指標四：失效機率分析

根據 3.5 節的說明，在先前的研究中學者(Yuan 等人，2006)指出軌道運輸研究 中常以指數分佈試合延滯時間的分佈，但若將資料點繪製指數分佈的 QQ-plot，顯 示回復時間可能是來自於尾端比指數分佈更長的分佈，因此若以指數分佈估計其 結果可能會低估回復時間，而透過極端值理論(Extreme Value Theory)來描繪長尾分 佈是一個可行的方法。

(a) 改點前上行 (b) 改點前下行

(c) 改點後上行 (d) 改點後下行

圖 4-23 樣本資料與指數分佈 QQ-plot

極端值理論過去被應用在極端降雨、地震災害以及財務工程等領域中，可用

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於描述事件尾端分佈的情況，而不需知道整個母體的分佈，一般來說，極端值理 論可分為兩種模型，包括 Block Maxima 模型以及 Peak Over Threshold(POT)模型，

前者主要是在每段期間(Block)取出最大值並透過一般化極端值分佈(Generalized Extreme Value Distribution，GEV)來探討尾端的分佈；而後者則是以一般化柏拉圖 分佈(Generalized Pareto Distribution，GPD)捕捉超過一特定門檻值 u 的資料點的分 佈，圖 4-24 可用於說明兩種模型的概念。

根據 Coleman(2002)，雖然並未有絕對的理由說明該用 Block Maxima 模型亦 或是 POT 模型，一般而言，對於具有季節性或週期性的樣本資料通常可用 Block Maxima 模型，而由於回復時間並不像水文資料或是財務投資報酬風險資料以年、

月等可決定出期間間隔，且對於 Block Maxima 模型來說，在每一個 block 之內只 取最大值的概念可能導致忽略其他的極端值(Lin，2003)，因此在本研究中嘗試以 POT 模型對回復時間的尾端建立極端值分佈。

(a) Block Maxima (b) Peak Over Threshold 圖 4-24 極端值理論模型極值數據獲取概念示意圖

資料來源：Kellezi(2000) POT 模型是在補捉超過一特定門檻值的「條件分佈函數」，對於此分佈可定義 為：

， (4.2) 根據條件機率公式，並假設一隨機變數的分佈函數為 F(未知)，式 4.2 可改為

80 其中，ξ 為形狀參數(Shape Parameter)

σ 為大於 0 的規模參數(Scale Parameter)

當

ξ 大於 0 的時候，說明原本的分佈確實為厚尾分佈，而對於 ξ 以及 σ 的估計方式，

大多採用最大概似估計法(Maximum likelihood Estimation，MLE)，對數概似函數 為： 研究，可透過門檻值對樣本平均餘額函數 e_n(u)(Sample Mean Excess Function)作圖 來決定，當圖形於某一門檻值後呈現正斜率的直線時顯示樣本可以該門檻值作為

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圖 4-26 改點前上行試合結果與樣本經驗分佈比較

圖 4-27 改點前下行試合結果與樣本經驗分佈比較

圖 4-28 改點後上行試合結果與樣本經驗分佈比較

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圖 4-29 改點後下行試合結果與樣本經驗分佈比較

圖 4-30 改點前上行試合結果之 GPD 與樣本資料 QQ-plot

圖 4-31 改點前下行試合結果之 GPD 與樣本資料 QQ-plot

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圖 4-32 改點後上行試合結果之 GPD 與樣本資料 QQ-plot

圖 4-33 改點後下行試合結果之 GPD 與樣本資料 QQ-plot 最後，由式 4.3 及式 4.4，合併可得下式：

(4.7)

經過整理後上式可改為：

(4.8) 式 4.8 中 可由(n-Nu)/n 估計(Lin，2003)，而 n 為樣本數，Nu為超越門檻值之 個數，因此可再經過整理，如式 4.9 所示：

(4.9)

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0.129、0.126 以及 0.105，顯示改點後上行時刻表發生事故後高回復時間的出現機 率增加而較不穩定；反之，改點後下行時刻表雖然期望回復時間增加，失效機率

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