整數四則運算

壹、九年一貫課程中的四則運算及教材分析

不論在日常生活或職場中，數學能力已成為應具備的基本能力。在四則運算 教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與 策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化 學童的數字感，並且是日後（國、高中）學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣 的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一（教 育部，2008）。

國民小學數學課程依不同的階段發展敘述如下：64年版課程標準以兼顧社會 生活需求和學童身心發展為主，到了82年版課程標準，加強學生本位及認知發展，

而89暫行綱要以培養學生能力、拓展「外部連結」為核心，92年正式綱要的目的

是強化演算能力和銜接高中課程，為改善以階段劃分的能力指標在一綱多本下的

表 2-1

綜合上表 2-1 可得知，四年級的四則運算兩步驟問題，是二年級、三年級單 步驟加、減、乘、除混合計算的延伸，在四年級之前學習過相關於本單的四則運 算計算有：用併式記錄加減兩步驟的問題、加（減）與乘兩步驟問題（不含併式）、 加（減）與除兩步驟問題（不含併式）和先乘再乘的兩步驟問題（不含併式），

四年級階段增加連乘、連除、乘除混合併式、加（減）與乘及加（減）與除併式

（摘錄自翰林出版社，2014），此階段的四則運算也扮演著銜接著五、六年級之 後三步驟問題的中樞位置（徐偉民、林慧潔，2010），五、六年級學童要能熟練 三步驟問題及小數、分數的運算，以作為日後學習代數、幾何、統計與機率的基 礎。

貳、整數四則運算的規則

四則運算是由多步驟運算概念演變而來的，為了使算式更方便計算，將情境 或文字題改用比較簡潔的併式重新表徵後，再去求併式原題目的答案。產生併式 時，人們首先先形成「由左往右逐步計算」的共識；但是當步驟愈多時，就會產 生運算次序的混淆，為了區分先算什麼，後算什麼，才用括號來表示先算的部份，

形成「有括號的算式先算」的共識；當生活中的問題更複雜時，使用的括號的次 數愈來愈多時，為了要減少使用括號的次數，人們發現先乘除後加減可以省略的 括號數最多，因為多數的問題中，先算乘和除部份的機會比較大，因此透過先乘 除後加減的約定省略括號，可以省略比較多的括號，就形成「先乘除後加減」的 共識，但如果無法省略括號時，仍就要以括號表示最優先的計算部份。

綜合上述，做四則混合運算時，解題的順序依次為 「有括號的算式先算」、

「先乘除後加減」、「由左往右逐步計算」。教師在教學時，必須透過具體情境 說明這些約定的意義後，才能使用這三個約定幫助學童熟練四則運算的規則。此 外，在四年級階段，所有的併式解題均強調「逐次減項」的記法，避免讓學童從

模仿式子的寫法與不斷練習中學會此記錄的方式，應該透過「等價關係」及「等 號滿足遞移性」的活動，來說明為什麼可以用「逐次減項」的方式記錄解題過程

（謝堅，1997）。

參、認知概念分析

認知概念是指學生在學習完本單元「整數四則運算」應具備之認知概念，

本研究針對 97 年版課綱之四年級分年細目 「4-n-04 能在具體情境中，解決兩步 驟問題，並學習併式的記法與計算。」 及 「4-n-05 能做整數四則混合計算（兩 步驟）。」，並與專家學者討論後，從中歸納出本單元之認知概念，如下表 2-2：

表2-2

國小四年級整數四則運算認知概念一覽表

編號 認知概念說明

K1 在解決加、減/乘、除或加減/乘除混合問題時，能進行由左而 右計算。

K2 算式中同時有加、減法和乘、除法時，會遵守先乘除，再加減 的計算規則。

K3 加、減或加減混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算。

K4 乘除混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算。

K5 乘加或乘減混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算。

K6 除加或除減混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算 K7 在生活中的問題，能正確列出加、減或加減混合併式紀錄。

K8 在生活中的問題，能正確列出乘、除或乘除混合併式紀錄。

K9 在生活中的問題，能正確列出乘加或乘減混合併式紀錄。

K10 在生活中的問題，能正確列出除加或除減混合併式紀錄。

肆、迷思概念分析

表 2-3

綜合以上學者的研究，並參考研究者教學現場經驗，從中彙整歸納出四年級 學童學習「整數四則運算」單元時較容易產生的迷思概念有：「計算錯誤」、「使 用錯誤的符號運算、「瞭解題意，但無法列出算式」、「不瞭解題意」、「運算 計算順序錯誤」。

研究者根據上述彙整出的迷思概念與能力指標，再與專家學者及資深國小教 學教師討論後，整理出本研究單元之迷思概念，如下表2-4：

表2-4

國小四年級整數四則運算迷思概念一覽表

編號 迷思概念說明

B1 運算符號錯誤。

B2 進位錯誤。

B3 大數減小數。

B4 向高位借位減去減數時，高位忘了減 1。

B5 未由左而右計算。

B6 乘法計算過程中位值概念不清楚。

B7 除法商數多加 0 或少加 0。

B8 除法商數補 0 的位置錯誤。

B9 未先乘除，後加減。

B10 未先算括號。

B11 不了解題意，列式不完整或使用錯誤的運算符號。

B12 併式記錄時未正確使用括號。