Chapter 3 珠鍊的形狀與運動型態
3.4 討論
在第三章之中，對 N=8 的珠鍊在 f=25Hz 的振動頻率下，藉由代表珠鍊在每一 次振動週期內最大彎曲程度的∆𝑧𝑚𝑎𝑥2 ，可以明顯觀察到珠鍊的運動型態由幾乎都在
「ground state」逐漸轉變至幾乎都在「excited state(s)」，而轉變發生的區間大約是 在1.55 ≤ Г ≤ 1.70之間。
此外我們簡化判定運動型態的機制並進行長時間的統計分析，藉由只比較珠 鍊的兩個端點相對於中間的高度差將運動型態分為「Mode 0」、「Mode 1」以及
「Mode 2」三種狀態，同樣對 N=8 的珠鍊在 f=25Hz 的振動頻率下，運動型態所佔 據的比例也會逐漸從「Mode 0」為主轉變至「Mode 2」為主，其轉變發生的區間
同樣是在約1.60 ≤ Γ ≤ 1.75的振動強度之內。
我們發現藉由不同的判定方式，從∆𝑧𝑚𝑎𝑥2 的觀點(第 3-1 章節)以及人為地簡化 判定運動型態後的觀點(第 3-2 章節)，都可以描述其運動型態的轉變(transition)。
即珠鍊形狀沒有彎曲的「ground state」對應到珠鍊的兩個端點都沒有抬頭的「Mode 0」，而珠鍊形狀有彎曲的「excited state(s)」則對應到珠鍊的端點有發生抬頭的「Mode 1」或是「Mode 2」。我們用人為的判定方式可以將珠鍊的狀態量化成三種狀態，
而∆𝑧𝑚𝑎𝑥2 的指標可以只可以幫助我們將「Mode 0」和非「Mode 0」分開來，那是否 有其他珠鍊本身的指標可以幫助我們進一步去細分「Mode 1」和「Mode 2」呢？
此外我們也推論振動頻率在此系統中所扮演的角色，可以發現在15Hz ≤ f ≤ 35Hz的振動頻率區間之內，對 N=8 的珠鍊可以看到其運動型態隨著振動強度的增 加都會發生從「Mode 0」為主轉變至以「Mode 1」或「Mode 2」為主的運動型態，
但不同的振動頻率發生轉變的區間並不完全相同。另外若固定無因次振動加速度 Г=1.70，觀察運動型態在時間上所佔據的比例隨著振動頻率的變化，我們發現對 N=5 和 N=8 的珠鍊，當振動頻率高於 45Hz 以上的時候，發現我們簡化判定後的 運動型態都只會剩下「Mode 0」的存在，而且只有在振動頻率25Hz ≤ f ≤ 35Hz的 區間之內才有很大的機率珠鍊得以出現「Mode 2」的運動型態。在第 4-3 章節之中 將會有後續的討論以及原因的推測。
圖 3-1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
-0.1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
-0.1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
-0.1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
-0.1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
-0.1
vibration period
圖 3-2
圖 3-2 珠鍊 Z 方向的質心與∆𝒛𝟐隨時間的變化
珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率為 25Hz、無因次振動加速度 Г=1.80，而攝影機每 秒拍攝 500 張影像。對同一筆資料分別計算珠鍊𝑍𝑐和∆𝑧2：
(a) 灰色的實線為底板的位置隨時間的函數、紅色的點為珠鍊 Z 方向的質心隨時間 的變化。(b)紅色的點為∆𝑧2的值隨時間的變化。
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Zc [cm]
time [sec]
GPT8_20140716_09a_N=8_G=1.80
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0 1 2 3 4
z2 [mm2 ]
time [sec]
GPT8_20140716_09a_N=8_G=1.80
(a)
(b)
vibration period
圖 3-3
圖 3-4
圖 3-5 (b) 藍色的點代表「excited state(s)」的行為佔全部事件的比例，比例(fraction)的算 法為𝑁1⁄(𝑁0+ 𝑁1)。
(c)黑色的點為 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥2 的平均值隨振動強度的變化。
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0
1 2
3 GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps
<z2 max> [mm2 ]
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0.0
"excited state(s)"
probability
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0
1 2 3 4
"ground state"
"excited state(s)"
z2 max [mm2 ]
GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps
Origin File : Conan_Master_thesis_2015_Chapter03_Sun2015xxxx.opj [A] Data Id show on the subplots, short arc track (acrylic), 25Hz, 500fps
[A] for each Gamma, total about 18000 events [B] fitting the backbone and compute the Zc & z2 [B] take the maximum value of z2 in each cycle --> z2max
[B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0)+N1*ND(x,1,1) for bimodal distribution [B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0) or f(x)=N1*ND(x,1,1) for single distribution
[B] ND(x,,) : the normal distribution / Gaussian of mean= and standard deviation= [B] peak position : central position () & error bar : uncertainty of central peak position () [B] probability = N1 / (N0+N1)
Ch3.1.3_N=8_hist_of_dz2_peak_position_vs_Gamma
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0
<z2 max> [mm2 ]
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0.0
"excited state(s)"
fraction
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0
1 2 3 4
"ground state"
"excited state(s)"
z2 max [mm2 ]
GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps
Origin File : Conan_Master_thesis_2015_Chapter03_Sun2015xxxx.opj [A] Data Id show on the subplots, short arc track (acrylic), 25Hz, 500fps
[A] for each Gamma, total about 18000 events [B] fitting the backbone and compute the Zc & z2 [B] take the maximum value of z2 in each cycle --> z2max
[B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0)+N1*ND(x,1,1) for bimodal distribution [B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0) or f(x)=N1*ND(x,1,1) for single distribution
[B] ND(x,,) : the normal distribution / Gaussian of mean= and standard deviation= [B] peak position : central position () & error bar : uncertainty of central peak position () [B] probability = N1 / (N0+N1)
Ch3.1.3_N=8_hist_of_dz2_peak_position_vs_Gamma
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0
1 2
3 GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps
<z2 max> [mm2 ]
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0.0
"excited state(s)"
probability
1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 0
1 2 3 4
"ground state"
"excited state(s)"
z2 max [mm2 ]
GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps
Origin File : Conan_Master_thesis_2015_Chapter03_Sun2015xxxx.opj [A] Data Id show on the subplots, short arc track (acrylic), 25Hz, 500fps
[A] for each Gamma, total about 18000 events [B] fitting the backbone and compute the Zc & z2 [B] take the maximum value of z2 in each cycle --> z2max
[B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0)+N1*ND(x,1,1) for bimodal distribution [B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0) or f(x)=N1*ND(x,1,1) for single distribution
[B] ND(x,,) : the normal distribution / Gaussian of mean= and standard deviation= [B] peak position : central position () & error bar : uncertainty of central peak position () [B] probability = N1 / (N0+N1)
Ch3.1.3_N=8_hist_of_dz2_peak_position_vs_Gamma (a)
(b)
(c)
圖 3-6
0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250 0.00
1300 1310 1320 1330 1340 1350 1360 1370 1380 1390 1400
0 1
2 GPT10_20150207_05L_N=8_G=1.65_25Hz_25fps_Fei_30000~40000frame
z2 max [mm2 ]
0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250 0.00
1300 1310 1320 1330 1340 1350 1360 1370 1380 1390 1400
0 1
2 GPT10_20150207_05L_N=8_G=1.65_25Hz_25fps_Fei_30000~40000frame
z2 max [mm2 ]
0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250 0.00
圖 3-7
圖 3-7 不同振動強度下的運動型態持續時間的分佈圖
使用的珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率 f=25Hz，而攝影機每秒拍攝 25 張影像，每 一個振動強度拍攝 65000 個振動週期的時間，判定運動型態的ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑/4。其中紅 色的點代表「Mode 0」持續時間的次數、藍色的點代表「Mode 1」持續時間的次 數、綠色的點代表第 N 顆金屬珠抬頭時持續時間的次數、棕色的點代表第第一顆 金屬珠抬頭時持續時間的次數。無因次振動加速度Г 和 bin size 分別為：
(a) Г=1.60，bin size=5.12 秒、(b) Г=1.70，bin size=0.80 秒、(c) Г=1.80，bin size=0.40 秒、(d) Г=1.90，bin size=0.20 秒。圖標上有備註平均持續時間和統計的事件數量。
0 15 30 45 60 75 90
1 10 100
GPT10_20150207_04_N=8_G=1.60 with bin size=5.12s
duration [sec]
Mode 0 (mean=20.42s ; 122 events) Mode 2 (mean=0.15s ; 5 events)
GPT10_20150207_06_N=8_G=1.70 with bin size=0.80s
duration [sec]
Mode 0 (mean=0.35s ; 24 events) Mode 2 (mean=3.13s ; 593 events) ZN up (mean=2.76s ; 685 events)
GPT10_20150207_08_N=8_G=1.80 with bin size=0.40s
duration [sec]
Mode 0 (mean=0.05s ; 36 events) Mode 2 (mean=1.53s ; 1343 events) ZN up (mean=1.28s ; 1616 events)
GPT10_20150207_10_N=8_G=1.90 with bin size=0.20s
duration [sec]
Mode 0 (mean=0.05s ; 198 events) Mode 2 (mean=0.76s ; 3025 events) ZN up (mean=0.62s ; 3741 events)
圖 3-8
圖 3-9 域代表「Mode 0」，紅色和藍色線段之間的區域代表「Mode 1」，藍色線段以下的 區域代表「Mode 2」。珠鍊長度 N 分別為：(a) N=5、(b) N=6、(c) N=7、(d) N=8。
one end "up"
two ends "up"
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
one end "up"
two ends "up"
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
one end "up"
two ends "up"
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
one end "up"
two ends "up"
(b) N=6 (a) N=5
(c) N=7
(d) N=8
圖 3-10
one end "up"
two ends "up"
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
one end "up"
two ends "up"
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
one end "up"
two ends "up"
(c) 15Hz
(b) 25Hz
(a) 35Hz
圖 3-11
Frequency [Hz]
one end "up"
two ends "up"
15 20 25 30 35 40 45 50 55
GPT10_20150401_N=8_G=1.70_20~55Hz & GPT10_20150422_N=8_G=1.70_15Hz
frac tion
Frequency [Hz]
one end "up"
two ends "up"