研究者利用自編的「比例推理試題」，對研究者任教學校的七年級學生進行 施測。發出比例推理前測試題 200 份，分三個時段進行施測，收回有效試卷共 194 份（三卷皆完成者，視為有效試題）。有效試卷中，A、B、C、D、E、F 各 分卷的測驗人數統計如下表 4-1 所示。
表 4-1
有效試卷之各分卷的測驗人數分配
701 702 703 704 705 706 707 708 合計 回收率 A 卷 5 4 3 2 4 4 5 4 31 0.94 B 卷 4 4 4 4 4 4 5 5 34 1.00 C 卷 4 5 4 3 4 4 4 5 33 0.97 D 卷 4 4 5 4 4 3 3 5 32 0.97 E 卷 4 3 4 4 4 5 4 5 33 0.97 F 卷 4 3 4 2 4 5 4 5 31 0.97 合計 25 23 24 19 24 25 25 29 194 0.97
研究者根據學生的答題情形，進行分析、訪談，整理出所有受試學生在比例 推理解題的結果，分別說明如下：
一、分卷施測順序對解題表現之影響 1.098，p＝0.328，未達顯著水準。
為了進一步瞭解各分卷與數字結構，以及各分卷與語意結構之間的交互作用，
根據學者之研究，學童解比例問題之成功與否，深受問題情境中數字關係的
第Ⅱ式的難度平均分布在 0.80～0.86 之間，而第Ⅲ式的難度平均則分布在 0.65 未達顯著水準。而受試者間各分卷的主要效果分析發現，F 值為 0.157，p=0.978，
顯示各分卷對於語意結構的答題情況並沒有顯著差異。但受試者內四種語意結構
分卷在不同語意結構下的答對率，並將其結果整理如下表 4-4 所示。
由上表 4-4 可得知，關聯的集合的難度平均分布在 0.84～0.86 之間，部分-部分-全體的難度平均分布在 0.70～0.80 之間，熟知的量數的難度平均分布在 0.77～0.82 之間，而擴大與縮小的難度平均則分布在 0.70～0.75 之間。由此可看 出在同一種語意結構中，各分卷的答對率都很接近。另外，從表中還可發現除了
（三）小結
綜上所述，在同一數字結構中，A、B、C、D、E、F 各分卷的答題情況，
並無顯著差異。同時，在同一語意結構之下，各分卷的答題情況，也沒有顯著差 異。因此，本研究之後的數據資料統計，都將各分卷的答題狀況合併計算，再做 討論及分析。
二、數字結構與語意結構對解題表現之影響
根據國內外學者的研究，可發現學生對於不同語意結構或者不同數字結構的 比例推理問題，其解題表現會有差異。因此，研究者也想要瞭解數字結構與語意 結構對比例推理解題的影響。由表 4-2 可知，語意結構與數字結構兩自變項的交 互效果，F 值為 10.510，顯著性 p=0.000，可知已達顯著水準。而語意結構變項 的主要效果檢定，顯著性 p=0.000，可知有顯著的效果；同時數字結構變項的主 要效果檢定，顯著性 p=0.000，也有顯著的效果。從上述檢定的結果，發現語意 結構與數字結構對於比例推理解題都會有顯著影響。接下來研究者將分別探討數 字結構在不同語意結構下，對學生推理表現的影響。以及語意結構在不同數字結 構下，對學生推理表現的影響。
（一）數字結構在不同語意結構下，對學生推理表現的影響
研究者想進一步瞭解，當教師在課堂上教學或者出題時，對於所面對的教學 主題或語意結構，搭配不一樣的數字結構，對於解題表現會有何差異。如此一來，
可讓教師在教學或出題時，能夠選擇較適當且符合教學目標或評量目標的數字結 構。
根據上述理由，研究者接下來將固定各個語意結構，來分別檢驗學生在不同 數字結構下的推理表現有何差異。
研究者先統計各語意結構在不同數字結構中的描述性統計數據，分別將四種 語意結構下的三種數字結構之平均答對題數、標準差及變異數，統計如下表 4-5 所示。
表 4-5
各語意結構在不同數字結構中的描述性統計資料（N＝194）
語意結構 數字結構（題數） 統計數
答對題數 標準差 變異數
關聯的集合
第 I 式（3） 2.81 0.545 0.297 第Ⅱ式（3） 2.64 0.708 0.501 第Ⅲ式（3） 2.19 1.229 1.509
部分-部分-全體
第 I 式（3） 2.35 0.900 0.809 第Ⅱ式（3） 2.55 0.887 0.787 第Ⅲ式（3） 1.97 1.271 1.616
熟知的量數
第 I 式（3） 2.74 0.598 0.358 第Ⅱ式（3） 2.48 0.859 0.738 第Ⅲ式（3） 1.98 1.242 1.544
擴大與縮小
第 I 式（3） 2.49 0.923 0.852 第Ⅱ式（3） 2.23 1.019 1.039 第Ⅲ式（3） 1.82 1.247 1.555
為了方便比較，研究者將上述表格中，在四種不同語意結構下之三種數字結 構的答對題數，繪製成折線圖，如下圖 4-3 所示。
圖 4-3
表 4-6
部分-部分-全體各題的答對率（N＝194）
第 4 題 第 5 題 第 6 題 第 I 式 0.86 0.86 0.62 第Ⅱ式 0.82 0.81 0.91 第Ⅲ式 0.68 0.66 0.62
從表 4-6 之答對率可發現，同一種數字結構的各題答對率差不多，但第 I 式 的的第 6 題答對率明顯低於同一語意結構的另外兩題。另外，第 I 式的第 6 題在 所有受試者 194 人中，有 73 人作答錯誤；其中有 47 人都算出相同的錯誤答案，
佔答錯者的 64％。算出相同但錯誤答案的學生，其算式多為『9：3＝15：x，其 中 x 為題目要求的未知數』。
從上述列式可發現，他們應該都是將 15 當作是箱子裡球的總數，而非黃球 的數量。為了更進一步確認列出此算式的原因，研究者便隨機訪談其中五位，讓 他們看自己當時寫的計算過程，請他們依據計算過程，回想當初作答時的想法。
結果，他們都不約而同地表示當時應該是看錯題目，誤以為『箱子裡有 15 顆球，
要求箱子裡有幾顆黃球。』
為了更進一步瞭解是什麼原因造成這些學生看錯同一道題目，於是研究者將 第 I 式中，與此題同一語意結構的三道題目列於下表 4-7，藉以觀察彼此之間的 差異。
由表 4-7 可發現，在此語意結構中的第 4 題和第 5 題，題目所給的已知條件 都是前項，要求的都是後項。但是第 6 題的題目卻恰好相反，題目給的已知條件 是後項，而要求的是前項。也因此在同一種數字結構，且同一種語意結構之下，
學生若沒有看清楚題目，就容易誤以為是同一種類型，而導致錯誤。
表 4-7
題目所給的已知條件是黃球（後項）。研究者也分別統計了各分卷中，因誤解此 題題意而犯相同錯誤的人數，如下表 4-9 所示。
表 4-9
第 I 式第 6 題因誤解題意犯相同錯誤的人數統計（N＝47）
卷別 施測順序 人數（比率）
A 第 I 式→第Ⅱ式→第Ⅲ式 2（ 4％）
B 第 I 式→第Ⅲ式→第Ⅱ式 2（ 4％）
C 第Ⅱ式→第 I 式→第Ⅲ式 6（13％）
D 第Ⅱ式→第Ⅲ式→第 I 式 8（17％）
E 第Ⅲ式→第 I 式→第Ⅱ式 12（26％）
F 第Ⅲ式→第Ⅱ式→第 I 式 17（36％）
由表 4-9 可知，學生若先測完第Ⅱ式或第Ⅲ式，之後才測第 I 式的，此題因 誤解題意犯錯的比率較高，明顯受到既有印象的干擾。
綜上所述，在同一種語意結構之下，不同的數字結構的確對學生的推理表現，
有明顯的差異。換言之，在同一種語意結構之下，平均答對率大致上是第 I 式最 高，其次是第Ⅱ式，而第Ⅲ式答對率最低。因此，教師在教學或出題時，可依據 教學目標或評量目標，選擇適合的數字結構。例如，若評量目標是為了確認學生 對於某個問題情境是否瞭解，可選擇數字結構第 I 式，以避免學生因數字結構的 不熟悉，而影響解題。
（二）語意結構在不同數字結構下，對學生推理表現的影響
為了更方便比較彼此間的關係，而將上述表格中的平均答對題數，繪製成折
表 4-11
（三）小結
綜上所述，在比例推理解題時，語意結構與數字結構兩自變項的交互效果，
達顯著水準。且語意結構變項的主要效果檢定，有顯著的效果；同時數字結構變 項的主要效果檢定，也有顯著的效果。
在四種語意結構中，排除學生看錯題目導致答對率降低的狀況後，依照其三 種數字結構的平均答對題數，都是第 I 式最高，第Ⅱ式次之，而第Ⅲ式的平均答 對題數最低。顯示同一種語意結構之下，數字結構第 I 式對學生比例推理解題而 言，是最簡單的，而第Ⅲ式是相對較難的。
在三種數字結構中，同樣排除學生看錯題目導致答對率降低的狀況後，依據 其四種語意結構的平均答對題數，大致上都是關聯的集合最高，其次是部分-部 分-全體和熟知的量數，最低的則是擴大與縮小。由此顯示在同一種數字結構之 下，關聯的集合對學生比例推理解題而言，是最簡易的，而擴大與縮小則是相對 較難的語意結構。
當教師在教學或者出題測驗時，若使用關聯的集合搭配數字結構第 I 式，學 生的解題表現應該會是最好的。相反的，若是使用擴大與縮小搭配數字結構第Ⅲ 式，則對學生解題而言，是難度較高的。