本研究主要以自編的「比例推理試題」為主要工具來蒐集所需的資料，藉以 找出國中七年級學生在尚未接觸國中比例單元之前，有多少比率的學生會使用加 法策略來解比例推理問題。而不同的數字結構或語意結構，對於比例推理的解題 表現有何差異。
一、「比例推理試題」前測之編製
（一）比例推理試題發展階段
研究者依據比例推理的教學目標蒐集彙整文獻資料、各家版本的教科書及本 身和其他專家教師的教學經驗，自編比例推理試題。
比例推理試題中，雖然研究者並未限制學生採用何種策略作答，但比例式中 各項的比值關係會影響學生解題的難易度。學者（林福來、郭汾派、林光賢，1986a，
1986b；楊錦連，1999；劉祥通，2003；Hart,1981；Noelting, 1980a, 1980b 等）
探討學生在不同數字結構之解題表現的研究，都指出學生解比例問題之成功與否，
深受問題情境中數字結構的影響。根據劉祥通與周立勳（1997)的研究，可將比 例式中數字的關係分為四種型式，如下表 3-1 所示：
表 3-1
數字結構原始分類表
數字結構 定義 舉例
第一式 b 和 c 都是 a 的整數倍 2：4＝6：x 第二式 只有 b 是 a 的整數倍 2：6＝5：x 第三式 只有 c 是 a 的整數倍 2：5＝6：x 第四式 b 和 c 都不是 a 的整數倍 2：3＝5：x 註：比例式為「a：b＝c：x」
根據周筱亭等人（2002）的研究，比例推理問題可依據語意結構的不同，
分成交換問題、組合問題、母子問題、密度問題及伸縮問題五個情境。研究者將 自編的比例推理試題依據上述數字結構及語意結構的不同，編列雙向細目表，如 下表 3-2 所示。
表 3-2
比例推理試題發展階段--雙向細目表
交換問題 組合問題 母子問題 密度問題 伸縮問題
第一式 6 9 13
第二式 1 11
第三式 2 4 10 8
第四式 3 5 7 12
（二）比例推理試題之第一次修訂
研究者最初是根據國內學者研究的分類及其舉例，將自編的比例推理試題予 以分類。而國外學者 Lamon(1993)則是將比例推理問題，分成關聯的集合
（Associated Sets）、部分-部分-全體（Part-Part-Whole）、熟知的量數
（Well-Chunked Measures）及擴大與縮小（Stretchers and Shrinkers）四大情境。
綜合國內外學者的研究，可以發現國內學者與 Lamon 的分類方式有重疊之處。
例如組合問題相當於關聯的集合、母子問題相當於部分-部分-全體、密度問題相 當於熟知的量數、伸縮問題則相當於擴大與縮小。
而依據楊錦連（1999）之研究，國小五年級學生在交換問題和組合問題的解 題通過率，分別是 52.9％及 53.3％，而六年級則是 68.2％及 70.0％。其研究顯示 出國小五、六年級學生對交換問題和組合問題的解題表現並無明顯差異。再加上 本研究的研究目的，是想瞭解學生在小學學習比例單元之後的解題表現，及其可 能會遇到的困難，並加以排除。因此研究者決定改用國外學者的分類方式，並將 交換問題併入關聯的集合中。
研究者為了後續的研究中，能夠探討與瞭解不同的語意結構與數字結構對解
Associated Sets
（關聯的集合）
Part-Part-Whole
（部分-部分-全體）
Well-Chunked Measures
（熟知的量數）
Stretchers and Shrinkers
（擴大與縮小） 3：24＝10：X
6 特製飲料 3：9＝5：X
10 速度 2：160＝X：300
14 影子長度 17：51＝25：X 第
三 式
3 購物 3：10＝15：X
7 球 10：3＝50：X
11 濃度 75：15＝300：X
15 照片 9：8＝162：X 第
四 式
4 兌換貨幣 14：50＝35：X
8 水果禮盒 12：8＝30：X
12 密度 27：18＝60：X
16 影子長度 5：4＝7：X
（三）比例推理試題之第二次修訂及預試
根據劉祥通與周立勳（1997）的研究，數字結構第二式的解題通過率為 64.0
％，而第三式的解題通過率則為 63.9％；研究顯示國小六年級學生對於數字結構
2003；Lamon, 1993）均指出，不同語意結構的比例問題，其難易度不同，學生 的解題表現也有差異。因此，研究者為了避免學生因對語意結構的不熟悉、對數
表 3-5
比例推理前測試題之雙向細目表
Associated Sets
（關聯的集合）
Part-Part-Whole
（部分-部分-全體）
Well-Chunked Measures
（熟知的量數）
Stretchers and Shrinkers
（擴大與縮小） 2：160＝6：X
I-10 放大縮小 5：10＝15：X I-2 購物
3：24＝6：X
I-5 特製飲料 3：6＝9：X
I-8 濃度 15：75＝30：X
I-11 照片 5：10＝90：X I-3 兌換貨幣
10：40＝100：X
I-6 球 3：9＝15：X
I-9 密度 10：40＝30：X
I-12 影子長度 3：240＝5：X
Ⅱ-10 放大縮小 4：8＝9：X
Ⅱ-2 購物 3：25＝12：X
Ⅱ-5 特製飲料 2：6＝3：X
Ⅱ-8 濃度 75：15＝150：X
Ⅱ-11 照片 9：8＝162：X
Ⅱ-3 兌換貨幣 10：40＝35：X
Ⅱ-6 球 10：3＝50：X
Ⅱ-9 密度 25：18＝50：X
Ⅱ-12 影子長度 10：25＝12：X
Ⅲ-7 速度 30：45＝80：X
Ⅲ-10 放大縮小 15：100＝24：X
Ⅲ-11 照片 10：8＝175：X
Ⅲ-3 兌換貨幣 14：50＝35：X
Ⅲ-6 球 15：6＝40：X
Ⅲ-9 密度 27：18＝60：X
Ⅲ-12 影子長度 5：4＝7：X
考量到不同的數字結構可能影響學生的作答情形，因此研究者將三份測驗卷
（不同數字結構）按照施測順序的不同，分成 A、B、C、D、E 和 F 卷，各卷測 驗順序如下表 3-6 所示。各分卷可參考附錄一～六。
表 3-6
生七年級上學期三次段考的成績，按照 S 型分組，讓各卷作答的學生皆有程度較 好和較不好的。發出的 A、B、C、D、E、F 各分卷的測驗卷數，統計如下表所 示。
表 3-7
各分卷的測驗人數分配
701 702 703 704 705 706 707 708 合計 A 卷 5 4 4 3 4 4 5 4 33 B 卷 4 4 4 4 4 4 5 5 34 C 卷 4 5 4 4 4 4 4 5 34 D 卷 4 4 5 5 4 3 3 5 33 E 卷 4 4 4 4 4 5 4 5 34 F 卷 4 3 4 3 4 5 4 5 32 合計 25 24 25 23 24 25 25 29 200
研究者於 105 年 2 月下學期開學第二週，利用自編的比例推理試題，對研究 者任教學校的七年級學生進行施測。發出比例推理前測試題 200 份，分三個時段 進行施測，收回有效試卷共 194 份（三卷皆完成者，視為有效試題）。試卷收回 後進行批改，並統計所有受試者的答題情況。利用 SPSS 軟體測得 Cronbach’s α 係數為 0.956，顯示本試題具有良好的信度。
（五）評分方式
研究者自編之比例推理試題皆為應用問題，需要學生寫出計算或推論過程。
考量到研究目的是想瞭解學生在小學學習比與比例單元之後，在不同的數字結構 或語意結構之下，對於比例推理的解題表現。因此研究者在計分方式上，採用答 對或答錯來呈現，而沒有採計部分給分。亦即能夠寫出正確的計算或推論過程者，
即為答對者；無法正確列式、計算錯誤或空白的，則為答錯者。而能正確列式，
卻無法算出正確答案者，也屬於答錯者。
二、「比例推理試題」後測之編製
（一）比例推理後測試題發展階段
比例推理的後測試題主要分為兩個部分，分別為國中比例單元相關試題和前 測試題。為了檢測學生在學完國中「比與比例」單元之後的學習表現，因此依據 教育部所頒訂能力指標之課程目標及其應達成的基本能力，並參考現行教科書各 版本中的例題，篩選出較基本的題目，編製成比例推理後測試題。同時，為了檢 測受試者在經過國中比例單元的學習，以及課堂中針對其錯誤觀念予以導正之後，
對於前測中錯誤率較高的題目，其作答情況是否有所改變。因此，由前測試題中 挑選出錯誤率最高的四題，將題目中的數據修改過後，也放進後測試題中。
研究者依據布魯姆（2001）的研究分類，將認知領域教育目標之認知歷程分 為記憶、了解、應用、分析、評鑑和創造六個向度。考量到後測試題的施測目的，
主要為檢驗學生是否達成基本能力，因此選用其中的「了解」與「應用」作為檢 測的兩個向度，編列比例推理後測試題的雙向細目表如下表 3-8 所示。
另外，為了檢驗測驗的題目是否能對應其測驗目標，因此將試題分為比例式、
連比例與正比、反比三個教學主題，再依據其教學目標、對應的能力指標及評量 目標，將後測試題予以分類整理如下表 3-9 所示。
表 3-8
比例推理後測試題發展階段之雙向細目表
教學單元 了解
（understand）
應用
（apply）
比與比值
1 寫出比及其比值 2 求出各比的比值 3 化為最簡整數比
比例式的基本
運算 4(1)求比例式中的未知數 4(2)、(3)、(4) 求比例式中的未知數
比例式的應用
5、7 求比值
6 由x、y 關係式中找出 x：y 8、9、17、18、19、20 應用問題 連比 10(1)求連比 10(2)求連比
連比例式 的應用
11 求連比例式中的未知數 12 由x、y、z 關係式，
找出x：y：z 13、14 應用問題
正比 15(1)正比的關係式 15(2)找對應的值
反比 16(1)反比的關係式 16(2)找對應的值
表 3-9
18、19、20
能熟練比例式的
題意，題目是否可具代表性…等。
（understand）
應用 8、9、17、18、19、20 應用問題
連比 10(1)從整數比求連比
（三）評分方式
研究者自編之比例推理後測試題皆為計算或應用問題，需要學生寫出計算或 推論過程。考量到後測試題的評量目的，是為了檢測學生學習國中比例單元之後，
是否具備該單元的基本能力，故後測試題多為簡單的基本計算題，不需繁雜的計 算過程。因此研究者在計分方式上，採用答對或答錯來呈現，而沒有採計部分給 分。亦即能夠寫出正確的計算或推論過程者，即為答對者；無法正確列式、計算 錯誤或空白的，則為答錯者。
三、課中補救的實施方式
研究者採用課中補救的方式，期望學生在原本的課堂中，將既有的錯誤觀念 或想法，以及不足之處，都能夠修正錯誤並且補足欠缺的先備知識。
（一）準備階段
研究者在編製比例推理試題之前，先閱讀相關文獻及研究，發現大多數研究 比例推理能力的學者，都發現過學生使用加法策略的狀況。因此，比例推理前測 施測之後，在批閱試題的過程中，特別留意學生是否使用加法策略來解題。同時，
在批閱試卷之後，針對使用加法策略的學生進行訪談，瞭解學生在比例推理的解 題過程中，在哪些時機會選擇使用加法策略。
在批閱試題的過程中，除了留意加法策略的使用之外，也會將學生較為特殊 或者不同於一般常見的解題過程記錄下來。再透過訪談，瞭解學生特殊解法的觀 念或想法。統計答題狀況之後，先初步計算各題答對率，分析比較研究者任教班 級學生的解題表現。再針對答對率較低的題目，在教學之前將其整理分類；以及 整體答題狀況較差的學生，瞭解其不會寫的原因。
（二）實施階段
正式進行國中比例單元教學時，研究者以現行的教科書為主要的教學教材。
在相關研究與文獻分析後，決定參考診斷教學之概念、原則及教學模式，進行課 中補救教學活動。並根據準備階段所獲得的資訊，設計相關之補救教學活動之教 案（參考附錄八）。在教案中利用底線標註的地方，屬於課中補救教學的部分，
其餘沒有標註的則是研究者平常所使用的教學模式。
生：………，題目好像怪怪的（一陣念念有詞後，終於回答）。
生：………，題目好像怪怪的（一陣念念有詞後，終於回答）。