Chapter 4 珠鍊的微觀分析
4.1 自發性地在不同運動型態間轉換
以 N=8 的珠鍊在振動頻率為 25Hz、無因次振動加速度 Г=1.65 的振動條件下 為例，如圖 4-1 所示，珠鍊在一分鐘(1500 個振動週期)之內會自發性地在不同狀態 間轉變，而攝影機每秒拍攝 500 張影像，也就是在每一個振動週期之內可以捕捉 到 20 張影像。圖 4-1(a)所示為∆𝑧2在每一次振動週期內的平均值隨時間的變化，可 以看出珠鍊能夠在「ground state」和「excited state(s)」之間轉變，在此一分鐘的 時間之內珠鍊大部分是維持在「excited state(s)」的狀態，但在時間約 40 秒左右時 珠鍊的運動形態轉變成「ground state」，並在「ground state」維持了數秒之後才又 再一次轉變成「excited state(s)」的狀態。我們追蹤分析每一顆金屬珠在 Z 方向的 的質心位置(𝑍𝑖)隨時間的變化，並由此計算無質量因次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)以及無質量因次 動能(1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2)隨時間的變化，其中動能中的速度平方(𝑉𝑖2)算法為：
𝑉𝑖2 =1
2{[𝑅⃑ 𝑖(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑅⃑ 𝑖(𝑡)
∆𝑡 ]
2
+ [𝑅⃑ 𝑖(𝑡) − 𝑅⃑ 𝑖(𝑡 − ∆𝑡)
∆𝑡 ]
2
} , ∆𝑡 = 1 𝑓𝑝𝑠⁄
其中𝑅⃑ 𝑖是指第 i 顆金屬珠在某一瞬間的位置 (𝑋𝑖, 𝑍𝑖) ，而𝑓𝑝𝑠是指攝影機每秒拍攝 的影像張數，亦即∆𝑡為攝影機拍攝的連續兩張影像之間的時間間隔。如圖 4-1(b) 所示為珠鍊兩個端點的無質量因次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)在一個振動週期內的平均值隨時間 的變化，可以看出當珠鍊處在「ground state」的時候，珠鍊的兩個端點都沒有發生
抬頭的行為，其無質量因次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)都處在相對較低的值(約 0.02 m2/s2左右)，
因此也可以說珠鍊此時在「Mode 0」的狀態。而在「excited state(s)」的狀態中，
可以將珠鍊進一步細分為兩個端點皆發生抬頭時，其無質量因次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)都處 在相對較高的值(約 0.04 m2/s2左右)，因此珠鍊處在「Mode 2」的狀態。又或者是 珠鍊只有其中一個端點的值明顯高於另一個端點時，珠鍊此時是處在「Mode 1」
的狀態。從圖 4-1(b)也可以看出珠鍊會自發性地在「Mode 0」、「Mode 1」和「Mode 2」之間轉變。圖 4-1(c)所示為珠鍊兩個端點的無質量因次動能(1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2)在一個振 動週期內的平均值隨時間的變化，雖然速度在計算上的誤差干擾比較大，但仍然 隱約可以看出珠鍊的端點發生抬頭時，其無質量因次動能也會比未發生抬頭相比 高上許多，就也可以分出「Mode 0」、「Mode 1」和「Mode 2」三種不同的運動形 態。另外我們計算珠鍊上單顆金屬珠平均的無質量因次總力學能(𝐸𝑡𝑜𝑡⁄ )隨時間的𝑁 變化，其中無質量因次總力學能𝐸𝑡𝑜𝑡的算法為：
𝐸𝑡𝑜𝑡 = ∑𝑁 (𝑔 ∙ 𝑍𝑖 + 1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2)
𝑖=1
亦即珠鍊的每一顆金屬珠所有無質量因次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)和無質量因次動能(1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2) 的總和再除上珠鍊顆數 N，以此表示為單顆金屬珠的無質量因次總力學能(𝐸𝑡𝑜𝑡⁄ )。𝑁 如圖 4-1(d)所示為無質量因次總力學能(𝐸𝑡𝑜𝑡⁄ )在一個振動週期內的平均值隨時𝑁 間的變化，可以看出在「excited state(s)」的狀態中，每一個振動週期計算得到的 平均值是維持在定值附近，而當珠鍊轉變成「ground state」的時候，其平均值會有 明顯下降直到又轉變回「excited state(s)」為止。
料，但只擷取 14.4 秒到 16.4 秒的區間，觀察珠鍊逐漸從「Mode 1」轉變至「Mode 2」的過程。圖 4-2(a)和圖 4-3(a)所示為∆𝑧2的值隨時間的變化，可以從∆𝑧2的值明 顯地看出「Mode 0」轉變至「Mode 1」的過程，亦即在時間約 49.5 秒左右時發生 了狀態的轉變，但我們無法從∆𝑧2的值看出「Mode 1」轉變至「Mode 2」的過程。
圖 4-2(b)和圖 4-3(b)所示為無質量因次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)隨時間的變化、而圖 4-2(c)和圖 4-3(c)所示為無質量因次動能(1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2)隨時間的變化，都可以看出無質量因次位能 和無質量因次動能在狀態發生轉變的前後有明顯的差異。附註說明因為實驗上所 使用的是短弧形軌道，因此當珠鍊處在「Mode 1」的狀態時，珠鍊發生抬頭的端 點容易爬行至弧形軌道的邊緣，所以落回底板上的位置會比另外一端還要來的高。
圖 4-2(d)和圖 4-3(d)所示為單顆金屬珠平均的無質量因次總力學能(𝐸𝑡𝑜𝑡⁄ )隨時間𝑁 的變化，但是在每個振動週期只捕捉 20 張影像的拍攝速率下，當珠鍊落回底板時 的速度太快導至攝影機無法精確捕捉到位置，而使得藉由差分方式算出來的速度 平方值並不是太過於可以相信，在後續的圖 4-4 和圖 4-5 我們將以更快的拍攝速率 來探討運動形態發生轉變的的過程。
誠如前方所言，為了能更加精確計算得到珠鍊的無質量因次位能和無質量因 次動能，我們採用更高的拍攝速率，以 N=8 的珠鍊在振動頻率為 25Hz 為例，攝 影機每秒拍攝 2500 張影像，也就是在每一個振動週期之內可以捕捉到 100 張影像，
但能連續拍攝的時間僅數秒鐘左右而已。
如圖 4-4 所示為在無因次振動加速度 Γ=1.65 的振動條件下，觀測珠鍊的運動 形態由「Mode 0」轉變至「Mode 1」的過程。圖 4-4(a)和圖 4-4(b)分別為無質量因 次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)和無質量因次動能(1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2)隨時間的變化。圖 4-4(c)所示為單顆金 屬珠平均的無質量因次總力學能(𝐸𝑡𝑜𝑡⁄ )隨時間的變化，而圖 4-4(d)所示為每一顆𝑁
金屬珠和底板之間相對的高度差(𝑍𝑖 − 𝑍0 − 𝑑 2⁄ )隨時間的變化，同時比較圖 4-4(c) 和圖 4-4(d)可以發現當珠鍊離開底板開始自由飛行的時候，珠鍊平均的無質量因次 總力學能會保持在定值，但是當珠鍊落回底板上的時候，能量會被大量消耗而使 平均的無質量因次總力學能急遽下降，之後珠鍊會從底板獲得能量而使平均的無 質量因次總力學能開始攀升直到珠鍊離開底板開始下一週期的自由飛行。由圖 4-4(d)也可以發現金屬珠有機會在落回底板後發生第二次彈跳，但是當端點的金屬 珠發生抬頭之後，每一次落回底板後馬上就開始下一週期的彈跳，且彈跳的高度 明顯高於其他顆金屬珠。
如圖 4-5 所示為在無因次振動加速度 Γ=1.79 的振動條件下，觀測珠鍊的運動 形態由「Mode 1」轉變至「Mode 2」的過程。圖 4-5(a)和圖 4-5(b)分別為無質量因 次位能(𝑔 ∙ 𝑍𝑖)和無質量因次動能(1 2⁄ ∙ 𝑉𝑖2)隨時間的變化。圖 4-5(c)所示為單顆金 屬珠平均的無質量因次總力學能(𝐸𝑡𝑜𝑡⁄ )隨時間的變化，而圖 4-5(d)所示為每一顆𝑁 金屬珠和底板之間相對的高度差(𝑍𝑖 − 𝑍0 − 𝑑 2⁄ )隨時間的變化，同時比較圖 4-5(c) 和圖 4-5(d)可以發現在「Mode 1」的狀態時，珠鍊平均的無質量因次總力學能會在 每一次振動週期之內當珠鍊離開底板自由飛行時保持定值，但是在「Mode 2」的 狀態時，珠鍊平均的無質量因次總力學能不會在每一次振動週期之內有一段保持 定值的區間存在。且同樣由圖 4-5(d)可以發現當端點的金屬珠發生抬頭之後，每次 落回底板後馬上開始下一週期的彈跳。