短顆粒鍊在振動系統下的狀態研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文 Department of Physics National Taiwan Normal University Master Thesis. 短顆粒鍊在振動系統下的狀態研究. The state of a short granular chain under vibrations. 研究生：孫宇岑 Yu-Cen Sun 指導教授：蔡日強博士、黃仲仁博士 Jih-Chiang Tsai, Ph.D. and Jung-Ren Huang, Ph.D. 中華民國 104 年 6 月 June, 2015. 1.

(2) 誌謝. 時間轉瞬而過，從大學時期開始就待在中研院蔡日強老師的實驗室做專題研究，碩士時選擇繼續留下，直至今日已經五年過去了！真的有太多人要感謝了，但影響我最大的是蔡日強老師，初期時不知道自己可以做些什麼，但蔡老師提供各種有趣的的研究方向，並激發起我的興趣，之後給予我許多機會參加各種研討會去練習以及和其他人的交流，除了學術研究上的指導以外，蔡老師也會分享許多對生活事情的看法以及人生規劃的議題，是亦師亦友的好導師！另外也很感謝黃仲仁老師，和黃老師討論後總是可以獲得不一樣的看法，學業上也總是耐心地教導，也讓我受益良多。此外也非常感謝阮文滔老師，曾經和阮老師的研究團隊一起 group meeting 的那一年，深刻感受到阮老師很樂意和學生討論並且想要培養我們能夠獨立思考的用意，而這些經驗也都讓我受用無窮。在實驗室的這些年來，不管是曾經的前輩或是現在的實驗夥伴，也都是對我而言很重要的存在！林昱辰、張繼中、林蔚廷是實驗室裡專業且資深的前輩們，教導我許多實驗方法、技術指導等，讓我可以在初期就飛躍性地成長，學習到許多知識和技能。賴靜瑤、周明叡、黃柏嘉是一直以來互相支持和扶持的同學們，雖然我和大家隸屬於不同的學校，但卻可以很和樂的相處，感受到強烈的羈絆，希望以後大家都可以在各自的路上找尋到自己的一片天空。陶巧妤和費祥霆則是現在的實驗室中最得力的幫手們，有豐富的學術知識以及精彩的人生歷練，在實驗上給予許多鼓勵以及各種強而有力的幫助，真的非常的感謝。最後要感謝鄭璋駿、陳駿仁、CoCo、Stella、Tim、Jose、Tina、Alvin、Fidji、黃舜佳、周結、曾奕晴、王鈞、林純安等在這幾年來的研究路上曾經幫助過我或是鼓勵過我的人們。最後感謝家人，尊重我的選擇讓我踏上物理研究的這條路，雖然有時充滿挫折，但都會持續的給予我支持，讓我可以無後顧之憂的做我想做的事情，感謝！. 研究生. 孫宇岑(Conan Sun) 謹致於. 中央研究院物理研究所、國立臺灣師範大學物理研究所中華民國一〇四年六月 i.

(3) 中文摘要. 我們研究短珠鍊在振動系統下的狀態隨振動強度的改變，發現珠鍊的狀態會反應在珠鍊的形狀上，因此在此論文中主要探討珠鍊的形狀來描述其不同的運動型態。我們將金屬製顆粒鍊放置在準二維(quasi-2D)的通道中，由側邊觀察珠鍊隨底板振動的運動。定性上看到在 25Hz 的振動條件之下，對適當長度範圍 (N=5~8)之內的珠鍊都可以觀察到行為轉變(transition)的發生。隨著振動強度的增加，珠鍊的運動型態從整條珠鍊都平上平下逐漸趨向於不穩定而產生彎曲。我們進行長時間的統計分析，藉由運動型態的平均持續時間以及比例分佈隨振動強度 Г 的變化來量化珠鍊狀態的轉變，以 N=8 的珠鍊為例，其行為轉變發生在Г ≈ 1.65左右。我們也發現當珠鍊長度縮短時，會在比較低的振動強度就發生行為轉變。我們進一步發現，珠鍊甚至在固定的振動強度之下也會自發性地在不同狀態間轉變。因此藉由追蹤每一顆金屬珠隨底板振動的運動，以微觀分析的方式試著理解珠鍊狀態發生轉變的機制。同時我們以理論預測質點在簡諧振動底板上的自由拋體行為，並和實驗結果進行比較，初步地推測行為轉變發生的原因。而珠鍊的狀態除了反應在形狀上之外，也會表現在水平方向的運動特性，我們也試著找出珠鍊的形狀和水平運動之間的關聯性，並且有一些初步的討論。. 關鍵字：顆粒鍊、(垂直)振動系統、運動型態的行為轉變. ii.

(4) ABSTRACT We study experimentally the dynamics of a short granular chain under vibration, and find that the shape of chain can reflect the state of chain. In this master thesis, we use the shape of chain to define different motion modes. We confine the chain in a quasi-2D vertical channel and observe the shape of chain under vibration with side view. At the condition of 25Hz, we see qualitatively the chain (N=5~8) undergoes transitions from a uniform response (flat) to unstable behavior (with bending) as the vibrational strengths increase. With long time experiment and statistical analysis, we quantify the transition by how the mean duration and fraction of each motion mode change with vibration strength. Using N=8 as an example, the transition occurs about Г ≈ 1.65. We also find that, the transition occurs at lower value of vibration strength when N decreases. In addition, the unexcited and excited states exhibit bistability and switch spontaneously even at a fixed value of vibration strength. Therefore, we track the motion of each bead, and use these analyses to understand the reason why the chain can switch its states spontaneously. Also, we make theoretical predictions on the parabolic flight of a particle over a substrate with sinusoidal vibration, and compare predictions with experiments to preliminarily explain the values of the vibration strength for transitions. In addition, we find that each state of chain has its characteristics of displacement and try to find the correlation between the shape of chain and the movement.. Key Word: granular chain, vibration(vertical), transition. iii.

(5) 目錄誌謝 ....................................................................................................................................i 中文摘要 .......................................................................................................................... ii ABSTRACT ................................................................................................................... iii 目錄 ..................................................................................................................................iv 圖片目錄 ..........................................................................................................................vi 符號說明 ....................................................................................................................... viii 緒論............................................................................................................1. Chapter 1 1.1. 簡介 ................................................................................................................1. 1.2. 歷史回顧 ........................................................................................................1. 1.3. 論文架構 ........................................................................................................5 實驗架設與影像分析 ...............................................................................7. Chapter 2. 實驗架設 ........................................................................................................7. 2.1. 2.1.1. 研究對象 ............................................................................................... 7. 2.1.2. 軌道設計 ............................................................................................... 7. 2.1.3. 振動台的架設與控制 ...........................................................................8. 2.1.4. 高速攝影機的架設與控制 ...................................................................9. 影像分析 ......................................................................................................10. 2.2. 2.2.1. 珠鍊的彎曲程度∆𝑧 2 ..........................................................................10. 2.2.2. 簡化的運動型態判定 ......................................................................... 11. 2.2.3. 追蹤每一顆金屬珠的運動 .................................................................12 珠鍊的形狀與運動型態 .........................................................................25. Chapter 3 3.1. 3.2. 彎曲程度 ∆𝑧 2 .............................................................................................. 25 3.1.1. ∆𝑧 2 隨時間的變化 ..............................................................................26. 3.1.2. 2 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的統計分析 ..............................................................................26. 3.1.3. 2 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨振動強度的改變 ..................................................................28. 運動型態的統計分析 ..................................................................................29 3.2.1. 持續時間的統計分佈 .........................................................................30 iv.

(6) 3.2.2. 持續時間隨振動強度的改變 ............................................................. 30. 3.2.3. 比例分佈隨振動強度的改變 ............................................................. 31. 3.3. 振動頻率的角色 .......................................................................................... 32. 3.4. 討論 ..............................................................................................................33 珠鍊的微觀分析 ..................................................................................... 47. Chapter 4 4.1. 自發性地在不同運動型態間轉換 .............................................................. 47. 4.2. 運動型態隨振動強度的改變 ......................................................................50 4.2.1. 質點自由拋體的理論計算 .................................................................51. 4.2.2. 恢復係數的測量 .................................................................................52. 4.2.3. 運動型態的週期性隨振動強度的改變 .............................................54. 4.3. 振幅的角色 ..................................................................................................55. 4.4. 討論 ..............................................................................................................56. Chapter 5. 珠鍊質心的水平運動 .............................................................................73. Chapter 6. 結論..........................................................................................................77. REFERENCE 參考資料 ................................................................................................ 81 APPENDIX 附錄 ...........................................................................................................83. v.

(7) 圖片目錄圖 2-1. 實驗架設的示意圖 .......................................................................................... 13. 圖 2-2. 研究的珠鍊照片以及結構示意圖 ..................................................................14. 圖 2-3. 珠鍊軌道結構的示意圖 ..................................................................................15. 圖 2-4. 振動系統的照片 .............................................................................................. 16. 圖 2-5. 影像擷取系統的照片 ...................................................................................... 17. 圖 2-6. 藉由多項式函數擬合珠鍊的形狀並定義珠鍊的彎曲程度∆𝑧 2 .................... 18. 圖 2-7. 藉由簡化的方式判定不同的運動型態 .......................................................... 19. 圖 2-8. 追蹤每一顆金屬珠的運動 ..............................................................................20. 圖 2-9. 藉由多項式函數擬合珠鍊的形狀∆𝑧 2 的程式流程圖....................................21. 圖 2-10. 藉由簡化的方式判定不同的運動型態的程式流程圖 ................................ 22. 圖 2-11. 追蹤每一顆金屬珠的運動的程式流程圖 .................................................... 23. 圖 3-1 不同振動強度下珠鍊 Z 方向的質心與底板的位置隨時間的變化 ...............35 圖 3-2. 珠鍊 Z 方向的質心與∆𝑧 2 隨時間的變化 ....................................................... 36. 圖 3-3. 2 不同振動強度下的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨時間的變化 ....................................................... 37. 圖 3-4. 2 不同振動強度下的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的分佈圖 ............................................................... 38. 圖 3-5. 2 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨振動強度的改變 ...............................................................................39. 圖 3-6. ℎ𝑐𝑢𝑡 對運動型態判定的影響 ...........................................................................40. 圖 3-7. 不同振動強度下的運動型態持續時間的分佈圖 ..........................................41. 圖 3-8. 不同珠鍊長度下的運動型態的平均持續時間隨振動強度的變化 ..............42. 圖 3-9. 不同珠鍊長度下的運動型態的比例分佈隨振動強度的變化 ...................... 43. 圖 3-10. 不同振動頻率下的運動型態的比例分佈隨振動強度的變化 .................... 44. 圖 3-11. 不同珠鍊長度下的運動型態的比例分佈隨振動頻率的變化 .................... 45. 圖 4-1. 固定振動強度下珠鍊的性質隨時間的變化 ..................................................59. 圖 4-2. 固定振動強度下珠鍊從「Mode 0」轉變至「Mode 1」的過程 .................60. 圖 4-3. 固定振動強度下珠鍊從「Mode 1」轉變至「Mode 2」的過程 .................61. 圖 4-4. 固定振動強度下珠鍊從「Mode 0」轉變至「Mode 1」的過程 (高 fps) ...62. 圖 4-5. 固定振動強度下珠鍊從「Mode 1」轉變至「Mode 2」的過程 (高 fps) ...63 vi.

(8) 圖 4-6. 理論計算在振動底板上的質點其自由拋體的軌跡 ......................................64. 圖 4-7. 單顆金屬珠的恢復係數測量 ..........................................................................65. 圖 4-8. 珠鍊在振動底板上的恢復係數測量 .............................................................. 66. 圖 4-9. 不同振動強度下的「Mode 0」隨時間的變化..............................................67. 圖 4-10. 不同振動強度下的「Mode 0」的相平均行為............................................68. 圖 4-11. 「Mode 0」和相平均行為的差異隨振動強度的變化 ................................ 69. 圖 4-12. 不同振動頻率下的「Mode 0」隨時間的變化............................................70. 圖 5-1. 不同振動強度下對不同的運動型態在單位時間內位移的分佈圖 ..............75. 圖 5-2. 不同振動強度下對不同運動型態的持續時間與位移的散佈圖 ..................76. 表格目錄表 4-1. 理論計算在振動底板上的質點其自由拋體的開始與結束相位 ..................71. vii.

(9) 符號說明 d. 珠鍊的金屬珠直徑，在此論文中為定值：d = 2.4mm. s. 珠鍊中相鄰兩顆金屬珠之間的距離，s ≤ 0.23d. N. 珠鍊的金屬珠顆數，並以 N 來表示珠鍊的長度. g. 重力加速度，在此論文中為定值：g = 9.8 𝑚⁄𝑠 2. f. 底板的振動頻率，單位為 Hz. Γ. 無因次振動加速度，表示底板振動最大加速度和重力加速度的比值. fps. Frame per Second，代表攝影機每秒拍攝的影像張數. 𝑍0. 底板在 Z 方向的位置. 𝐴0. 底板振動的振幅大小. 𝑍𝑐. 珠鍊在 Z 方向的質心位置. ∆𝑧 2. 沿著珠鍊的每個位置在 Z 方向和𝑍𝑐 的高度差平方的平均值. 2 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥. 在每一個振動週期內∆𝑧 2 的極大值. 𝑁0. 函數擬合後的參數，代表「ground state」發生的事件次數. 𝜇0. 2 函數擬合後的參數，代表「ground state」發生時∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值. 𝜎0. 2 函數擬合後的參數，代表「ground state」發生的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的標準差. 𝑁1. 函數擬合後的參數，代表「excited state(s)」發生的事件次數. 𝜇1. 2 函數擬合後的參數，代表「excited state(s)」發發生時∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值. 𝜎1. 2 函數擬合後的參數，代表「excited state(s)」發生的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的標準差. 𝑋𝑖. 第 i 顆金屬珠在 X 方向的質心位置 (i=1~N). 𝑍𝑖. 第 i 顆金屬珠在 Z 方向的質心位置 (i=1~N) viii.

(10) 𝑍𝑚𝑖𝑑. 珠鍊中間顆數的金屬珠在 Z 方向的質心位置. ℎ𝑐𝑢𝑡. 簡化判定運動型態的門檻，在此論文中採用ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑 ⁄4. ∆ℎ𝑖. 第 i 顆金屬珠在 Z 方向的質心位置和𝑍𝑚𝑖𝑑 的差值(∆ℎ𝑖 = 𝑍𝑖 − 𝑍𝑚𝑖𝑑 ). 𝑅⃑𝑖. 第 i 顆金屬珠在某一瞬間的位置 𝑅⃑𝑖 = (𝑋𝑖 , 𝑍𝑖 ). 𝑉𝑖2. 第 i 顆金屬珠在某一瞬間的速度平方值. ∆t. 計算速度時所採用的時間間隔，在此論文中採用∆t = 1⁄𝑓𝑝𝑠. 𝐸𝑡𝑜𝑡. 2 珠鍊無質量因次的總力學能 ∑𝑁 𝑖=1(𝑔 ∙ 𝑍𝑖 + 1⁄2 ∙ 𝑉𝑖 ). 𝑡𝑜𝑓𝑓. 理論計算下質點離開底板開始自由拋體時的時間. 𝑍𝑜𝑓𝑓. 理論計算下質點離開底板開始自由拋體時的起始高度. 𝑉𝑜𝑓𝑓. 理論計算下質點離開底板開始自由拋體時的起始速度. ∅𝑜𝑓𝑓. 理論計算下質點離開底板開始自由拋體的相位. 𝑡𝑙𝑎𝑛𝑑. 理論計算下質點落回底板結束自由拋體時的時間. ∅𝑙𝑎𝑛𝑑. 理論計算下質點落回底板結束自由拋體的相位. ℎ1. 金屬珠和底板發生反彈時，反彈前金屬珠的最大高度. ℎ2. 金屬珠和底板發生反彈時，反彈後金屬珠的最大高度. 𝑡1. 在每次振動週期之內金屬珠第一次落回底板上的時間. 𝑉01. 在𝑡1 時底板的瞬時速度. 𝑍𝑖′. 第 i 顆金屬珠在 Z 方向轉換在𝑡1 時底板的慣性座標後的位置. δ𝑍𝑖2. 第 i 顆金屬珠的(𝑍𝑖 − 𝑍0 )和相平均位置的高度差平方值. ix.

(11) Chapter 1 1.1. 緒論. 簡介我們將隨處可見的金屬製珠鍊擺放在均勻的垂直式振動環境下，底板只提供. 垂直方向的振動作用在珠鍊上，珠鍊上的每一顆金屬珠都同樣接收到來自底板所提供的能量。在振動強度小的時候，珠鍊上的每一顆金屬珠都做了相似的行為，但隨著振動強度的增加，珠鍊上的每一顆金屬珠隨著底板振動的運動開始出現差異，在我們所研究的振動強度區間之內，珠鍊兩端的金屬珠有機會拋飛的特別高而出現「抬頭」的行為，因此珠鍊開始出現不同的運動型態。我們發現珠鍊隨著底板振動的運動型態會反應在珠鍊的形狀上，在此論文中，我們試著了解珠鍊的運動型態隨振動強度的改變，以及珠鍊為何能在不同運動型態之間轉變(transition) 的機制。. 1.2. 歷史回顧此論文研究的前身起源自我大學時期參與中研院物理所蔡日強老師的研究團. 隊所做的專題研究，那時候我們研究珠鍊在有振動強度梯度的一維軌道中發生的行為，其研究成果也發表在 Physical Review Letters(2014)的期刊。我們將珠鍊擺放在一維的軌道中，軌道的一端給予垂直式地簡諧振動，而另外一端則固定住，如此一來振動強度就會沿著軌道線性地變化而產生振動強度梯度。我們發現若是在特定的起始位置進行多次的實驗，珠鍊有時候會想往振動梯度大的方向爬行，但有時後則是會往振動梯度小的方向爬行。定性上我們也觀察到這兩種行為珠鍊有不同的形態。以 N=8 的珠鍊在 25Hz 的振動條件為例，此特定的起始位置所對應的無因次振動加速度 Γ 約為 1.65 左右，而若是珠鍊質心的起始位置對應的無因次 1.

(12) 振動加速度 Γ 小於 1.65 時，不論起始位置為何珠鍊都只會往振動梯度小的方向爬行，直到爬行至無因次振動加速度 Γ 等於 1 的區域，因為底板作用的力不及珠鍊本身的重力，所以珠鍊將無法再被拋起而停止爬行。但若是珠鍊質心的起始位置對應的無因次振動加速度 Γ 略大於 1.65 時，珠鍊會往振動梯度大的方向爬行，直到爬行至振動強度夠大的區域之後，就會變成隨機且無序的運動。這些現象激發起我的興趣，在有振動強度梯度的軌道中，沿著珠鍊的每個位置感受到的振動強度都不同，但若是沒有振動強度的梯度而是在均勻的垂直振動條件下，珠鍊是否還會隨著振動強度的不同而產生不同的運動形態呢？因此我們研究珠鍊在均勻的垂直振動環境下，其狀態隨著振動強度的變化。在過往的文獻之中，已經有許多人研究物體在均勻的垂直式振動環境下，其物體的運動型態隨著振動強度的變化，比如 S. Dorbolo、D. Volfson、L. Tsimring 和 A. Kudrolli (2005) 的研究團隊將啞鈴狀的物體(dimer)鉛直下落在正在垂直振動的底板上，而底板振動的無因次振動加速度 Γ 約略小於 1，發現其啞鈴狀的物體在相同的振動強度下和底板發生的彈跳也會有不同的方式，根據啞鈴狀物體的兩端和底板發生的彈跳方式可以分為：兩個端點輪流交替和底板發生反彈的「flutter mode (F)」、兩個端點在每個振動週期之內同時一起和底板發生反彈的「jump mode (J)」以及其中一個端點一直趴在底板而只有另外一個端點會和底板發生彈跳的「drift mode (D)」，亦即啞鈴狀的物體在相同的振動強度之下可能會產生不同的狀態。而他們除了實驗之外也有用模擬的方式來闡述啞鈴狀物體和底板之間的彈跳行為(dynamics of a bouncing dimer)。另外 Daizou Yamada、Tsuyoshi Hondou、Masaki Sano (2003)的研究團隊將不對稱的物體(asymmetric particle)放置在兩片水平設置的玻璃板夾層之中，給予垂直式 2.

(13) 振動後發現其不對稱的物體隨著振動強度的增加會有不同的水平運動特性，亦即隨著振動強度的增加，其不對稱的物體的運動形態會有從隨機運動的「無序相 (disordered phase)」轉變成以特定的水平速度運動的「有序相(ordered phase)」，對振動頻率小於 60Hz 的條件之下，這兩種不同的運動方式發生行為轉變的無因次振動加速度 Γ 約為 1.80 左右。而他們主要是以水平運動的觀點去探討不對稱物體的狀態隨振動強度的改變。近來 Yoshitsugu Kubo、Shio Inagaki、Masatoshi Ichikawa、Kenichi Yoshikawa (2015)的研究團隊同樣在觀察物體的運動型態隨著振動強度的增加而出現的行為轉變。他們將具有掌性不對稱的啞鈴狀物體(dumbbell with chirality)放置在垂直振動的二維平台上，同樣也觀察到隨著振動強度的逐漸增加，啞鈴狀物體的運動型態會逐漸從隨機運動的「spin + random mode (SR)」歷經會繞圓形軌道的「orbital mode (O)」再轉變成只會在直線上來回滾動的「rolling mode (R)」。對不同幾何構型的啞鈴狀物體，其運動型態發生行為轉變的無因次振動加速度 Γ 並不相同，但定性上都會出現相似的轉變歷程。而他們除了實驗之外也有用理論預測和模擬的方式來和實驗結果進行比較。我們所研究的珠鍊在垂直振動的軌道中，隨著振動強度的增加也會出現相似的行為轉變過程，根據從側邊觀察珠鍊的形狀可以大致分為：保持水平線形狀的「Mode 0」、只有其中一個端點發生抬頭的「Mode 1」以及兩個端點都發生抬頭的「Mode 2」，而隨著振動強度的增加，珠鍊的狀態會從「Mode 0」為主轉變至「Mode 1」或「Mode 2」為主。對不同顆數的珠鍊(N=5~8)定性上也都可以看到相似的行為轉變過程。而甚至在相同的振動強度之下，珠鍊就會自發性地在不同狀態之間切換。 3.

(14) 我們的研究和大多數的文獻最大的差異在於物體的性質，他們所研究的物體是剛性的物體，但是我們所研究的對象是由短棒鬆散連接的金屬珠串聯而成的珠鍊，本身具有內部的自由度，可以藉由自身的形變來消耗能量。只有相對少數如 Atwell, J.和 J. Olafsen (2005)的研究團隊將鬆散連接的啞鈴狀顆粒二聚體(dimer)放置在垂直振動的二維平台上，探討每個振動週期之內底板和鬆散連接的啞鈴狀顆粒體之間其能量和動量之間的傳遞過程。或是 Arshad Kudrolli (2010)的研究團隊將一堆自走式珠鍊(self-propelled rods)放置在垂直振動的二維平台上，觀察自走式珠鍊的隨機運動行為(random motion)，並探討方均根位移(MSD)與面積比例(area fraction)之間的關聯。同樣的研究團隊 V. Yadav 和 A. Kudrolli (2012)則是將一堆的珠鍊放置在垂直振動的二維平台上，觀察珠鍊的擴散行為(diffusion)。我們所研究的是單條珠鍊在振動下的狀態，但有更多的研究則是在探討很多物體之間彼此互相作用下表現出來的行為，例如 Reis, P., R. Ingale 和 M. Shattuck (2007)的研究團隊將一堆鋼珠放置在兩片水平設置的玻璃板夾層之中，給予垂直式振動觀察不同參數設置(ϕ、f、Г)下鋼珠們表現出來的速度分佈特性。或是 Wildman, R. D.、J. Beecham 和 T. Freeman (2009)的研究團隊將一堆啞鈴狀的物體(dumbbells) 放置在兩片垂直設置的玻璃板夾層之中，給予垂直式振動觀察啞鈴狀物體們的各項特性(顆粒體溫度、速度分佈、動量等)在不同高度下的性質。除此之外，對於單顆球在振動底板上的彈跳行為也已有人研究過，例如 H. S. Wright、M. R. Swift 和 P. J. King (2008)的研究團隊則是以模擬的方式探討單顆球在不同曲率的凹面底板上的彈跳行為(bouncing)。或是 Barroso, J. J.、M. V. Carneiro 和 E. E. Macau (2009)的研究團隊同樣以數值分析的方式探討單顆球在垂直振動的底板上產生的非線性行為。 4.

(15) 1.3. 論文架構在此論文中的第二章介紹我們的儀器架設以及影像分析的方式。我們在第三章. 藉由珠鍊的形狀定義出不同的運動形態，並對其進行長時間的統計分析，也藉此界定珠鍊巨觀的行為隨振動強度的變化。在第四章我們藉由高解析度的拍攝，微觀分析每一顆金屬珠隨底板的運動，藉此解讀珠鍊的運動型態發生轉變的原因。在第五章之中初步探討珠鍊質心的水平運動和運動型態之間的關聯性。最後的第六章則為結論。. 5.

(16) 6.

(17) Chapter 2. 實驗架設與影像分析. 實驗架設. 2.1. 我們想要研究短珠鍊在振動系統下的狀態隨振動強度的改變，實驗架設的示意圖如圖 2-1 所示，圖 2-1(a)為實驗架設的側視圖，我們使用的是一般市售的金屬製串珠，用顆數 N 來表示珠鍊長度，此外架設兩道壓克力製的牆壁以限制珠鍊的移動方向只能在一維的通道上，牆壁之間的寬度略大於金屬珠直徑 d，下方的振動台則提供垂直式地振動。定義和重力加速度g ⃑ 平行的方向為 Z 軸、向上為正，而沿著通道的方向為 X 軸。圖 2-1(b)為實驗架設的上視圖，珠鍊被限制在兩片壓克力牆之間的通道，而壓克力牆之間的寬度為 3mm，略大於金屬珠直徑 d (2.4mm)，其中一道牆壁後方架設背光板提供均勻的平行光源，另一側則架設攝影機由側邊觀察珠鍊在 X-Z 平面上隨底板的運動。. 2.1.1. 研究對象. 如圖 2-2(a)所示為我們所研究的金屬製串珠照片，圖 2-2(b)所示為珠鍊的結構示意圖，每一顆金屬珠的直徑 d~2.4mm，在每一顆金屬珠之間由短棒連接，而短棒的連接方式使串珠具有可伸縮的性質。令金屬珠之間的距離為 s，則金屬珠之間可伸長的最大距離𝑠𝑚𝑎𝑥 ~0.23𝑑。在此論文中以 N 來表示珠鍊中的金屬珠顆數。. 2.1.2. 軌道設計. 為了要限制珠鍊只能在一維的通道上運動，我們使用壓克力自製軌道，軌道的底板為壓克力製的平面，此外在前後垂直矗立兩片壓克力牆，使用壓克力材質的目的在於其透光的性質，採用背光照射的方式下只有金屬製的珠鍊因為不透光所以可以得到清晰的背影。 7.

(18) 當振動強度夠大之後珠鍊會沿著通道產生水平方向的運動，因此我們採用兩種策略來設計軌道：(A)圓環型軌道、(B)短弧形軌道 (A) 圓環型軌道：如圖 2-3(a)所示，將通道設計成圓環狀，圓環軌道的直徑為 224.6mm、通道寬度為 3mm，目的在於讓珠鍊處在於近似無限長的水平軌道上，因此珠鍊就可以在通道內自由進行水平方向的移動。此外架設兩台位置彼此正交的高速攝影機，如此一來就可以從側邊捕捉到珠鍊在圓環型軌道上的所有位置。 (B) 短弧形軌道：如圖 2-3(b)所示，沿著通道的方向上為圓弧形的結構，而圓弧的曲率半徑為 200mm、整個通道的全長為 80mm，目的在於讓珠鍊沿著通道的方向上被限制在一定範圍之內，當珠鍊爬行至靠近通道的兩端時，會因為坡度的影響而回到中央區域，通道最外側的坡度α~ tan−1(0.10)。此外因為珠鍊被限制在一定的範圍，因此就可以用較高的放大率搭配高時間解析度捕捉到珠鍊的每一顆金屬珠隨底板振動的運動。. 2.1.3. 振動台的架設與控制. 振動系統的實驗架設照片如圖 2-4 所示，軌道被固定在振動台上方的平台，而振動台提供垂直式的簡諧振動，最主要的操作變因為無因次振動加速度 Г，其定義為週期振動的最大加速度和重力加速度的比值： Г=. Peak acceleration 𝐴0 ∙ (2𝜋𝑓)2 = 𝑔 𝑔. 其中𝐴0 為底板振動的振幅大小、f 為底板的振動頻率、g 為重力加速度，在此論文中的 g 為定值(g = 9.8 𝑚⁄𝑠 2 )。本研究主要使用兩種不同的振動台來提供均勻的垂直式振動條件，利用波形產生器給予正弦訊號之後，激發振動台使其產生垂直的簡諧運動：(A)振儀科技 8.

(19) VS-1000VH (大振動台)、(B)振儀科技三十公斤級振動台(小振動台)。 (A) 振儀科技 VS-1000VH (大振動台)：如圖 2-4(a)所示，此振動台內部為電磁式馬達，其可操作的位移範圍為-12.5~12.5mm、可操作的頻率範圍為 1~2400Hz，此振動台主要是架設圓環型軌道時所使用的振動系統。 (B) 振儀科技三十公斤級振動台(小振動台)：如圖 2-4(b)所示，此振動台內部為電磁式馬達，此振動台主要是架設短弧形軌道時所使用的振動系統。為了能即時量測振動台的即時振動加速度，我們在振動台上設置加速規，而加速規的靈敏值約為100 𝑚𝑉 ⁄𝑔，此外使用振儀科技 Super-2 數位伺服控制器產生正弦訊號提供給上述的振動台使用，並搭配在 Window 7 作業系統上的軟體模組來操作。此數位伺服控制器具有回饋控制的機制，搭配已經設置在振動台上的加速規來即時量測加速度，就可以即時調整輸出的電訊號以維持正弦波形的穩定。數位伺服控制器輸出的電訊號經過 BNC 接線傳入訊號放大器，而訊號放大器可以將輸入的電訊號加以放大之後再輸出至振動台使其振動。不同的振動台需搭配使用不同的訊號放大器，但因為我們所使用的數位伺服控制器具有回饋控制的機能，因此實驗上是固定訊號放大器的放大率，由數位控制器量測振動台即時的加速度之後，再改變輸入給訊號放大器的電訊號強度。. 2.1.4. 高速攝影機的架設與控制. 影像擷取系統的實驗架設如圖 2.5 所示，使用高速攝影機從側邊捕捉珠鍊隨底板運動的影像，本研究主要使用兩種不同的高速攝影機來進行高時間解析度的影像擷取，分別為(A)Phantom V7.3、(B)Photron Mini UX50： (A) Phantom High Speed Cameras V7.3：如圖 2-5(a)所示為 V7.3 的攝影機照片， V7.3 規格的高速攝影機的解析度為 800 x 600 pixels，內部的感光元件大小為 17.6 x 9.

(20) 13.2 mm，在 800 x 600 pixels 的空間解析度下其最高的拍攝速率為每秒 6688 張影像，但在縮減空間檢析度時，最高可以每秒拍攝 222222 張影像，內部的記憶體大小為 4GB。 (B) Photron Fastcam Mini UX50：如圖 2-5(b)所示為 UX50 的攝影機照片，UX50 規格的高速攝影機的解析度為 1280 x 1024 pixels，內部的感光元件大小為 12.8 x 10.24 mm，在 1280 x 1024 pixels 的空間解析度下其最高的拍攝速率為每秒 2000 張影像，但在縮減空間檢析度時，最高可以每秒拍攝 160000 張影像，內部的記憶體大小為 8GB。. 影像分析. 2.2. 本研究主要是由側邊觀測珠鍊的形狀隨底板運動的改變，藉由高速攝影機捕捉影像之後，再藉由 Matlab 的程式分析珠鍊的各項性質隨時間的變化。. 2.2.1. 珠鍊的彎曲程度∆𝑧 2. 如圖 2-6 所示，使用高速攝影機由側邊拍攝珠鍊在每一瞬間的形狀，使用多項式函數的曲線來擬合珠鍊的形狀，分析的方式如下：先沿著 X 軸找到對應在 Z 方向的中心位置，之後進行多項式函數的擬合來表示珠鍊的形狀，擬合使用的階級等同於珠鍊顆數 N： p(𝑥) = 𝑝𝑁 ∙ 𝑥 𝑁 + 𝑝𝑁−1 ∙ 𝑥 𝑁−1 + ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑝𝑜 ∙ 𝑥 𝑜 其中𝑝𝑖 (𝑖 = 0~𝑁)為擬合後的各項參數、p(𝑥)為擬合後的多項式函數，擬合後的多項式函數如圖上的紅色曲線所示，之後再一次沿著 X 軸將擬合後的多項式函數 z 位置和 Z 方向質心位質𝑍𝑐 的高度差平方的平均值定義為 Δz2，並以 Δz2 表示為珠鍊的彎曲程度。所使用的程式及流程請見圖 2-9，程式檔案(Matlab)和輸出範例(txt) 請見線上附錄。 10.

(21) 2.2.2. 簡化的運動型態判定. 使用圓環型軌道進行實驗時，為了能用攝影機捕捉到珠鍊在圓環軌道上的所有位置，因此空間解析度較低(約 800pixel / 24cm)，並選擇將拍攝頻率等同於振動台的振動頻率、曝光時間為整個振動週期，也就是說高速攝影機捕捉到的影像為珠鍊在整個振動週期內的平均形狀。在此拍攝條件下簡化只分析珠鍊的頭尾兩端相對於中間的高度差來判定不同的運動形態：如圖 2-7(a)所示，先分析珠鍊中間顆數的金屬珠質心在 Z 方向的位置，若珠鍊顆數 N 為奇數就只找正中間的單顆金屬珠為代表，但若是珠鍊顆數 N 為偶數就找正中間的兩顆金屬為代表，求出其 Z 方向的質心後並定義此高度為𝑍𝑚𝑖𝑑 ，如圖上的藍色虛線所示。同時也分析珠鍊兩個端點的區塊質心在 Z 方向的位置，並分別定義為𝑍1 和𝑍𝑁 ，兩個端點相對於中間的高度差分別為∆ℎ1 = 𝑍1 − 𝑍𝑚𝑖𝑑 以及∆ℎ𝑁 = 𝑍𝑁 − 𝑍𝑚𝑖𝑑 ，如圖上的綠色箭頭所示。此外給定一個門檻為ℎ𝑐𝑢𝑡 ，若是∆ℎ𝑖 ≥ ℎ𝑐𝑢𝑡 (𝑖 = 1, 𝑁)，就將此端點視為是「抬頭」，所以簡化將珠鍊的運動形態分為以下三種：兩個端點皆未發生抬頭為「Mode 0」、只有其中一個端點有發生抬頭為「Mode 1」、兩個端點都有發生抬頭為「Mode 2」。當珠鍊出現在兩台攝影機都可以捕捉到的區域時，運動型態的判定採用珠鍊影像距離畫面中央較近的攝影機為主。在此論文中採用的ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑 ⁄4，其中 d 為金屬珠直徑，而且在我們所研究的振動強度區間(1.00 ≤ Г ≤ 2.00)之內只會有這三種狀態出現。所使用的程式及流程請見圖 2-10，程式檔案(Matlab)和輸出範例(txt)請見線上附錄。圖 2-7 (b)、圖 2-7 (c)、圖 2-7 (d) 分別為「Mode 0」、「Mode 1」、「Mode 2」的實際照片，圖中的紅色十字標示為𝑍1 和𝑍𝑁，淺藍色的水平虛線為(𝑍𝑚𝑖𝑑 + ℎ𝑐𝑢𝑡 )，亦即若紅色十字在藍色虛線以上的端點即視為發生「抬頭」，中央綠色的垂直虛線為 11.

(22) 珠鍊在 X 方向的質心位質、兩條黃色的垂直虛線表示為珠鍊影像最兩端的位置。此外我們也可以藉由捕捉珠鍊影像最兩端的位置，經過程式分析與數學計算對應在圓環軌道上的位置，就可以得到珠鍊在水平方向的質心位置，並以此進行珠鍊在水平方向運動的統計分析。而珠鍊影像在圓弧上的映射與其數學計算請見本研究團隊的黃柏嘉先生的碩士論文。. 2.2.3. 追蹤每一顆金屬珠的運動. 我所使用的是 Matlab-R2014b 版本中所提供的函數(imfindcircle)來找出影像中的圓形區域，其結果如圖 2-8 所示，在高空間解析度的拍攝條件下，利用 Circular Hough Transform 的演算法找出影像畫面中的所有圓形區域，並以此追蹤每一顆金屬珠的質心位置。圖上的藍色虛線圓圈為程式判定找到的圓形區域，紅色十字為各自的圓形區域其圓心位質。如此就可以追蹤每一顆金屬珠隨底板振動的運動。而我們使用此分析方式所進行影像的擷取時，每一顆金屬珠的直徑為 20~150 個像素點，高速攝影機每秒拍攝 500~2500 張影像。 Circular Hough Transform 的演算法是先找出影像中的區域邊界，給定偵測的圓形半徑範圍之後，沿著區域的邊界對每一個像素點以半徑 r 畫圓，如(b)的左圖所示，若區域邊界上的所有像素點以半徑 r 畫圓的時候，都可以交於一點上，因此就可以將這個區域的影像判定為半徑 r 的圓形區域，如(b)的右圖所示。所使用的程式及流程請見圖 2-11，程式檔案(Matlab)和輸出範例(txt)請見線上附錄。. 12.

(23) 圖 2-1. (a). (b). 圖 2-1. 實驗架設的示意圖. (a) 實驗架設的側視圖，我們使用的是一般市售的金屬製串珠，用顆數 N 來表示珠鍊長度，此外架設兩道壓克力製的牆壁以限制珠鍊的移動方向只能在一維的通道上，牆壁之間的寬度略大於金屬珠直徑 d，下方的振動台則提供垂直式地振動。定義和重力加速度平行的方向為 Z 軸、向上為正，而沿著通道的方向為 X 軸。 (b) 實驗架設的上視圖，珠鍊被限制在兩片壓克力牆之間的通道，而壓克力牆之間的寬度為 3mm，略大於金屬珠直徑 d (2.4mm)，其中一道牆壁後方架設背光板提供均勻的平行光源，另一側則架設攝影機由側邊觀察珠鍊在 X-Z 平面上隨底板的運動。. 13.

(24) 圖 2-2. (a). (b). 圖 2-2. 研究的珠鍊照片以及結構示意圖. (a) 我們所研究的金屬製串珠照片。 (b) 珠鍊的結構示意圖，每一顆金屬珠的直徑 d~2.4mm，在每一顆金屬珠之間由短棒連接，而短棒的連接方式使串珠具有可伸縮的性質。令金屬珠之間的距離為 s，則金屬珠之間可伸長的最大距離𝑠𝑚𝑎𝑥 ~0.23𝑑。. 14.

(25) 圖 2-3. (a). (b). 圖 2-3. 珠鍊軌道結構的示意圖. (a) 將通道設計成圓環狀，圓環軌道的直徑為 224.6mm、通道寬度為 3mm，目的在於讓珠鍊處在於近似無限長的水平軌道上，因此珠鍊就可以在通道內自由進行水平方向的移動。此外架設兩台位置彼此正交的高速攝影機，如此就可以從側邊捕捉到珠鍊在圓環型軌道上的所有位置。 (b) 沿著通道的方向上為圓弧形的結構，而圓弧的曲率半徑為 200mm、整個通道的全長為 80mm，目的在於讓珠鍊沿著通道的方向上被限制在一定範圍之內。當珠鍊爬行至靠近通道的兩端時，會因為坡度的影響而回到中央區域，通道最外側的坡度α~ tan−1(0.10)。 15.

(26) 圖 2-4. (a). (b) ). 圖 2-4. 振動系統的照片. (a) 振儀科技 VS-1000VH (大振動台)，此振動台內部為電磁式馬達，其可操作的位移範圍為-12.5~12.5mm、可操作的頻率範圍為 1~2400Hz，此振動台主要是架設圓環型軌道時所使用的振動系統。 (b) 振儀科技三十公斤級振動台(小振動台)：如圖 2-4(b)所示，此振動台內部為電磁式馬達，此振動台主要是架設短弧形軌道時所使用的振動系統。. 16.

(27) 圖 2-5. (a). (b). 圖 2-5. 影像擷取系統的照片. (a) Phantom High Speed Cameras V7.3 的照片。 (b) Photron Fastcam Mini UX50 的照片。. 17.

(28) 圖 2-6. 圖 2-6. 藉由多項式函數擬合珠鍊的形狀並定義珠鍊的彎曲程度∆𝒛𝟐. 使用高速攝影機由側邊拍攝珠鍊在每一瞬間的形狀，使用多項式函數的曲線來擬合珠鍊的形狀，分析的方式如下：先沿著 X 軸找到對應在 Z 方向的中心位置，之後進行多項式函數的擬合來表示珠鍊的形狀，擬合使用的階級等同於珠鍊顆數 N： p(𝑥) = 𝑝𝑁 ∙ 𝑥 𝑁 + 𝑝𝑁−1 ∙ 𝑥 𝑁−1 + ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑝𝑜 ∙ 𝑥 𝑜 擬合後的多項式函數如圖上的紅色曲線所示。之後再一次沿著 X 軸將擬合後的多項式函數 z 位置和 Z 方向質心位質𝑍𝑐 的高度差平方的平均值定義為 Δz2，並以 Δz2 表示為珠鍊的彎曲程度。. 18.

(29) 圖 2-7. (a). (b). 圖 2-7. (c). (d). 藉由簡化的方式判定不同的運動型態. (a) 先分析珠鍊中間顆數的金屬珠質心在 Z 方向的位置，若珠鍊顆數 N 為奇數就只找正中間的單顆金屬珠為代表，但若是珠鍊顆數 N 為偶數就找正中間的兩顆金屬為代表，求出其 Z 方向的質心後並定義此高度為𝑍𝑚𝑖𝑑，如圖上的藍色虛線所示。同時也分析珠鍊兩個端點的金屬珠質心在 Z 方向的位置，並分別定義為𝑍1 和𝑍𝑁 ，兩個端點相對於中間的高度差分別為∆ℎ1 = 𝑍1 − 𝑍𝑚𝑖𝑑 以及∆ℎ𝑁 = 𝑍𝑁 − 𝑍𝑚𝑖𝑑 ，如圖上的綠色箭頭所示。此外給定一個門檻為ℎ𝑐𝑢𝑡，若是∆ℎ𝑖 ≥ ℎ𝑐𝑢𝑡 (𝑖 = 1, 𝑁)，就將此端點視為是「抬頭」，所以簡化將珠鍊的運動形態分為以下三種：兩個端點皆未發生抬頭為「Mode 0」、只有其中一個端點有發生抬頭為「Mode 1」、兩個端點都有發生抬頭為「Mode 2」。(b)、(c)、(d) 分別為「Mode 0」、「Mode 1」、「Mode 2」的實際照片，圖中的紅色十字標示為𝑍1 和𝑍𝑁，淺藍色的水平虛線為(𝑍𝑚𝑖𝑑 + ℎ𝑐𝑢𝑡 )，此處的ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑 ⁄4。亦即若紅色十字在藍色虛線以上的端點即視為發生「抬頭」，中央綠色的垂直虛線為珠鍊在 X 方向的質心位質、兩條黃色的垂直虛線表示為珠鍊影像最兩端的位置。 19.

(30) 圖 2-8. (a). (b). 圖 2-8. 追蹤每一顆金屬珠的運動. (a) 在高空間解析度的拍攝條件下，利用 Circular Hough Transform 的演算法找出影像畫面中的所有圓形區域，並以此追蹤每一顆金屬珠的質心位置。圖上的藍色虛線圓圈為程式判定找到的圓形區域，紅色十字為各自的圓形區域其圓心位質。如此就可以追蹤每一顆金屬珠隨底板振動的運動。 (b) Circular Hough Transform 的演算法是先找出影像中的區域邊界，給定偵測的圓形半徑範圍之後，沿著區域的邊界對每一個像素點以半徑 r 畫圓，如(b)的左圖所示。若區域邊界上的所有像素點以半徑 r 畫圓的時候，都可以交於一點上，因此就可以將這個區域的影像判定為是半徑 r 的圓形區域，且交點即為圓心位置，如(b) 的右圖所示。其圖片引用自 Matlab 的函數(imfindcircles)介紹網頁： http://www.mathworks.com/help/releases/R2015a/images/ref/imfc_accumarray.png 20.

(31) 圖 2-9. Movie(.avi) input GPT8_tracking_polyfit_generator_Sun20140801.m. 批次化執行. 各項參數的設定 GPT8_tracking_polyfit_main_code_Sun20140801. 由影片的檔名抓取實驗參數的資訊(Data Id、N、Г、Hz、fps) 使用侵蝕的方式去除背景雜訊，只留下金屬珠的影像沿著 X 軸找出在 Z 方向的平均位置使用多項式函數擬合珠鍊的影像計算𝑍𝑐 和∆𝑧 2 的值. 輸出 tab 分隔的文件檔(.txt) 𝑍𝑐 、 ∆𝑧 2 、……. 圖 2-9. 藉由多項式函數擬合珠鍊的形狀∆𝒛𝟐 的程式流程圖. 21.

(32) 圖 2-10. Front View Movie(.avi) input. Left View Movie(.avi). GPT10_tracking_divide_modes_generator_Sun20150206.m. 批次化執行. 各項參數的設定同步兩台攝影機的影像編號 GPT10_tracking_divide_modes_main_code_Sun20150206.m 由影片的檔名抓取實驗參數的資訊(Data Id、N、Г、Hz、fps) 扣掉背景影像，只留下珠鍊的影像找出珠鍊的兩個端點所對應的 X 軸位置(X1、XN). 找出珠鍊的頭尾區塊以及中央所對應的 Z 軸位置(Z1、ZN、Zmid) 判定珠鍊的型態(Mode 0、Mode 1、Mode 2) 整合兩台攝影機看到的影像，判定珠鍊在圓環軌道上的位置由比較靠近畫面中央的影像所判定的運動型態為準. 輸出 tab 分隔的文件檔(.txt) (F)X1、(F)XN、 (L)X1、(L)XN、Mode、……. 圖 2-10. 藉由簡化的方式判定不同的運動型態的程式流程圖. 22.

(33) 圖 2-11. Movie(.avi) input GPT8_tracking_shape_and_Nbeads_generator_Sun20150113.m. 批次化執行. 各項參數的設定 GPT8_tracking_shape_and_Nbeads_main_code_Sun20150113. 由影片的檔名抓取實驗參數的資訊(Data Id、N、Г、Hz、fps) 偵測影像中的圓形區域，找出其質心位置(X1、Z1、……) 找出底板在 Z 方向的位置(Zref). 輸出 tab 分隔的文件檔(.txt) X1、Z1、……、 XN、ZN、Zref 圖 2-11. 追蹤每一顆金屬珠的運動的程式流程圖. 23.

(34) 24.

(35) Chapter 3 珠鍊的形狀與運動型態我們將珠鍊放置在設計的一維軌道上，當底版提供均勻的垂直振動時，在無因次振動加速度 Г 大於 1 但小於 2 的範圍之內，珠鍊被平拋起來後會在同一個振動週期內落回底板上，而落回底板後會繼續跟著底板一起運動直到開始下一週期的振動。如圖 3-1 所示為不同振動強度下珠鍊 Z 方向的質心與底板的位置隨時間的變化，圖中灰色的實線為底板在 Z 方向的位置隨時間的函數，而紅色的點為珠鍊質心在 Z 方向的位置隨時間的函數。我們由側邊觀察珠鍊的形狀隨著振動強度的改變，進一步發現當振動強度小的時候，珠鍊僅僅只是被平拋起來後又直直地落下，珠鍊上的所有金屬珠都做了相似的行為，因此由側邊觀察到珠鍊形狀幾乎是一條水平線，亦即珠鍊上的所有金屬珠都保持在相似的高度上。但是當振動強度夠大的時候，底板提供的仍然是均勻的垂直振動，但珠鍊的兩個端點有機會較容易拋飛的比中間的金屬珠都還要來的高，因此珠鍊的形狀會開始被彎曲，並開始出現不同的運動形態。所以首先我們由珠鍊的彎曲程度來判定珠鍊的運動型態。. 3.1. 彎曲程度 ∆𝒛𝟐 在第 3-1 章節中我們採用的珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率 f=25Hz，使用高. 速攝影機由側邊拍攝珠鍊的形狀，高速攝影機每秒可拍攝 500 張照片，也就是說我們可以在每單位的振動週期內捕捉到 20 張照片。我們藉由多項式函數的曲線來擬合珠鍊的形狀，採用的多項式擬合階級數等同於珠鍊長度 N，並定義∆𝑧 2 為曲線上任一點相對於𝑍𝑐 的高度差平方的平均值。. 25.

(36) 3.1.1. ∆𝑧 2 隨時間的變化. 高速攝影機所捕捉到的每一張照片都可以算出一個∆𝑧 2 的值，但我們將∆𝑧 2 隨時間的函數與珠鍊質心在 Z 方向的位置隨時間的函數一起比較後，可以發現在每次的振動週期之內，當珠鍊開始自由飛行的時候，其∆𝑧 2 的值會迅速地成長，但是當珠鍊結束自由飛行回到底板之候，∆𝑧 2 的值就會急遽地下降，因此在落回底板的瞬間會產生∆𝑧 2 的極大值。如圖 3-2 所示，我們以無因次振動加速度 Г=1.80 為例，雖然∆𝑧 2 隨時間的變化在每一個振動週期內表現出來的行為並不太相同，但都有一個共通的特性是當珠鍊質心落回底板的瞬間，∆𝑧 2 會有極大值的產生。因此後續我 2 們在每個振動週期內採用其極大值∆𝑧𝑚𝑎𝑥 來代表此振動週期內珠鍊彎曲的最大程 2 度，並以∆𝑧𝑚𝑎𝑥 進行後續的統計分析。 2 如圖 3-3 所示為不同振動強度下的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨時間的變化，圖 3-3(a)所示為無因. 次振動加速度 Г=1.45 的條件下，我們定性觀察到珠鍊的形狀都是維持水平線的狀 2 態，所以∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的值一直都是 0。但如圖 3-3(b)所示，隨著無因次振動加速度增加. 到 Г=1.55，定性觀察到珠鍊的兩端有機會拋飛的比中間的金屬珠都還要來的高， 2 因此形狀開始被彎曲，∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的值偶爾會突然急遽上升到一個定值附近，如圖上的. 97~105 秒附近。如圖 3-3(c)所示，無因次振動加速度繼續增加到 Г=1.65 時，珠鍊有更高的機率自發性地產生被彎曲的形狀，就算在相同的振動條件下，珠鍊也會在不同的運動狀態之間轉變。如圖 3-3(d)所示，直到無因次振動加速度增加到 2 Г=1.75 以上時，珠鍊就幾乎無法保持是在水平線形狀的狀態，∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的值一直都維. 持在非零的定值附近。. 3.1.2. 2 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的統計分析. 在相同的振動強度下，我們以高速攝影機每秒拍攝 500 張影片，而一組影片 26.

(37) 2 共拍攝 1 分種左右的時間長度，並重複拍攝 12 組影片。但∆𝑧𝑚𝑎𝑥 是在每個振動週. 期內取∆𝑧 2 的極大值，底板的振動頻率為 25Hz，所以在相同的振動強度下總共累 2 積了約 18000 筆資料。接著在不同的振動強度下對∆𝑧𝑚𝑎𝑥 畫出其分佈，如圖 3-4 所 2 示為不同振動強度下的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的分佈圖，如圖 3-4 (a)所示，當無因次振動加速度. Г=1.55 的時候，因為珠鍊幾乎都維持水平線形狀的狀態，所以只有在 0 的附近有峰值存在。如圖 3-4(b)和(c)所示，隨著振動強度的增加，當無因次振動加速度增加至 Г=1.60 以及 Г=1.65 的時候，會開始在分佈圖的右方出現明顯的第二個峰值，此 2 時∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的分佈為雙峰分佈。如圖 3-4(d)所示，當無因次振動加速度增加至 Г=1.70. 以上時，在 0 附近的峰值幾乎已不復存在。想要粗略的描述其分佈的狀態，我們以兩個常態分佈的疊加函數對其擬合，擬合的方程式如下： f(𝑥) = 𝑁0 ∙ 𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇0 , 𝜎0 ) + 𝑁1 ∙ 𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇1 , 𝜎1 )，for 1.55 ≤ Γ ≤ 1.70 其中𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇, 𝜎)是指平均值為 μ、標準差為 σ 的常態分佈函數。 2 但對於無因次振動加速度 Г 小於 1.50 以下的實驗，因為∆𝑧𝑚𝑎𝑥 完全只有在 0. 附近有值出現，所以就僅只以單個常態分佈的函數對其擬合，擬合的方程式如下： f(𝑥) = 𝑁0 ∙ 𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇0 , 𝜎0 )，for Γ ≤ 1.50 同理，對於無因次振動加速度 Г 大於 1.75 以上的實驗，因為完全沒有在 0 附近的值出現，所以也僅只以單個常態分佈的函數對其擬合，擬合的方程式如下： f(𝑥) = 𝑁1 ∙ 𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇1 , 𝜎1 )，for Γ ≥ 1.75 也就是說我們很粗略的只將珠鍊的形狀分為兩種狀態：沒有被彎曲的形狀以及有被彎曲的形狀，沒有被彎曲的形狀用𝑁0 ∙ 𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇0 , 𝜎0 )來描述其性質，並給予其暱稱為「ground state」，而有被彎曲的形狀用𝑁1 ∙ 𝑁𝐷(𝑥 | 𝜇1 , 𝜎1 )來描述其性質， 27.

(38) 並給予其暱稱為「excited state(s)」。因為常態分佈函數𝑁𝐷(𝑥, 𝜇, 𝜎)是已經歸一化的函數，所以𝑁0 代表「ground state」發生時的事件次數、𝜇0 和𝜎0 代表「ground state」 2 發生時∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值和標準差，而𝑁1 代表「excited state(s)」發生時的事件次數、 2 𝜇1 和𝜎1 代表「excited state(s)」發生時∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值和標準差。. 3.1.3. 2 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨振動強度的改變. 2 對於每一個振動強度，藉由對∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的分佈擬合後可以得到兩種狀態的峰值位 2 置(𝜇0 和𝜇1 )以及峰值位置的不確定性，如圖 3-5(a)所示為∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的峰值位置對無因. 次振動加速度 Г 的變化，其中圖中紅色的點代表「ground state」的峰值位置𝜇0 、藍色的點則代表「excited state(s)」的峰值位置𝜇1 。由此可以看出當振動強度夠小的時候，珠鍊的運動狀態只可能是「ground state」，但隨著振動強度的增加，當振動強度夠大之後，珠鍊的運動狀態幾乎都是「excited state(s)」，而珠鍊在無因次振動加速度 Г 在 1.55 到 1.70 的區間之內是這兩種狀態可以共存的範圍。而圖 3-5(b)描述的是「excited state(s)」的發生機率隨振動強度的變化，對無因次振動加速度 Г 小於 1.50 以下的實驗，因為沒有「excited state(s)」的發生，所以「excited state(s)」的發生事件次數為 0，亦即令𝑁1 = 0。同理，對無因次振動加速度 Г 大於 1.75 以上的實驗，因為沒有「ground state」的發生，所以「ground state」的發生事件次數為 0，亦即令𝑁0 = 0。我們定義「excited state(s)」的發生機率為發生次數佔全部事件的比例，亦即縱軸的比例(fraction)為𝑁1 ⁄(𝑁0 + 𝑁1 )，由圖中可以發現當珠鍊的運動狀態逐漸從「ground state」轉變至「excited state(s)」的時候，「excited state(s)」的比例是隨著無因次振動加速度 Г 線性地增加。 2 而圖 3-5(c)描述的是∆𝑧𝑚𝑎𝑥 在每一個振動強度下的平均值隨振動強度的變化， 2 可以發現在同樣的振動強度區間之內，∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值隨著振動強度也線性地增加，. 28.

(39) 直到當無因次振動加速度 Г 大於 1.70 以上之後，珠鍊的運動型態幾乎都只能維持 2 在「excited state(s)」，而「excited state(s)」所表現出來的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值則保持在. 2.5mm2 左右，並不會再繼續隨著振動強度的增加而增加。也就是說藉由珠鍊的彎曲程度分為「ground state」和「excited state(s)」這兩種狀態，可以看出對 N=8 且振動頻率 f=25Hz 的條件下，珠鍊的運動狀態發生行為轉變的區間是在1.55 ≤ Γ ≤ 1.70的範為之內。. 3.2. 運動型態的統計分析在第 3-2 章節中，我們主要使用圓環型軌道，搭配兩台位置正交的高速攝影機. 來拍攝，如此一來就可以由側邊捕捉到珠鍊在圓環軌道上所有位置的影像，而高速攝影機的拍攝頻率等同於振動台的振動頻率、曝光時間為整個振動週期，也就是說高速攝影機捕捉到的影像為珠鍊在整個振動週期內的平均形狀，在第 3-2 章節中底板的振動頻率固定為 f=25Hz，亦即攝影機每秒拍攝 25 張影像，在此拍攝條件下可以連續拍攝約 43 分鐘左右的時間長度，等同於可以連續拍攝約 65000 個振動週期左右。我們為了進一步去細分不同的運動形態，人為地簡化判定的機制，只比較珠鍊的兩個端點的金屬珠相對於中間金屬珠在 Z 方相的高度差來判定，將珠鍊的運動形態只分為以下三種：兩個端點皆未發生抬頭為「Mode 0」、只有其中一個端點有發生抬頭為「Mode 1」、兩個端點都有發生抬頭為「Mode 2」。如圖 3-6(a)所示為在圓環型軌道中，以無因次振動加速度 Г=1.65 為例，擷取其中一段 100 秒的片段 2 計算其∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨時間的變化。而圖 3-6(b)所示為設定ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑 ⁄4的時候，所判定出. 來的運動狀態 Mode 隨時間的變化。而圖 3-6(c)所示為不同的ℎ𝑐𝑢𝑡 下所判斷出來的運動形態所分別佔據的比例，橫軸為ℎ𝑐𝑢𝑡 和珠鍊直徑 d 的比值，其中紅色的點代表 29.

(40) 「Mode 0」所佔據的比例、綠色的點代表「Mode 1」所佔據的比例、藍色的點代表「Mode 2」所佔據的比例。由圖中可以發現在一定的範圍之內，不同的ℎ𝑐𝑢𝑡 所判定出來的運動形態所分別佔據的比例幾乎為定值，再加上人為的視覺判斷後，決定採用ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑 ⁄4時，程式分析的判定和視覺上的判定最相近，因此在本論文之中簡化判定運動形態的ℎ𝑐𝑢𝑡 = 𝑑 ⁄4。. 3.2.1. 持續時間的統計分佈. 藉由簡化的方式判定珠鍊的運動形態之後，可以計算不同運動形態能持續的時間，如圖 3-7 所示為不同的振動強度下其不同運動形態的持續時間分佈，其中紅色的點代表「Mode 0」持續時間的分佈、藍色的點代表「Mode 2」持續時間的分佈。同時我們也統計珠鍊的兩個端點發生抬頭時持續時間的分佈，其中綠色的點代表第 N 顆金屬珠發生抬頭時持續時間的分佈、棕色的點代表第一顆金屬珠發生抬頭時持續時間的分佈。此外在每張圖的圖標上都有備註平均的持續時間和統計的事件次數。統計時採用的 bin size 等同於最大平均持續時間的1⁄4。由圖 3-7(a) 可以發現，在無因次振動加速度 Г=1.60 的強度下，珠鍊大部分是維持「Mode 0」的狀態，且「Mode 0」最長可以維持數分鐘左右的時間長度，平均的持續時間為 20.42 秒左右。但是隨著振動強度的增加，由圖 3-7(b)、3-7 (c)、3-7 (d)都可以發現「Mode 0」會急遽下降，而轉變成以「Mode 2」為主，而「Mode 2」發生的平均持續時間只能維持數十幾個振動週期左右的時間。. 3.2.2. 持續時間隨振動強度的改變. 其中對每一個振動強度，我們將原始的 65000 筆資料隨機切為 100 個長度為 15000 個振動週期的片段，分別計算每個片段某種運動型態的平均值之後，再由 100 個片段的均值去計算平均值和標準差，並以此作為此運動型態在此振動強度下 30.

(41) 的平均持續時間和誤差。對不同的振動強度去計算各種運動形態的平均持續時間之後，將運動形態的平均持續時間隨無因次振動加速度 Г 的變化如圖 3-8 所示，圖中紅色的點代表「Mode 0」的平均持續時間、藍色的點代表「Mode 2」的平均持續時間、綠色的點代表第 N 顆金屬珠發生抬頭時的平均持續時間、棕色的點代表第一顆金屬珠發生抬頭時的平均持續時間。其中我們有改變不同的珠鍊長度 N，發現「Mode 2」以及端點的金屬珠發生抬頭的平均持續時間隨著振動強度變化會保持在只有十幾個振動週期左右的時間。以圖 3-8(d)為例，對 N=8 的珠鍊在 25Hz 的振動條件下可以看出約在1.60 ≤ Γ ≤ 1.70的區間之內有明顯的轉變，「Mode 0」的平均持續時間會從數十秒急遽下降至不到 0.1 秒，而「Mode 2」以及端點發生抬頭的平均持續時間也在此振動強度區間之內上升至數秒，並隨著振動強度的持續增加仍維持在數秒鐘左右。. 3.2.3. 比例分佈隨振動強度的改變. 藉由簡化的方式判定珠鍊的運動形態之後，我們也分別統計三種運動形態「Mode 0」、「Mode 1」、「Mode 2」的比例分佈，其中對每一個振動強度，我們同樣將原始的 65000 筆資料隨機切為 100 個長度為 15000 個振動週期的片段，分別計算每個片段某種運動型態在時間上的比例之後，再由 100 個片段的均值去計算平均值和標準差，並以此作為此運動型態在此振動強度下的平均比例和誤差。將三種運動形態的平均比例分佈對無因次振動加速度 Г 的變化如圖 3-9 所示，圖中紅色的點代表珠鍊有其中一個端點發生抬頭時的比例，而藍色的點代表珠鍊兩個端點都發生抬頭時的比例。亦即紅色線段以上的區域代表珠鍊的兩個端點都沒有發生抬頭的「Mode 0」，而紅色線段和藍色線段之間的區域代表珠鍊只有其中一個端點有發生抬頭的「Mode 1」，藍色線段以下的區域代表珠鍊的兩個端點都發生抬頭 31.

(42) 的「Mode 2」。以圖 3-9(d)為例，對 N=8 的珠鍊在 25Hz 的振動條件下可以看出約在1.60 ≤ Γ ≤ 1.75的區間之內有明顯的轉變，珠鍊會逐漸從幾乎都是「Mode 0」為主轉變至幾乎都是以「Mode 2」為主，「Mode 1」鮮少出現。另外以圖 3-9(a)為例，對 N=5 的珠鍊在 25Hz 的振動條件下也隱約可以看出運動型態發生轉變，但發生轉變的區間比 N=8 的珠鍊寬上許多，約1.40 ≤ Γ ≤ 1.80，並且發生轉變時有相當大的比例是以「Mode 1」為主。就算是無因次振動加速度很大的時候，「Mode 1」和「Mode 2」也幾乎是各佔一半的比例，並非幾乎完全以「Mode 2」為主。. 3.3. 振動頻率的角色在第 3-3 章節中想要探討振動頻率 f 在我們的系統下所扮演的角色。我們由兩. 種做法分別討論：(A)探討在不同振動頻率下，運動形態的比例分佈對振動強度的變化、(B)固定無因次振動加速度 Г，改變振動頻率去探討運動形態的比例分佈對振動頻率的變化。我們同樣使用圓環型軌道，而攝影機的拍攝頻率等同於底板的振動頻率，其曝光時間為整個振動週期，亦即在不同的振動頻率下讓攝影機採用不同的拍攝速率，固定拍攝的時間長度為 15000 個振動週期。 (A) 不同振動頻率下的運動形態的比例分佈隨振動強度的變化如圖 3-10 所示為不同振動頻率下的運動形態的比例分佈隨振動強度的變化，由此圖可以發現在15Hz ≤ f ≤ 35Hz的振動頻率區間之內，都可以藉由運動形態的比例分佈隨振動強度的變化圖中看出相似的行為轉變過程。以圖 3-10(a)為例，珠鍊長度 N=8 在 35Hz 的振動頻率下，在無因次振動加速度 Γ 大於 1.75 之後，雖然「Mode 0」的比率會降低，但還是有相當地發生比例。另外「Mode 1」和「Mode 2」發生的比例幾乎相同。但當振動頻率降低至 25Hz 的時候，在無因次振動加速 32.

(43) 度 Γ 大於 1.75 之後，幾乎完全沒有「Mode 0」和「Mode 1」的發生，珠鍊的運動型態幾乎以「Mode 2」為主而以。當振動頻率再降低至 15Hz 的時候，珠鍊運動形態發生轉變的區間會變寬，但是在無因次振動加速度 Γ 大於 1.90 之後，也同樣幾乎完全沒有「Mode 0」和「Mode 1」的發生，珠鍊的運動型態同樣以「Mode 2」為主而以。 (B) 固定振動強度下珠鍊的運動形態的比例分佈隨振動頻率的變化如圖 3-11 所示為不同珠鍊長度 N 在固定振動強度下珠鍊的運動形態的比例分佈隨振動強度的變化。圖 3-11(a)所示為珠鍊長度 N=5、而圖 3-11(b)所示為珠鍊長度 N=8，可以看出對不同的珠鍊長度，在無因次振動加速度 Γ=1.70 的條件下，當振動頻率高於 45Hz 以上時，我們簡化判定出來的運動型態只剩下「Mode 0」的存在。亦即只有在振動頻率小於 45Hz 的條件下，才有機會可以觀察到珠鍊在不同運動型態之間的轉變。此外對不同的珠鍊長度，可以看出約在振動頻率25Hz ≤ f ≤ 35Hz的區間之內才有很大的機率珠鍊得以出現「Mode 2」的運動型態。. 3.4. 討論在第三章之中，對 N=8 的珠鍊在 f=25Hz 的振動頻率下，藉由代表珠鍊在每一. 2 次振動週期內最大彎曲程度的∆𝑧𝑚𝑎𝑥 ，可以明顯觀察到珠鍊的運動型態由幾乎都在. 「ground state」逐漸轉變至幾乎都在「excited state(s)」，而轉變發生的區間大約是在1.55 ≤ Г ≤ 1.70之間。此外我們簡化判定運動型態的機制並進行長時間的統計分析，藉由只比較珠鍊的兩個端點相對於中間的高度差將運動型態分為「Mode 0」、「Mode 1」以及「Mode 2」三種狀態，同樣對 N=8 的珠鍊在 f=25Hz 的振動頻率下，運動型態所佔據的比例也會逐漸從「Mode 0」為主轉變至「Mode 2」為主，其轉變發生的區間 33.

(44) 同樣是在約1.60 ≤ Γ ≤ 1.75的振動強度之內。 2 我們發現藉由不同的判定方式，從∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的觀點(第 3-1 章節)以及人為地簡化. 判定運動型態後的觀點(第 3-2 章節)，都可以描述其運動型態的轉變(transition)。即珠鍊形狀沒有彎曲的「ground state」對應到珠鍊的兩個端點都沒有抬頭的「Mode 0」，而珠鍊形狀有彎曲的「excited state(s)」則對應到珠鍊的端點有發生抬頭的「Mode 1」或是「Mode 2」。我們用人為的判定方式可以將珠鍊的狀態量化成三種狀態， 2 而∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的指標可以只可以幫助我們將「Mode 0」和非「Mode 0」分開來，那是否. 有其他珠鍊本身的指標可以幫助我們進一步去細分「Mode 1」和「Mode 2」呢？此外我們也推論振動頻率在此系統中所扮演的角色，可以發現在15Hz ≤ f ≤ 35Hz的振動頻率區間之內，對 N=8 的珠鍊可以看到其運動型態隨著振動強度的增加都會發生從「Mode 0」為主轉變至以「Mode 1」或「Mode 2」為主的運動型態，但不同的振動頻率發生轉變的區間並不完全相同。另外若固定無因次振動加速度 Г=1.70，觀察運動型態在時間上所佔據的比例隨著振動頻率的變化，我們發現對 N=5 和 N=8 的珠鍊，當振動頻率高於 45Hz 以上的時候，發現我們簡化判定後的運動型態都只會剩下「Mode 0」的存在，而且只有在振動頻率25Hz ≤ f ≤ 35Hz的區間之內才有很大的機率珠鍊得以出現「Mode 2」的運動型態。在第 4-3 章節之中將會有後續的討論以及原因的推測。. 34.

(45) 圖 3-1. vibration period GPT8_20140716_01a_N=8_G=1.40. Zc [cm]. 0.4 0.3 0.2. (a) Г=1.40. 0.1 0.0 -0.1 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. time [sec] GPT8_20140716_03a_N=8_G=1.50. Zc [cm]. 0.4 0.3 0.2. (b) Г=1.50. 0.1 0.0 -0.1 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. time [sec] GPT8_20140716_05a_N=8_G=1.60. Zc [cm]. 0.4 0.3 0.2. (c) Г=1.60. 0.1 0.0 -0.1 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. time [sec] GPT8_20140716_07a_N=8_G=1.70. Zc [cm]. 0.4 0.3 0.2. (d) Г=1.70. 0.1 0.0 -0.1 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. time [sec] GPT8_20140716_09a_N=8_G=1.80. Zc [cm]. 0.4 0.3 0.2. (e) Г=1.80. 0.1 0.0 -0.1 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. time [sec]. 圖 3-1 不同振動強度下珠鍊 Z 方向的質心與底板的位置隨時間的變化灰色的實線為底板的位置隨時間的函數、紅色的點和線為珠鍊 Z 方向的質心隨時間的變化。珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率 f=25Hz，而攝影機每秒拍攝 500 張影像，無因次振動加速度 Г 分別為：(a) Г=1.40、(b) Г=1.50、(c) Г=1.60、(d) Г=1.70、 (e) Г=1.80。 35.

(46) 圖 3-2. vibration period GPT8_20140716_09a_N=8_G=1.80. Zc [cm]. 0.4 0.3 0.2. (a). 0.1 0.0 -0.1 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. 0.12. 0.14. 0.16. 0.18. 0.20. time [sec]. 3. GPT8_20140716_09a_N=8_G=1.80. (b). 2. 2. 2. z [mm ]. 4. 1 0 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. time [sec]. 圖 3-2. 珠鍊 Z 方向的質心與∆𝒛𝟐 隨時間的變化. 珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率為 25Hz、無因次振動加速度 Г=1.80，而攝影機每秒拍攝 500 張影像。對同一筆資料分別計算珠鍊𝑍𝑐 和∆𝑧 2 ： (a) 灰色的實線為底板的位置隨時間的函數、紅色的點為珠鍊 Z 方向的質心隨時間的變化。(b)紅色的點為∆𝑧 2 的值隨時間的變化。. 36.

(47) 圖 3-3. 2. (a) Г=1.45. 1. z. 2. max. 2. [mm ]. GPT9_20141023_01_N=8_G=1.45. 0 40. 45. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 90. 95. 100 105 110 115 120. 90. 95. 100 105 110 115 120. 90. 95. 100 105 110 115 120. 90. 95. 100 105 110 115 120. time [sec]. 2. (b) Г=1.55. 1. z. 2. max. 2. [mm ]. GPT9_20141023_03_N=8_G=1.55. 0 40. 45. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. time [sec]. 2. (c) Г=1.65. 1. z. 2. max. 2. [mm ]. GPT9_20141023_05_N=8_G=1.65. 0 40. 45. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. time [sec]. 2. (d) Г=1.75. 1. z. 2. max. 2. [mm ]. GPT9_20141023_07_N=8_G=1.75. 0 40. 45. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. time [sec]. 圖 3-3. 不同振動強度下的∆𝒛𝟐𝒎𝒂𝒙 隨時間的變化. 2 綠色的點代表每一個振動週期內∆𝑧 2 的極大值(∆𝑧𝑚𝑎𝑥 )。使用的珠鍊長度 N=8，底板. 的振動頻率 f=25Hz，而攝影機每秒拍攝 500 張影像，分別擷取在不同的振動強度 2 下，第 40 秒到第 120 秒之間其∆𝑧𝑚𝑎𝑥 隨時間的變化，無因次振動加速度 Г 分別為：. (a) Г=1.45、(b) Г=1.55、(c) Г=1.65、(d) Г=1.75。. 37.

(48) 圖 3-4 GPT8_20140716~0731_N=8_G=1.55 12000. GPT8_20140716~0731_N=8_G=1.60 6000. (a) Г=1.55. 9000. 4500. 6000. 3000. 3000. 1500. 0. 0. 1. 2. 3. 0. 4. (b) Г=1.60. 0. 1. 3. 4. z2max [mm2]. z2max [mm2]. GPT8_20140716~0731_N=8_G=1.65 3000. 2. GPT8_20140716~0731_N=8_G=1.70. 1000. (c) Г=1.65. (d) Г=1.70. 800. 2000. 600. 400 1000. 200. 0. 0. 1. 2. 3. 0. 4. 0. 1. 3. z2max [mm2]. z2max [mm2]. 圖 3-4. 2. 不同振動強度下的∆𝒛𝟐𝒎𝒂𝒙 的分佈圖. 2 黑色的點代表∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的數量。使用的珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率 f=25Hz，而. 攝影機每秒拍攝 500 張影像，每一個振動強度共 18000 筆資料進行統計分析。灰色的線代表對此分佈進行常態分佈的疊加函數的擬合結果，無因次振動加速度 Г 分別為：(a) Г=1.55、(b) Г=1.60、(c) Г=1.65、(d) Г=1.70。. 38. 4.

(49) Ch3.1.3_N=8_hist_of_dz2_peak_position_vs_Gamma. 圖Ch3.1.3_N=8_hist_of_dz2_peak_position_vs_Gamma 3-5. 22 2. 22 2. [mm zzz [mm [mm]] ] max max max. (a). GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps. 4 4 GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps "ground state" 3 "ground state" "excited state(s)" 3 "excited state(s)" 2 2 1 1 0 01.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70.  . 1.75 1.75. 1.80 1.80. 1.85 1.85. 1.90 1.90. 1.95 1.95. 1.75 1.75. 1.80 1.80. 1.85 1.85. 1.90 1.90. 1.95 1.95. 1.75 1.75. 1.80 1.80. 1.85 1.85. 1.90 1.90. 1.95 1.95. GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps. probability probability fraction. (b). 1.0 GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps 1.0 "excited state(s)" 0.8 "excited "excited state(s)" state(s)" 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0.0 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70.   . 22 2. 22 2. > >[mm <<zzmax [mm] ] max max. (c). 3 3. GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps GPT8_20140716~0730_N=8_G=1.40~1.90_25Hz_500fps. 2 2 1 1 0 01.40 1.40. 1.45 1.45. 1.50 1.50. 1.55 1.55. 1.60 1.60. 1.65 1.65.  . 1.70 1.70. [A] Data Id show on the subplots, short arc track (acrylic), 25Hz, 500fps [A] Data Id show on the subplots, short arc track (acrylic), 25Hz, 500fps 圖 [A] 3-5for each ∆𝒛𝟐𝒎𝒂𝒙 隨振動強度的改變 Gamma, total about 18000 events [A] for each Gamma, total about 18000 events 2 [B] fitting the backbone and compute the Zc & z22 使用的珠鍊長度 N=8，底板的振動頻率為 25Hz，而攝影機每秒拍攝 500 張影像。 [B] fitting the backbone and compute the Zc & z 2 2 [B] take the maximum value of z22 in each cycle --> z22max [B] take the maximum value of  z in each cycle -->  z 每一個振動強度共 18000 筆資料畫出其分佈圖之後，對此分佈進行常態分佈的擬 max max [B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0)+N1*ND(x,1,1) for bimodal distribution [B] fitting by f(x)=N00*ND(x,00,00)+N11*ND(x,11,11) for bimodal distribution 合，對不同的振動強度區間所採用的擬合方程式不同： [B] fitting by f(x)=N0*ND(x,0,0) or f(x)=N1*ND(x,1,1) for single distribution [B] fitting by f(x)=N00*ND(x,00,00) or f(x)=N11*ND(x,11,11) for single distribution [B] ND(x,,) : the normal distribution / Gaussian of mean= and standard deviation=  (a) [B] 擬合後的峰值位置隨振動強度的變化，其中紅色的點為𝜇 0 、藍色的點為𝜇 1。 ND(x,,) : the normal distribution / Gaussian of mean= and standard deviation=  [B] peak position : central position () & error bar : uncertainty of central peak position () peak position : central positionstate(s)」的行為佔全部事件的比例，比例(fraction)的算 () & error bar : uncertainty of central peak position () (b) [B] 藍色的點代表「excited [B] probability = N1 / (N0+N1) [B] probability = N1 / (N0+N1) 法為𝑁1 ⁄(𝑁0 + 𝑁11 )。0 1 Origin File : Conan_Master_thesis_2015_Chapter03_Sun2015xxxx.opj Origin File : Conan_Master_thesis_2015_Chapter03_Sun2015xxxx.opj 2 (c)黑色的點為 ∆𝑧𝑚𝑎𝑥 的平均值隨振動強度的變化。. 39.