式運算程序，也可以使用極式乘法法則來解題）。從這部分的測驗結果資料可以看出，樣本在面對此類問題時，是否會依據題目的性質與已知條件，來調整其解題方式，或是僅採用其熟悉的解題方式，而不會嘗試提升解題層級。雖然在現行高中數學課程標準與各版本的教科書在編排上，並未強調有關複數乘法的幾何變換（旋轉、伸縮），但是樣本是否能夠自行建構幾何變換的數學概念及解題方式，亦可從此部分測驗結果的資料得知。如此整理並設計出十四題屬於雙向細目表各層級的題目（參考附錄一），並分析各題在雙向細目表中的屬性位置。在此雙向細目表中，依照屬性的不同，有一些格子內是沒有代表性題目的。例如一般式乘一般式，是純粹在代數上運算，所以雙向細目表中，「一般式運算程序」對應「幾何轉幾何」就沒有合適的題目。為求測驗題目的效度，研究者邀請國立台灣師範大學數學教育研究所五位研究生（一位博士生、四位碩士生），及北部不同學校之七位資深高中數學教師，進行. 24.