第一節 研究結論
本節綜合研究發現與討論，作成研究結論。以下就兩個研究議題分別提出研 究結論：
一、概念結構與解題策略
（一）高中生的複數乘法概念之概念結構
高中生對於複數乘法的概念結構，可分為三種類型：
1.表徵整合型：已建構一般式運算程序概念、極式乘法法則概念與幾何變換概 念，並整合多重表徵，能統整使用合適的解題方式。
2.表徵轉移型：已建構一般式運算程序概念與極式乘法法則概念，但未完整建構 幾何變換概念，處理複數乘法問題時會將幾何題型轉移為極式乘法法則或一般 式運算程序來處理。
3.單一表徵型：已建構一般式運算程序概念。處理其他類型的複數乘法問題，會 轉換或轉移為一般式運算程序來處理。
從過程概念理論來看整體複數乘法概念，一般式運算程序屬於程序步驟 (Procedure)，極式乘法法則可視為過程(Process)，而幾何變換則為過程概念 (Procept)。從整體比例來看，約僅有 5 %的學生學習複數乘法概念至過程概念層 次，並能整合代數表徵與幾何表徵；大部分學生的複數乘法概念仍停留在代數運 算的程序步驟與過程的層次。而全部僅有約 32 %的學生能使用極式乘法法則，
亦可看出半數以上的學生仍未能瞭解極式乘法的概念。
（二）高中生處理複數乘法問題的解題策略
高中生對於複數乘法問題的解題策略，可分為四種類型：
1.靈活豐富型策略：能使用一般式運算規則、極式乘法法則與幾何變換來處理問 題；能整合多重表徵，結合不同的複數乘法概念；面對複數乘法的問題時，會 找出合適的線索與表徵，利用表徵的轉換或轉移，轉變為合適的解題方法，不 受題意或情境影響。
2.情境型策略：能使用一般式運算規則與極式乘法法則來處理問題。面對複數乘 法問題時，選擇所採取的解題方式會受到題意情境的影響，通常採用與題意相
同表徵來處理問題，或者依據學生之喜好來決定解題方式。並不會將兩三種複
(4)「極式乘法的代數表徵」與「幾何變換的幾何表徵」之間的連結。
二、複數乘法之動態視窗環境設計
設計複數乘法的動態視窗環境，必須基於數學結構、科技特色與學習理論三 個面向的考量：
（一）數學結構：將複數乘法知識依據課程綱要與教學內容區分為數個單元，
並依據第一階段研究所得樣本學習複數乘法的關鍵因素與困難點來設計。
（二）科技特色：從以下兩點來呈現：(1)使用者與視窗學習環境之互動；(2)動 態連結多重表徵。本研究設計呈現複數之代數表徵之一般式、極式與幾何 表徵的複數平面，是利用 GeoGebra 與 JavaScript 結合的科技環境特色。
（三）學習理論：動態連結多重表徵環境提供學習者外部表徵與反思行動之訊息 及操作，協助學習者建構概念。設計此環境應考量動態連結多重表徵呈現 方式，以及使用者與視窗環境互動部分，提供使用者進行反思行動的機會。
其次，選定設計軟體，將教學內容利用動態連結多重表徵性質設計出教學環 境。並擬定教學實驗及評量方式，檢驗此動態視窗環境之教學成效，作為修改教 學環境之依據。
本研究所設計複數乘法之動態視窗環境為六個單元：(1)一般式轉極式；(2) 極式轉一般式；(3)一般式乘積；(4)極式乘法；(5)極式除法；(6)棣美弗定理。其 環境在動態連結多重表徵、視窗型環境及教學內容具有特色。詳細介紹請參考第 肆章。
三、動態視窗環境之教學成效
（一）動態視窗環境之教學成效
動態視窗環境在教學上有其成效，能夠對大部分實驗組的學生，藉由環境的 代數表徵與幾何表徵的動態連結，協助其建構極式乘法法則概念與幾何變換概 念，並經由回想及學習視窗環境的動作來整合與運用各種表徵。然而對單一表徵 受限型的部分學生，動態視窗環境的教學成效有限。
（二）動態視窗環境與傳統教學環境之教學成效差異
透過動態連結多重表徵視窗環境之教學，使較多數學生能學習多重表徵連結 與整合運用。視窗環境在代數表徵與幾何表徵的連結與整合之教學與使用上有其 成效，對表徵轉移型學生的助益較大，並能提供半數以上學生建立代數表徵與幾 何表徵的連結，以及面對問題時直接進行幾何變換的理由。傳統教學環境在代數 表徵轉換的教學與使用上有其成效，單一表徵型學生在此環境的學習效果較佳；
然而在此傳統教學環境下之學生在處理代數與幾何之間轉移的複數乘法問題 時，多數仍選擇從極式或一般式等代數表徵中尋找解題方法。
（三）樣本對動態視窗環境的接受情形
受訪樣本均表示能夠接受動態視窗環境的教學。樣本並能比較出動態視窗環 境與傳統教學環境的差異，以及提到電腦環境可以自行操作，可以透過操作以驗 證心中的推測與解決疑點。電腦學習環境可以提供一些動態的圖像，讓學生在觀 察與思考時有實例可以依循；而在傳統教學環境，學生沒有動態的實例可循，只 能依據教學者的敘述與黑板上的靜態圖示來想像可能的變化。電腦學習環境不僅 在教學上使學生產生反思行動達到學習效果，也可能使部分學生對他與此環境之 互動產生後設認知，能夠審視自己的學習情況。