推估理論與統計方法

3-2-1 蒙地卡羅法的基本概念

蒙地卡羅方法，又稱為統計亂數模擬方法，是由John von Neumann、

Stanislaw Ulam，以及 Nicholas Metropolis 在 1940 年代所開發。隨著時代演進與 各方專家學者的衍伸應用，現在已廣泛應用在經濟、金融、物理、生醫工程等 個隨機過程，並且可以將飛鏢在標靶上的分布視為均等分布(Uniform

distribution)，換言之，透過標靶上的數目的比較，可以得出扇形內飛鏢數目與

而在這個試驗中，有一蒙地卡羅法的重要特徵探討：當所射的飛鏢數目越 多時，表隨機樣本的規模越大，圓都率π 的估算便會越準確。同樣的概念也適 用於蒙地卡羅法的操作，亦即進行模擬的次數越多，由所得到的模擬樣本計算 出的統計結果誤差就越小。此一概念在後續的誤差收斂觀察中，將有更進一步 的解釋。

圖 3-1 常見的蒙地卡羅法模擬概念說明

3-2-2 蒙地卡羅法的模擬前置作業

1、決定樣本數值特徵

若欲準確地使用蒙地卡羅法進行模擬，最重要的便是要先得知所欲模擬的 資料之數值特性。一個可靠且廣泛適用的方法便是使用統計檢定的是卡方適配 度檢定方法(Chi-square Goodness-of-fit test)。在執行模擬前宜先透過適配 度檢定，確定最符合該數值資料的統計機率分布，以做為模擬時之依據。

2、模擬樣本大小的決定與誤差估計

對於數值特徵簡單的統計模擬而言，利用一般的電子計算機進行超過萬 筆，乃至十萬筆的模擬，並不會造成負擔或過長的等待時間。然而，若所欲模 擬的模式或事件含有複雜數學計算，如多個模式組合的計算過程、偏微分等，

便可能佔據過多的時間，也較須負擔系統中途出錯、從頭來過的風險。因此，

透過有效率的方式決定欲模擬的樣本數目大小，也是重要的課題之一。

本研究採取的方式乃是誤差收斂之估計與觀察，透過不同的模擬樣本數平 均值(10 筆的平均值、100 筆的平均值…)，個別與一定量的、大量的(如 10000

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筆數據)模擬樣本平均值做誤差估計，再利用統計作圖，便可以觀察出誤差的收 斂趨勢，藉此決定適當的欲模擬樣本數，以提高研究工作之效率。如圖 3-2 之 範例作圖所示，可以得在此次模擬在數據量接近 7000 筆時，誤差已可收斂到貼 近 0%，因此可判定，當該模擬工作產生 8000 筆模擬樣本時已可稱準確，不須 費時進行超過萬筆、乃至十萬筆以上之模擬了。

圖 3-2 誤差收斂統計作圖與觀察範例

3、模擬模式之操作

在對模式進行模擬之前，應先將模式解構為多個不同的獨立變數。如此一 來除了清楚界定所需模擬的變數之外，更能避免因多個變數之間所存在的相關 性關係而造成在模擬操作上的謬誤。操作時先將模式解構成多個變數之關係 式，界定清楚哪些為隨機變數、哪些為定值或可蒐集之固定數據，再進一步決 定所需模擬之變數並進行模擬操作，最後將模擬操作之結果與藉調查得到之其 他變數合併為原模式，進而得到最終欲模擬之樣本。

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Erro r (% )

No. of simulation

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3-2-3 進行蒙地卡羅法模擬之工具

在本次的研究之中，使用 IBM SPSS 2.0 (以下簡稱 SPSS)以及 Microsoft Excel 2010 (以下簡稱 Excel)來進行模擬以及模擬之前的資料整理與辨識工 作。

在原始數據資料的彙整，與既有樣本適配度檢定的工作上，使用 SPSS 之計算工 具與卡方檢定功能即可有效率地快速實現；在進行模擬時，則使用 Excel 的內 建反函數，透過指定機率分布的統計資料，搭配以亂數生成函數rand()指定為 其機率值 p，即可產生一個隨機模擬樣本。rand()能在指定欄位或計算式中隨 機生成一大於或等於 0、小於 1 的實數，正好符合一個機率值 p 所應落在的數 值範疇。欲產生多個模擬樣本時，只需將 Excel 的欄位向下拉伸至所指定的樣 本數長度，即可達成。在此舉一範例如下：

= norm.inv(rand(),10,5)

透過上述之程式碼，便可在 Excel 任一欄位裡隨機產生一個符合平均值為 10、

標準差為 5 之常態分配模擬樣本，再將此欄位向下拉伸至欲產生的樣本長度位 置即可。唯須注意的是，遇有些較舊的 Excel 版本或較少見之統計分布類型 時，Excel 可能未內建部分反函數。此時，必須借助程式設計，如透過

Microsoft Visual Basic 等一類的程式撰寫工具來自行撰寫可用之反函數，蒙 地卡羅數值模擬流程如圖 3-3 所示。

圖 3-3 蒙地卡羅數值模擬流程圖

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