探討電腦化適性補救教學之學習成效與認知負荷－以國小四年級整數四則運算為例

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(1)國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 探討電腦化適性補救教學之學習成效與認知負荷－以國小四年級整數四則運算為例. 研究生：林旂卉. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 四. 撰. 年. 七. 月.

(2) 謝辭歲月在急促的生活步調下不知不覺地流逝，提筆寫謝辭，代表著兩年的研究所生涯即將告一段落，想起兩年前在同事們的邀約下，幸運考取臺中教育大學，重新浸潤於知識的殿堂。研究所一路走來遇到許多跌跌撞撞的過程，除了課業的壓力外，又逢身體狀況不佳，曾萌生退出的念頭，多虧有老師、同事及同學們的鼓勵下，使我有繼續向前邁進的動力，你們是我生命中的貴人，此時此刻內心擁懷著滿滿的感激。首先要感謝指導教授施淑娟老師在百忙之中，給我必要的關鍵指點，謝謝您在我的論文撰寫階段提供種種的意見以及在口試時的指導，總是包容大過責備，也幫助我釐清許多觀念，也要感謝口試委員吳慧珉老師及李政軒老師給予我們寶貴的意見，讓我們的論文敘述更有條有理，內容更加豐富。再來要感謝的是承楙學長，在實驗及寫論文的過程中，他以過來人的身份給予我們建議，有了他的協助，教學實驗和論文才能如期順利完成，另外要感謝既是同學也是同事的富玲、瓊文和中瑜，我們攜手共度重重關卡，你們是我心，兩年來，古道熱腸的她總是擔任司機，目中的最佳女主角，富玲扮演「同車人」讓我節省許多搭車時間，更增加便利性，瓊文扮演「小老師」的角色，有問題時，她總是不吝賜教，還有中瑜，扮演著「開心果」，是我們心靈及實際糧食的補給站，還要感謝其它同班的同學們，您們的陪伴與扶持，讓我的兩年七百多個日子畫下完美的休止符。親愛的媽媽，感謝您!在臺北的您，時時刻刻惗記及關心著我，在我沮喪時，您的話語是一道心靈雞湯，還要感謝親愛的先生，謝謝這兩年來用心的照顧孩子，你是我最有力的後盾，讓我心無旁騖的完成研究所的課程。雖然三言兩語無法道出我衷心的感激，但在此還是要再說一聲：「謝謝你們」，有了你們，我的研究所學習之旅才能圓滿落幕。林旂卉中華民國一○四年七月.

(3) 摘要本研究以四年級「整數四則運算」單元為教學範疇，編製預試紙筆測驗，以 DINA 模式為認知概念之診斷模式，在迷思概念診斷部份則採用 Bug-DINO 模式，研究者建置完線上診斷測驗及補救教學動畫後，抽取三組學生實施診斷測驗前測，並分別進行二組電腦化適性補救教學及團班檢討考卷的傳統補救教學，在實施完診斷測驗後測後，進行成效評估，並探討補救教學動畫對二實驗組學生之認知負荷的影響和不同背景的學生其補救教學成效之差異，亦探討二實驗組學生對本研究之電腦化適性補救教學之學習意見。研究結果發現如下：一、以DINA模式進行認知概念診斷之平均辨識率高於以Bug-DINO模式所進行的迷思概念診斷。在後驗機率的部份，Bug-DINO模式與專家判定之平均差異大於DINA模式與專家判定之平均差異。二、二種電腦化適性補救教學之成效均高於傳統補救教學，且達顯著差異，顯示此二種補救教學模式對學生之學習成效有助益。三、就認知概念的進步率及迷思概念的減少率作比較，結果顯示以Bug-DINO模式診斷的迷思概念補救組稍優於以DINA模式診斷的認知概念補救組。四、迷思概念補救組的認知負荷平均數48.81略高於認知概念補救組的平均數 47.52，但未達顯著差異。五、二實驗組不同背景及高低分組之學生在補救教學上的成效皆未達顯著差異。六、二實驗組學生對電腦化適性補救教學之學習意見，大多持正向之意見。關鍵詞：整數四則運算、認知負荷、電腦化適性補救教學、認知概念、迷思概念. I.

(4) II.

(5) Abstract The study regarded the “four arithmetic operations of integer” unit in fourth grade as the research field.. First of all, the paper and pencil diagnostic test was. administered for preliminary examination.. During the period of experiment,. diagnosing the cognitive conceptions was based on DINA model. As for diagnosing the misconceptions, it was based on Bug-DINO model.. After the researcher had. finished establishing the questions of on-line diagnostic test and remedial instruction media, the three groups (two experimental groups and one control group) implemented the pretest.. According to the diagnostic results of pretest, the experimental groups. received the computerized adaptive remedial instruction based on individual diagnosis report, and the control group received the traditional remedial instruction based on the testing report review.. After having implemented the posttest, learning performance. of the three groups were evaluated.. Furthermore, the influence of the cognitive load. from the teaching media on the two experimental groups and the differences of the learning performance between the two experimental groups of different backgrounds were also discussed.. In addition, students’ comments on the computerized adaptive. remedial instruction were analyzed. The major results are briefly outlined as follows: 1. The average diagnostic accuracy for the DINA model was higher than that of Bug-DINO model. However, as for the posterior distribution in diagnostic results, the mean difference between Bug-DINO model and experts’ judgment was higher than the mean difference between DINA model and experts’ judgment. 2. The learning performances of two computerized adaptive remedial instructions were both significantly superior to the traditional remedial instruction.. III.

(6) Therefore, it means the two computerized adaptive remedial instructions were more helpful to students’ learning. 3. When the average progress rates of cognitive attributes and the average reduction rates of misconceptions were compared, the result revealed Bug-DINO diagnostic and adaptive instruction model was better than DINA diagnostic and adaptive instruction model. 4. The average score (48.81) of cognitive load in the Bug-DINO diagnostic and adaptive instruction model was higher than the average score (47.52) in DINA diagnostic and adaptive instruction model.. However, there was no significant. difference between two experimental groups. 5. There was no significance difference in learning performance for the students of different backgrounds and ability between two experimental groups.. 6. Concerning the comments of students in two experimental groups on the computerized adaptive remedial instruction, most of them held positive opinions.. Keywords: four arithmetic operations of integer, cognitive load, computerized adaptive remedial instruction, cognitive conception, misconception. IV.

(7) 目錄摘要 ................................................................ I Abstract ........................................................... III 目錄................................................................V 表目錄 ............................................................ VII 圖目錄 .............................................................XI 第一章緒論 ......................................................... 1 第一節研究動機與目的 ........................................... 1 第二節待答問題 ................................................. 5 第三節名詞界定 ................................................. 5 第四節研究範圍與限制 ........................................... 7 第二章文獻探討 ..................................................... 9 第一節整數四則運算 ............................................. 9 第二節認知診斷模式 ............................................ 17 第三節數學教學媒體設計之理論基礎 .............................. 25 第四節認知負荷理論 ............................................ 33 第三章研究方法 .................................................... 39 第一節研究架構 ................................................ 39 第二節研究對象 ................................................ 42 第三節研究流程 ................................................ 43 第四節研究工具 ................................................ 46 第五節資料處理與分析 .......................................... 87 第四章研究結果與討論 .............................................. 89 第一節認知診斷模式的辨識率及後驗機率 .......................... 89 第二節不同補救教學模式的學習成效 .............................. 92 第三節適性補救教學多媒體呈現方式對學習者「認知負荷」的影響 .... 98 第四節影響實驗組學生電腦化適性補救教學學習成效的相關因素探討 . 103 第五節實驗組對於電腦化適性補救教學之意見 ..................... 123 第五章結論與建議 ................................................. 127 第一節結論 ................................................... 127 第二節問題與建議 ............................................. 129. V.

(8) 參考文獻 ......................................................... 133 中文部分 ....................................................... 133 英文部分 ....................................................... 138 附錄 ............................................................. 142 附錄一輔助補救教學之診斷評量模式探究參與研究同意書 .......... 142 附錄二預試試卷 ............................................... 143 附錄三背景資料問卷 ........................................... 147 附錄四電腦教學回饋表 ......................................... 148 附錄五認知負荷問卷 ........................................... 149 附錄六電腦化適性補救教學對認知負荷的影響百分比統計表 ......... 151 附錄七補救教學施測照片 ....................................... 153. VI.

(9) 表目錄表 1-1 辨識率計算方式表 .............................................. 7 表 2-1 四則運算 98 年版課程綱要之能力指標與分年細目對應表 ............ 10 表 2-2 國小四年級整數四則運算認知概念一覽表 ......................... 13 表 2-3 四則運算迷思概念相關文獻之整理 ............................... 14 表 2-4 國小四年級整數四則運算迷思概念一覽表 ......................... 16 表 2-5 整數四則運算的認知概念 ....................................... 20 表 2-6 整數四則運算的選擇題範例試題 ................................. 20 表 2-7 整數四則運算的選擇題範例試題與認知概念之 Q 矩陣 ............... 20 表 2-8 受試學生的認知概念狀態 ....................................... 21 表 2-9 整數四則運算的迷思概念 ....................................... 23 表 2-10 整數四則運算的選擇題範例試題 ................................ 23 表 2-11 整數四則運算的選擇題範例試題與迷思概念之 Q 矩陣 .............. 24 表 2-12 受試學生的迷思概念狀態 ...................................... 24 表 2-13 APOS 理論的階段意義和舉例說明 .............................. 27 表 2-14 製造認知衝突的策略及舉例說明 ................................ 30 表 3-1 教學實驗步驟時程表 ........................................... 42 表 3-2 電腦化適性補教教學實驗之男女生對象分布表 ..................... 43 表 3-3 國小四年級整數四則運算分年細目與認知概念 ..................... 47 表 3-4 迷思概念與認知概念對應表 ..................................... 48 表 3-5 命題卡 ....................................................... 50 表 3-6 試題與認知概念間試題關聯 Q 矩陣 ............................... 51 表 3-7 試題與迷思概念間試題關聯 Q 矩陣 ............................... 52 表 3-8 專家內容效度之專家名冊 ....................................... 53 表 3-9 鑑別度評鑑標準表 ............................................. 54 表 3-10 國小四年級整數四則運算單元預試分析表 ........................ 55 表 3-11 DINA 模式與 Bug-DINO 模式在 Q 矩陣的參數估計值 .............. 56 表 3-12 預試紙筆測驗刪修試題原因表 .................................. 58 表 3-13 修正後之試題與認知概念間試題關聯 Q 矩陣 ...................... 59 表 3-14 修正後之試題與迷思概念間試題關聯 Q 矩陣 ...................... 60 表 3-15 修題前後內容對照表 .......................................... 61 表 3-16 前測之鑑別度及難度分析表 .................................... 62 表 3-17 APOS 理論與教學內容對應表 .................................. 64 表 3-18 本研究迷思概念與認知衝突策略對應表 .......................... 70 表 3-19 對照組作答表現資料 .......................................... 76. VII.

(10) 表 3-20 前測題幹..................................................... 76 表 3-21 背景變項的定義............................................... 83 表 3-22 認知負荷問卷評量構架......................................... 85 表 4-1 DINA 和 Bug-DINO 的辨識率 .................................... 89 表 4-2 DINA 和 Bug-DINO 的後驗機率 .................................. 91 表 4-3 不同補救教學模式的學習成效之組內迴歸係數同質性檢定摘要表 ..... 93 表 4-4 誤差變異量的 Levene 檢定 ...................................... 93 表 4-5 不同補救教學模式之學生學習成效單因子共變數分析摘要表 ......... 94 表 4-6 各組人數及後測平均分數統計.................................... 94 表 4-7 事後比較結果摘要表............................................ 95 表 4-8 不同補救教學模式的各概念屬性進步率及減少率 ................... 96 表 4-9 實驗組學生對電腦化適性補救教學媒體持正向意見之結果分析 ....... 99 表 4-10 實驗組人數及認知負荷數據統計 ................................ 101 表 4-11 實驗組之認知負荷單因子變異數分析摘要表 ...................... 102 表 4-12 實驗組一般生及非一般生的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ...... 104 表 4-13 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 104 表 4-14 實驗組一般生及非一般生之共變數分析摘要表 .................... 105 表 4-15 實驗組雙親及非雙親學生的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ...... 106 表 4-16 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 106 表 4-17 實驗組雙親及非雙親學生之共變數分析摘要表 .................... 107 表 4-18 實驗組學生每星期練習數學天數之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ... ................................................................... 108 表 4-19 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 108 表 4-20 實驗組學生每星期練習數學天數之共變數分析摘要表 .............. 109 表 4-21 實驗組學生每次練習數學的時間之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ... ................................................................... 110 表 4-22 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 110 表 4-23 實驗組學生每次練習數學的時間之共變數分析摘要表 .............. 111 表 4-24 實驗組學生每天放學後使用電腦的時間之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ........................................................ 112 表 4-25 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 112 表 4-26 實驗組學生每天放學後使用電腦的時間之共變數分析摘要表 ........ 113 表 4-27 實驗組學生在校外是否有上數學課程之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .......................................................... 114 表 4-28 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 114 表 4-29 實驗組學生在校外是否有上數學課程之共變數分析摘要表 .......... 115 表 4-30 實驗組學生喜不喜歡上數學課之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .. 116. VIII.

(11) 表 4-31 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 116 表 4-32 實驗組學生喜不喜歡上數學課之共變數分析摘要表 ................ 117 表 4-33 不同性別的實驗組學生學習成效組內迴歸係數同質性檢定.......... 118 表 4-34 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 118 表 4-35 實驗組中不同性別之共變數分析摘要表 .......................... 119 表 4-36 不同能力的實驗組學生學習成效組內迴歸係數同質性檢定.......... 120 表 4-37 誤差變異量的 Levene 檢定 .................................... 121 表 4-38 實驗組中高低分組之共變數分析摘要表 .......................... 121 表 4-39 影響實驗組學習成效之各變項檢定結果摘要表 .................... 122 表 4-40 對電腦化適性補救教學想法之學習意見調查表（N＝44） .......... 123 表 4-41 對電腦化適性補救教學的想法持正向意見之結果分析.............. 124. IX.

(12) X.

(13) 圖目錄圖 2-1 APOS 理論的四個階段 ......................................... 26 圖 2-2 APOS 理論運作模式圖 ......................................... 26 圖 3-1 研究架構圖 ................................................... 39 圖 3-2 研究流程圖 ................................................... 45 圖 3-3 認知概念補救教學流程圖 ....................................... 63 圖 3-4 先備知識的複習 ............................................... 66 圖 3-5 合併列式 ..................................................... 66 圖 3-6 逐次減項的記錄形式 ........................................... 66 圖 3-7 佈題 1 ....................................................... 67 圖 3-8 佈題 2 ........................................................ 67 圖 3-9 重點整理 ..................................................... 67 圖 3-10 練習題 1 ..................................................... 68 圖 3-11 練習題 2 ..................................................... 68 圖 3-12 正向回饋 .................................................... 68 圖 3-13 練習題 1 解題 ................................................ 68 圖 3-14 練習題 2 解題 ................................................ 68 圖 3-15 生活情境的進階題 ............................................ 69 圖 3-16 正向回饋 .................................................... 69 圖 3-17 進階題解題 ................................................ 69 圖 3-18 結束動畫畫面 ................................................ 69 圖 3-19 動畫教學流程圖 .............................................. 71 圖 3-20 佈題並呈現動畫示意 .......................................... 72 圖 3-21 呈現迷思概念並製造認知衝突 ................................... 72 圖 3-22 引導學生思考 ................................................ 72 圖 3-23 比較有無括號的算式 .......................................... 72 圖 3-24 說明有無括號算式的意義 ...................................... 73 圖 3-25 建立正確的數學概念 .......................................... 73 圖 3-26 佈題練習 .................................................... 73 圖 3-27 練習題答錯畫面 .............................................. 73 圖 3-28 練習題答對畫面 .............................................. 74 圖 3-29 答題完成再次複習 ............................................ 74 圖 3-30 進入進階題再次練習 .......................................... 74 圖 3-31 進階題的提示之一 ............................................ 74 圖 3-32 進階題的提示之二 ............................................ 75. XI.

(14) 圖 3-33 圖 3-34 圖 3-35 圖 3-36 圖 3-37 圖 3-38 圖 3-39 圖 3-40 圖 3-41 圖 3-42 圖 3-43 圖 3-44 圖 3-45. 進階題答對畫面............................................... 75 答對再次複習................................................. 75 結束動畫..................................................... 75 系統登入畫面................................................. 77 系統首頁..................................................... 77 系統使用說明畫面............................................. 78 診斷測驗作答畫面............................................. 78 歷來的測驗結果選擇畫面....................................... 79 學生的基本資料及測驗單元資訊 ................................ 79 認知概念診斷報告與補救教學動畫的選擇畫面 .................... 80 迷思概念診斷報告與補救教學動畫的選擇畫面 .................... 80 學習狀況統計書-認知概念通過率 ................................ 81 學習狀況統計書-迷思概念通過率 ................................ 81. XII.

(15) 第一章. 緒. 論. 本研究以國小四年級翰林版「整數四則運算」單元為研究領域，以教育部（2008）發布之「國民中小學九年一貫課程綱要」為教材依據，應用認知診斷模式設計電腦診斷測驗，並進行三種不同的補救教學模式，評估其個別的教學成效。本論文共分成五章：第一章為緒論；第二章為文獻探討；第三章為研究方法；第四章為研究結果與討論；第五章為結論與建議。本章主要在闡述本研究之背景與動機、目的、待答問題，並針對相關名詞做明確界定。. 第一節研究動機與目的壹、研究動機國民中小學九年一貫課程綱要（教育部， 2008）中提到數學教學總體目標：除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。國小四年級之四則運算是統整以往學過的加法、減法、乘法和除法計算，為孩童奠定良好的運算基礎，培養其演算能力，並在具體的情境教學中，持續發展學童「解題」的能力。九年一貫數學學習領域的教學目標中明確指出：四則運算在第一階段（國小一至二年級）及第二階段（國小三至四年級）是「數與量」的學習基礎，「數」包含整數、小數及分數，四年級整數的四則運算若未學好，將會影響到學童學習五六年級的小數、分數。此外，在小學畢業前，學童應能熟練小數與分數的四則計算，並且能利用常用數量關係，解決日常生活的問題。由此可見，整數四則運算為國小重要核心課程之一，整數的計算是所有數學的根基，學童對數與量有充分的熟悉與掌握之後，才可以進一步學習其它三個數學主題（代數、幾何、統計與機率）。基於本單元的重要性，本研究選定國小四年級「整數四則. 1.

(16) 運算」單元為範圍，為本研究動機之一。數學是有系統連貫的一個知識體系，若在低年級時未能即時進行補救教學，釐清學童錯誤的觀念，到了中高年級其數學的學習會愈加困難，如果漠視這些問題，挫敗感也會逐年增加，國外的研究顯示，大約有 6%的國中小學生有嚴重的數學學習障礙 (Fleischner & Marzola , 1988) ，國內的研究也顯示，數學學習障礙在小學三到六年級的平均出現率為 6.6%，且隨著年級的增加而遞增（陳麗玲， 1993），若不及時補救，問題將持續到中學，甚至影響未來成人生活 (Cawley & Miller, 1989) 。因此，補救教學對學童數學之學習扮演極重要的角色。然而傳統之補救教學方式，多採用試卷之團班討論，並且教師在教學時間有限的情況下，無法針對個別學生的學習困難加以破除，要了解個別學生的數學問題耗時耗力，對原本工作就十分繁重的老師而言，無法在實務教學中確實執行，導致補救教學之成效有限。隨著電腦使用與網際網路普及，電腦輔助教學（computer assist instruction，簡稱 CAI）也隨之興起，設計電腦化之診斷測驗及補救教學，可以進行個別化的診斷，再依據診斷結果進行補救教學，可以排除教師人力不足的問題。電腦輔助教學，是將課程內容設計成電腦教學軟體，學生可以按照指示之步驟進行自我學習，電腦會自動記錄學習歷程與結果，以達成教學目標。它具有以下三個特性（楊坤堂，1998）：一、課程可以重複，學童可以反覆式練習或複習。二、個別化教學，教師依據個別學生的差異設計教學活動，學童可依自身的能力調整學習的時間與進度。三、以遊戲的方式教學，不但可以吸引學童的注意力，也能激發其學習的動機。也有研究顯示電腦補助教學可以提昇學童之學習效益，電腦已被肯定為具有. 2.

(17) 相當高效能的教學媒體 (Hannafin, 1987) 。九年一貫課程精神中提及教師在課堂上使用資訊媒體融入各科教學，總時數須逹到20％，因此資訊融入教學是近一波教育的新型態（鐘建坪，2005）。基於上述，本研究擬以國小四年級「整數四則運算」單元的能力指標為主題，編製一套電腦診斷測驗及補救教學動畫，藉由電腦的輔助，即時診斷出學生的學習困難，實施電腦化適性補救教學，以達「因材施教」的效益，為本研究動機之二。在實施補救教學前，老師要了解每個學生在概念或能力上是否達到精熟，近年來廣被使用的認知診斷評量可提供學生學習之優點與缺點的相關訊息 (Huebner, 2010) ，以作為老師教學上的參考，貼近因材施教的理念，可使用不同的認知診斷模式 (cognitive diagnostic models, CDMs) 對受試者進行診斷，本研究擬以認知診斷模型中的 DINA 模式 (deterministic input, noisy ''and'' gate model, DINA) 為基礎編製認知診斷測驗，並透過認知概念 Q 矩陣，推估受試者是否具備某認知概念，另外，近年來為因應需求，國內針對部分模式作調整，吳國禎（2014）採 Bug-DINO 模式探討迷思概念的研究，診斷成效佳，本研究擬以 Bug-DINO 模式進行分析學生之迷思概念，並藉由迷思概念 Q 矩陣，診斷出學生的迷思概念，以作為有效補救教學之參考。本研究擬編製電腦化認知診斷測驗，並使用郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞（2014）研發之「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為平台，此測驗系統能即時呈現評量成績，有助於老師和學生快速的了解學習狀況，可達診斷的目的，進而再以相對應的補救教學動畫進行教學，探討不同認知診斷模式結合補救教學的成效。本研究以國小四年級學童「整數四則運算」單元須具備的認知概念和常犯的迷思概念為根據，編製診斷測驗及製作補救教學動畫，故聚焦在學童整數四則運算認知概念的建立及迷思概念的破除，透過教學實驗，評估不同的補救教學模式之成效，是本研究動機之三。. 3.

(18) 資訊融入教學有助於學生的學習（陳宜欣，2013），但也有學者提出不良的媒體設計會造成認知系統過度負荷 (Sweller, 1988) ，本研究補救教學動畫屬於資訊融入教學的方式，補救教學動畫的內容結合文字、圖像及豐富的動畫，然而，如此的呈現方式，對學生而言，是否提升學生學習成效或造成認知系統過度負荷，值得關注，故本研究擬探討補救教學模式與認知負荷的關係。此外，在其它影響學習成效因素的探討上，鑑於家庭是人們學習的第一個場所，對學習的發展影響深遠，Lee (1987) 認為學生的特質（性別、學習風格、社經地位、態度、價值、期望），對學習成就有正向影響，尤其是社經地位方面，但也有研究認為沒有影響（唐建雄，2004），是故本研究也將學生的家庭背景、學生特質與學習成效之間的關連性納入探討範疇。另外，有研究針對不同能力學生在補救教學後的差異作探討（尤怡雯 2011；施雅文，2011；林玉華，2013），本研究希望適性化補救教學可以對高低分組的學生有相同的成效，故本研究亦針對電腦化適性補救教學對高低分組學生學習的成效之差異進行分析評估。. 貳、研究目的依據上述研究動機，本研究的研究目的如下：一、探討在「整數四則運算」單元下，DINA 和 Bug-DINO 認知診斷模式分析結果，與專家判讀的結果比對，進行辨識率比較，再計算出 DINA 和 Bug-DINO 認知診斷模式與專家判定之後驗機率，並進一步作分析比較。二、探討在「整數四則運算」單元下，學生在實施「DINA 診斷與適性教學模式」、「Bug-DINO 診斷與適性教學模式」、「傳統補救教學模式」補救教學後，進行學習成效的比較。三、二實驗組於每個概念屬性中的效益表現情形。四、探討在「整數四則運算」單元下，二實驗組學生在實施補救教學後的認知. 4.

(19) 負荷比較。五、探討在「整數四則運算」單元下，二實驗組學生不同背景變項的影響。六、探討在「整數四則運算」單元下，高低分組的二實驗組學生，補救教學成效之比較。七、探討在「整數四則運算」單元下，二實驗組學生對電腦化適性補救教學之學習意見。. 第二節待答問題根據以上七個目的，本研究將探究下列問題： 1-1 以 DINA 和 Bug-DINO 認知診斷模式分析結果，與專家判讀的結果進行比對，計算出的辨識率為何？ 1-2 以 DINA 和 Bug-DINO 認知診斷模式分析結果與專家判定之平均差異比較，計算出的後驗機率為何？ 2-1 三組學生接受不同的補救教學模式，在學習的成效上是否有顯著差異？ 3-1 二實驗組於每個概念屬性中的效益表現為何？ 4-1 電腦化適性補救教學對二實驗組學生之認知負荷的影響為何？ 4-2 二實驗組學生接受不同的補救教學模式，在認知負荷上是否有顯著差異？ 5-1 不同背景之二實驗組學生，在補救教學成效上是否有顯著差異？ 6-1 高低分組的二實驗組學生，在補救教學成效上是否有顯著差異？ 7-1 二實驗組學生對電腦化適性補救教學之學習意見為何？. 第三節名詞界定一、認知診斷模式本研究透過認知診斷模型中的 DINA 模式及認知概念 Q 矩陣，對受試者的. 5.

(20) 作答反應進行分析，以評估學生的認知概念是否達到的精熟。另外以 Bug-DINO 模型進行分析，並藉由迷思概念 Q 矩陣，診斷出學生的迷思概念，以作為有效補救教學之參考。二、電腦化適性補救教學本研究以臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞（2014）研發之「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為認知診斷測驗及補救教學的系統，研究者於此系統中建置試題及補救教學的動畫，以網際網路 (Chrome) 作為系統平台的基礎，系統管理者由後端設定二實驗組的認知診斷模式，以及受試者個人的帳號、密碼後，受試者便可連結至本系統進行線上測驗，測驗完成後，再由系統輸出個人診斷告書，二實驗組再依個人的前測診斷報告書，針對其應建立之認知概念或要破除之迷思概念進行電腦化適性補救教學。三、認知概念認知概念是學生在學習完四年級「整數四則運算」後，所應具備的數學能力與概念。研究者配合該單元九年一貫能力指標分年細目，與學科專家討論後，訂出學生學習完「整數四則運算」單元所需要備具之認知概念，共有 10 個，再依此建置試題及補救教學動畫。四、迷思概念迷思概念是指學生先入為主的錯誤觀念，與專家學者認定的概念不一致，或有別於教科書定義的概念。本研究之迷思概念是學生在學習完四年級「整數四則運算」後，所產生的錯誤概念。研究者參考文獻資料和自身現場的教學經驗，與指導教授、資深國小教師討論後，整理出國小四年級學童在該單元中較常犯的錯誤類型，共有 12 個，再依此建置試題，再以認知衝突理論設計補救教學的動畫。五、診斷辨識率. 6.

(21) 本研究診斷辨識率 (diagnosis accuracy rate, DAR) ，主要是用來計算受試者在認知診斷模式下評估的認知概念狀態與專家判定結果（真值）的一致性之比率，作為診斷辨識率，一致性愈高，則辨識率愈高。下表1-1為辨識率計算方式表：表1-1 辨識率計算方式表診斷結果分佈答對（1）. 答錯（0）. 𝑛 11. 𝑛 10. 專家判斷答對（1）（真值）. 𝑛 01. 答錯（0）因此，診斷辨識率的計算公式為：. 𝑛 00. 辨識率＝ n11 + n00 N. 其中. N ：為本實驗有效樣本數。 𝑛 𝑖𝑗 ：代表專家判斷（或真值）的結果為𝑖且診斷估計結果為𝑗的事件總數。. 第四節研究範圍與限制. 一、研究範圍本研究之教學單元範圍為教育部（2008）發布之「國民中小學九年一貫課程綱要」中國小四年級「整數四則運算」單元，所對應之能力指標 N-2-06：能在具體情境中，解決兩步驟問題 (含除法步驟)，N-2-07：能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題，A-2-02：能在具體情境中，理解乘法結合律，並運用於簡化計算，A-2-03 能在四則混合計算中，運用數的運算性質。此外，本研究旨在探討三種補救教學模式的實施成效及認知負荷、不同背景變項對實驗組學生電腦化適性補救教學成效之影響、電腦適性化補救教學對實驗組之高低分組學. 7.

(22) 生的學習成效及實驗組學生的補救教學動畫意見。因此，除了上述之外的其它因素均不在本研究探討之範圍。二、研究限制考量研究者的人力、時間及資源及其他主客觀因素影響，本研究有以下幾點的限制，茲分別說明如下：（一）研究樣本研究者任教於臺中市某國小，選取補救教學的研究對象為本校國小四年級生三個班級的學生，其中兩班編為實驗組，一班編為對照組，故本研究採方便取樣。本研究共取樣 73 名學生，經刪除不當樣本後，有效樣本為 67 名。實驗的結果可能會受限於樣本數，導致本研究結果推論上的限制，因此，實驗的結果僅為該校學生的現象，不宜推論至他校學生。（二）研究時間受限於課程進度及電腦教室時間之安排，補救教學僅以兩節課時間實施。（三）測驗題型的限制本研究之電腦化適性補救教學系統的測驗試題皆以選擇題型式建置，每一個試題有 4 個選項，除了正確答案的選項，僅有 3 個誘答選項來診斷及分析學生認知概念及迷思概念的有無，未能涵蓋學生可能會產生的所有認知或迷思概念。. 8.

(23) 第二章. 文獻探討. 本研究是以國小四年級「整數四則運算」單元為範疇，旨在探討三種不同補救教學模式之成效差異。在補救教學的執行部份，認知概念補救組、迷思概念補救組及傳統補救組在電腦教室分別進行診斷測驗，認知概念補救組和迷思概念補救組是根據診斷結果施以電腦化適性補救教學，而傳統補救組則是在原班級進行傳統團班補救教學，在實施完後測後，進行實驗成效評估，並探討補救教學動畫對二實驗組學生之認知負荷的影響及不同之背景及能力的學生其補救教學成效之差異，亦探討二實驗組學生對本研究之電腦化適性補救教學之學習意見。故本章將針對以下主題進行文獻探討，第一節整數四則運算、第二節認知診斷模式、第三節數學教學媒體設計之理論基礎及第四節認知負荷理論，以作為本研究執行及發展方針之參考。. 第一節整數四則運算壹、九年一貫課程中的四則運算及教材分析不論在日常生活或職場中，數學能力已成為應具備的基本能力。在四則運算教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化學童的數字感，並且是日後（國、高中）學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一（教育部，2008）。國民小學數學課程依不同的階段發展敘述如下：64年版課程標準以兼顧社會生活需求和學童身心發展為主，到了82年版課程標準，加強學生本位及認知發展，而89暫行綱要以培養學生能力、拓展「外部連結」為核心，92年正式綱要的目的. 9.

(24) 是強化演算能力和銜接高中課程，為改善以階段劃分的能力指標在一綱多本下的缺失，而修訂了98年版九年一貫數學領域課程綱要（引自劉曉縈，2012）。 98年版九年一貫數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級，並將數學內容分成「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」等五個主題，其中「數與量」佔了50%以上，顯示其佔一席舉足輕重的地位。教育部依主題與階段的學習能力而訂定課本綱要之數學領域能力指標，然而為了要達成各階段的教學目標，大多數的能力指標必須採分年階段教學之設計。因此由各階段能力指標中衍生出更細緻的分年細目與詮釋，總而言之，能力指標、分年細目與分年細目詮釋之內容，成為教師教學及坊間教科書編輯的主要參考依據。國小階段教育部亦詳定了能力指標與分年細目以達成教學目標，茲將各國小階段四則運算的能力指標、分年細目及詮釋的內容彙整如下表2-1。表 2-1 四則運算 98 年版課程綱要之能力指標與分年細目對應表階段/年級. 能力指標（註一） N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。第一階段/ N-1-07 能在具體情境中，解決加、減、乘之兩步驟問題(不含國小一至二年級連乘)。. 分年細目（註二） 1-n-06 能做一位數之連加、連減與加減混合計算。 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加與減，不含併式)。 2-n-10 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與乘，不含併式)。. N-2-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題(含除法步驟)。. 3-n-03 能用併式記錄加減兩步驟的問題。 3-n-07 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與除，不含併式)。. 第二階段/ 國小三至四年級. （續下頁）. 10.

(25) 表 2-1 四則運算 98 年版課程綱要之能力指標與分年細目對應表（續）階段/年級. 能力指標（註一）. 分年細目（註二） 3-n-08 能在具體情境中，解決兩步驟問題(連乘，不含併式)。 4-n-04 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算。. N-2-07 能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題。. 3-n-03 能用併式記錄加減兩步驟的問題。 4-n-04 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算。 4-n-05 能做整數四則混合計算 (兩步驟)。. 第三階段/ N-3-02 能熟練整數四則混合運國小算，並解決生活中的三步驟問五至六年級題。. 5-n-02 能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算。 5-n-03 能熟練整數四則混合計算。 6-n-05 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。 6-n-08 能在具體情境中，解決小數的兩步驟問題，並能併式計算。. 第四階段/ N-4-05 能認識負數、相反數、絕對值的意義。國中一至三年級 N-4-06 能做正負數的比較與加、減、乘、除計算。 N-4-08 能熟練正負數的四則混合運算。. 7-n-06 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則混合運算。. 註一：能力指標以三碼為編排原則：第一碼 N 表示「數與量」的主題；第二碼表示階段；第三碼則是能力指標的流水號。註二：分年細目亦採三碼編排，第一碼表示年級；第二碼表示主題；第三碼則是分年細目的流水號。. 11.

(26) 綜合上表 2-1 可得知，四年級的四則運算兩步驟問題，是二年級、三年級單步驟加、減、乘、除混合計算的延伸，在四年級之前學習過相關於本單的四則運算計算有：用併式記錄加減兩步驟的問題、加（減）與乘兩步驟問題（不含併式）、加（減）與除兩步驟問題（不含併式）和先乘再乘的兩步驟問題（不含併式），四年級階段增加連乘、連除、乘除混合併式、加（減）與乘及加（減）與除併式（摘錄自翰林出版社，2014），此階段的四則運算也扮演著銜接著五、六年級之後三步驟問題的中樞位置（徐偉民、林慧潔，2010），五、六年級學童要能熟練三步驟問題及小數、分數的運算，以作為日後學習代數、幾何、統計與機率的基礎。. 貳、整數四則運算的規則四則運算是由多步驟運算概念演變而來的，為了使算式更方便計算，將情境或文字題改用比較簡潔的併式重新表徵後，再去求併式原題目的答案。產生併式時，人們首先先形成「由左往右逐步計算」的共識；但是當步驟愈多時，就會產生運算次序的混淆，為了區分先算什麼，後算什麼，才用括號來表示先算的部份，形成「有括號的算式先算」的共識；當生活中的問題更複雜時，使用的括號的次數愈來愈多時，為了要減少使用括號的次數，人們發現先乘除後加減可以省略的括號數最多，因為多數的問題中，先算乘和除部份的機會比較大，因此透過先乘除後加減的約定省略括號，可以省略比較多的括號，就形成「先乘除後加減」的共識，但如果無法省略括號時，仍就要以括號表示最優先的計算部份。綜合上述，做四則混合運算時，解題的順序依次為「有括號的算式先算」、「先乘除後加減」、「由左往右逐步計算」。教師在教學時，必須透過具體情境說明這些約定的意義後，才能使用這三個約定幫助學童熟練四則運算的規則。此外，在四年級階段，所有的併式解題均強調「逐次減項」的記法，避免讓學童從. 12.

(27) 模仿式子的寫法與不斷練習中學會此記錄的方式，應該透過「等價關係」及「等號滿足遞移性」的活動，來說明為什麼可以用「逐次減項」的方式記錄解題過程（謝堅，1997）。. 參、認知概念分析認知概念是指學生在學習完本單元「整數四則運算」應具備之認知概念，本研究針對 97 年版課綱之四年級分年細目「4-n-04 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算。」及「4-n-05 能做整數四則混合計算（兩步驟）。」，並與專家學者討論後，從中歸納出本單元之認知概念，如下表 2-2：表2-2 國小四年級整數四則運算認知概念一覽表編號. 認知概念說明. K1. 在解決加、減/乘、除或加減/乘除混合問題時，能進行由左而右計算。. K2. 算式中同時有加、減法和乘、除法時，會遵守先乘除，再加減的計算規則。. K3. 加、減或加減混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算。. K4. 乘除混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算。. K5. 乘加或乘減混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算。. K6. 除加或除減混合，並摻入括號時，會由括號中的式子先計算. K7. 在生活中的問題，能正確列出加、減或加減混合併式紀錄。. K8. 在生活中的問題，能正確列出乘、除或乘除混合併式紀錄。. K9. 在生活中的問題，能正確列出乘加或乘減混合併式紀錄。. K10. 在生活中的問題，能正確列出除加或除減混合併式紀錄。. 13.

(28) 肆、迷思概念分析本研究所指的錯誤類型是指與教師或課本欲傳達的概念不相容，而產生的混淆、錯誤的想法或不適當的解釋，也就是迷思概念所形成的結果，由於是學生自行建構而成的，所以會產生高度抗拒改變，進而造成學習障礙（許志毅，2005；尤怡雯，2011；陳見發，2011）。在數學學習過程中，學生產生之迷思概念，形成解題上的阻礙，關於本單元的錯誤類型與迷思概念，許多學者也提出了相關研究，資料統整劉天民（1993）等人，歸納如下表2-3：表 2-3 四則運算迷思概念相關文獻之整理主題. 研究者. 錯誤類型/迷思概念與其成因. 高雄地區國一學生整數與. 1.忽略了先乘除後加減的規則。. 分數四則運算錯誤類型之. 2.在含括號的運算式中，並未考慮括號. 分析研究. 前後的運算情形。. 劉天民. 3.在含零運算式中，誤用任何數乘以零. (1993). 等於任何數或使用任何數乘以零等於任何數的錯誤運算原則。國小四年級學童整數四則. 1.加（減）法運算錯誤。. 運算問題的解題策略與錯. 2.乘（除）法直式運算不熟練。. 誤類型之研究. 3.錯用乘（除）法運算符號。 4.缺乏乘法結合律的基模知識。 5.不會運用併式和除法的結合律來表徵。. 陳國雄. 6.未依據四則運算的計算約定。. (2006). 7.錯用資訊及已知條件 8.缺乏估算的能力。 9.看錯題目數值。 10.錯誤表徵列式。 11.算式表徵不完整。（續下頁）. 14.

(29) 表 2-3 四則運算迷思概念相關文獻之整理（續）國小五年級學童整數四則運算概念學習及錯誤類型之研究. 潛在類別分析在國小五年級學童四則運算規則之縱貫研究. 1.四則運算規則運用錯誤。 2.算式或答案不完整。 3.粗心而導致之計算錯誤。 4.抄錯題目。 5.列式錯誤。 6.隨意回答或空白等。學童整體的解題表現，以非文字題部分比文字題部分佳。文字題部分以「使用括號」較不熟練，非文字題部分以「先乘除，後加減」尚需加強。. 吳惠貞（2007）. 張育綾 (2008). 發展國小四年級整數四則運算數位教學方案之歷程研究. 受到「由左而右計算」運算規則的影響，直接由左而右依序計算，忽略當式子中有乘號時，要採取「先乘除後加減」的策略；忽略「有括號要先運算」，不知道括號內運作的意義。可以發現學童對於「由左而右計算」、「先乘除後加減」、「有括號要先運算」這三種運算規則最易感到困擾。. 曾爰靜 (2010). 國小五年級數學低成就學生小數四則運算錯誤類型分析及補救教學效果之個案研究國小五年級學童四則混合運算文字題閱讀理解及解題之個案研究. 國小四年級低成就學生學習「四則運算」教材及其迷思概念之研究. 1.商的位置錯誤。 2.忘記補零（忘記在被除數或商中補 0）。 3.估商不當錯誤。 4.計算不完整。高成就學童在數學術語的語彙知識、推論訊息的邏輯思維以及詮釋整合與評估等理解的能力，較優於低成就學童，所以能迅速且有效地找到解題策略與方法。 1.計算錯誤。 2.列式能力不足。 3.運算規則運用能力不足。 4.兩步驟問題的併式紀錄錯誤。. 葉耀榮 (2012). 黃錦燕 (2014). 方建良、黃秀霜（2014）. 15.

(30) 綜合以上學者的研究，並參考研究者教學現場經驗，從中彙整歸納出四年級學童學習「整數四則運算」單元時較容易產生的迷思概念有：「計算錯誤」、「使用錯誤的符號運算、「瞭解題意，但無法列出算式」、「不瞭解題意」、「運算計算順序錯誤」。研究者根據上述彙整出的迷思概念與能力指標，再與專家學者及資深國小教學教師討論後，整理出本研究單元之迷思概念，如下表2-4：表2-4 國小四年級整數四則運算迷思概念一覽表編號. 迷思概念說明. B1. 運算符號錯誤。. B2. 進位錯誤。. B3. 大數減小數。. B4. 向高位借位減去減數時，高位忘了減 1。. B5. 未由左而右計算。. B6. 乘法計算過程中位值概念不清楚。. B7. 除法商數多加 0 或少加 0。. B8. 除法商數補 0 的位置錯誤。. B9. 未先乘除，後加減。. B10. 未先算括號。. B11. 不了解題意，列式不完整或使用錯誤的運算符號。. B12. 併式記錄時未正確使用括號。. 16.

(31) 第二節認知診斷模式傳統教育測驗的結果常是以單一總分來表示學生的學習成就，這些測驗分數僅反映出學生分數的高低，無法由學生的作答反應中，呈現出學生對某種技能是否精熟的訊息。Nichols (1994) 主張認知科學 (cognitive science) 與心理計量學 (psychometrics) 結合，發展一套新的診斷評量方法，以幫助教師評估學生的學習歷程，有助於教學目標的達成，稱為認知診斷評量 (cognitively diagnostic assessment, CDA) 。認知診斷評量能診斷受試者的概念 (skills) 或認知技能 (attributes) 是否已達精熟 (mastered) ，以作為學童數學學習盲點之診斷及教學策略改進之參考。自從美國政府於 2002 年通過「沒有落後的孩子」 (No Child Left Behind Act, NCLB) 的法案後，近年來認知診斷評量在教育領域和心理計量領域中佔舉足輕重的地位。認知診斷評量在倍受國內外領域學者的注目下，相關研究應運而生，在認知診斷評量中，施測者可以用不同的認知診斷模式對受試者進行診斷，因此，不同的認知診斷模式也相繼被各國學者發表，如：DINA模式、G-DINA模式、MS-DINA 模式、Bug-DINO模式、MS-Bug-DINO模式等。認知診斷模式用來診斷受試者是否具備解題所需的認知概念，採用二元計分的方式，將受試者在各認知概念上的表現分類成為精熟或未精熟，以二元的精熟分數向量表示受試者是否精熟每一個認知概念（引自崔貞甫，2013），向量𝛼𝑖 ＝. ，其中𝛼𝑖𝑘 ＝1，表示第𝑖位受試者精熟第𝑘個認知概念，若𝛼𝑖𝑘 ＝0，（𝛼𝑖1 ,𝛼𝑖2 ,…, 𝛼𝑖𝑘 ）則表示該受試者未精熟第𝑘個認知概念。以一份含 K 個認知概念的測驗為例，如 K＝3，則受試者會有23 個反應組型，所以有 8 種可能的反應組型：（1，1，1）（1，1，0）（1，0，1）（1，0，0）（0，1，1）（0，1，0）（0，0，1）（0，0，0）. 17.

(32) 當某個受試𝛼＝（1，1，0），表示其精熟第 1、2 個認知概念，而第 3 個認知概念未精熟。認知診斷測驗在編製時，第一步要先要根據教學目標確定欲評量的認知概念，再將認知概念組合成試題，每個試題至少包含一個認知概念，另外，在編製過程中，還需將認知概念相似度與難易度納入考量，並非隨心所欲的組合試題（涂金堂，2003）。為了要清楚了解試題與認知概念的關係，本研究在使用認知診斷模式時，先依據測驗的教學目標建立認知概念，再評估認知概念的難易度及其之間的相似度或教學先後順序編製成試題，並藉由試題關聯Q矩陣代表每個試題與對應的認知概念之間的關係 (Tatsuoka, 1985) ，推估受試者在測驗中的概念精熟與否，進而瞭解其學習困難，以進行補救教學 (de la torre, 2008) 。若一份測驗中有數個試題（J）和數個認知概念（K），則 Q 矩陣的大小為 J × K，其中Q𝑗𝑘 表示要精熟第 j 個試題，是否需要具備認知概念 k，定義如下： Q 𝑗𝑘 ＝. 1 精熟第 j 個試題需要具備認知概念 k 0 其它其中，j＝1... J k＝1...K. 舉例說明：若測驗中 Q 矩陣為 3×3，代表該測驗有 3 個試題及 3 個認知概念，以下以舉例說明， 1 Q𝑗𝑘 ＝�0 1. 0 1 1. 1 1� 1. 此矩陣表示著，第一題需具備第 1 個及第 3 個認知概念，而第二題需具備第 2 個及第 3 個認知概念，最後一題第三題則需具備第 1、第 2 及第 3 個認知概念。本節僅針對本研究使用的認知診斷模式之相關研究進行探討，第一部份為. 18.

(33) DINA模式；第二部份為Bug-DINO模式，分述如下：. 壹、 DINA 模式 DINA 模式是許多認知診斷模式的基礎 (Junker & Sijtsma, 2001) ，故在本研究中選擇 DINA 模式為診斷工具。DINA 模式是適用於二元計分的認知診斷模式，並假設受試者若具備答對該試題所需要的認知概念，即能答對該題，然而答對試題的機率，會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響，公式定義如下： 𝜂𝑖𝑗. 其中，. 𝑃（𝑋𝑖𝑗 ＝1|𝛼, 𝑠,g)＝�1－𝑠𝑗 � g 𝑗 1－𝜂𝑖𝑗 𝐾. 𝑞𝑗𝑘. 𝜂𝑖𝑗 ＝ � 𝛼𝑖𝑘 𝑘=1. 𝜂𝑖𝑗 ＝𝑃（𝑋𝑖𝑗 ＝0�𝜂𝑖𝑗 ＝1� g 𝑗 ＝𝑃（𝑋𝑖𝑗 ＝1�𝜂𝑖𝑗 ＝0�. 其中，𝑋𝑖𝑗 ：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型。. 𝜂𝑖𝑗 ：表示受試者 i 是否精熟試題 j 所需要的認知概念，完全精熟其值為 1，反之，缺少一個以上需精熟的認知概念其值為 0。. 𝛼𝑖𝑘 ：表示受試者 i 是否具備認知概念 k，具備該認知概念其值為 1，反之為 0。. 𝑞𝑗𝑘 ：表示試題 j 是否需要認知概念 k，需要該認知概念其值為 1，反之為 0。. 𝑠𝑗 ：粗心參數；表示受試者完全精熟試題所需的認知概念，卻因為粗心而答錯此題的機率。. g 𝑗 ：猜測參數；表示受試者缺少一個以上試題所需的認知概念，卻因為猜測而答對此題的機率。. 19.

(34) 以下就本研究四則運算舉例說明 DINA 模型的計算方法: 表 2-5 為整數四則運算的認知概念，表 2-6 為認知診斷測驗的選擇題範例試題，表 2-7 選擇題範例試題與認知概念之 Q 矩陣，由 Q 矩陣表中得知，解此題需具備認知概念 1、5。表 2-5 整數四則運算的認知概念概念. 敘述. A1. 能了解括號內的算式要先算。. A2. 能了解算式只有加號和減號時，要由左而右計算。. A3. 能了解算式只有乘號和除號時，要由左而右計算。. A4. 能了解先乘除後加減的運算規則。. A5. 能依題意列成一個算式。. 表 2-6 整數四則運算的選擇題範例試題 1. 小琪有 53 塊餅乾，妮妮有 17 塊餅乾，媽媽再給妮妮 8 塊餅乾後，小琪比妮妮多幾塊餅乾？正確的算式與解答為下列何者。 53－(17＋8)，28 塊 53－17＋8，44 塊 53－(8＋17)，62 塊 53＋17＋8，78 塊表 2-7 整數四則運算的選擇題範例試題與認知概念之 Q 矩陣概念 A1. A2. A3. A4. A5. 1. 0. 0. 0. 1. 題號例題 1. 20.

(35) 由於 DINA 模式會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響，假如給定試題參數𝑠1 ＝0.03、g1 ＝0.03，且假設三名受試者具備解題的認知概念如下表. 2-8 所示，其中受試學生 1、2 僅具備 1 個認知概念，故受試學生 1、2 都至少缺. 少一個的認知概念，因此𝜂11 ＝𝜂21 ＝0，由於受試學生 3 具備解題所需的 2 個認知概念，因此𝜂31 ＝1。. 表 2-8. 受試學生的認知概念狀態概念 A1. A2. A3. A4. A5. 受試學生 1. 0. 1. 0. 0. 1. 受試學生 2. 1. 0. 1. 0. 0. 受試學生 3. 1. 1. 1. 1. 1. 題號. 以下為三位受試學生分別對答的機率，計算如下： 𝑃（𝑋11 ＝1|𝛼1, 𝑠1 , g1 ＝�1－𝑠1 �. 𝜂11. 𝑃（𝑋21 ＝1|𝛼2, 𝑠1 , g1 ＝�1－𝑠1 � 𝑃（𝑋31 ＝1|𝛼3, 𝑠1 , g1 ＝�1－𝑠1 � 0.97. 𝜂21 𝜂31. 0. 1−0. 0. 1−0. ＝0.03＝0.03. 1. 1−1. ＝1－0.03＝. g11－𝜂11 ＝（1 − 0.03）（0.03）. g11－𝜂21 ＝（1 − 0.03）（0.03） g11－𝜂31 ＝（1 − 0.03）（0.03）. ＝0.03＝0.03. 由上可得，受試學生 1、2，至少缺少一個的認知概念，若答對此題，在 DINA 模式下，屬於猜測的情況，而受試學生 3 具備本試題所需的 2 個認知概念，因此答對此題的機率最高，若答錯，在 DINA 模式下，屬於粗心的情況。綜合上述，在DINA模式下，試題答對機率，僅受粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響，且具良好的適配度，故在許多診斷測驗上廣為使用 (de la. 21.

(36) Torre & Douglas, 2004) 。. 貳、 Bug-DINO 模式教師若想要破除學生的迷思概念，需先經由認知診斷模式，發現學生的迷思概念，再依此設計適當的教學情境、進行有系統的補救教學，促使學生釐清迷思概念，進而達成教學的目標（李青春、胡學誠，2009）。 Bug deterministic inputs, noisy“or”gate model (Kuo, Yang, &Wu, 2010) ，簡稱 Bug-DINO 模式，此模式是由 DINO 模式修改而來以適用於錯誤類型的診斷（引自吳國禎，2014），同樣適用於二元計分的測驗，主要用來診斷學生的迷思概念，在此模式使用時，先根據該測驗單元學生易發生的迷思概念編製試題，並經由試題與迷思概念 Q 矩陣代表每個試題與迷思概念的對應表，估計受試者在測驗中是否有該迷思概念，進而瞭解其概念上不同類型的錯誤。Bug-DINO 模式會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響，粗心是指當受試者不具備作答可能產生的迷思概念，答錯該題是因為粗心的因素，猜測是指受試者具備任一個作答可能產生的迷思概念，答對該題是由於猜測的緣故。本研究以 Bug-DINO 模式作為受試者迷思概念的診斷，在此模式下，根據受受試者所具備的迷思概念，若受試者不具備作答可能產生的迷思概念 ωij ＝1，具備作答可能產生的迷思概念 ωij ＝0 兩類，若受試者不具備任一個迷思概念時，. 其答對的機率較高，反之，若受試者具備任一個迷思概念時，則其答對的機率會降低，換言之，當受試者產生迷思概念的狀況，會使答對機率變低。在 Bug-DINO 模式中，機率反應模型如下：. P（𝑌𝑖𝑗 ＝1|ω𝑖𝑗 ）＝（1－𝑠𝑗 ） 𝐾. ω𝑖𝑗 ＝ � （1－𝛽𝑖𝑘 ） 𝑘=1. ω𝑖𝑗. （1－ωij ）. （g 𝑗 ）. Q𝑗𝑘. 22.

(37) 𝑠𝑗 ＝P（𝑌𝑖𝑗 ＝0 |ω𝑖𝑗 ＝1）. g 𝑗 ＝P（𝑌𝑖𝑗 ＝1|ω𝑖𝑗 ＝0）其中，. 𝑌𝑖𝑗 ：第𝑖個受試者在第𝑗題試題的反應組型。. 𝑠𝑗 ：受試者不具備作答可能產生的迷思概念，但卻因粗心而答錯該題的機率。. g 𝑗 ：受試者具備任一個以上作答可能產生的迷思概念，但卻因猜測而答對該題的機率。. Q 𝑗𝑘 ：受試者在第𝑗題是否有第𝑘個迷思概念。. ω𝑖𝑗 ：受試者是否具備作答可能產生的迷思概念，若全部無，則其值為 1，反之，若受試者具備任一個作答可能產生的迷思概，則其值為 0。. 𝛽ik ：受試者是否具有第k個迷思概念，若有為 1，若無為 0。. 以下就本研究四則運算舉例說明 Bug-DINO 模型的計算方法: 表 2-9 整數四則運算的迷思概念迷思概念. 敘述. M1. 除法商數忘了補「0」。. M2. 進位錯誤。. M3. 大數減小數。. M4. 向高位借位減去減數時，高位忘了減 1。. M5. 未由左而右計算。. 表 2-10 整數四則運算的選擇題範例試題 1.. 51-22-12= (. )，請選出(. )中的數字。. 41 27 21 17. 23.

(38) 表 2-11 整數四則運算的選擇題範例試題與迷思概念之 Q 矩陣概念 M1. M2. M3. M4. M5. 0. 0. 1. 1. 1. 題號例題 1. 上表 2-9 為整數四則運算的迷思概念，上表 2-10 為認知診斷測驗的選擇題範例試題，上表 2-11 選擇題範例試題與迷思概念之 Q 矩陣，由 Q 矩陣表中得知，解此題可能具備的迷思概念為 M 3、M 4、M 5。由於 Bug-DINO 模式會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響，假設給定試題參數𝑠1 ＝0.02、g1 ＝0.02，且假設三名受試者是否具備解該題的迷思概念如下表 2-12 所示，其中受試學生 1 不具備任一個迷思概念，因此ω11 ＝1，而. 受試學生 2 具備 2 個迷思概念，受試學生 3 具備 3 個迷思概念，故受試學生 2、3. 至少具備 1 個以上的迷思概念，因此ω21 ＝ω31 ＝0。表 2-12. 受試學生的迷思概念狀態概念 M1. M2. M3. M4. M5. 受試學生 1. 0. 0. 0. 0. 0. 受試學生 2. 1. 0. 1. 0. 1. 受試學生 3. 1. 1. 1. 1. 1. 題號. 以下為三位受試學生分別答對的機率，計算如下： 𝑃（𝑌11 ＝1|ω11 ）＝�1－𝑠1 �. ω11. 𝑃（𝑌21 ＝1|ω21 ）＝�1－𝑠1 �. ω21. 1. 1−1. 0. 1−0. g1 （1－ω11）＝（1 − 0.02）（0.02）. g1 （1－ω21）＝（1 − 0.02）（0.02） 24. ＝0.98 ＝0.02＝.

(39) 0.02 𝑃（𝑌31 ＝1|ω31 ）＝�1－𝑠1 �. 0.02. ω31. 0. 1−0. g1 （1－ω31）＝（1 − 0.02）（0.02）. ＝0.02＝. 由此可得，受試學生 1，不具備解該題之任何迷思概念，故答對機率最高，若答錯該題，在 Bug-DINO 模式下，屬於粗心的情況，而受試學生 2、3 至少具備 1 個解該題的迷思概念，因此答對的機率最低，若答對該題，在 Bug-DINO 模式下，屬於猜測的情況。. 第三節. 數學教學媒體設計之理論基礎. 本實驗之補救教學動畫是以「整數四則運算」單元為教學內容，進行完前測後，受試學生根據診斷報告書進行個別化動畫補救教學，研究者以 APOS 理論設計認知概念補救組之教學動畫，另外，迷思概念補救組之教學動畫則融入劉曼麗（2005）提出之認知衝突理論，最後再進行後測，評估受試學生之成效差異。以下將針對本研究教學媒體設計之基礎 APOS 理論與認知衝突理論作探討。. 壹、 APOS 理論美國的數學學家Dubinsky (1991) 和Asiala et al. (1996) 提出了數學概念學習的APOS（ Action-Process-Object-Schema，簡稱APOS）理論，此為以建構主義為基礎的數學學習理論，他們主張一個人無法直接獲得數學概念，學習者數學概念的學習是要進行心理建構的，亦即透過心智結構讓學習者所學的數學概念產生意義，而數學概念教學的目的是幫助學生建立心智結構，使學生有效的學習。 APOS理論為皮亞傑“反省抽象”理論的延伸，其主要的目的是將物件抽象化成概念，探討認知概念在建立的過程中，個體邏輯數學的構築。Anna Sfard (1991) 提出新概念的習得最先步驟是透過具體化操弄，也就新概念是經由參與行動而習. 25.

(40) 得。Dubinsky以APOS理論描述程序概念透過膠囊化 (encapsulation) ，然後轉變成物件概念的過程，並認為形成數學概念的建構過程分為以下四個階段，如下圖 2-1所示：. 圖2-1 APOS理論的四個階段針對此四個階段再說明，Dubinsky（1991）認為個體能掌握數學問題的內容描述，以及解題的過程，並思考如何將數學問題與社會脈絡結合，進而建構出解決問題的行動、過程和物件，最後將建構成一個基模，再以此基模解決生活上實際的問題（引自蔡玉玲、張靜嚳，2008），如下圖 2-2 所示。. 圖 2-2 APOS 理論運作模式圖(Dubinsky, 1991) 再進一步以各階段的意義及在本研究中補救教學設計的應用詳述說明，以「整數四則運算」單元中「有括號的乘加、乘減併式計算。」為例，整理如下表 2-13：. 26.

(41) 表 2-13 APOS理論的階段意義和舉例說明階段. 意義引入概念：透過適合的活動及教具的模擬讓學習操弄或行動者熟悉舊概念，經由（Action）親身體驗、主動建構，繼而對欲教授的概念形成直觀的理解。定義概念：學習者透過反覆操弄的過程，慢慢建構物件概念，可自行進心智過程行思考活動，整個操（Process）弄的活動內化成心智過程，不用再利用特殊步驟再操作一遍時，為初步形成概念定義的「過程」。分析概念：賦予抽象概念形式化的定義及符號，可以是一個具體的東西，當心智過程成為操弄對象而任意轉物件換時，此心智過程就（Object）被膠囊化形成一個物件，並由學生主動將其納入已有概念體系的階段，個體需常將此物件解膠囊化，回到過程，以使用其特性予以操弄。. 說明在進入學習合併列式前，教師布題，讓學生列出先算、後算的加減法和乘除法算式，複習舊經驗兩步驟的解題，讓學生熟悉加減法和乘除法的解題方式。讓學童學習併式的記法，引導學生將先算、後算的算式合併成併式記錄，並進一步清楚理解以「逐次減項」的形式解題的新概念。. 舉例例題 1：自動鉛筆 1 支 37 元，原子筆 1 支 22 元，各買 6 支要幾元？先算：37＋22＝59 再算：59 × 6＝354 答：354 元例題 1：自動鉛筆 1 支 37 元，原子筆 1 支 22 元，各買 6 支要幾元？（22＋37）×6 ＝59×6 ＝354 答：354 元. 教師布題予以實際練習，讓學生熟悉算式中有括號的算式要先計算的新摡念，並練習以「逐次減項」的形式解題，對學生而言，可以操弄新物件。. 例題 2：（22 ＋ 37）×5 ＝59×5 ＝295. （續下頁）. 27.

(42) 表 2-13 APOS理論的階段意義和舉例說明（續）階段基模. 意義運用概念：. 說明. 舉例. 加深題目重新布例題 3：. （Scheme）學習者思考將數學題，讓學生運用新概櫻桃 1 斤 69 元，媽問題與社會脈絡結念來練習，使學童能媽買 35 公斤，阿姨合，建立行動、過程活用四則運算的規買了 27 斤，媽媽比和物件以解決問則，解決生活中的問阿姨多花幾元？請題，因而這整個將具題。. 選出正確算式及答. 體物轉換以獲得較. 案。. 為抽象新物件的過. （35－27）×69，. 程，便形成了一個基. 552 元  69×27－35 元，. 模。. 1812 元  69×35－27 元， 2388 元 （35＋27）×69， 4278 元綜合上述，APOS 理論可以分析學習者的概念發展過程，學生可由舊經驗具體化操弄連結至新知識，從情境活動中建立新概念，有助於學習者數學概念的形成，鑑於此，本研究是以 APOS 為理論架構，分析四年級學生「整數四則運算」單元教學內容的知識結構，據以設計認知診斷與適性補救教學動畫，並使用郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞（2014）研發之「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為平台，針對學生本單元應習得之認知概念予以補救。. 貳、認知衝突理論有研究指出一旦學生的迷思概念形成後，要讓學生改變既有的概念是相當困難的事，故當學生有迷思概念時，要即早予以破除，以利後續數學概念的學習（邱. 28.

(43) 慧珍，2002）。但要根除學生迷思，首先的要務是診斷出學生的迷思概念。「診斷」(diagnosis) 原為醫學用語，在數學教學上使用「診斷」的概念，主要強調教師在教學過程中需先診斷出學生的迷思概念，再以其迷思概念製造認知衝突的情境，使學生察覺本身的錯誤，進而改變其原有的認知概念（劉曼麗，2005）。所謂「認知衝突」是指當心智發展過程中之認知概念與實際情境不符時，而心理產生之衝突或不平衡（劉曼麗，2005），而認知衝突在診斷教學的研究中，扮演相當重要的地位（尤怡雯，2011）。國外學者Bell (1993) 指出教師在數學教學時，如能針對學生產生的問題，診斷出其迷思概念，並設計能引起認知衝突的活動，再予以討論、澄清，將有效地破除學生的迷思概念。此教學理念與Piaget (1964) 的認知發展理論相符合，他認為個體經過不斷地同化 (assimilation) 和調整 (accommodation) 的歷程來配合外界事務或適應環境，診斷教學就是利用某些適當的情境來誘發學生產生認知衝突，讓學生發現自己的認知已無法解決目前的問題，或對現有的想法產生疑慮，進而調整認知，重新建立新的構概念。此外，Case (1978) 認為運用診斷教學策略，可以有效根除學童的迷思概念，讓學生能主動察覺到自己的錯誤，造成本身在認知上的不平衡，進而調整為正確的概念。在國內也有許多改變迷思概念相關的診斷教學實證研究，林福來（1999）和劉曼麗（2005）指出：在教學中需使用診斷策略發現學生的迷思，再經由認知衝突的設計及迷思概念的澄清，使學生改變迷思概念。有學者之研究也提出以認知衝突所進行的教學，學生的迷思得以破除，並能有顯著的學習成效（尤怡雯，2011；林筱娟，2011；林玉華，2013；簡青瑜，2013）。基於認知衝突能有效破除學生的迷思概念，本研究在學生迷思概念的根除上，採用劉曼麗（2005）提出之認知衝突的五種策略，分別是二對一法、反向法、一. 29.

(44) 對多法、引入參考值法和表徵法，依序介紹如下表2-14所示，其中包括研究者參考劉曼麗小數診斷教學改編的例題及研究者編製的例題：表2-14 製造認知衝突的策略及舉例說明（修改自劉曼麗，2005）策略二對一法. 圖示. 舉例說明對於學生回答題目Q1 的錯誤答案A，再舉另一題目. Q 2 ，使其答案也是A，以製造認知衝突。舉例如下（除法問題）. Q1 ：老師有3顆糖，平分給6個學生，每人得到幾顆糖？. A ：2顆。 Q 2 ：老師有6顆糖，平分給3個學生，每人得到幾顆糖？. A ：2顆。反向法. 對於學生回答題目Q1 的錯誤答案A1 ，再由A1 的答案以題目Q2 反問回去，得到答案A2 ，並對照原問. 題Q1 ，以製造認知衝突。. 舉例如下（小數與分數的互換問題） Q1 ：0.75化成分數是多少？. A1 ：. 75. 。. 1000. Q2 ：. 75. 1000. 化成小數是多少？. A2 ：0.075。. 30. （續下頁）.

(45) 表2-14 製造認知衝突的策略及舉例說明（修改自劉曼麗，2005）（續 1）一對多法. 對於同一問題Q1 ，學生出現若干答案A1 、A2 、. A3 …，透過學生間的質疑辯證，以製造認知衝突。. 舉例如下（單複名數轉換問題）. Q1 ：1公升5毫升是等於幾公升呢？ A1 ：1.5公升。. A2 ：1.05公升。. A3 ：1.005公升。引入參考值法. Q 2 ：辯證想法。. 對於學生錯誤答案A1，引入參考值R讓學生比較其. 答案A1 與R，以製造認知衝突。. 舉例如下（時間問題）. Q1 ：130分是幾時幾分？ A1 ：1小時30分。. Q 2 ：1小時30分有沒有比2小時多？ A2 ：沒有。. Q 2′ ：130分有沒有比2小時多？. A2′ ：有。. Q 2′′ ：1小時30分沒有比2小時多，130分比2小時多，130分轉換成幾時幾分，答案有可能是1 小時30分？ A2′′ ：不可能。. 31. （續下頁）.

(46) 表2-14 製造認知衝突的策略及舉例說明（修改自劉曼麗，2005）（續 2）表徵法. 對於學生錯誤答案A1 ，引入表徵R’的操作結果，. 來比較答案A1 ，以製造認知衝突。舉例如下（比大小問題）. Q1 ：0.35和0.5，誰比較大？. A1 ：0.35，因為35比5大。. Q 2 ：這是一張百格板，那0.35張百格板要拿哪些積木？. A2 ：3條橘色積木和5個白色積木。. Q 2′ ：那0.5張百格板要拿哪些積木呢？. A2′ ：5條橘色積木。. Q 2′′ ：誰比較多？. 備註：. A2′′ ：0.5比較多。. Q 𝑖 ：教師佈題，A𝑖 ：學生答案，R：參考值，R’：表徵。. Q1 ：佈題，Q 2 ：關鍵性的問話，以製造學習者的認知衝突。. 本研究採診斷教學先以電腦化測驗診測出學生的迷思概念，在迷思概念的破. 除上，參照上述五種製造認知衝突的策略，使用郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞（2014）研發之「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為平台，設計迷思診斷與適性補救教學動畫，針對個別的迷思予以澄清，並再進一步提供相似題型的題目鞏固學生已習得的概念，使學生不再產生迷思。由於本單元是「整數四則運算」，動畫教學內容上以生活情境題為主，讓學生透過日常生活的具體情境，處理兩步驟問題，並了解併式的記法與計算，解題時，除了算式要正確，計算也求無誤，. 32.