成長曲線模型

成長曲線模型是由 Verhulst 在 1838 年提出的，由於一項技術的出現與其 發展的過程中，通常是有規則可循的，而出現的狀況就如同人類的生命週期，

或生態學中的生物發展過程，會經歷萌芽期、成長期、成熟期、衰退期這四 種不同的階段，進而產生相似的更迭現象，因此又稱之為「成長曲線(Growth Curve)」或是「生命週期曲線(Life Cycle Curve)」。倘若將其用於描述一項技 術之使用，從基礎科學或應用科學衍生而來，並運用在產品研發到導入市場，

甚至於直到產品退出市場，又可稱為「技術生命週期曲線(Technology Cycle Time)」或是「產品生命週期(Product Life Cycle)」【11】。由於此一模型可 表現出各種技術及生命體的成長方式，常呈現出一 S 的形狀，而一項技術指 標的發展，往往也是呈現出 S 形的成長軌跡，因此其所描繪出之曲線，狀似 英文 S，故又稱為「S 曲線(S-shaped Curve)」【70】。

成長曲線常被用來預測單一技術(變量)的發展趨勢，任何單一技術的發 展皆依據某種化學和物理定律而進行開發工作，在物理及化學定律的限制之 下，任何技術的發展必然有其上限(與對應的成長曲線)，然而當使用截然不 同的開發概念或產生新一代的技術時，則往往意謂著另一個新的成長曲線已 然生成(可能與先前的成長技術不同)，因此成長曲線不僅可預測單一技術的 發展變化，同時也可用來預測新技術替代舊技術的情形，或預測單一技術的 型態提升程度，如圖 2.6 所示【21、30】。

圖 2.6 技術生命週期技術替代 資料來源：【70】

運用成長曲線進行技術預測時，係將技術上的功能資料(即物理量的數據) 套入成長曲線中，再利用最小平方法的迴歸分析與外插法找出相關係數，因 此藉由成長曲線函數可進一步推估未來可以達到的性能或績效，然而其使用 的過程必須建立在以下三點的前提假設上：

(一)成長曲線的成長上限必須已知。

(二)所選擇採用的歷史資料及成長曲線皆正確。

(三)可用歷史資料求解成長曲線各項函數。

成長上限是指成長曲線的飽和值，也就是該曲線的最大值不會超過成長 上限，一般稱為「Upper Bound」或「成長極限」【10】。估計成長上限時，

選擇可以套入資料的曲線作為預測用的成長曲線並不正確，另一方面，依據 過去資料估計出成長上限，更是一種不正確的做法，其原因係因為在技術發 展初期，資料仍然非常有限，因此並不足以估計出成長上限，倘若依據估計 而產生出成長極限，勢必蘊藏著相當多的錯誤成分(或使用上的風險)，因此 若成長上限被低估了，係數 a 和 b 的值都會超過的太大，曲線上升的過於陡 峭，很快就到達反曲點，但若是將成長上限高估了，曲線上升的太慢，而延 遲了估計到達反曲點的時間，而 Martino【74】也不建議利用過去部份資料擷

技術績效 技術缺口

萌芽

成長

成熟

飽和

新技術 發展中

技術

主流 技術

基礎 技術

時間 技術上限

取出技術上限，因此正確的做法是，成長極限應當基於技術自然本質上的物 理或化學的限制而進行估計(係依據物理或化學的理論，估算出成長上限)

【21】，但此一估計常需藉助專家之判斷分析，甚至無法臆測。有鑒於此，

本研究使用 Loglet Lab 軟體模擬成長曲線之成長上限，以便估計技術成長模 式並描繪技術發展趨勢。

成長曲線直至目前已發展出許多不同的模式，其中包括珀爾曲線(Pearl Curve)、甘培茲曲線(Gompertz Curve)、Mansfield 模型、Blackman 模型、

Fisher-Pry 模型、貝氏模型(Bass Model)、NSRL 模型、NUI(Non-Uniform Influence)模型、Sharif-Kabir 模型、韋伯(Weibull)分配模型(或 Sharif-Islam 模 型)和 Horsky 模型【73】，而其中最常用的成長曲線就是羅吉特曲線(Logistic Curve)或珀爾曲線與甘培茲曲線，至於其他衍生型的成長曲線，大多數是用 來預測或解釋技術的創新擴散(擴散模型)【21】，因此本研究僅針對兩種最 常用的曲線進行介紹。

一、珀爾曲線

人口統計學家 Raymond Pearl 首度成功運用成長曲線預測美國人口 成長，亦稱為「Logistic 曲線」或「Fisher-Per 曲線」，其方程式如(2.1) 式所示【10、21】。

ae

bt

y L

_



1 (2.1)

其中

y

表因變數，t 表自變數(時間)，

L

表成長上限，e 表自然對數，

a 、 b

表資料套入曲線所求得之係數。而係數 a 可控制曲線的位置，但不 會改變其形狀，而係數

b

可控制曲線形狀，但不會影響其位置。此一曲 線在時間軸上，存在一初始值於

t

和

t

的時候(亦即為成長上 限)，其反曲點係發生在

b t (ln a )



或

2

y  L

，曲線約在這個點上呈現出對稱 性，因此可由前半段的曲線推估下半段的曲線。但因為是 S 型曲線，所 以不能直接用線性迴歸方法，必須事先對歷史資料進行處理，首先必須 先運用「直線化(straighten out)」的技巧，即希望可將之變成

Y



A



Bt

的 形式，因此必須讓

e

^bt變成

Kt

的形式，如(2.2)式，而最好的方法是曲自

然對數ln(

e

^bt)，將之變成

 bt

，如(2.3)式。

y y

ae

^bt 

L

 (2.2)





 



  





y

y t L

b a

( ) ln

ln (2.3)

經由上述推導的公式以符合

Y



A



Bt

的形式，因此： 



 



  

y

y Y

ln

L

，

a

A ln

 ，

B

 。再根據簡單線性迴歸之運算後，求得預測之

b Y

值，對





 



  

y

y

Y

ln

L

兩邊取指數，得到(2.4)式以進行反轉換，求得原先之

y

值。

e

Y

y L



1 (2.4)

二、甘培茲曲線

英國精算師 Benjamin 和數學家 Gompertz 運用成長曲線預測英國人 的死亡率，其方程式如(2.5)式所示【10、21】。

bekt

Le

y

 ^ (2.5)

其中

y

表因變數，t 表自變數(時間)，

L

表成長上限，e 表自然對數，

b

、

k

表係數。但甘培茲曲線並不對稱，其反曲點發生在

k t (ln b )



處且

e

y  L

。而直線化方式如珀爾曲線一般，將之變成

Y



A



Bt

的形式，而最 好的方法是取兩次自然對數將之變成

 kt

，因此先取第一次對數，如(2.6) 式。

be

kt

L

y

 _



 



ln (2.6)

be

kt

y

L

 _



 



ln (2.7)

接著，在取第二次對數，如(2.8)式。

t k y b

L

ln ( ) ln

ln  









 



 



 (2.8)

因此已符合

Y



A



Bt

的形式，其中 



 





 







 

y

Y

ln ln

L

，

A ln

 ，

b B

 。

k

再根據迴歸計算，求得預測的

Y

值後，只需取兩次指數運算，就可得到 (2.9)式以進行反轉換，求得原先之

y

值。

eY

e

y



L

(2.9)

三、珀爾曲線與甘培茲曲線的比較

珀爾曲線(羅吉特曲線)為對稱之圖形，甘培茲曲線則為不對稱圖 形，由圖 2.7 可明顯看出其差異，此外這兩種曲線的斜率也有所不同，

如表 2.13 所示，珀爾曲線的斜率與 y 和(L-y)有關，即包含技術發展到目 前的距離函數，以及發展至成長上限的距離函數，而甘培茲曲線的斜率 僅與(L-y)有關，則為目前到成長上限的距離函數。

圖 2.7 Logistics 曲線與 Gompertz 曲線之比較 資料來源：【74】

表 2.13 珀爾曲線與甘培茲曲線斜率比較

曲線 方程式 斜率

珀爾(Pearl) _bt

ae y L_



1 L

y L by( )

甘培茲(Gompertz) yLe^{bekt y 值的全部範圍} ln( ) L bky y

 2

y 的估計值L bk(Ly)

資料來源：【21】

探討某種新技術發展時，當技術發展接近其成長上限，進一步的成 長將受到限制，但若存在某種「抵消因素(offsetting factor)」，將使得進一 步的成長變的更容易，因此當進一步成長(斜率)的動力來源，是與技術發 展到目前的距離函數，以及發展到成長上限的距離函數有關時，珀爾曲 線將優於甘培茲曲線，而抵消因素係指可藉由過去進步的經驗，使未來 的進步更為容易，這通常是發生於過去某種強大的進步因素，至今仍然 尚未耗盡其發展的潛力所致，反之，沒有任何抵消因素存在時，成長動 力僅是技術發展到目前的距離函數，此時甘培茲曲線為較佳【21】。

四、軟體應用－Loglet Lab

Loglet Lab 軟體係由美國洛克斐勒大學人類環境研究計畫實驗室所 研 發 之 軟 體 ， 其 所 使 用 的 數 學 模 式 是 基 於 常 微 分 方 程 式 (Ordinary Differential Equations，ODEs)推導所獲得的結果，一般成長曲線之成長 模式皆假設為指數成長函數，即假設成長為無技術上限存在的成長模 式，然而在現實生活中並非如此，因此較合理之成長模式應使用 S 曲線 較能表現出技術之替代性【35】。

Loglet Lab 軟體所探討為對稱式(symmetry)之 S 曲線，稱為羅吉特成 長模式(Logistics Model)，此模式具有轉折點之特性，也就是成長過程係 由下凹轉為上凹或由上凹轉為下凹，模式中除了含有指數函數的項目 外，另需額外加入反饋項(negative feedback)【28】。

 

 

 

k t P ) (

1

(2.10)

另一股反向力量所影響，導致整體成長速度趨緩。當總數

P ( t )  k

時，

(2.10)式近似 1，而當總數

P (t )

趨近於 k 時，(2.10)式則近似零，所以當成 長率開始呈現指數成長，隨之成長率呈遞減至零成長，此時成長總數已 接近上限並不再成長，因此(2.11)式呈現 S 型曲線型態。

 

 

 

 k

t t P

dt P t

dP ( )

1 ) ) (

( 

(2.11)

其次進行求解(2.11)式之微分方程可得(2.12)式，其中表 S 曲線之 斜率(成長率)，即表示 S 曲線之陡度(steepness)，

表成長中之轉折點。

)) ( exp(

) 1

(   

   t t K

P

(2.12)

然而實務上並不直接使用

，而是使用另一種方式來表示成長過

程 ， 使 其 更 具 有 適 配 性 ， 因 此 基 於 實 用 性 乃 定 義 其 成 長 區 間 為 ：

 ^k

^10%,

^k

^90%



，亦即技術發展趨勢之成長期與成熟期所需的時間 t ， 其中參數

k

表成長之飽和水準，因此

 t

表成長所需的時間長度，且經由 Loglet Lab 軟體計算可得(2.13)式：

 81

 ln

t

(2.13)

將上式所獲得之參數代入(2.14)式可得：

 

_



 



 







tm

t t

e t K

P

ln81

1 )

(

_(2.14)

其中

P (t )

表專利累積件數，

K

表成長上限值，

表 S 曲線之斜率(成

長率)，而將參數

表示為 t 表成長中之轉折點，

_m

 t

表成長所需的時間 長度。因此(2.14)式即為 Loglet Lab 軟體之主要理論模式，亦即為本研究 估計成長上限之成長曲線模型。

在文檔中 專利資訊預測技術模式之研究-奈米碳管場發射顯 示器等之比較分析 (頁 45-52)