國中七年級學生的數學比例推理問題之診斷與課中補救教學

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：楊凱琳博士. 國中七年級學生的數學比例推理問題之診斷與課中補救教學. 研究生：葉明芳. 中華民國一百零六年六月. I.

(2) 致謝能夠在今年順利如期完成論文，多虧了許多人適時的幫助與鼓勵，此時心中除了喜悅，更充滿了感謝。首先，要感謝指導教授楊凱琳老師這兩年來細心地指導與無私的傾囊相授。謝謝老師總是不厭其煩地與我討論、給我建議，並且幫助我尋求解決的方法，讓我少走許多冤枉路。在我撰寫論文遇到瓶頸時，適時地推我一把並給予我鼓勵。此外，還要感謝李源順老師與曹博盛老師，百忙之中還花費時間用心仔細地審視我的論文，並且提供許多寶貴的建議，讓這篇論文的架構更加完善、價值性更高。另外要感謝一起 meeting 的伙伴，雖然大家平日都在各自的工作崗位上努力，但仍能給予彼此關懷與適時的協助。同時，也感謝學校同事們的協助與配合，讓我前後兩次施測都能順利進行；另外還要感謝參與施測的學生們認真作答以及配合訪談。最後，要特別感謝家人們的支持與包容，以及好友們的關懷與鼓勵，才得以讓這本論文如期完成。再次感謝所有對這篇論文有幫助的人，謹將這份成果獻給你們。葉明芳. 謹誌. 2017 年 6 月. II.

(3) 摘要本研究旨在探討國中七年級學生在小學學習比與比例單元之後，尚未接觸國中比例單元之前，在不同的數字結構或語意結構之下，對於比例推理的解題表現。以及學生使用加法策略的比率，及其誤用加法策略的原因。研究者利用自編的「比例推理前測試題」，對基隆市某公立國中七年級學生進行施測。發出試題 200 份，收回有效試卷共 194 份。研究者藉由試題的解題過程，蒐集所需資料並加以分析探討。透過訪談瞭解學生解題錯誤之觀念，再據此設計補救教學活動，並進行課中補救教學。最後再利用研究者自編的「比例推理後測試題」進行施測，以探討補救教學前後之改變。研究結果概述如下：一、數字結構與語意結構對於比例推理解題表現的影響 1.在同一種語意結構之下，三種數字結構由簡易到困難依序是第 I 式、第Ⅱ 式，最難的是第Ⅲ式。 2.在同一種數字結構中，四種語意結構由簡易到困難依序為「關聯的集合」、「部分-部分-全體」以及「熟知的量數」，最難的則是「擴大與縮小」。二、加法策略的誤用情況 1.以數字結構而言，使用加法策略的情況主要集中於「第Ⅲ式」。 2.以語意結構而言，主要集中於「部分-部分-全體」及「擴大與縮小」兩種情境。 3.誤用加法策略的時機：（1）當題目中的數據不是整數倍，或者數據無法整除時，會使用加法策略。（2）遇到某些題目或語意結構，不管數據為何，都使用加法策略。（3）看不懂題目或不了解題意時，會使用加法策略。三、課中補救之成效 1.研究者任教班級後測的解題表現，與其他所有受試者相比，有顯著差異。 2.研究者任教班級後測相關類題的解題表現，優於其他所有受試者。 3.研究者任教班級後測相關類題使用加法策略者，明顯少於其他受試者。. 關鍵字（詞）：比例推理、課中補救. III.

(4) 目錄第壹章緒論 ................................................................................................................. 1 第一節問題背景與研究動機 ................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題 ................................................................... 3 第三節名詞界定 ....................................................................................... 4 第貳章文獻探討 ......................................................................................................... 5 第一節比例推理的實證研究 ................................................................... 5 第二節診斷教學 ..................................................................................... 29 第參章研究方法 ....................................................................................................... 33 第一節研究設計 ..................................................................................... 33 第二節第三節第四節. 研究對象 ..................................................................................... 34 研究工具 ..................................................................................... 35 研究過程 ..................................................................................... 49. 第五節研究限制 ..................................................................................... 52 第肆章研究結果之分析與探討 ............................................................................... 53 第一節數字結構與語意結構對於比例推理解題表現的影響 ............. 53 第二節加法策略的誤用比率 ................................................................. 69 第三節課中補救之前、後測分析比較 ................................................. 75 第伍章結論與建議 ................................................................................................... 92 第一節結論 ............................................................................................. 92 第二節建議 ............................................................................................. 96 參考文獻 ..................................................................................................................... 99 中文部分 ..................................................................................................... 99 英文部分 ................................................................................................... 101 附錄 ........................................................................................................................... 105 附錄一：《比例問題》A 卷...................................................................... 105 附錄二：《比例問題》B 卷 ...................................................................... 111 附錄三：《比例問題》C 卷 ...................................................................... 117 附錄四：《比例問題》D 卷...................................................................... 123 附錄五：《比例問題》E 卷 ...................................................................... 129 附錄六：《比例問題》F 卷 ...................................................................... 135 附錄七：《比例問題》後測 ..................................................................... 141 附錄八：補救教學活動教案 ................................................................... 144. IV.

(5) 表目錄表 2-1 比例問題類型對照表 ..................................................................... 16 表 2-2 INRC 群的邏輯關係表.................................................................... 17 表 3-1 數字結構原始分類表 ..................................................................... 35 表 3-2 比例推理試題發展階段--雙向細目表 .......................................... 36 表 3-3 比例推理試題（第一次修訂）雙向細目表 ................................. 37 表 3-4 數字結構正式分類表 ..................................................................... 38 表 3-5 比例推理前測試題之雙向細目表 ................................................. 39 表 3-6 各分卷的數字結構施測順序 ......................................................... 40 表 3-7 各分卷的測驗人數分配 ................................................................. 41 表 3-8 比例推理後測試題發展階段之雙向細目表 ................................. 43 表 3-9 比例推理試題（後測）的教學目標、評量目標與題號對照表 . 44 表 3-10 比例推理後測正式試題之雙向細目表 ....................................... 45 表 4-1 有效試卷之各分卷的測驗人數分配 ............................................. 53 表 4-2 各分卷與數字結構及語意結構之三因子變異數分析摘要表（N＝ 194） ................................................................................................... 54 表 4-3 各分卷在不同數字結構中的答對率（N＝194） ........................ 55 表 4-4 各分卷在不同語意結構中的答對率（N＝194） ........................ 57 表 4-5 各語意結構在不同數字結構中的描述性統計資料（N＝194） 60 表 4-6 部分-部分-全體各題的答對率（N＝194）.................................. 62 表 4-7 第 I 式部分-部分-全體之題目 ....................................................... 63 表 4-8 三種數字結構中部分-部分-全體之第 6 題題目 .......................... 63 表 4-9 第 I 式第 6 題因誤解題意犯相同錯誤的人數統計（N＝47） ... 64 表 4-10 各數字結構在不同語意結構中的描述性統計資料（N＝194） ............................................................................................................. 65 表 4-11 數字結構第 I 式，四種語意結構中各題的答對率 .................... 67 表 4-12 使用加法策略的人數及佔答錯者的比率（N＝194） .............. 70 表 4-13 數字結構第 I 式各題的答對率 .................................................... 75 表 4-14 數字結構第Ⅱ式各題的答對率 ................................................... 77. V.

(6) 表 4-15 數字結構第Ⅲ式各題的答對率 ................................................... 79 表 4-16 研究者任教班級 VS 其他所有受試者的前測答對率單因子變異數分析摘要表 ..................................................................................... 81 表 4-17 研究者任教班級之答對題數及其答對率 ................................... 82 表 4-18 比例推理後測試題之平均答對率 ............................................... 83 表 4-19 比例推理後測試題之答對率 ....................................................... 84 表 4-20 比例推理前、後測試題之答對率及其變化 ............................... 86 表 4-21 研究者任教班級與虛擬對照組之前、後測對應答題狀況 ....... 88 表 4-22 比例推理前、後測試題使用加法策略佔答錯者之比率及其變化 ............................................................................................................. 90. VI.

(7) 圖目錄圖 3-1 研究流程圖 ..................................................................................... 49 圖 4-1 各分卷在不同數字結構下的平均答對率折線圖 ......................... 56 圖 4-2 各分卷在不同語意結構下的平均答對率折線圖 ......................... 58 圖 4-3 各語意結構中，不同數字結構平均答對題數折線圖 ................. 61 圖 4-4 各數字結構中，不同語意結構的平均答對題數折線圖 ............. 66 圖 4-5 使用加法策略的人數折線圖(N＝194).......................................... 71 圖 4-6 加法策略佔答錯者的比率折線圖 ................................................. 73 圖 4-7 數字結構第 I 式各題答對率之折線圖 .......................................... 76 圖 4-8 數字結構第Ⅱ式各題答對率之折線圖 ......................................... 78 圖 4-9 數字結構第Ⅲ式各題答對率之折線圖 ......................................... 80 圖 4-10 比例推理後測試題之答對率折線圖 ........................................... 85 圖 4-11 比例推理前、後測試題答對率之變化 ....................................... 87 圖 4-12 比例推理前、後測試題使用加法策略佔答錯者之比率變化 ... 91. VII.

(8) 第壹章緒論本章共分為兩節，第一節為「問題背景與研究動機」；第二節為「研究目的與研究問題」。. 第一節問題背景與研究動機研究者任教國中數學多年來，教過許多形形色色的學生，看著學生們不斷地學習、進步與成長，讓平日辛苦教導的師長們感到無比欣慰。剛升上國中的學生們對於學習數學這科目，常常是擔憂或討厭多於學習新知識的喜悅，尤其是再次面對自己國小不擅長的單元更是如此；比例推理相關概念即是其中之一。國小六年級上學期時，介紹比和比值的意義及表示法、相等的比，並利用比和比值來解決相關的問題。六年級下學期，則是認識比例，並應用比例關係來進行長度和重量的實測活動，最後將比例應用到地圖比例尺的閱讀，以及圖形的放大和縮小。而國中七年級下學期會再次學到比例單元。原本以為經過國小六年級上、下學期比例單元的學習，學生們對於比例推理相關問題已經有一定程度的瞭解。但在研究者的教學經驗中，卻常發現學生對於比例推理的基本概念仍一知半解。當他們看到比例推理相關問題時，有些學生雖然能夠列出算式，並且算出答案，但若進一步詢問為何如此列式時，卻無法說明原因。再加上有的時候只是更改題目的敘述或問法，或者改變題目的數據，有些學生就又無所適從，認為這是新的題型而無法解題。造成上述現象的原因，一部分可能與其接觸到的教學方式息息相關。例如在教學時先介紹比例運算公式，然後再接觸比例推理試題，進行比例問題運算。這樣的教學模式，可能會使部分學生在面對比例推理相關試題時，流於公式的記憶與計算，卻不了解比例的基本概念，也因此無法判斷在哪些情況下可以使用比例觀念推理出答案。若在先備知識如此薄弱的狀況下繼續學習國中的課程，結果往往不如預期，且學生推理表現的落差會越來越大。研究者發現即使在課堂上針對以前學生常犯的錯誤，來特別提醒學生留意以避免其犯錯，卻往往成效不彰。雖然有些學生犯了幾次同樣錯誤後，能夠記取教訓，但有些學生卻沒有明顯改善。例如在「比與比例式」單元中，學生對於判斷「若 a：b＝2：3，則 a＝2 且 b＝3」是否正確時，. 1.

(9) 往往認為它是對的。即使研究者在教學過程中，已經一再地提醒此處的 a 和 b 並非定值，而 a＝2 且 b＝3 只是符合條件的其中一組答案，學生仍然會犯錯。基於此現象，研究者不禁懷疑，老師們認為學生學不會、聽不懂的部分，真的是造成學生表現不理想的原因嗎？是否我們關注的焦點並非學生真正遭遇的困難所在，而是另有原因？所以就算老師們一再說明，卻也無法解決其真正不懂之處，因此無法有效改善。若不先解決基本概念的疑惑，對於接下來的課程，恐怕只會越來越聽不懂、無法理解，導致程度落差越來越大。雖然學校每學期都會要求班上成績位於後百分之三十五的學生，做線上補救教學測驗。但研究者卻發現，學生常常沒做任何準備就去做測驗，測驗結束也沒有做任何相關後續的補救教學。而學校雖然有設立攜手班課後輔導，但因參加的學生大多數是資源班的孩子，而鮮少有來自普通班程度較差的學生。因此並未能如預期地有效解決各班級程度落後學生的問題。另外，根據林福來、郭汾派、林光賢(1986)在研究國中生的比例推理能力時，發現約有 16％的國中生會使用加法策略來處理比例問題。許多研究比例推理能力的學者，也都發現過學生使用加法策略的狀況，同時也很重視誤用加法策略的思考模式。因此，研究者希望能從文獻、教師的教學經驗，以及利用相關的比例推理試題，從學生答題的情況，來加以探討、分析其錯誤的原因。若能在正式學習國中比例單元之前，先瞭解學生不懂或觀念錯誤之處，而能在課堂中針對其不懂之處多做說明、舉例或練習，並將其錯誤觀念予以導正，應能夠使學生更順利地學習國中新課程。. 2.

(10) 第二節研究目的與研究問題根據上述研究動機，本節分為「研究目的」與「研究問題」兩個部分來說明。研究目的：本研究的目的，為探討國中七年級學生在小學學習比與比例單元之後，尚未接觸國中比例單元之前，在不同的數字結構或語意結構之下，對於比例推理的解題表現。同時也想瞭解學生使用加法策略的比率，及其誤用加法策略的原因。再針對錯誤的觀念進行課中補救，並探討其變化。研究問題： 1.不同的數字結構或語意結構，對於比例推理的解題表現有何不同？ 2.國中七年級學生在小學學習比與比例單元之後，有多少比率的學生會使用加法策略來解比例推理問題？ 3.經過課中補救教學活動之後，學生有何改變？. 3.

(11) 第三節名詞界定一、數字結構：本研究所指的數字結構，係指能將比例推理問題之數字寫成「a：b＝c：x」的型式，並依比值型態作為分類的依據。本研究將比例推理問題之數字結構，分為第 I 式、第Ⅱ式及第 Ⅲ式。二、語意結構：本研究所指的語意結構，係指將比例推理問題依照語意的不同，將其對等關係予以分類。本研究將比例推理問題之語意結構，分為關聯的集合、部分-部分-全體、熟知的量數及擴大與縮小四種類型。三、課中補救：本研究所指的課中補救，係指由研究者在進行比例單元正式課程之前，先利用自編的比例推理前測試題，分析診斷學生的答題狀況及解題策略，並根據診斷結果設計補救教學活動。在正式課程中融入診斷教學的概念，藉由師生問答（特別針對具有錯誤認知的學生）的方式，製造認知衝突的情境，讓學生自己發現錯誤，進而調整其錯誤認知。亦即在正式課程中進行補救教學活動，對象為全班學生。四、加法策略：本研究所指的加法策略，係指學生利用常數差來解決比例推理問題。例如「高 5 公尺的樹影子長 4 公尺，同時間有一棵樹高 7 公尺，則其影子有多少公尺？」中，學生會以影子長比樹長短 1 公尺（ 5  4  1），所以 7 公尺高的樹影子長度應該是 6 公尺來解題（ 7  1  6 ）。五、先備知識：本研究所指的先備知識，係指學生在解比例推理問題時，所需具備的基本能力。亦即小學學過的因數、倍數及分數概念…等，都是解比例推理時須具備的前置經驗。. 4.

(12) 第貳章. 文獻探討. 本章共分為兩節，第一節為「比例推理的實證研究」，第二節為「診斷教學」。. 第一節比例推理的實證研究「比」是用來描述兩個量（A 和 B）之間存在特定倍數關係的表示法。在數學上，通常以「A：B」來表示此種對應關係。陳竹村等人（2002）也認為比是並置的兩對應關係量的紀錄。而 Hart（1981）則認為比是表示兩個數量之間比較的關係。而從比較的觀點來看，比可以表示兩個數量之間的一種關係，也可作為傳達相對大小的抽象意義的一種比較性指標（Lamon , 1995）。另外，「A：B」中將前項（A）除以後項（B），所得的商稱為「比值」，而比值通常以分數的形式來表示。多數學者認為「比例」是兩個比（或比值）成等價關係（Lamon , 1995；沈明勳、劉祥通，2002；陳竹村等人，2002）。而「比例推理」則是指利用各種方式，如圖表、推測、有理數等，去表現兩個簡單型態之間的關係（Lamon , 1999；。Lamon（1995）認為當學生能夠清楚說明兩個等價的比之間存 Lesh et al., 1988）在結構的關係，則具有比例推理能力。因此，具比例推理能力的學生應能夠說明及利用方法，來表現兩個相等的比之間的關係（莊玉如，2005）。比例推理不僅是學習數學的重要主題之一，同時也是日常生活中常使用的基本概念。對於學習更高層次的數學概念來說，比例推理可說是一項基礎的能力，同時，比例推理概念的建立，是基礎數學與學習高等數學的橋樑（沈明勳、劉祥通，2002）。而比例推理問題運用在日常生活的情境中時，則必須要有推論、預測和批判等能力（劉秋木，2002）。由此可知比例推理概念的重要性，因此，比例推理的教學也因而受到重視。雖然比例推理如此重要，但研究卻顯示，學生對於比例推理的學習常感到困難。許多成年人並不熟悉比例的概念（Capon & Kuhn，1979），而林福來（1984）的研究也指出，多數國中生對於處理比例問題亦有困難。因此，為了達到本研究的目的，研究者根據蒐集的比例推理文獻，整理與本研究相關的理論與實證研究，分述如下：. 5.

(13) 一、解比例問題需具備的基本能力在數學的解題過程中，解題者本身是否具備足夠的學識能力，與是否能夠成功解題是息息相關的。Inhelder ＆ Piaget（1958）將比例推理能力視為形式運思期的試金石。學童解題時，除了需要有比例的相關知識為基礎之外，還需要有相關的能力配合才行，例如相對思考能力和單位化能力等（傅宗聖，2006）。Lamon （1997）認為相對的思考和比值的單位化能力是解比例問題的兩個重要思考策略。從知識論的層面來看，數學概念的構成具有嚴謹且複雜的邏輯結構體系，而從比例概念的結構，亦與乘、除法及其他概念有密切的相關（魏金財，1992）。綜上所述，研究者整理相關文獻，將學生解比例問題時，需具備的基本知識與能力，分為因數和倍數的概念、等值分數的基礎概念、熟悉乘除法的問題情境、有理數的相關概念、相對的思考能力以及單位化和基準化的能力。分述如下：（一）因數和倍數的概念學生在比例問題的解題過程中，常常可以利用因數和倍數的概念來解決問題。 Lo 與 Watanabe（1997）的研究結果顯示，因數和倍數是解比例問題成功與否的知識基礎。以「12 元可買 8 顆糖果，9 元可買幾顆糖果？」為例，學生利用嘗試錯誤的方法，先將 12 元分成 4 份，每一份有 3 元；再將糖果 8 顆也分成 4 份，每份有 2 顆。如此將錢和糖果都平分成 4 份後，再以疊加的方式用 3 元買 2 顆、 6 元買 4 顆、9 元買 6 顆來完成解題。如果學生具備因數的概念，就可以先從 12 和 8 的因數中，找出共同的因數；或者直接求出 12 和 8 的公因數，可以縮短嘗試錯誤的時間。另外，劉祥通和周立勳（1999）也強調，解比例問題往往是要先做除法再做乘法，也就是解因數和倍數的問題。因此，因數和倍數概念可算是比例概念的基石。（二）等值分數的基礎概念在關於探討國小學童比例問題之解題策略的研究中，傅宗聖（2006）指出，等值分數是比例概念的基礎，而約分和擴分是通分的必要手段，也是比例概念中有關分數的知識基礎。約分活動是將量數縮小的問題；擴分活動是將量數放大的問題，而比例尺的放大縮小問題，則和兒童的相似概念有關係。. 6.

(14) （三）熟悉乘除法的問題情境比例推理能力和乘除法的關係密切，而日常生活中，有許多問題情境隱含著乘除法的結構，尤其是在比和比例的情境中更是如此（Vergnaud , 1983）。Vergnaud 提出以乘法概念域的觀點，來思考比、比例、分數、因數、倍數、速率、函數等概念均隸屬其中，並將其視為完整的乘法結構。Lo 和 Watanabe（1997）更進一步提出，發展比例基模時所需的數學知識中，包含乘除法的數的結構、多位數乘除法、熟悉各種乘除法情境、乘除法算式的意義，及整合前述四項之有理數概念的整體發展五項。其研究結果支持 Vergnaud 的說法，認為比和比例概念的發展，內嵌於乘法概念體的發展之內。學生若不能熟悉乘除法的問題時，對於比例問題就無法順利的解題。許多學生在解比例問題時，因不夠瞭解加、減、乘、除四則運算的意義，常會根據題目的關鍵字作為解題的方向。例如：看到「共」，直覺反應就會使用加法；看到「相差」，就會用減法；看到「多少倍」，則選擇使用除法。在解比例問題時，必須根據乘除法的情境，瞭解什麼時候該用乘法，什麼時候則必須使用除法來解題。有許多學生在解比例問題時，選擇使用疊加的方式來嘗試解題。而乘法的概念對於一般學生來說，認為乘法是一再重複的加法；當題目中的數據較小時，利用疊加法通常就可以順利解題，但是若題目中的數據較大時，要利用疊加完成解題，是較為困難且效率較低的。許多研究者（Steffe , 1988；Vergnaud , 1983）認為，加法和乘法之間是有差別的。乘法是一種更複雜的運算，而這種運算式由加法中，透過更高層次的抽象化歷程而來的。乘法結構雖然依賴加法結構而組成，但乘法結構有其內在的組織結構，而這種內在的組織架構是無法化約成加法結構的（Vergnaud , 1983）。除法問題一般區分為包含除問題及等分除問題，是單位量的轉化活動。甯自強（1993）認為，包含除是單位數未知的單位量轉換問題，而等分除則是新單位量未知的單位量轉換問題。因此，學生若能夠更熟悉乘除法的情境及架構，對於比例問題愈能夠順利解題。（四）有理數的相關概念許多學者認為比和比例包含在分數概念之中，例如 Kieren（1980）就將分數分成五個面向，比就是其中之一。而我們最常使用的分數類型，就是將它表示成. 7.

(15) 有理數的形式。有理數可視為部分-全體（part and whole）、商數（quotient）、比率（ratio）、運算子（operator）…等不同意義（Kieren , 1980）。然而大多數的學生對於分數的概念，卻只理解其中一、兩個意義，甚至從學生解比例問題時，發現許多學生只有部分-全體的觀點而已，無法以分數來表示兩個數量之間的倍數關係。另外，有些學生並不瞭解可以用分數來表示分數除不盡的概念（楊錦連，。例如：在解題的過程中若遇到「4 除以 3」時，部分學生在除不盡時就會 1999）直接放棄，卻不知可以用分數的形式來表示除不盡的結果。由此可見，分數概念的不完整，造成學生以除法運算來求解時遇到困難，以致於影響學生解比例問題的成敗。（五）相對的思考能力所謂相對的思考能力是表示學生可以瞭解問題情境中數量關係的相對性。而相對思考能力對於解比例問題是一項重要的基礎，因為比例是一種比較性的指標，表示一個數量與另一個數量之間的關係，而不是單獨一個數量的改變而已（Lamon , 1995）。而比是表示一個數值對於另一個數值的相對大小，而相對正是比例問題中最重要的概念（鄭英豪，1990；Lamon , 1995）。舉例來說，第一次段考數學成績甲生考 70 分，乙生考 50 分。經過一個多月的努力，第二次段考兩個人都進步了 20 分。若以絕對思考的觀點來看，兩個人都進步了 20 分，似乎進步 2 的情況是相同的；但是，若以相對的觀點來看，甲生增加的分數是原本的，而 7. 乙生是原本分數的. 2 2 2 ，因為  ，所以應該說乙生進步的幅度比甲生還要大。 5 7 5. 由此可知，相對思考能力是解比例問題重要的基礎，也是必要的能力。（六）單位化和基準化的能力單位化的能力就是在解比例問題時，先求出單位量，再利用單位量來解題。例如：「若汽車每行駛 5 公里需消耗 60 公升汽油，那麼汽車行駛 3 公里則需要多少公升汽油？」。若學生能先算出汽車每公里需消耗 12 公升汽油（ 60  5  12 ），再以 12 這個單位量，算出 3 公里需要 36 公升汽油（ 12  3  36 ）。像這樣就可以說學生具有單位化的能力。 Freudenthal（1983）認為，基準化是描述以一個固定單位或標準單位重新概. 8.

(16) 念化一個系統。他曾提出一個例子，「若將地球大小想像成一根針頭那樣大（約 1 公釐），然後根據這樣的定義，重新看待整個太陽系的大小。那麼太陽就變成直徑只有 10 公分的球體，而太陽與地球的距離就只有 10 公尺。」像這樣以一個單位量來推算其他量的方法，就是一種基準化的過程。從比例推理的觀點而言，就是利用等比例縮小的方式來解題。學者劉祥通（2004）也指出基準化能力是解比例問題成功與否的關鍵。. 9.

(17) 二、比例推理之解題策略學生在解題過程中，所選擇的解題策略關係到解題的成功與否。若選擇正確的策略，則可成功解題；但若使用錯誤的方法，往往導致解題失敗。綜合學者的研究發現，學生面對比例問題的解題策略，可分成正確及錯誤的解題策略兩方面來看。分述如下：（一）正確的解題策略綜合學者的研究可發現，正確的解題策略包括單價法、倍數法、累加法、數量分解法、公式法、公因數法及公倍數法等七類，分別整理分析如下： 1.單價法在解比例問題的過程中，先求出單位量，再將單位量乘以單位數，這樣的解題方式就稱為單價法（何意中，1988；陳英傑，1992）。例如「買 3 顆糖果需要 15 元，則買 5 顆糖果需要多少錢？」中，先以 15  3  5 ，算出一顆糖果要 5 元，再以 5  5  25 ，算出 5 顆糖果需要 25 元。即是利用單價法來解題。 2.倍數法當學生先算出比例式中兩個前項（後項）之間的倍數關係，再將此倍數擴充到後項（前項）的方式來解題時，就稱之為倍數法。例如「買 3 顆糖果需要 10 元，則買 9 顆糖果需要多少錢？」中，先以 9  3  3 ，算出 9 顆糖果是 3 顆糖果的 3 倍，而 10 元的 3 倍是 30 元，因而算出 9 顆糖果需要 30 元。即是利用倍數法來解題。 3.累加法學生解比例問題時，將比例問題列成「A：B＝C：D」的關係式，由一個比率關係擴充到第二個比率關係。也就是說，學生藉由連續相加的方法來建立比例關係，這種策略就是累加法。例如「買 2 顆糖果需要 5 元，則買 6 顆糖果需要多少錢？」中，利用 2 顆糖果要 15 元，那麼 4 顆糖果要 10 元，6 顆糖果則需要 15 元來解題。學生對於較簡單的問題，使用累加法通常可以成功的解題，但是，當比例問題中出現非整數倍的狀況時，例如「買 4 顆糖果需要 6 元，則買 10 顆糖果需要多少錢？」，通常只有少數學生可以成功地利用累加法來解非整數比率的問題（Hart , 1981）。. 10.

(18) 4.數量分解法在解題過程中，將比例問題中的量數分解為兩個以上的量數，再加以組合的解題策略，就稱為數量分解法。例如在 Vergnaud（1983）的研究中，學童解「放熱器運轉 32 小時消耗 8 公升的汽油，那麼運轉 104 小時會消耗多少公升的汽油？」的過程中，先將 104 分解為 96  8 ，亦即為 3  32 . 1 1  32 ，再利用 3  8   8 計 4 4. 算出 24  2  26 ，因此運轉 104 小時會消耗 26 公升的汽油。即是利用數量分解法來解題。 5.公式法在 A：B＝C：□的比例問題情境中，學生利用公式「內項乘積等於外項乘積」，來求出比例式中的□之值。通常是在國小高年級才會接觸到這種運用比例關係式來解題的方法。利用公式法來求解，雖然可以提升解題的效率，但卻容易使學生形成公式化的記憶，而忽略對比例問題的理解，對國小學生而言過於抽象。大多數的學者認為，公式法可能無助於初期比例概念的發展，對比例概念的瞭解並無太大的幫助，在教材引入上不宜太早。因此教育部 1993 年公佈的課程標準所編訂之教材分析，並不建議將其放入國小教材。 6.公因數法當比例問題情境中的數字關係為非整數倍，且數值間具有公因數時，學生可利用分組的方式，找出共同的因素來解題。例如「若 12 元可買 8 顆糖果，則 9 元可買幾顆糖果？」中，學生利用嘗試錯誤的方法，先將 12 元分成 4 份，每一份有 3 元；再將糖果 8 顆也分成 4 份，每份有 2 顆。如此將錢和糖果都平分成 4 份後，得知 3 元可買 2 顆，再以疊加的方式用 3 元買 2 顆、6 元買 4 顆、9 元買 6 顆來完成解題。這樣的作法其實是找出 12 和 8 的公因數 4 來縮短解題過程，也就是利用因數的概念來解比例問題。 7.公倍數法公倍數就是將兩個比放大到一個共同的倍數，來進行解題的方法。也就是說，先找到比例問題中，兩個比的前項（或後項）之共同的倍數，再將兩個比放大至共同倍數，接著比較兩個比的後項（或前項）的大小，即是採用公倍數法來解題（Hoffer , 1992）。例如「甲商店 9 顆糖果賣 20 元，乙商店 10 顆糖果賣 25 元，. 11.

(19) 哪一家較便宜？」中，學生的作法是先找出 20 和 25 的公倍數 100，接著將之放大至 100，如下所示：甲商店. 乙商店. 9 顆→20 元. 10 顆→25 元. 45 顆→100 元. 40 顆→100 元. 由以上列式可看出，同樣 100 元在甲商店可以買 45 顆糖果，在乙商店只能買到 40 顆糖果，所以甲商店比較便宜。這是利用相同的價錢，可以購買的數量越多，即表示較為便宜的想法。由此可知，學生如果能夠利用公倍數的觀念來解題，則在非整數倍的比例問題中，可避免分數或小數的計算。. （二）錯誤的解題策略綜合學者的研究可發現，學童常犯的錯誤解題策略包括加法策略、忽略問題部分資訊、任意的運算、誤解題意及計算錯誤等五類。分別整理分析如下： 1.加法策略加法策略又稱為常數差策略，當學生在整數比的問題中，以前述累加法策略成功解題後，會發展出加法策略來解決非整數比的問題（Hart , 1981）。例如「高 5 公尺的樹影子長 4 公尺，同時間有一棵樹高 7 公尺，則其影子有多少公尺？」中，學生會以影子長比樹長短 1 公尺（ 5  4  1），所以 7 公尺高的樹影子長度應該是 6 公尺來解題（ 7  1  6 ）。國內外許多學者之研究（林福來等人，1986a, 1986b ；Hart , 1981, 1982, 1988； Karplus , Pulos & Stage , 1983；Noelting , 1980a）均一致指出，學童會使用加法策略來解決比例問題。Karplus , Pulos 和 Stage（1983）認為學童使用加法策略，主要是為了克服題目的障礙。Hart（1982）則認為，學生使用加法策略是因為不會求比值、逃避使用乘法，或者對分數運算能力不足，而改以加法策略解題。 Hart 從學生的錯誤分析中發現，以加法策略解題的學生，主要是受到「乘就是重複相加」的既存觀念所致。Karplus 和 Hart 則認為加法策略是一種錯誤的解題策略，不是認知過程中必經的一站（林福來，1986）。. 12.

(20) 2.忽略問題部分資訊學童在解題時忽略了重要的資訊或數據，是學童在解比例問題時常出現的錯誤解題策略（Tourniaire & Pulos , 1985）。其中常見的是，學童只比較兩個比率的分子部分，而忽略分母部分的資料（Hart , 1981；Lesh et al. , 1988；Noelting , 。在 Noelting 的橘子汁問題研究中，當學生面對如「甲果汁是 1 杯橘子汁 1980b）加 2 杯水調製而成，乙果汁是 2 杯橘子汁加 5 杯水調製而成，哪一杯比較甜？」的問題時，有學生認為乙果汁比較甜，是因為其橘子汁的杯數比甲果汁多。這種只比較橘子汁的杯數，而忽略水的杯數的狀況，即可歸類為忽略部分資料的類型。 3.任意的運算沒有解題策略，只是隨意將題目中的數字，做加減乘除的運算，即為任意的運算（何意中，1988）。例如「10 公分長的鐵條重 3 公斤，同樣粗細的鐵條 15 公分，有多少公斤呢？」中，學生的解法可能是 10＋15－3＝22，但不知為何如此計算。 4.誤解題意將題目中的文字、數字錯置為另一類的文字或數字（何意中，1988；Tourniaire 。例如「買 3 顆糖果需要 10 元，則買 9 顆糖果需要多少錢？」中， & Pulos , 1985）學生誤將 10 元看成 16 元，而造成解題錯誤。 5.計算錯誤解題時，在四則運算過程中，發生計算錯誤或者粗心大意。. 13.

(21) 三、比例推理問題之型態分類許多學者指出，不同類型的比例問題，其難易度不同，學童的解題表現亦有差異。因此研究者將其主要的型態分類，整理如下所述：（一）數字結構數字關係一直是比例推理相關研究探討的主軸之一。國內外許多學者都致力於探討學童在不同數字關係下之解題表現，其研究（如林福來、郭汾派、林光賢， 1986a，1986b；翁宜青、劉祥通，2003；楊錦連，1999；Hart , 1981；Noelting , 1980a , 1980b 等）均一致指出，學童解比例問題之成功與否，深受問題情境中數字關係的影響。研究亦顯示，學童較擅長解決整數比的問題，對於非整數比的問題較感困難（Hart , 1981；Lo & Watanabe , 1997；Noelting , 1980a）。研究者綜合 Noelting（1980）、林福來等人（1986）、劉祥通與周立勳（1997）之研究發現，比例問題之數字可寫成「A：B＝C：X」的關係式，依比值型態可分成以下四種類型：第一式：B 和 C 都是 A 的整數倍。例如 2：4＝6：X 第二式：只有 B 是 A 的整數倍。例如 2：6＝5：X 第三式：只有 C 是 A 的整數倍。例如 2：5＝6：X 第四式：B 和 C 都不是 A 的整數倍。例如 2：3＝5：X Noelting（1980）發現學童在具體操作後期（約 10 歲 5 個月），能解決比值型態第一式的問題；形式操作前期的學童（約 12 歲 2 個月）能解決比值型態第二和第三式的問題；而形式操作後期（約 15 歲 10 個月）則能解決比值型態第四式的問題。楊錦連（1999）之研究指出，這四種比值型態題型之解題表現，由易而難分別是第一式、第二式、第三式、第四式。換言之，後比例項是前比例項的整數倍之題型，比非整數倍的題型容易。除了解題之難易度外，數字關係也會影響學童解題使用的策略（Lo & Watanabe , 1997）。例如在第二式中，學童較傾向於使用單價法，而第三式則傾向於使用倍數法來解題。. 14.

(22) （二）語意類型 Lamon（1993）依不同的語意結構將問題分為關聯的集合（Associated Sets）、部分-部分-全體（Part-Part-Whole）、熟知的量數（Well-Chunked Measures）及擴大與縮小（Stretchers and Shrinkers）四種情境。而周筱亭等人（2002）則依語意的不同，將對等關係分成交換問題、組合問題、母子問題、密度問題四種類型。台灣省國民教師研習會（1997）則依對等關係的不同，將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題、密度問題、伸縮問題五種類型。綜合國內外學者的研究，如下表 2-1，可發現國內學者的分類與 Lamon 之分類方式有許多重疊之處。例如交換問題和組合問題相當於關聯的集合、母子問題相當於部分-部分-全體、密度問題相當於熟知的量數，而伸縮問題則相當於擴大與縮小。根據楊錦連（1999）、劉祥通與周立勳（1997）之研究發現，國小六年級學童對於各類型的比例問題之解題表現中，交換問題和組合問題的解題表現，優於母子問題和密度問題。交換問題和組合問題之間沒有明顯差異；而在母子問題和密度問題之間，也沒有明顯差異。此外，根據魏宗明、劉祥通（2003）之研究發現，學童解題會受到問題情境之影響，較具生活經驗之問題情境，解題成功率較高。另外，Lamon（1993）之研究結果指出，放大與縮小問題對學童而言最為困難。. 15.

(23) 表 2-1 比例問題類型對照表 Lamon(1993). 國內學者. Associated Sets 交換問題（關聯的集合）組合問題. Well-Chunked Measures. (擴大與縮小). 兩個量數之間本沒有關係， Ghost Drops cost 3 for 10c: 經過問題陳述 how much would 15 cost ? 後，使產生關 how many could I buy for 80c? 聯者. 母子問題. 密度問題. 由兩個外延量所組合的比率關係，產生一個內含量的量數. 伸縮問題. 一個量數增加（縮小），另一 Two rectangles – 6 x 8 → ? x 12 個量數也增加 what is the height of the enlarged （縮小），且兩個量數之間有 rectangle? 固定的比值. (熟知的量數). Stretchers and Shrinkers. 舉例. 一個整體（集合）是由兩個 Green Paint = 1 blue: 3 yellow. 以上的部分集 “If I added two more blues, how 合所組成，而部分集合之間 much more yellow would I need?” 有比例關係. Part-Part-Whole. (部分-部分-全體). 意義. 160km in 2 hours; 360km in 4 hours – how long will it take to get to Adelaide (600km)?; at what speed am I travelling?. 資料來源：修改自傅宗聖（2006）。國小六年級學童比例問題之解題策略與成效分析（未出版之碩士論文）。國立臺南大學，臺南市。. 16.

(24) 四、比例推理之相關研究研究者將蒐集到比與比例相關之研究文獻，摘述如下：（一）Inhelder 與 Piaget 的研究 Inhelder 與 Piaget（1958）認為比例推理是形式運思能力的試金石，利用物理的平衡桿問題來探究比例推理能力，並將比例推理能力分成以下幾個層次（何意中，1988；陳英傑，1992）： 1.最低層的受試者，根本無法了解比例的問題。 2.用定性的解法（加法）：很少去考慮到兩個因素之間量的變化，常使用加法策略及常數差來解決比例問題。 3.前比例期（prepropotuonal solutions）：受試者使用加法策略，但是他們不使用常數差，而會直覺地認為數量增加，則差量也要增加才能保持平衡的關係存在。 4.邏輯比例期（logical proportions）：受試者能了解 INRC （Identity-Negation-Reciprocity-Correlativity）群的運作觀念，並能瞭解四項之間的邏輯關係。INRC 群的邏輯關係如下表 2-2 所示：表 2-2 INRC 群的邏輯關係表. I N R C. I. N. R. C. I N R C. N I C R. R C I N. C R N I. 資料來源：王文科（1983）。認知發展理論與教育：皮亞傑理論的應用。臺北市，五南。 5.測量比例期（metrical proportions）：受試者能將比例原則自由應用到所有的問題情境中。 Inhelder 與 Piaget 認為比例推理的發展是始於「定量」或「加法」的策略，然後發展出「前比例」運思，再發展出「邏輯比例」運思，最後發展到「測量比例」運思（翁宜青，2002）。因此，Inhelder 與 Piaget 的結構論主要在描述不同. 17.

(25) 階段內的能力，認為學童大約在 11 歲以後才逐漸發展比例推理能力（傅宗聖， 2006）。而李惠貞（1981）也發現我國的學童要到形式運思期才能發展出比例推理。然而後來有不少學者認為比例推理的能力，會因問題情境、數字型態、知覺干擾等因素，而表現不同的推理水準，不像 Piaget 理論所說的是一種總體性的能力，且要有形式運思能力才能表現出比例推理（呂宜玲，2001）。（二）Karplus、Pulos 與 Stage 的研究 Karplus 等人（1983）從「高先生、矮先生」的比例問題中，發現學童對於比例問題的反應有七種範疇（林福來，1984）： N：不會做任何說明。 I：直覺地或猜測式地回答。 IC：不合理地使用數據，表現不正確的推理。 A：知道使用所有數據，但應用「差」替代「比」，亦即使用加法策略。 S：知道是乘法運算，但乘的數錯了。 AS：加法和乘法混用。 P：正確使用比值。 Karplus 等人的研究結果與 Piaget 的研究結果相近（傅宗聖，2006）（三）Lamon 的研究 Lamon（1993）透過對沒有學過比例問題的六年級學童進行測驗及晤談，研究結果則是將比例推理的策略分成六種類型： 1.躲避：與問題沒有認真的互動。 2.視覺的或加法的策略：嘗試錯誤或沒有理由的視覺判斷反應，及錯誤的加法策略。 3.組型建構：在不瞭解數值間關係的情況下，依據兩個量數之間的粗略關係來作答。 4.前比例推理：直覺的以圖畫、模擬、操作等活動解題，能使用相對性關聯（relative）的思考。 5.質的比例推理：能以比為一個單位，使用關聯的思考且瞭解一些數值上的關係。. 18.

(26) 6.量的比例推理：理解比例的數量關係，瞭解函數和純量間的關係。 Lamon 將前三類歸為「無建設性」的策略，後三類則歸為「有建設性」的策略，並且強調相對性思考、單位化能力，以及可逆性思考對解比例問題的重要性（傅宗聖，2006）。（四）Noelting 的研究 Noelting（1980a , 1980b）以橘子水問題來研究比例推理能力，將題目中的兩種橘子汁分別以數對（a，b）與（c，d）表示，其中 a、c 代表橘子汁的杯數，而 b、d 代表水的杯數。並且將學童成功的解題策略分為內策略（within strategy）與外策略（between strategy）兩類。若學童是根據數對內 a 和 b 的關係，及 c 和 d 的關係來解題的，稱為內策略；若是根據 a、c 與 b、d 的關係就稱為外策略。 Noelting（1980）在橘子水問題的實驗中發現，除了形式操作後期的人外，其他各層次的人都可能使用加法策略。即比較兩壺橘子汁與水的杯數差，來決定哪一壺橘子水較濃（林福來、林光賢、郭汾派，1986）。 Noelting 也將比例推理的發展分為三個層次（何意中，1988；陳英傑，1992），如下所述： 1.操作前期（運思前期）：受試者只能夠比較兩項。 2.具體操作期（具體運思期）：受試者能夠用有序數對的共變來解決整數比的問題。 3.形式操作期（形式運思期）：受試者能夠比較任意比值的比例問題。（五）Streefland 的理論 Streefland（1985）認為比的學習需要一個長期的歷程，而這段長期的歷程有以下五個特徵： 1.從直觀的意義（notion），經由抽象化而形成概念。 2.已學過之學科內容的應用。 3.藉由多方面的方式學習比的概念，並強調內容和結構的變化。例如內比和外比。 4.在處理比的相關問題時，能從質的方式轉變到量的方式。 5.在矛盾和反省中，對已學得的學科內容所做的察覺。. 19.

(27) （六）林福來、郭汾派、林光賢（1986）的研究林福來等人將英國 CSMS 小組的比例試題（Hart , 1981b）中國化並且部分增刪，同時參考 Noelting（1980a , b）橘子汁問題的姊妹題「酸梅湯問題」，編製成比例概念試題，來研究國中生比的概念和比例推理能力的發展情形。研究發現約有 16％的國中生，一再地使用錯誤的加法策略來處理比例問題。因此進一步探討此類學生的解題特性，再根據認知衝突、具體操作圖像學習、電算器輔助學習及比例的新式皮亞傑教學法等學理，擬定一套補救教學教案，希望能幫助加法策略者改正其不正確的比例推理方法（林福來，郭汾派，林光賢，1986）。林福來等人（1986）根據學生筆測的表現與面談的結果，發現學生的解題策略包括公式法、單價法、倍數法、疊加法，以及去掉比值中 1：1 的等價量後再比較，此策略較複雜且容易出錯。另外還有機械式地比較兩比值的大小，但不知其所以然。而錯誤的解題策略則包括加法策略、資訊誤留、忽略資訊、加減法（不按比例增減，而是隨意加或減自己熟知的數型）、比例項錯置、圖形概念的差錯（包括封閉性、連通性以及相似、全等混淆）。林福來等人分析我國國中生的比例概念之了解層次，發現學生比例概念成長的情況如下所述： 1.第 0 層次的學生在國中階段，對比例概念了解的能力，增進的很有限，進步到第 1 層次或更上層的學生百分比不高。 2.國一到國二這一年，每一層次的學生往上一層次發展的百分比，大約在 2％到 4％之間，成長相當緩慢。 3.國二到國三這一年，成長顯著。從第 2 層起，分別有 10％、13％、16 ％的學生往更高層次發展。林福來等人將中、英學生比的概念及比例推理能力相互比較之後，發現以下現象： A.以試題難易度而言： 1.最簡易的比例問題，英國學生比我國學生表現好很多。造成此現象的原因說明如下：. 20.

(28) 1 解題習慣的不同：我國學生比較習慣在紙上列演算式計算，解題的習 ○. 慣偏機械化，比較不習慣在腦中思考、推理。而英國的學生會以折半疊加法來解題。 2 我國教學時較少處理操作型的問題，但英國的教材中，有很多操作型 ○. 的問題，例如 SMP 教材。因而造成我國學生因較不熟悉試題的情境，而表現較弱。 3 文字敘述題向來是我國學生較害怕的題型，尤其是低成就的學生更是 ○. 如此。但英國平常的教學相當強調解題活動，較能接受文字敘述題。 4 我國部分試題中，空白或亂猜的比例偏高，顯示有一大部分的學生是 ○. 放棄學習的。 2.大部分比例試題，我國學生比英國學生表現稍好。 3.試題根據難易度大小所排出的題目次序，我國與英國相當一致。 B.了解層次部分： 1.第 0 層次的百分比，我國遠高於英國。 2.第 1 層次的百分比，英國遠高於我國。若將第 0 及第 1 層次的學生歸類為低成就的學生，英國各年級的百分比都高我國 10％以上。且英國的低成就學生集中在第 1 層次，也就是大部分低成就學生還是可以成功處理有關 2 倍、3 倍或一半等倍數簡單，數值也簡單的問題，可是我國學生就不見得。 3.高層次的學生，我國遠多於英國。林福來等人（1986）從研究中，分析加法策略者的解題特性如下： 1.可處理一半、2 倍、3 倍等簡單倍數的比例問題。 2.不會求比值。 3.不會分數運算。 4.逃避乘法。. 21.

(29) （七）林淑美（1990）的研究以國中一、二年級學童為研究對象，探討學童對比例概念的瞭解狀況。主要的研究目的為：1.瞭解國中生處理反比例問題的過程與策略。2.嘗試建立反比例概念的了解層次。3.從學生的觀點來探討國中生對反比例概念的了解情形。研究所獲得的結論簡述如下： 1.學生的解題策略：（1）乘法策略－比例公式法、倍數法、單價法、計量推理法。加乘法混用－無單純之加法策略，只有加乘法混用之策略。（2）錯誤策略：乘法策略－誤用比例公式、比例項或比值錯置、錯誤單價法。加法策略－加法策略及數型之加減法。其他－忽略變因、資訊或數據。 2.處理比例問題的能力：（1）單一正比優於單一反比；（2）簡單倍數關係的兩正比合成之復比優於數值復雜的單一反比；（3）簡單倍數關係的正、反比合成之復比優於數值復雜的單一反比。 3.國中生反比例概念的了解大都只有定性的了解（即兩量中，一量增加，另一量就減少，則兩量就成反比）；而缺乏正確的定性定量的了解。（八）楊錦連（1999）的研究以國小高年級學童為研究對象，探討不同城鄉和年級的國小高年級學童，在不同數字型式和語意類型之比例問題的解題表現。研究所獲得的結論簡述如下： 1、數字型式比例問題的解題表現：（1）對國小五年級學童的困難度（由簡單到困難）：第一式（C 同時是 A 和 B 的整數倍）→第二式（B 是 A 的整數倍）→第三式（C 是 A 的整數倍）→第四式（C 不是 A 或 B 的整數倍）。（2）對國小六年級學童的困難度（由簡單到困難）：第一式→第二式→第三式→第四式。. 22.

(30) 2、語意類型比例問題的解題表現：（1）對國小五年級學童的困難度（由簡單到困難）：交換問題和組合問題 →密度問題→母子問題→伸縮問題。（2）對國小六年級學童的困難度（由簡單到困難）：交換問題和組合問題 →密度問題和母子問題→伸縮問題。 3、學童的解題策略僅有單價法、倍數法、疊加法、比例關係式和數量分解等五種策略。解題錯誤者大都以絕對思考方式解題。 4、低層次到高層次學童之數學知識和能力有其成長的軌跡：（1）層次 0 的學童具備約分和擴分的計算能力，經由提示會使用單價法。（2）層次一的學童具備約分和擴分的計算能力，會用單價法。（3）層次二的學童會用單價法，經由提示會用倍數法。（4）層次三的學童會用單價法和倍數法，比較習慣用單價法。（5）層次四的學童會用單價法和倍數法，經由提示會用倍數法來解相似圖形題。 5、有助於兒童解比例問題之先備知識和能力： (1)不受數字結構因素的影響： 1 數字較大時解題錯誤，數字變小則能發現倍數關係而解題成功。 ○ 2 非為整數倍時解題錯誤，整數倍時則解題成功。 ○. (2)能正確計算多位數的乘、除法問題，且不受除數小於被除數的錯誤概念影響。 (3)了解有理數概念的多義性，能明確的以分數表示除法的結果和除不盡的數。 (4)具有考量答案合理性的後設認知能力。 (5)以相對思考解決比例問題。 (6)了解單位量的意義。. 23.

(31) （九）翁宜青（2002）的研究採個案研究法，探討一位三年級學生解比例問題之表現，以及接受教學協助後的解題表現。研究包含以下三個時期： 1.簡單式比例問題的探討。 2.單位量為整數之多重式比例問題的探討。 3.單位量為分數之多重式比例問題的探討。研究所獲得的結論簡述如下： 1.在第一時期，他能以「疊加法」、「數量分解法」、「單價法」、「倍數法」策略解決四種比值型態之簡單式比例問題中的前三種。但是，因為尚未學過除法，因而不會使用「分數形式」表示兩數相除的結果，以致無法解比值型態第四式之簡單式比例題目。 2.在第二時期，他能以「倍數法」、「單價法」等策略解決十種比值型態之多重式比例問題中的前五種。 3.在第三時期，透過研究者提示協助，他能解決「數值型態」第四式的簡單式比例問題與十種比值型態之多重式比例問題中的其它三種問題。 4.在第三時期，為了幫助該生建立鷹架解決那些他無法解的問題，研究者鼓勵他使用外在表徵將他的想法視覺化。如果仍無法解題，研究者就提供他線索或具體材料幫助他解題。假如該生能獨立解題時，研究者就拆除鷹架並且讓他自行解題。（十）沈明勳、劉祥通（2002）的研究沈明勳與劉祥通認為比例概念非常重要，卻有許多研究發現很多成年人不熟悉比例的概念。而學生在數學知識的學習過程中，比例問題也算是國小學生的難題之一，因此，比例問題的教學就成為國小教師所應注意的重要課題。為了幫助教師解決教學上的難題，沈明勳、劉祥通從相關文獻中，介紹比例的意義、描述比例關係的本質、探索解比例推理時所需具備的基本能力、列出國小學生的解題策略，並進一步分析且歸納出影響學生解比例問題的相關因素。沈明勳與劉祥通根據文獻的解析提出了比例問題課程編排上與教學上之建議，簡述如下：. 24.

(32) 1、課程上的建議：（1）教材編排應注意概念的銜接和先備知識的建立。（2）對困難的素材類型，提供具體的日常生活情境於教材中。（3）有關幾何圖形的相似問題建議編入國中階段的正式數學課程中。 2、教學上的建議：（1）教學者認識比例關係的本質─共變與不變，以掌握學生的解題想法。（2）教學的原則是給學生解題在先，公式的介紹在後。（3）教學者清楚問題難易，提問或佈題依照由淺入深的原則。（4）設計系列教學活動以協助學生學習完整的數學概念。（十一）莊玉如（2005）的研究以國小四年級學童為研究對象，探討尚未接受過有關比及比例單元教學的國小四年級學童，在面對不同數字關係及不同題目型態的比例問題時之解題表現。研究所獲得的結論簡述如下： 1.未受過比例單元教學的學童，其解題表現與數字關係有密切關係：（1）學生解題依不同數字關係，呈現多元的解題策略。 1 在整數倍問題上，學生傾向於以「單價法」或「倍數法」 ○ 、「異於一為單. 位之單價法」策略解題。 2 在非整數倍問題上，出現較大的個別差異，除了「單價法」策略外，尚 ○. 出現「公因數法」、「公倍數法」及「自定參考點」等有效或有限制的策略，以及無效的策略解題。如「加法策略」及「比較餘數」的策略。（2）不論問題中的數字關係為何，單價法是學生最常用的解題策略。（3）學生在整數倍問題之解題成功率較高，在非整數倍問題時則較常解題失敗。 2.未受過比例單元教學的學童，其解題表現與題目型態有關：（1）不同題目型態的問題，其解題表現亦不同。（2）因解題需求不同，使用的策略亦異。 3.未受過比例單元教學的學童，其解題表現呈現多項特徵：（1）解題與經驗有關. 25.

(33) （2）解題策略之情境依賴性強（3）解題策略具非系統性。 4.未受過比例單元教學的學童，其認知歷程呈現多項特徵：（1）避開分數和小數的計算（2）解題思維受整數基模影響（3）選擇認知負荷少的策略來解題（4）部份策略之使用具普同性、部份策略則是個殊性的。（十二）傅宗聖（2006）的研究以國小六年級學童為研究對象，探討學童對研究者提出的比例問題類型之解題成效與差異。同時，分析學童比例問題之解題策略，並透過筆試測驗、半結構式晤談、統計考驗等方法蒐集資料與分析成效。研究所獲得的結論簡述如下： 1.經相依樣本 t 考驗，六年級學童在正向活動問題的解題表現優於逆向活動問題，而正向活動題解題表現愈好者，其逆向活動題之解題表現也愈好。 2.經共變數分析，學童在研究者分類之「包含除與等分除概念分類」問題作答上的答對率表現優劣分別是：第一式、第二式、第三式、第四式。在不同型式問題下，學童的解題表現有顯著差異存在。 3.在研究者的解題策略分類原則下，全體受試者中以「一對多」的解題策略成功解題的比例最高，其次為「倍數關係」的解題策略、「多對一」的解題策略，最低為「最簡單整數比」的解題策略。 4.經卡方考驗，不同程度的學童其解題策略的選擇有顯著差異存在。高分組學童在解比例問題時，會偏向以「倍數關係」策略來題解；中、低分組學童在解比例問題時，則會偏向以「一對多」策略來題解。（十三）李凱雯（2013）的研究以國小六年級學童為研究對象，探討與分析學童的比例問題解題策略概況。研究所獲得的結論簡述如下： 1.國小六年級學童在各比例問題類型解題策略各有不同。國小六年級學童在「比例問題情境」中對於各類型的難易程度（由簡單到. 26.

(34) 困難）為：「交換問題」→「密度問題」→「母子問題」、「伸縮問題」→「組合問題」 2.國小六年級學童之比例問題正確解題策略類型共有五種類型：（1）倍數法（2）單價法（3）數量分解法（4）公式法（5）累加法 3.國小六年級學童之比例問題解題錯誤策略類型共有十二種類型：（1）加法(常數)策略（2）忽略問題部份資訊（3）任意的運算（4）誤解題意（5）計算錯誤（6）母子問題類型不清楚（7）個數與重量的平衡觀念不清楚（8）不熟公式解題方法（9）公式前後項位置錯置（10）未計算完成（11）僅列式未計算（12）空白. 綜合以上與比例推理相關之文獻探討及相關研究分析可知，因數和倍數概念、等值分數概念、乘除法概念、有理數概念、相對思考能力及單位化和基準化能力，是學者們認為對學習比和比例概念有幫助的重要知識和能力。若學生缺乏上述基本知識或能力，將導致其面對比例問題時，很有可能無法用正確的解題策略來解題。而上述倍數法、單價法、累加法及公式法，是學生在面對比例問題時經常出現的解題策略。瞭解學生的解題策略，不論是正確的或者錯誤的解題策略，都有助於研究者在研究過程中，瞭解學生在解題過程所使用的策略。同時還能協助研究者在進行訪談時，對學生解題過程之掌握。另外，透過上述文獻分析，可知比. 27.

(35) 例問題類型、數字關係、未知數的位置、數值大小及題目的型態，都是影響學生比例問題解題的因素。瞭解影響解題的因素，有助於研究者在編製比例推理試題時，有參考的依據。同時，因考量到不同數字結構對學生的解題難易度不同，採用的解題策略也不同；而學生對問題情境之熟悉度，對其解題成功與否也有影響；再加上數值大小也會影響學生能否成功解題。也因此，研究者在設計比例推理試題時，特別留意題型的選擇、數字結構的不同、問題情境的設計以及數值的大小。希望能藉此降低其對研究對象解題之影響。. 28.

(36) 第二節診斷教學「診斷」（diagnosis）原本是醫學用語，其意義是指透過診察症候，以了解此症狀背後的根本原因，並作為消除此原因的依據（黃瑞煥、詹馨，1982）。近年來，國內外教育學者（Bell ,1993；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996）將診斷的概念應用在數學教學上，強調在教學過程中，教師需先診斷出學生的迷思概念，再針對迷思概念及學習者的個別需求和心理特性，製造出認知衝突的情境，使學生有機會主動察覺並承認自己的錯誤，進而調整其原有的認知（劉曼麗，2005）。國內已有許多有關如何改變迷思概念的診斷教學實證研究（李源順、林福來，1998； 2000；李源順，2002；劉曼麗，2005），研究結果大多指出診斷教學是破除學生迷思概念的有效教學策略。因此，若想在教學時排除學生的迷思概念或學習困難之處，可根據學者所提出的診斷教學之原理、步驟、教學模式…等，設計適合的教學活動。以下將列出國內外學者所提出的診斷教學相關理論： Onslow（1986）認為在進行診斷教學之前，必須仔細的分析學童主要的迷思概念，並提出診斷教學進行的三個步驟，分別說明如下： 1.開放性的活動：以具體的解題活動引出學生的錯誤概念。 2.認知衝突的討論：透過小組或全班共同討論，由學生對問題提出自己的想法交換意見，因而產生不同的認知衝突。 3.類似習題的練習：在開放性的活動和認知衝突的討論之後，再給予一些相似的練習題，藉以鞏固學生的概念。 Bell（1993）經過多年的研究之後，提出診斷教學法的理論特性如下： 1.呈現的問題活動，要和學生以前的學習經驗相連結。 2.選擇的問題，要涵蓋關鍵的概念和可能的錯誤概念。 3.設計的活動，要能引起有錯誤概念的學生的認知衝突。 4.提供學生正確性的回饋。 5.針對所要化解的衝突徹底討論，並且形成新的整合性知識結構。 6.在所討論的課題內形成關鍵性原則，利用進一步的問題作回饋，以鞏固學生的概念。 7.利用彈性的問題，確保不同初始概念瞭解層次的學生都有適當的挑戰性。. 29.

(37) 8.在未來的學習過程中，適時重返相同的概念點（包括利用不同的脈絡），直到產生持久且可遷移的瞭解。林福來、黃敏晃與呂玉琴（1992）提出診斷教學的原理如下： 1.教學設計之前，不僅要分析欲教的解題方法，同時要詳細敘述學生自己發展的解題策略。 2.教學設計要能凸顯學生自己發展的解題策略之侷限性，使欲教的解法有明顯的學習動機。 3.教學活動次序的安排，以及從多種解題策略中選取欲教的某種策略，原則上要盡量減低學生的工作記憶量。 4.學習過程中，學生要有資源可以自我檢查自己的答案是否正確，即一般所謂的立即回饋原則。 5.對於學生共同常犯的錯誤，教學設計務須使學生有機會主動察覺自己錯了，亦即產生認知衝突。林福來（1999）依據多年的教學研究，提出診斷教學三步驟：先診斷學生所犯的迷思概念、再針對學生的迷思概念製造認知衝突、最後進行調整學生的認知，為診斷教學提供了一個具體實施的方向（劉曼麗，2005）。李源順與林福來（2000）建議數學教師在教學過程中，使用溝通教學取向進行教學，學生就有機會在討論或演示數學的過程中，將其迷思概念呈現出來，而教師也能進一步診斷出學生解題想法背後的迷思概念，以作為下一步製造認知衝突的參考依據。由此可知，強調溝通討論的教學方式，對進行診斷教學而言是相當可行的（劉曼麗，2005）。陳明宏、呂玉琴（2005）認為診斷教學的目的主要在透過所設計的教學活動，讓學童發現自己的錯誤概念，促使學童改變其原始的錯誤概念，並使學生的概念調整正確，此即所謂的概念改變。其呈現的教學法如下： 1.BDEI 概念改變教學法 Hewson, M.G.,and Hewson, P.W.（1983）認為要改變學童的錯誤概念，必須先找出學童具有的錯誤概念，再利用概念改變策略進行教學。其教學方式是從學童的迷思概念出發，並依序使用概念溝橋（B）、區別（D）、替換（E）、整合（I）. 30.

(38) 等四個教學策略來進行教學，其中的替換策略即讓學童發現自己現存概念的不合適之處，並發現新概念更能解釋現象。 2.異例（discrepant event or anomaly）教學法 Tirosh and Stavy（1996 , 1999）透過「異例」來誘發學童在面臨數學問題時產生概念上的衝突，以糾正學童的錯誤概念。在教學上，希望經由此種認知衝突的歷程，學童可以察覺其既有知識和正統知識間的差異，藉此幫助學童重建其認知結構。其教學程序有製造暴露事件、引入異例、調整期等三階段。 3.新奇問題（novel problems）教學法 Niaz（1998）指出，若要讓學生產生概念改變，教師必須提出「新奇問題」讓學生來回答。因為處理該問題的過程必須涉及推理及討論，具有反省的效果，且較能引發學生的迷思概念，產生認知衝突，進而引起學生認知發展及重建認知基模系統的動機。 4.合作學習法合作學習是一種教學環境，可藉由個人和團體又因來促進學生從事結構化的作業，以增進小組成員間的幫助行為（Slavin , 1984）。而 Piaget , Inhelder , and Szeminska（1960 , 1970）則認為兩個認知實體之間的衝突可以導致認知的調整。. 綜合以上診斷教學理論及相關研究發現，多數學者提出的診斷教學基本原則大同小異。其教學活動設計之原則可整理成下列五項： 1.活動設計前應先設法瞭解學生的起點行為，進而診斷學生產生錯誤的原因，作為提供適當的教學策略之參考依據。 2.活動設計應設法凸顯學生認知的侷限性，使其認知產生衝突，進而產生認知調整的需求感。 3.提供具體的實物讓學生進行操作，使其有足夠的具體經驗，有利於抽象概念的理解。 4.教學時需秉持著立即回饋的原則，以鞏固學生的概念。 5.教學過程中不斷透過師生的對話，引出其原有的概念，進而促使學生概念. 31.

(39) 的改變。此外，診斷教學在活動的設計上，無論採異例或新奇問題；在教學策略上，無論採用個人解題或合作學習，其教學的核心都是要使學童原有的迷思概念與正式概念，在認知結構之交互作用下產生認知衝突，引起學童在認知結構上的不平衡，進而澄清、改變原有的迷思概念。因此，研究者將參考上述原則，並考量本研究之研究目的，及實施於課堂所需考慮的實際狀況，據此來設計本研究的補救教學活動。. 32.

(40) 第參章. 研究方法. 本章共分為五節，第一節為「研究設計」，第二節為「研究對象」，第三節為「研究工具」，第四節為「研究過程」，第五節為「研究限制」。. 第一節研究設計為了能夠在學生正式學習國中比例單元之前，先行瞭解學生的起點行為，及其所具備的基本能力或錯誤的觀念。因此，本研究第一階段主要是在發展「比例推理」前測試題，藉以瞭解國中七年級學生，在小學學習比例單元之後，在不同的數字結構或語意結構之下，對於比例推理的解題表現。當教學者瞭解學生具備哪些基本能力，或者存在哪些錯誤觀念、迷思概念之後，對於課堂的教學設計，更能夠因應需求而有所改變。第二階段則是根據比例推理前測試題分析之結果，進行補救教學，並探討其變化。因考量到要同時兼顧班級內其他學生及課程原有的進度，還有需補救之學生參與補救教學的時間和意願，因此選擇採用「課中補救教學」的模式。希望能在課堂之前先瞭解學生的起點行為、錯誤觀念，在課堂教學時，透過製造認知衝突，澄清錯誤觀念或者迷思概念。雖然課中補救教學的對象是全班學生，無法像一對一或小班教學那樣隨時針對個人的需求，而調整教學內容或說法。但應該也能讓其他觀念不甚清楚的學生，更加瞭解正確的概念。最後，針對國中比例單元之教學目標，及前測錯誤率較高的題目，編製比例推理後測試題，並進行施測，藉以探討與分析課中補救教學之成效。. 33.

(41) 第二節研究對象本研究主要分成兩個階段進行。第一階段為發展診斷性試題，旨在探討國中七年級學生在國小學習「比與比例」單元之後，且尚未接觸國中比例單元之前，在不同的數字結構或語意結構之下，對於比例推理的解題表現。本階段的研究對象為研究者於 104 學年度所任教基隆市某公立國中的七年級學生。該年級共有八個班，其中一班為體育班，共計有 206 位學生；扣除資源班學生 6 人後，共有 200 位學生。此外為了確認本試題的信度及其相關程度，另外找了背景、屬性與研究對象接近的基隆市另一所公立國中，七年級某三個班級共 73 位學生進行預試。比例單元是七年級下學期第二次段考的內容，而由於需在學生學習比例單元之前，完成前測的施測及統計分析等，因此前測問卷實施的時間選定為下學期開學後第二週施測。第二階段主要為研究者於比例單元的課堂教學中進行課中補救，進而探討課中補救之成效。故本階段的研究對象主要為研究者所任教的班級，該班級有 26 位學生，扣除資源班 1 人後，共計為 25 位學生。任教班級中有一位狀況較為特殊的學生，在該生七年級上學期時，各科表現皆明顯落後於其他同學。該生表示上課幾乎都聽不懂，只能跟著抄寫筆記。雖然曾經建議家長考慮是否進入資源班就讀，但因該生家長反對，因此只能留在原班級上課，學習表現一直未能有效提升。為了方便進行後續的相關研究與對照，後測的施測對象仍為該年度七年級的所有同學，扣除資源班學生 6 人後，共計 200 位學生。為了不影響學校進度與段考的準備，後測實施的時間，則是選定第二次段考後一週內施測。. 34.

(42) 第三節研究工具本研究主要以自編的「比例推理試題」為主要工具來蒐集所需的資料，藉以找出國中七年級學生在尚未接觸國中比例單元之前，有多少比率的學生會使用加法策略來解比例推理問題。而不同的數字結構或語意結構，對於比例推理的解題表現有何差異。一、「比例推理試題」前測之編製（一）比例推理試題發展階段研究者依據比例推理的教學目標蒐集彙整文獻資料、各家版本的教科書及本身和其他專家教師的教學經驗，自編比例推理試題。比例推理試題中，雖然研究者並未限制學生採用何種策略作答，但比例式中各項的比值關係會影響學生解題的難易度。學者（林福來、郭汾派、林光賢，1986a， 1986b；楊錦連，1999；劉祥通，2003；Hart,1981；Noelting, 1980a, 1980b 等）探討學生在不同數字結構之解題表現的研究，都指出學生解比例問題之成功與否，深受問題情境中數字結構的影響。根據劉祥通與周立勳（1997)的研究，可將比例式中數字的關係分為四種型式，如下表 3-1 所示：. 表 3-1 數字結構原始分類表數字結構. 定義. 舉例. 第一式. b 和 c 都是 a 的整數倍. 2：4＝6：x. 第二式. 只有 b 是 a 的整數倍. 2：6＝5：x. 第三式. 只有 c 是 a 的整數倍. 2：5＝6：x. 第四式. b 和 c 都不是 a 的整數倍. 2：3＝5：x. 註：比例式為「a：b＝c：x」. 35.