數學知識的本質結構均源自於數學發展歷史。歷史上所誕生的數學元件，往 往成為課程所需要介紹給學生的數學知識。每一個數學元件在歷史上的發展，都 是從簡單的概念，朝向複雜的結構來進行。由數學史發展的先後順序，可以看出 各種數學概念簡單或複雜的部分。因此，研究數學的發展史可作為分析數學概念 的依據。
每一種數字系統的發明，不僅要定義出其元素的意義和符號而已；從代數學 的角度來看，還必須定義其元素之間的運算，此運算建立了元素之間的關係。以 複數乘法為例，處理z1‧z2 = z3之中乘「‧」這個記號，是在建立z1、z2與z3的 關係。然而同樣是使用乘的符號，卻因複數的結構不同，而有不同的運算方式。
這點可以從複數的歷史發展中看出。複數的誕生與發展過程可參考表 1 複數發展 編年史。
表 1 複數發展編年史
西元年代 複數的發展
1545 卡丹諾首先使用 15等表示虛數。
1572 邦貝利訂出
1
的四則運算。1693 沃利斯提出複數可視為正數與負數的比例中項。
1722 棣美弗提出定理(cosx 1sinx)n cosnx 1sinnx。 1748 歐拉提出公式eix cosxisinx。
1797 威塞爾、阿爾龔提出複數平面概念。
1831 高斯使用數對 ( a , b ) 對應他所命名的複數 a+bi，賦予 在複數平面上的完整幾何概念。
在現今的數學世界裡，提到「複數」就會想到a + b i 的形式，包含實部及 虛部，這是經過數學家多年的努力，所淬鍊出的精華，設計出讓學習者容易建構 的概念。但是在四百多年前，複數的概念剛開始萌芽的時期，數學家卻不是如此 想。十六世紀之前，數學家面對解一個負數的平方根時，如同現今國內國民中學 的數學課程一樣，將之視為不存在，而不是實數。然而十六世紀卡丹諾等人在處 理三次方程式的公式解，卻時常需要面對這種負數的平方根。卡丹諾在解
4
3 x15
x 時，使用公式得到一解x3 2 1213 2 121，似乎不是一 個實根，但是他發現此根應該是實數 4。這造成卡丹諾的困惑，尤其是在當時對 複數一無所知的時代，他並不知道應該如何妥善去處理這個式子，能夠把兩個不 是實數的式子合併成為一個實數。
這也可能是現今學生最初面臨複數的一種困惑。「我們都不知道這個數字是 什麼，要如何去化簡它，要如何去將它進行運算呢？」最早脫離這個窘境的是邦 貝利。他利用實數算則與代數式的模式，建立
1
的四則運算，但是他並未真 正把 1
視為一個數，其目的是藉由這些運算找到應該是實數的根。這似乎是 很多學生在面臨新概念時，常常使用的手法。「我不知道它是什麼，但是我會拿 它來作運算。」邦貝利的工作為後來的數學家提供方向，不僅使實數系很自然地 擴大到複數系，而且為建立複數的計算規則帶來便利。由於處理方程式的根，常 會產生實數部分與非實數部分，所以數學家必須將此二部分分開處理，演變成複 數的實部與虛部。在進行兩個 a + b 1
形式的式子的乘法時，沿用代數的分配 律來處理，並利用 1 1 1
計算結果。然而當時（十六至十七世紀）大部分的數學家連複數的存在都無法接受，主要原因是一般數學家認為數應該有某種
點O 的距離。θ表示複數 z 的輻角。考慮複數平面上兩個複數點的乘積，
與此兩點對應之極式進行乘法動作，兩極式的乘積中，輻角為兩極式的輻角 和，在複數平面上可視為旋轉的動作，即將其一複數點對原點旋轉另一複數 點的輻角；極式的乘積中絕對值為兩極式的絕對值乘積，在複數平面上可視 為將一複數點伸縮另一複數點的絕對值倍數。故可以把複數平面上兩個複數 點的乘積，以幾何動作「旋轉」及「伸縮」來表示（如圖 1），如此賦予極 式乘法法則的幾何意義。此種複數平面的乘法方式，在本研究中統一稱為「幾 何變換」。由於此種幾何變換，需要整合極式乘法法則與代數幾何之間的表 徵轉移，故其概念層次較單純代數表徵的極式乘法法則為高。
圖 1 複數平面上兩複數乘法的旋轉與伸縮
由上述的分析，以及考慮數學發展史上的先後順序，本研究提出複數乘法的 數學結構可分為三個層次：
（一）一般式運算程序。
（二）極式乘法法則。
（三）幾何變換。
由於後者均建立在前者的概念之上，前者認知概念未建構完備時無法直接建 構後者的概念。故後者的層級較前者為高。「一般式運算程序」與「極式乘法法 則」著重於代數結構的處理方式，「幾何變換」則包含幾何結構的動作，及整合 代數表徵與幾何表徵連結的過程。而極式乘法法則與幾何變換兩者概念的區分方 式，不論是代數表徵或是幾何表徵，如果進行乘法時，是使用圖形的旋轉與伸縮 概念，即可歸屬於幾何變換；但如果進行乘法時只是著重於輻角相加、絕對值相 乘來找到代數結果，而並未從旋轉伸縮的角度來考量的話，則僅歸屬於極式乘法 法則。
複數的歷史發展，經過三百年左右才完全為數學家所接受。同樣的，在目前 的高中課程中（九五暫行綱要），高一學生在一開始面對複數這個概念時，是否
z
1z
2z
1z
2也會產生與卡丹諾相同的困擾呢？當學生建構了複數乘法的「一般式運算程序」
的概念時，需要建構「極式乘法法則」與「幾何變換」等較高層次的複數乘法概 念時，會產生哪些問題？我們就複數乘法的數學結構之三個層次來看目前高中的 教材編排，如表 2。
表 2 複數乘法在高中課程中的安排
數學結構 高中課程編排 教授時間
一般式運算程序 第一冊第一章 高一上學期（約九月~十月）
極式乘法法則 第二冊第三章 高一下學期（約六月）
幾何變換 課程中並未強調 課程中並未強調
複數乘法的一般式運算程序部分，在高中課程是在第一冊第一章中介紹複數 一般式，定義四則運算時教授。此部分亦採用分配律來說明複數一般式乘法的運 算模式，與歷史發展相符。極式乘法法則是在第二冊第三章，介紹完三角函數概 念時教授。由於要避免牽涉複雜的微積分學（eixeiy ei(xy)並非高中課程範 圍），故需要使用一般式的運算程序之分配律，及三角函數公式來證明極式乘法 法則，此與歷史發展稍有不同。一般式運算程序與極式乘法法則兩部分教授時間 相距約八個月，高一學生是否能夠建立完備的知識連結，是否因為時間相距久遠 而影響新概念的建構，相當值得我們研究。
另外，高中課程中並未強調複數乘法在複數平面上的幾何變換。複數平面的 介紹，安排在第一冊第一章介紹a + b i 的對應點，以及第二冊第三章介紹極式的 絕對值與輻角的幾何意義，與極式乘法的代數表徵運算規則，均未牽涉到乘法的 幾何變換。然而在大學入學測驗中，曾經出現需要使用幾何變換概念的題目。學 生是否能在學習極式時，自行建構代數與幾何表徵之間的關係；教師要如何使用 其他輔具，來協助學生建構幾何變換的概念，進而統整各種表徵並解決問題，也 相當值得研究。