模擬機制與分析流程

本節將說明模擬方式計算回復時間的運作機制與分析流程。從前面章節對於 回復時間的介紹我們大致可以將分析步驟分為三類：行車事故發生、依據容量變 化的情形計算中斷列車數，最後計算消除中斷列車至回復表定運作的時間作為回 復時間。針對以上分析流程的詳細內容整理如下：

(1) 行車事故產生模擬

列車在運行過程中行車事故的發生為具有隨機特性的隨機過程，難以利用確 定性的方式描述其發生過程，因此可透過隨機過程的理論對於具有隨機特性的事 件加以描述，在本研究中假設行車事故的發生是一個卜瓦松過程(Poisson Process)，

並以此判斷事故是否發生。

本研究的核心在於探討事故發生後回復時間的計算，第一步即是了解事故在 給定的時段內發生的情形，可以計數過程(Counting Process)模擬此現象；對於計數 過程的定義，Ross(2009)曾對此介紹，說明了如果我們定義 N(t)為從 0 到 t 時刻之 間某一事件發生的次數來表示一個隨機過程{N(t)，t≧0}，那麼可將此過程視為一 計數過程，並須滿足下列條件：

1. N(t)≧0

2. N(t)之值為整數

3. 如果 s<t，則 N(s)≦N(t)

4. 對於 s<t，N(t)-N(s)表示在(s,t]的間隔之間發生的次數

上述條件中，第一及第二個條件直截的表示了計數過程中發生的次數必須大 於等於 0 且應為整數，第三個條件說明隨著時間的增加，次數也應該增加或至少 維持不變，第四個條件的說明則非常直觀，以 N(t)-N(s)表示在兩個先後不同的時 間間隔之間的發生次數。

而卜瓦松過程(Poisson Process)則是計數過程中的其中一類，並被廣泛應用於

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風險管理、可靠度分析以及等候理論模型之中，本研究即假設列車行車事故的發 生是具有卜瓦松過程的計數過程，而此假設須滿足卜瓦松過程的定義，對於一個 具有發生率為λ 的卜瓦松過程，須滿足：

1.

2. 此過程具有獨立增量(Independent increments)

3. 對於時段長度為 t 的任意時段內，事件的發生次數服從 Poisson 分佈，即對於 所有 s, t≧0，

上述條件中，條件 1 表示當時間為 0 時，發生次數為 0；條件 2 則說明在彼此 不相交的不同時段內，發生次數彼此獨立；條件 3 隱含說明了穩定增量(Stationary increments)的概念，若時段長度相同，不同時段內的發生次數具有相同的機率分佈 (卜瓦松分佈)。對於卜瓦松過程的定義，另一種常見的定義方式是將上述第二點及 第三點合併敘述卜瓦松過程滿足獨立增量以及穩定增量的特性，並增加如下的條 件說明，在此以第四點及第五點補述之：

4.

5.

其中 o(h)的定義為 f(h)=o(h)，當 。

即是說明，當時段 t 的長度趨近於 0 時，在此時段內發生一次事件的機率約等於(λt)，

而發生兩次以上事件的機率則趨近為 0。

基於此兩點定義，在本研究中的 t 其長度為該時段之營運列車小時，取改點前 上行時刻表中所有分析單元中最大之營運列車小時(t=1.783)及最大之事故發生率 (λ=0.001216) 之 乘 積 為 0.002168 ， 再 由 卜 瓦 松 分 佈 計 算 發 生 一 次 事 故 之 機 率

P{N(t)=1} = 0.002163，發現兩者值大約近似；而 P{N(t)≥2} = 1－P{N(t)=0}－

P{N(t)=1} ≈ 0.00000235→0，分別符合第四點及第五點的要求，而其餘的分析單元

的事故發生率與列車小時的組合不會再有更大的值，因此同樣會符合假設，顯示

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以一小時作為分析時段長度已夠小，所以在本研究中假設各類事故在每一個時段 內發生之次數最多為一次，如此便能在統計事故發生 1 次的單元中判斷事故發生，

而發生 0 次的單元則表示無事故發生，此亦為本研究中之一重要假設。

以卜瓦松過程假設列車行車事故發生的另一個原因在於，一個符合卜瓦松過 程的隨機過程，其事件發生間隔時間符合指數分佈，與本研究假設事故發生間隔 符合指數分佈一致，由於上述說明中的第二及第三個條件，相當於說明該隨機過 程中於任何一時間點事件的發生與之前的時間無關，換句話說具有無憶性的特性，

因此間隔時間呈指數分佈是可預期的(Ross，2009)。

至此，對於行車事故發生次數的模擬便可以卜瓦松過程進行。對於發生率為

λ

的事故，在時段 T 之內產生服從指數分佈的事故發生間隔時間 t，若 t 小於 T 則表 示事故在時段內發生(此處由於本研究之曝光量為列車小時故 T 與 t 之單位皆為列 車小時)。

而在模擬過程中欲產生服從指數分佈的隨機變數，可利用反向轉換法(Inverse Transform Method)進行，其概念如圖 3-10 所示，圖中左半邊為均勻分佈之累積機 率分佈，而右半邊圖形為目標之隨機變數累積分佈(以常態分佈為例)，考慮一服從 均勻分佈之基本變數 u_k，可得知其累積機率值 U(u_k)並對應至目標分佈，藉由求得 目標分佈函數之反函數即可得到一服從目標機率分佈之隨機變數 xk，也就是令 U 為服從均勻分布且範圍落於 0 至 1 之間之隨機變數，對於連續分佈函數 F(x)定義 隨機變數 X：

則隨機變數 X 服從分佈函數 F。因此本研究欲得到服從指數分佈的隨機變數可以 同樣概念推導，指數分佈的分佈函數如下式所示

， (3.7) 令 ，推導過程如下：

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(3.8) 由於 1-U 與 U 同樣為服從均勻分布之隨機變數，因此式 3.8 可改為

(3.9)

圖 3-10 反向轉換法概念 最後，利用下列演算邏輯可模擬事故是否發生：

 步驟一：令一起始時間 t=0，事故發生次數 I=0

 步驟二：產生服從均勻分布的隨機亂數 U

 步驟三：計算

 步驟四：若 t 小於該時段的營運列車小時 T，則表示事故發生；相反地，若 t 大於營運列車小時 T，則無事故發生

(2) 中斷列車數計算

確定事故是否發生後，仍須了解事故的發生地點及對路線容量的影響，以分 析事故容量，處理後續中斷列車數的計算。本研究根據歷史資料統計事故發生於 路線與車站間的頻率進行模擬，藉由經驗分佈(Empirical Distribution)來模擬可能發 生的地點，其分佈函數可以 3.10 式表示：

(3.10) F

U

1

x u

u_k x_k

U(u_k) F(x_k) 1

隨機變數的累積 機率分佈

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其中，IA為指標隨機變數(random indicator variable)，當樣本滿足事件 ai時則為 1，

否則為 0，因此分子為滿足 a_i的個數，而經驗分佈可表示滿足事件 的發 生頻率。

首先，統計符合路線事故的件數計算事故發生後於路線的發生頻率為 f，則發 生於車站的頻率為 1-f，而由於沒有更詳細的資料統計發生於車站的事故是導致雙 股道亦或單股道封閉的雙股道事故或是單股道事故，本研究整理所有分析車站於 正常狀態下營運的股道配置與各類事故發生後可能造成的事故容量，並保守假設 各種情況下，單股道事故與雙股道事故的發生機會均等，所以於車站內產生不同 的事故容量的機率為(1-f)/n，而 n 為站內可能產生的事故容量組合的個數，因此欲 模擬事故發生於路線或車站並造成何種事故容量可以式 3.11 進行分析，即

路線事故

車站事故 (3.11)

其中，P 為發生機率

f 為路線事故統計比例

n 為於車站內產生不同事故容量的可能性

以路線故障事故為例，由於路線故障可能發生於路線及車站內，於車站內發 生時又可能造成單一方向單股軌道或兩股軌道無法正常停靠，此時若發生於路段 兩端車站皆為第一型股道配置之車站，則共有五種可能性，發生在車站則有四種，

見表 3-4，此時發生於路線或車站並造成何種事故容量之模擬便可以下式進行：

路線事故

車站事故 (3.12)

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表 3-4 可能的事故類型與股道配置改變情形(以路線故障為例) 可能情形 事故容量類型

1 路線事故 2 Ａ站雙股道事故 3 Ａ站單股道事故 4 Ｂ站雙股道事故 5 Ｂ站單股道事故

在電腦模擬中，以亂數產生服從均勻分布的隨機亂數 U 可決定事故的地點，由式 3.11 將其累加可得式 3.9 的累積分佈形式，並可整理如表 3-5，同時 U 值應為落於 [0,1)的亂數，根據 U 值介於的區間範圍，判斷為對應的事故發生地點。

表 3-5 事故發生可能地點累積機率(以路線故障為例) 可能情形 累積機率

1 f 2 (1+3f)/4 3 (2+2f)/4 4 (3+1f)/4 5 1

雖然根據卜瓦松過程的假設，同類事故在同一站內發生兩次以上的事故其發 生機率將趨近於 0，在同一個時段內每一類事故只會發生一次，然而在事故發生機 率分析中是得到每類事故個別的事故發生率，因此在模擬過程中是分別針對每一 類事故進行卜瓦松過程的模擬，因此同一個分析單元中可能出現兩類以上的事故，

本研究對出現兩類事故以上情形所造成的中斷列車數的計算上須先作判別的處理，

以計算事故發生後回復至正常容量所需的時間，彙整如下：

在 3.3 節中平均值的意義為一天之內發生一次事故需要的回復時間，其所隱含

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的是假設那一次事故的發生應是一天之中某一類的事故在某個時段發生一次，首 先，根據交通部臺灣鐵路管理局行車事故調查報告及救援須知(2001)的說明：「二 種以上事故併發時，應依前列類別之次序，以在先者為主報告之，但前項第卅二 款『死傷』與第卅一款『列車延誤』併發時，應以『死傷』為主報告之；第卅三 款『其他』與第卅一款『列車延誤』或第卅二款『死傷』併發時，應以『其他』

為主報告之。」，所以從歷史資料來看，在同一個時段內發生超過兩次事故的情況 幾乎找不到是因為臺鐵在記錄事故時是以較嚴重的事故為準；另一方面，考量到 在實務上若發生兩類以上事故，營運單位會同時進行故障排除作業，因此實際上 對於發生事故的路段而言當中斷時間較短的事故已被排除，該路段上仍處於受到 中斷時間較長的事故影響的狀態，因此基於前述兩個原因，在模擬分析時便延用 解析模式中的假設，即在一個時段內僅發生一類事故，並且原則上以較嚴重的事 故來進行後續回復時間的計算，以避免低估風險的情況，模擬時會在每一類事故 完成卜瓦松過程的模擬後比較中斷時間的長度作為該分析單元事故的選擇方式。

為主報告之。」，所以從歷史資料來看，在同一個時段內發生超過兩次事故的情況 幾乎找不到是因為臺鐵在記錄事故時是以較嚴重的事故為準；另一方面，考量到 在實務上若發生兩類以上事故，營運單位會同時進行故障排除作業，因此實際上 對於發生事故的路段而言當中斷時間較短的事故已被排除，該路段上仍處於受到 中斷時間較長的事故影響的狀態，因此基於前述兩個原因，在模擬分析時便延用 解析模式中的假設，即在一個時段內僅發生一類事故，並且原則上以較嚴重的事 故來進行後續回復時間的計算，以避免低估風險的情況，模擬時會在每一類事故 完成卜瓦松過程的模擬後比較中斷時間的長度作為該分析單元事故的選擇方式。

在文檔中 軌道運輸系統時刻表績效評估系統之研發與建立 (頁 51-59)