三、 研究方法
3.3 建立併購的實質選擇權模型
根據Trigeorgis在1993年的文獻中，提出了利用Binomial Tree Option Model計 算併購計畫價值。在此步驟中，我們必須求得該項選擇權在t=0 時之初值，在t=T 時之執行價格，該選擇權之變異數(Variance)，無風險利率、以及執行時間(T)等 參數。在求出合併案所隱藏選擇權之初值之後，接著以Event Trees 法來分析此合 併案的選擇權價值隨時間演化之情形。我們以三年作為企業合併的執行期與磨合 期的平均時間。而且不確定的情況最常發生在此階段，因此以二項式模型來分析 此個案之不確定性。
圖 4 選擇權事件樹
V：t=0 時的初值。 t=0 表宣示合併之日起 u：(1+up%)
d：(1+down%) Vu = V × u Vd = V × d Vuu = V × u × u Vud = V × u × d
… … …
上圖中我們可看到選擇權隨時間演化的情形。由於我們是使用二項式模型，
因此只有成長(u)及衰退(d)兩種情形。此模型還有一個重要的假設就是每一個時間 內成長或衰退的幅度是相同的。至於u 或d 如何求得，可由實務經驗判斷得知，
或我們可以假設V 是服從Lognormal 分配，則u=eσ、d=1/u。(σ為V的波動性) 若要得到更精密的答案，則我們可將時間的區間分割成一季、一月、一週、
甚或至是一日。但隨著時間的分割愈來愈細，雖然可更精確的計算出選擇權隨時 間變化的情形，但相對的也要付出相當高的時間與金錢的代價。本論文為方便求 算選擇權價格，因此本文以一年作為一個時間單位來計算。而且若是分割得如此 之細，不如使用連續時間模型來做，不需使用二項式模型。
以下我們以一個簡單的例子說明之。假設 A公司併購B 公司，其隱藏之成 長選擇權之初值為100(百萬新台幣)，三年後之執行價格是100(百萬新台幣)；變異 數是30%(u=1.350，d=0.741)，無風險利率是3%。則此選擇權之事件樹如下圖。
V
Vu
Vd
Vuu
Vud
Vdd
Vuuu
Vuud
Vudd
Vddd
圖 5 選擇權事件樹（例子）
圖 6 列入執行價格後的選擇權事件樹（例子）
最後，我們將前一步驟所求出的選擇權扣除執行價格後，再用CRR 模型將 選擇權的價值計算出來。前例的逆向event tree 如下圖所示：
100
134.9
74.1
182.2
100
54.91
145.94
34.98
0
0 100
134.9
74.10
182.20
100
54.91
245.94
134.98
74.10
40.69
圖 7 加入執行價格後的選擇權的逆向事件樹
圖中所顯示的問號表示是在當時間點下的選擇權價值(已改變)。因為最終時 點時的選擇權價值己改變，因此之前各時點的價值也跟著改變。
在我們求得逆向的Event tree後。最後的步驟就是例用CRR 模型的方法來求 得最初的選擇權價值。
第一步
Cuu = [p Cuuu +(1-p)Cuud] /er Cud = [p Cuud +(1-p)Cudd] /er Cdd = [p Cudd +(1-p)Cddd] /er 第二步
Cu = [p Cuu +(1-p)Cud] /er Cd = [p Cud +(1-p)Cdd] /er
？
？
？
？
？
？
145.94
34.98
0
0
第三步
C = [p Cu +(1-p)Cd] /er 而 p = (er - d) / (u-d)
利用此公式我們可計算出圖4-7 中的問號所代表之值了。
第一步
p = (e0.03 –0.741)/(1.3498-0.741) = 0.476 1-p = 0.524
Cuu = [0.476×145.94 +0.524×34.98]/ e0.03 = 85.17 Cud = [0.476×34.98 +0.524×0]/ e0.03 = 16.15 Cdd = [0.476×0 +0.524×0]/ e0.03 = 0
第二步
Cu = [0.476×85.17 +0.524×16.15]/ e0.03 = 47.52 Cd = [0.476×16.15 +0.524×0]/ e0.03 = 7.45
最後，我們可得到在宣布日期時選擇權價值為25.72 C = [0.476×47.52 +0.524×7.45]/ e0.03 = 25.72
最後利用此步驟所計算出的選擇權價值，再加上步驟一所算出的 傳統淨現值，即可得到此合併案擴張淨現值。
Expanded NPV = Static NPV + C