運動型態隨振動強度的改變

4.2.1 質點自由拋體的理論計算

假設底板在 Z 方向以簡諧運動的方式在振動，則底板在 Z 方向的位置隨時間 的函數可以表示為：

Z₀(𝑡) = 𝐴₀ ∙ cos(𝜔𝑡)

其中𝐴₀為底板振動的振福大小、ω為底板振動的角速度，底板的位置隨時間的函數 經過兩次微分後即可得到底板的加速度隨時間的函數：

𝑍̈₀(𝑡) = −𝐴₀ ∙ 𝜔²∙ cos(𝜔𝑡)

當我們考慮一個跟隨底板運動的質點，當底板上升時的加速度量值大於重力加速 度 g，其質點將會被拋飛並離開底板開始鉛直上拋的自由飛行運動：

𝑍̈₀(𝑡_𝑜𝑓𝑓) = −𝐴₀∙ 𝜔²∙ cos(𝜔𝑡_𝑜𝑓𝑓) = −g

∅_𝑜𝑓𝑓 = 𝜔𝑡_𝑜𝑓𝑓 = cos⁻¹( 𝑔

𝐴₀∙ 𝜔²) = cos⁻¹(1 Г)

其中𝑡_𝑜𝑓𝑓為質點拋飛時的時間、∅_𝑜𝑓𝑓為質點拋飛時的相位、Г 為無因次的振動加速 度、g 為重力加速度。

在時間𝑡_𝑜𝑓𝑓瞬間質點離開底板開始自由飛行，而質點此時的位置和速度可以分 別表示為：

𝑍_𝑜𝑓𝑓 = 𝑍₀(𝑡_𝑜𝑓𝑓) = 𝐴₀∙ cos(𝜔𝑡_𝑜𝑓𝑓) = 𝐴₀∙ cos(∅_𝑜𝑓𝑓) =𝐴₀ Г 𝑉_𝑜𝑓𝑓 = 𝑍₀̇ (𝑡_𝑜𝑓𝑓) = −𝐴₀∙ 𝜔 ∙ sin(𝜔𝑡_𝑜𝑓𝑓) = −𝐴₀∙ 𝜔 ∙ sin(∅_𝑜𝑓𝑓)

其中𝑍_𝑜𝑓𝑓為質點開始自由飛行時 Z 方向的起始高度、𝑉_𝑜𝑓𝑓為質點開始自由飛行時的 起始速度，質點離開底板後的運動為鉛直上拋運動，因此質點的軌跡隨時間的函 數為：

Z(𝑡) = 𝑍_𝑜𝑓𝑓+ 𝑉_𝑜𝑓𝑓∙ (𝑡 − 𝑡_𝑜𝑓𝑓) −1

2∙ g ∙ (𝑡 − 𝑡_𝑜𝑓𝑓)² , 𝑓𝑜𝑟 𝑡 ≥ 𝑡_𝑜𝑓𝑓 其中Z(𝑡)為質點在 Z 方向的位置隨時間的函數。

分別已知質點和底板 Z 方向的位置隨時間的函數之後，因為質點最終仍然會 落回底板上，因此即可解得質點落回底板上的時間：

𝑍₀(𝑡_{𝑙𝑎𝑛𝑑}) = Z(𝑡_{𝑙𝑎𝑛𝑑}) 𝐴₀∙ cos(𝜔𝑡_{𝑙𝑎𝑛𝑑}) = 𝑍_𝑜𝑓𝑓+ 𝑉_𝑜𝑓𝑓∙ (𝑡_{𝑙𝑎𝑛𝑑}− 𝑡_𝑜𝑓𝑓) −1

2∙ g ∙ (𝑡_{𝑙𝑎𝑛𝑑}− 𝑡_𝑜𝑓𝑓)²

其中𝑡_{𝑙𝑎𝑛𝑑}為質點落回底板時的時間，之後將時間轉成用相位∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}來表示，並將∅_𝑜𝑓𝑓、 𝑍_𝑜𝑓𝑓和𝑉_𝑜𝑓𝑓代入後再經過化簡可以表示為：

Г ∙ cos(∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}) = 1 − √Г²− 1 ∙ [∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}− cos⁻¹(1

Г)] − [∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}− cos⁻¹(1 Г)]

2

由上式藉由數值分析(感謝 2011 年張鳳吟小姐進行數值分析的結果)就可以解得質 點落回底板時的相位∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}，解得的∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}也會只和無因次的振動加速度Г 有關。並 假設質點落回底板上之後，質點原本攜帶的能量完全損耗，繼續跟隨底板的運動 開始下一個週期的行為，亦即我們假設質點的恢復係數為 0。

如圖 4-6(a)~(f)所示為理論計算下在不同的無因次振動加速度 Г 時質點在振動 底板上的運動軌跡，虛線代表底板的位置隨相位的函數：Z₀(∅) = 𝐴₀ ∙ cos(∅)，紅 色的點代表質點離開底板開始自由飛行時的相位∅_𝑜𝑓𝑓、藍色的點代表質點落回底 板結束自由飛行時的相位∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}，而橘色的線為質點離開底板後的拋物線飛行軌跡。

圖 4-6(g)所示為理論計算出來的∅_𝑜𝑓𝑓和∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}隨無因次振動加速度Γ 的變化。表 4-1

金屬珠在每一個振動週期之內有機會和底板發生第二次彈跳，因此我們想要量測 金屬珠和底板發生反彈時的恢復係數。

我們使用兩種方法來量測：(A)在靜止的底板上垂直落下單顆金屬珠，並以高 速攝影幾捕捉金屬珠的軌跡，再由此計算反彈前後的高度而得到恢復係數。(B)直 接在振動底板上量測珠鍊上的某一顆金屬珠和底板發生反彈前後的運動軌跡，轉 換慣性座標後計算反彈前後的高度而得到恢復係數。

(A) 直接在靜止的壓克力底板上垂直落下單顆金屬珠，金屬珠的起始高度約為 20mm 左右，然後高速攝影機每秒拍攝 2500 張影像，共進行 6 次實驗，每次實驗 中金屬珠 Z 方向的質心位置隨時間的變化如圖 4-7 所示。令第一次反彈的最大高 度為ℎ₁、第二次反彈的最大高度為ℎ₂，並由√ℎ₂⁄ 得到金屬珠在壓克力底板上的ℎ₁ 恢復係數，此方式算得的恢復係數約為0.50 ± 0.04。

(B) 以珠鍊長度 N=8 為例，而底板的振動頻率為 25Hz、無因次振動加速度 Г=1.45，攝影機每秒拍攝 2500 張影像，只取第一顆金屬珠和底板發生反彈時來計 算，如圖 4-8 所示。圖 4-8(a)之中，灰色實線為底板的位置隨時間的函數，黑色的 點為攝影機捕捉到在每一張影像中第一顆金屬珠在 Z 方向的質心位置隨時間的變 化，當金屬珠第一次和底板發生反彈時，令金屬珠落到底板瞬間的時間為𝑡₁，並計 算得到此時底板的運動速度𝑉₀₁，圖上的藍色虛線為在時間𝑡₁時底板位質函數的切 線。之後轉換到此時底板的慣性座標來觀看反彈前後的行為，如圖 4-8(b)所示，令 原本第一顆金屬珠 Z 方向的質心位置為𝑍₁，經過轉換後的座標為𝑍₁^′(𝑡)：

𝑍₁^′(𝑡) = 𝑍₁(𝑡) − 𝑉₀₁∙ (𝑡 − 𝑡₁) − 𝑍₀(𝑡₁)

亦即為圖 4-8(a)之中黑色的點和藍色虛線之間的高度差，並分別對反彈前後的軌跡 進行拋物線函數的擬合，以擬合後的拋物線最大高度視為金屬珠發生反彈前後的

最大高度ℎ₁和ℎ₂，並由√ℎ₂⁄ 得到金屬珠在振動底板上的恢復係數，共選取 12 次ℎ₁ 的週期，此方式算得的恢復係數為0.55 ± 0.07。並發現(A)和(B)的兩種方式算得的 恢復係數非常接近，亦即珠鍊端點的金屬珠發生的反彈和單顆金屬珠的反彈行為 非常的接近。

我們在(B)計算的是珠鍊端點的金屬珠在振動底板上的恢復係數，除此之外也 有觀察珠鍊中間顆數的金屬珠在振動底板上的彈跳，發現中間顆數的金屬珠第一 次落回底板上之後就幾乎不會發生第二次的彈跳，亦即珠鍊中間的金屬珠的恢復 係數幾乎為 0，猜測是由於中間顆數的金屬珠能量會被自身的內部自由度所消耗掉 的緣故。

4.2.3 運動型態的週期性隨振動強度的改變

如圖 4-9 所示為不同的振動強度下的發生「Mode 0」的運動型態時，每一顆金 屬珠和底板之間相對的高度差隨時間的變化，圖上藍色的點代表第一顆金屬珠、

紅色的點代表第 N 顆金屬珠、其他的金屬珠以灰色的點表示，橘色的線表示理論 計算後質點自由拋體的軌跡，每張子圖上方的黑色的線表示底板的位置隨時間的 函數的示意圖(非實際的振幅大小)。之後我們取第一顆金屬珠作為示範，將圖 4-9 在不同振動強度下第一顆金屬珠隨時間的變化疊加在一起，如圖 4-10 所示，總共 疊加 18 個振動週期，橫軸為底板振動的相位，而底板的位置隨相位的函數為 𝑍₀(∅) = 𝐴₀∙ cos(∅)。圖上的綠色粗線為 18 次振動週期內第一顆金屬珠 Z 方向質 心的平均位置隨相位的變化(phase average)，橘色的實線為理論計算下質點自由拋

於理論計算中的質點落回底板後就會喪失所有能量，但實驗中第一顆金屬珠落下 後會和底板發生反彈而產生第二次彈跳，但經歷第二次彈跳後金屬珠幾乎耗盡能 量，因此會有幾乎平趴在底板上的區間，亦即和底板之間的高度差是零，開始下 一個振動週期後重新由底板給予能量重複做著週期性的相似行為。但隨著振動強 度的增加，理論計算質點落回底板上的相位∅_{𝑙𝑎𝑛𝑑}也會延後，如圖 4-10(e)所示，當 無因次振動加速度Г=1.66 的時候，第一顆金屬珠在每一次振動週期內的行為已經 大相逕庭，雖然同樣會發生第二次的彈跳，但在第二次彈跳落回底板時已經進入 下一個振動週期，因此前一次振動週期的能量尚未耗盡就開始下一個振動週期，

能量的累積就會造成第一顆金屬珠的彈跳高度比理論計算高上許多而容易出現

「抬頭」的行為。亦即當無因次振動加速度Г 約大於 1.65 之後，金屬珠已經很難 在同一個振動週期內將能量耗盡，所以「Mode 0」也會越來越難出現。

如圖 4-11 所示為第一顆金屬珠和相平均行為的差異隨振動強度的變化，和圖 4-10 為同一筆資料，δ𝑍₁²表示為第一顆金屬珠和底板的相對高度(𝑍₁− 𝑍₀)和 18 個 振動週期的相平均位置的高度差平方值，亦即圖 4-10 之中藍色的點和綠色實線之 間高度差的平方值。在相同的振動強度之下加總δ𝑍₁²之後再除上(𝑍₁− 𝑍₀)²的加總，

亦即表示為第一顆金屬珠的週期性隨振動強度的變化，當其值越小時表示每一個 振動週期的行為都和相平均行為非常相似，反之當其值越大時表示每一個振動週 期的行為和相平均行為差異很大。由此圖可以看到隨著振動強度由無因次振動加 速度Г=1.45 增加至 Г=1.66 時，其週期性會越來越差，也表示金屬珠在每一次振動 週期中越來越不穩定。