振動分析原理簡介

19  

在等向性固體材料裡，傳遞的波速可由以下兩近似理論得到 [13,19]：

（1）自由音場內的縱波：

) 2 1 )(

1 (

) 1 (









 

 E 

c

(式 2-7)

（2）在細於波長之柱狀體內傳播的縱波：



c  E

(式 2-8)

其中c 為音速、E 為楊氏係數、ρ 為密度、ν 為蒲松比。

一旦求出固體內音速，再代入波長(λ)與波速關係式：

f

c 





(式 2-9)

使用縱向波模態的超音波振幅放大器，其長度必須為音波在固體 內傳遞縱波波長的一半，或半波長之整數倍。由式 2-9 即可求得給定 頻率(f)及材料下的超音波縱波波長，進而計算出振幅放大器的理論長 度，但隨著放大器溫度分佈的改變，上述參數也會有所變化，使用理 論來求得放大器長度也變得較困難。因此，本研究將結合實驗量測與 有限元素分析，來探討溫度與共振頻率之間的關係。

2.3 振動分析原理簡介

大部分的結構系統都不希望有振動發生，振動會造成結構疲勞而 破壞，故其共振頻率與模態皆為機械結構設計必須了解的特性之一，

 

20

進而避免外力頻率和結構共振頻率相同，以防止共振現象。但本研究 將超音波振動應用於製程中，故系統的共振頻率需符合電子訊號產生 器之頻率，以達到共振現象。

2.3.1 模態分析原理簡介

模態分析(Modal Analysis)屬於結構動力學的一種，可以分析一個 結構在無負載狀態下之振動情形，也可以對有預應力的結構進行分析，

分析結果可得知其共振頻率、振動形態、相對位移分佈等資訊。當自 由振動下，且系統無阻尼時，其最基本的運動方程式如下[20,21]：

0 ) ( ) ( )

( t  kx t  F t 

m  x

(式 2-10)

其中m 為質量、x 為位移、k 為彈性係數。

令共振頻率為：

m

 k



(式 2-11)

則上述ODE 解為：

t c

t c t

x( ) ₁sin



 ₂cos



(式 2-12)

模態分析屬於線性分析，主要探討結構的自然頻率與振動模態，

不論是否有阻尼，最後皆會化成

 

A

   

u  u 之標準特徵值與特徵向量 問題。有限元素分析軟體ANSYS 會針對不同系統與解題需求，有各 種不同的數值分析方法[22]，一般的分析方法是使用 Block lanczos

 

21  

method，此方法可用於結構系統具有阻尼現象，但計算效率比阻尼法 (Damped method)快，可在模態座標系統中求共振頻率。除此之外還 有非對稱法(Unsymmetrical method)、降階法(Reduced householder method)、次空間法(Subspace method)等、指數動力法(Power dynamics method)。

2.3.2 頻率響應分析原理簡介

頻率響應(Harmonic response)是對結構施加正弦波的負載，分析 計算出在不同的頻率下此結構的穩態響應，進而得知響應值與頻率之 間的關係，由此關係曲線可找到峰值響應，並可進一步觀察此頻率對 應的位移、應力等。當系統有阻尼、且外力為一弦波外力時，其運動 方程式為[20,21]：

t F

t kx t x c t x

m

_

( ) 

_

( )  ( ) 

₀

cos

 (式 2-13)

其中m 為質量、x 為位移、k 為彈性係數、c 為阻尼常數。

考慮其穩態反應，其解為：

t B t A t

x

_p

( )  cos



 sin

 (式 2-14) 其共振頻率

m

 k

0

(式 2-15)

) cos(

)

( t  X



t 



x

_p (式 2-16)

式2-16 中，X 為振幅、ψ為相位角，可求得：

M X

<0.05)時

Q

Amplitude 位移位置與

力與反應相

，共振發生

Q

子(Quality 如圖 2-11

阻尼比。其

e ratio)，δ 與外力之

相位示意圖 生於靠近

y factor)，

1，圖形如 2-10

22)

振幅 尼大

則會影響鐘

為頻寬(Ban 力點(Half p

，式2-25 之



²

2 _n 4

與頻寬[20]

ndwidth)，

power poi

之₂為頻

2

n

其振幅比 ints)，此時

(式

 

在文檔中 超音波振動系統在高溫下之有限元素分析 (頁 34-39)