「比」是用來描述兩個量（A 和 B）之間存在特定倍數關係的表示法。在數 學上，通常以「A：B」來表示此種對應關係。陳竹村等人（2002）也認為比是 並置的兩對應關係量的紀錄。而 Hart（1981）則認為比是表示兩個數量之間比較 的關係。而從比較的觀點來看，比可以表示兩個數量之間的一種關係，也可作為 傳達相對大小的抽象意義的一種比較性指標（Lamon , 1995）。另外，「A：B」中 將前項（A）除以後項（B），所得的商稱為「比值」，而比值通常以分數的形式 來表示。
多數學者認為「比例」是兩個比（或比值）成等價關係（Lamon , 1995；沈 明勳、劉祥通，2002；陳竹村等人，2002）。而「比例推理」則是指利用各種方 式，如圖表、推測、有理數等，去表現兩個簡單型態之間的關係（Lamon , 1999；
Lesh et al., 1988）。Lamon（1995）認為當學生能夠清楚說明兩個等價的比之間存 在結構的關係，則具有比例推理能力。因此，具比例推理能力的學生應能夠說明 及利用方法，來表現兩個相等的比之間的關係（莊玉如，2005）。
比例推理不僅是學習數學的重要主題之一，同時也是日常生活中常使用的基 本概念。對於學習更高層次的數學概念來說，比例推理可說是一項基礎的能力，
同時，比例推理概念的建立，是基礎數學與學習高等數學的橋樑（沈明勳、劉祥 通，2002）。而比例推理問題運用在日常生活的情境中時，則必須要有推論、預 測和批判等能力（劉秋木，2002）。由此可知比例推理概念的重要性，因此，比 例推理的教學也因而受到重視。
雖然比例推理如此重要，但研究卻顯示，學生對於比例推理的學習常感到困 難。許多成年人並不熟悉比例的概念（Capon & Kuhn，1979），而林福來（1984）
的研究也指出，多數國中生對於處理比例問題亦有困難。因此，為了達到本研究 的目的，研究者根據蒐集的比例推理文獻，整理與本研究相關的理論與實證研究，
分述如下：
一、解比例問題需具備的基本能力
在數學的解題過程中，解題者本身是否具備足夠的學識能力，與是否能夠成 功解題是息息相關的。Inhelder ＆ Piaget（1958）將比例推理能力視為形式運思 期的試金石。學童解題時，除了需要有比例的相關知識為基礎之外，還需要有相 關的能力配合才行，例如相對思考能力和單位化能力等（傅宗聖，2006）。Lamon
（1997）認為相對的思考和比值的單位化能力是解比例問題的兩個重要思考策略。
從知識論的層面來看，數學概念的構成具有嚴謹且複雜的邏輯結構體系，而從比 例概念的結構，亦與乘、除法及其他概念有密切的相關（魏金財，1992）。綜上 所述，研究者整理相關文獻，將學生解比例問題時，需具備的基本知識與能力，
分為因數和倍數的概念、等值分數的基礎概念、熟悉乘除法的問題情境、有理數 的相關概念、相對的思考能力以及單位化和基準化的能力。分述如下：
（一）因數和倍數的概念
學生在比例問題的解題過程中，常常可以利用因數和倍數的概念來解決問題。
Lo 與 Watanabe（1997）的研究結果顯示，因數和倍數是解比例問題成功與否的 知識基礎。以「12 元可買 8 顆糖果，9 元可買幾顆糖果？」為例，學生利用嘗試 錯誤的方法，先將 12 元分成 4 份，每一份有 3 元；再將糖果 8 顆也分成 4 份，
每份有 2 顆。如此將錢和糖果都平分成 4 份後，再以疊加的方式用 3 元買 2 顆、
6 元買 4 顆、9 元買 6 顆來完成解題。如果學生具備因數的概念，就可以先從 12 和 8 的因數中，找出共同的因數；或者直接求出 12 和 8 的公因數，可以縮短嘗 試錯誤的時間。另外，劉祥通和周立勳（1999）也強調，解比例問題往往是要先 做除法再做乘法，也就是解因數和倍數的問題。因此，因數和倍數概念可算是比 例概念的基石。
（二）等值分數的基礎概念
在關於探討國小學童比例問題之解題策略的研究中，傅宗聖（2006）指出，
等值分數是比例概念的基礎，而約分和擴分是通分的必要手段，也是比例概念中 有關分數的知識基礎。約分活動是將量數縮小的問題；擴分活動是將量數放大的 問題，而比例尺的放大縮小問題，則和兒童的相似概念有關係。
（三）熟悉乘除法的問題情境
比例推理能力和乘除法的關係密切，而日常生活中，有許多問題情境隱含著 乘除法的結構，尤其是在比和比例的情境中更是如此（Vergnaud , 1983）。Vergnaud 提出以乘法概念域的觀點，來思考比、比例、分數、因數、倍數、速率、函數等 概念均隸屬其中，並將其視為完整的乘法結構。Lo 和 Watanabe（1997）更進一 步提出，發展比例基模時所需的數學知識中，包含乘除法的數的結構、多位數乘 題，是較為困難且效率較低的。許多研究者（Steffe , 1988；Vergnaud , 1983）認 為，加法和乘法之間是有差別的。乘法是一種更複雜的運算，而這種運算式由加 法中，透過更高層次的抽象化歷程而來的。乘法結構雖然依賴加法結構而組成，
但乘法結構有其內在的組織結構，而這種內在的組織架構是無法化約成加法結構 的（Vergnaud , 1983）。
除法問題一般區分為包含除問題及等分除問題，是單位量的轉化活動。甯自 強（1993）認為，包含除是單位數未知的單位量轉換問題，而等分除則是新單位 量未知的單位量轉換問題。因此，學生若能夠更熟悉乘除法的情境及架構，對於 比例問題愈能夠順利解題。
（四）有理數的相關概念
許多學者認為比和比例包含在分數概念之中，例如 Kieren（1980）就將分數 分成五個面向，比就是其中之一。而我們最常使用的分數類型，就是將它表示成
有理數的形式。有理數可視為部分-全體（part and whole）、商數（quotient）、比 率（ratio）、運算子（operator）…等不同意義（Kieren , 1980）。然而大多數的學 生對於分數的概念，卻只理解其中一、兩個意義，甚至從學生解比例問題時，發 比例問題中最重要的概念（鄭英豪，1990；Lamon , 1995）。舉例來說，第一次段 考數學成績甲生考 70 分，乙生考 50 分。經過一個多月的努力，第二次段考兩個
念化一個系統。他曾提出一個例子，「若將地球大小想像成一根針頭那樣大（約 1 公釐），然後根據這樣的定義，重新看待整個太陽系的大小。那麼太陽就變成 直徑只有 10 公分的球體，而太陽與地球的距離就只有 10 公尺。」像這樣以一個 單位量來推算其他量的方法，就是一種基準化的過程。從比例推理的觀點而言，
就是利用等比例縮小的方式來解題。學者劉祥通（2004）也指出基準化能力是解 比例問題成功與否的關鍵。
二、比例推理之解題策略 題方式就稱為單價法（何意中，1988；陳英傑，1992）。例如「買 3 顆糖果需要 15 元，則買 5 顆糖果需要多少錢？」中，先以
15 3 5
，算出一顆糖果要 5 元，4.數量分解法
在解題過程中，將比例問題中的量數分解為兩個以上的量數，再加以組合的 解題策略，就稱為數量分解法。例如在 Vergnaud（1983）的研究中，學童解「放 熱器運轉 32 小時消耗 8 公升的汽油，那麼運轉 104 小時會消耗多少公升的汽油？」
哪一家較便宜？」中，學生的作法是先找出 20 和 25 的公倍數 100，接著將之放 大至 100，如下所示：
甲商店 乙商店
9 顆→20 元 10 顆→25 元 45 顆→100 元 40 顆→100 元
由以上列式可看出，同樣 100 元在甲商店可以買 45 顆糖果，在乙商店只能 買到 40 顆糖果，所以甲商店比較便宜。這是利用相同的價錢，可以購買的數量 越多，即表示較為便宜的想法。由此可知，學生如果能夠利用公倍數的觀念來解 題，則在非整數倍的比例問題中，可避免分數或小數的計算。
（二）錯誤的解題策略
綜合學者的研究可發現，學童常犯的錯誤解題策略包括加法策略、忽略問題 部分資訊、任意的運算、誤解題意及計算錯誤等五類。分別整理分析如下：
1.加法策略
加法策略又稱為常數差策略，當學生在整數比的問題中，以前述累加法策略 成功解題後，會發展出加法策略來解決非整數比的問題（Hart , 1981）。例如「高 5 公尺的樹影子長 4 公尺，同時間有一棵樹高 7 公尺，則其影子有多少公尺？」
中，學生會以影子長比樹長短 1 公尺（
5 4 1
），所以 7 公尺高的樹影子長度應 該是 6 公尺來解題（7 1 6
）。國內外許多學者之研究（林福來等人，1986a, 1986b ；Hart , 1981, 1982, 1988；
Karplus , Pulos & Stage , 1983；Noelting , 1980a）均一致指出，學童會使用加法策 略來解決比例問題。Karplus , Pulos 和 Stage（1983）認為學童使用加法策略，
主要是為了克服題目的障礙。Hart（1982）則認為，學生使用加法策略是因為不 會求比值、逃避使用乘法，或者對分數運算能力不足，而改以加法策略解題。
Hart 從學生的錯誤分析中發現，以加法策略解題的學生，主要是受到「乘就是重 複相加」的既存觀念所致。Karplus 和 Hart 則認為加法策略是一種錯誤的解題策 略，不是認知過程中必經的一站（林福來，1986）。
2.忽略問題部分資訊
學童在解題時忽略了重要的資訊或數據，是學童在解比例問題時常出現的錯 誤解題策略（Tourniaire & Pulos , 1985）。其中常見的是，學童只比較兩個比率的 分子部分，而忽略分母部分的資料（Hart , 1981；Lesh et al. , 1988；Noelting , 1980b）。在 Noelting 的橘子汁問題研究中，當學生面對如「甲果汁是 1 杯橘子汁 加 2 杯水調製而成，乙果汁是 2 杯橘子汁加 5 杯水調製而成，哪一杯比較甜？」
的問題時，有學生認為乙果汁比較甜，是因為其橘子汁的杯數比甲果汁多。這種 只比較橘子汁的杯數，而忽略水的杯數的狀況，即可歸類為忽略部分資料的類 型。
3.任意的運算
沒有解題策略，只是隨意將題目中的數字，做加減乘除的運算，即為任意的 運算（何意中，1988）。例如「10 公分長的鐵條重 3 公斤，同樣粗細的鐵條 15 公分，有多少公斤呢？」中，學生的解法可能是 10＋15－3＝22，但不知為何如 此計算。
4.誤解題意
4.誤解題意