Chapter 4 珠鍊的微觀分析
4.3 振幅的角色
我們想要探討振動頻率在微觀分析下對金屬珠運動的影響，由理論計算可以
得知質點的自由拋體行為只和無因次振動加速度 Г 有關，但是在固定無因次振動 加速度Г 的前提下，改變振動頻率的同時也會改變底板的振幅大小。如圖 4-12 所 示為不同振動頻率下每一顆金屬珠和底板之間相對的高度差隨時間的變化，固定 無因次振動加速度Г 約為 1.45 左右，藍色的點代表第一顆金屬珠(端點的金屬珠)、
綠色的點代表第四顆金屬珠(中間的金屬珠)、其他的金屬珠以灰色的點表示，另外 橘色的線表示理論計算後質點自由拋體的軌跡。如圖 4-12(a)所示為振動頻率 f=15Hz 的振動條件下，每一顆金屬珠 Z 和底板之間相對的高度差隨時間的變化，
可以觀察到第一顆金屬珠和第四顆金屬珠和理論計算的質點自由拋體軌跡非常的 相似，此時底板的振福大小約為 1.56mm，而金屬珠和底板之間最大的高度差約為 0.6mm 左右。但隨著振動頻率的增加，如圖 4-12(e)所示為振動頻率 f=35Hz 的振動 條件下，每一顆金屬珠 Z 和底板之間相對的高度差隨時間的變化，可以發現只會 剩下端點的第一顆金屬珠有機會可以被拋飛，而中間的金屬珠幾乎無法離開底板 自由飛行，此時底板的振福大小約為 0.30mm，而第一顆金屬珠和底板之間最大的 高度差約為 0.2mm 左右，推測是因為此時底板的振福太小，底板的振幅約為金屬 珠直徑的 0.13 倍左右，而此時金屬珠能被拋飛的最大距離約為其直徑的 0.08 倍左 右，所以根本很難有機會可以將金屬珠拋飛或甚至是產生「抬頭」的行為，亦即 可以解釋在圖 3-11 中所看到的現象，當振動頻率高於 45Hz 以後，金屬珠幾乎無 法飛離底板，所以藉由我們簡化判定的機制下只會剩下「Mode 0」可以存在。
4.4 討論
∅𝑙𝑎𝑛𝑑僅僅只由無因次振動加速度Г 來決定，並且在我們所研究的振動強度區間之 內，質點的自由拋體時間會在一個振動週期之內。
在微觀下觀測珠鍊的行為，並轉為觀測每一顆金屬珠和底板之間的相對高度 (𝑍𝑖− 𝑍0)隨時間的變化，可以發現在每次的振動週期內，當珠鍊離開底板開始自由 飛行直到再一次落回底板上之後，有機會和底板發生第二次的反彈。我們發現當 振動強度小的時候，每一顆金屬珠的飛行軌跡和理論的自由拋體行為相當地相似，
雖然珠鍊上的金屬珠有機率發生第二次彈跳，但第二次彈跳落回底板之後，質點 的能量會幾乎耗盡並開始跟隨著底板開始下一週期的行為。
但隨著無因次振動加速度 Г 增加至約 1.60 左右時，根據理論的預測落回底板 的相位已經相當接近底板振動的波谷，有機率金屬珠發生第二次彈跳落回底板上 的時候，底板已經處於正在上升的相位，因此反而底板額外又提供金屬珠能量，
這將導致端點的金屬珠能量容易被累積，因此被拋飛的相對於中間的金屬珠們都 還要來的高，就算同樣是「Mode 0」的運動型態，但每一顆金屬珠的行為彼此之 間已經開始出現差異而處於不穩定的狀態，而同一顆金屬珠在每次振動週期中的 行為也不穩定，亦即逐漸喪失週期性的行為。
當無因次振動加速度Г 夠大的時候，就算在相同的振動強度之下，端點的金屬 珠自發性地不穩定就會使珠鍊的兩端容易被拋飛的特別高而出現「Mode 1」或是
「Mode 2」的運動型態，並且一旦端點的金屬珠出現「抬頭」之後，金屬珠每次 落回底板時馬上就開始下一個振動週期的彈跳，因此就可以維持長時間的「抬頭」， 亦即在振動強度夠大之後，珠鍊很難出現「Mode 0」的運動型態。
最後推測振動頻率在此系統中所扮演的角色，在相同的無因次振動加速度 Г 下，當振動頻率增加時也意味著振動振福變小，金屬珠能離開底板自由拋體的高
度也會變小，當振動頻率大於 35Hz 以上時，以 Г=1.46 為例，金屬珠和底板之間 的高度差已經小於 0.2mm (~0.08d，d：金屬珠直徑)，因此已經不太可能出現「抬 頭」的情況，此推論也可以解釋在第三章之中發現當振動頻率增加的時候，因為 金屬珠幾乎無法飛離底板，所以在我們簡化運動型態的判定方是下只會剩下「Mode 0」的存在。但是對於頻率較低的情況下，猜測是因為週期時間較長，所以金屬珠 有充足地時間進行多次的反彈來把能量消耗掉，導至每次振動週期的能量都可以 消耗殆盡而不會有能量的累積。
圖 4-1
z2 >cycle [mm2 ]
time [sec]
<Zi>cycle [mm]
time [sec]
GPT8_20140724_03_N=8_G=1.65_25Hz_500fps
<g*Zi>cycle [m2 /s2 ]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
<0.5*Vi2 >cycle [m2 /s2 ] GPT8_20140724_03_N=8_G=1.65_25Hz_500fps
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
<Etot / N> cycle [m2 /s2 ]
time [sec]
圖 4-2
48.6 48.8 49.0 49.2 49.4 49.6 49.8 50.0 50.2 50.4 50.6
0
48.6 48.8 49.0 49.2 49.4 49.6 49.8 50.0 50.2 50.4 50.6
0.00
48.6 48.8 49.0 49.2 49.4 49.6 49.8 50.0 50.2 50.4 50.6
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
0.5*Vi2 [m2 /s2 ]
time [sec]
GPT8_20140724_03_N=8_G=1.65_25Hz_500fps
48.6 48.8 49.0 49.2 49.4 49.6 49.8 50.0 50.2 50.4 50.6
0.00
圖 4-3
14.4 14.6 14.8 15.0 15.2 15.4 15.6 15.8 16.0 16.2 16.4
0
14.4 14.6 14.8 15.0 15.2 15.4 15.6 15.8 16.0 16.2 16.4
0.00
14.4 14.6 14.8 15.0 15.2 15.4 15.6 15.8 16.0 16.2 16.4
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
0.5*Vi2 [m2 /s2 ]
time [sec]
GPT8_20140724_03_N=8_G=1.65_25Hz_500fps
14.4 14.6 14.8 15.0 15.2 15.4 15.6 15.8 16.0 16.2 16.4
0.00
圖 4-4
0.80 0.84 0.88 0.92 0.96 1.00 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 1.32 1.36 1.40 0.00
0.80 0.84 0.88 0.92 0.96 1.00 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 1.32 1.36 1.40 0.00
0.02 0.04 0.06
GPT8_20150311_01_N=8_G=1.65_25Hz_2500fp
0.5*Vi2 [m2 /s2 ]
time [sec]
0.80 0.84 0.88 0.92 0.96 1.00 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 1.32 1.36 1.40 0.00
0.80 0.84 0.88 0.92 0.96 1.00 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 1.32 1.36 1.40 0
圖 4-5
1.40 1.44 1.48 1.52 1.56 1.60 1.64 1.68 1.72 1.76 1.80 1.84 1.88 1.92 1.96 2.00 0.00
1.40 1.44 1.48 1.52 1.56 1.60 1.64 1.68 1.72 1.76 1.80 1.84 1.88 1.92 1.96 2.00 0.00
0.02 0.04 0.06
GPT8_20150414_05_N=8_G=1.79_25Hz_2500fp
0.5*Vi2 [m2 /s2 ]
time [sec]
1.40 1.44 1.48 1.52 1.56 1.60 1.64 1.68 1.72 1.76 1.80 1.84 1.88 1.92 1.96 2.00 0.00
1.40 1.44 1.48 1.52 1.56 1.60 1.64 1.68 1.72 1.76 1.80 1.84 1.88 1.92 1.96 2.00 0
圖 4-6
(a) Г=1.00、(b) Г=1.20、(c) Г=1.40、(d) Г=1.60、(e) Г=1.80、(f) Г=2.00。
-1
圖 4-7
圖例
√𝒉𝟐
𝒉𝟏
0.56 0.52 0.47 0.48 0.44 0.55
圖 4-7 單顆金屬珠的恢復係數測量
單顆金屬珠垂直落在靜止的壓克力底板，由高速攝影機捕捉金屬珠彈跳的軌跡，
高速攝影機每秒拍攝 2500 張影像，金屬珠落下的起始高度相對於底板約 20mm。
共進行 6 次實驗後算得的恢復係數：
√𝒉𝟐
𝒉𝟏= 𝟎. 𝟓𝟎 ± 𝟎. 𝟎𝟒
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
0 2 4 6 8 10
Z [mm]
time [sec]
h2
Z
time h1
圖 4-8
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
-0.6
tangent upon impact
GPT8_20150311_03_N=8_G=1.45_Z1_first_cycle
t1
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
0.0
fitting (parabolic) fitting (parabolic)
h1
(b) (a)
1/8 bead diameter
圖 4-9
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40
0.0
圖 4-10
[A] Data Id show on the plots, 25Hz, 2500fps
[B] Left part : Z1(t) in 5 cycles Right part : superposition Z1() of 18 cycles [B] Blue dot : Z1 ; gray line : phase average ; orange line : parabolic flight
0.0
Origin File : Conan_Master_thesis_2015_Chapter04_Sun2015xxxx.opj
(a) Г=1.45
圖 4-11
圖 4-11 「Mode 0」和相平均行為的差異隨振動強度的變化
珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率 f=25Hz，而攝影機每秒拍攝 2500 張影像，總共拍 攝 18 個振動週期的時間，只取第一顆金屬珠在 18 次振動週期內的行為當作示範，
計算第一顆金屬珠 Z 方向質心和相平均位置的方差的平均值隨振動強度變化。δ𝑍12 表示為第一顆金屬珠的(𝑍1− 𝑍0)和相平均位置的高度差平方值，亦即圖 4-10 之中 藍色的點和綠色實線之間高度差的平方值。
1.45 1.50 1.55 1.60 1.65
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
(
Z
12) /
(Z
1-Z
0)
2
圖 4-12
[A] Data Id show on the plots, short arc track (acrylic), 25Hz, 2500fps
[B] Blue dot : Z1 ; gray dot : Z2~Z3 ; green dot : Z4 ; orange line : parabolic flight [B] the amplitude of Z0=* g / 2
Ch4.2.4_the_role_of_the_amplitude
0.000 0.029 0.058 0.087 0.116 0.145
0.0 0.2
Zi-Z0-d/2 [mm]
time [sec]
0.000 0.033 0.066 0.099 0.132 0.165 0.198
0.0 0.2
time [sec]
Zi-Z0-d/2 [mm]
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24
0.0 0.2 0.4
Zi-Z0-d/2 [mm]
time [sec]
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.0 0.2 0.4
Zi-Z0-d/2 [mm]
time [sec]
0.000 0.067 0.134 0.201 0.268 0.335
0.0 vibration period
表 4-1
Г ∅𝑜𝑓𝑓 ∅𝑙𝑎𝑛𝑑 Г ∅𝑜𝑓𝑓 ∅𝑙𝑎𝑛𝑑
1.05 -0.3098 0.9377 1.55 -0.8696 2.8365 1.10 -0.4297 1.3115 1.60 -0.8957 2.9410 1.15 -0.5165 1.5893 1.65 -0.9197 3.0395 1.20 -0.5857 1.8166 1.70 -0.9419 3.1328 1.25 -0.6435 2.0114 1.75 -0.9626 3.2216 1.30 -0.6932 2.1830 1.80 -0.9818 3.3062 1.35 -0.7366 2.3370 1.85 -0.9997 3.3872 1.40 -0.7752 2.4771 1.90 -1.0165 3.4649 1.45 -0.8098 2.6058 1.95 -1.0323 3.5396 1.50 -0.8411 2.7252 2.00 -1.0472 3.6117
表 4-1 理論計算在振動底板上的質點其自由拋體的開始與結束相位
理論計算在不同振動強度下的質點發生自由拋體的軌跡，底板的位置隨相位的函 數為Z0(∅) = 𝐴0 ∙ cos(∅)，∅𝑜𝑓𝑓為質點離開底板開始自由拋體的相位、∅𝑙𝑎𝑛𝑑為質點 落回底板結束自由拋體的相位。
相位隨振動強度的改變，請見圖 4-6(g)