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數字號碼問題 : 需注意首位數字不可排 0, 數字是否可重複出現。

在文檔中 99mathall (頁 55-68)

精選範例

例題1 設集合 A = {2, 4, a2 − 2a − 3}, B = {−4, a + 1, a + 4} , 若 A ∩ B = {5} 求 A∪ B [Ans: {2, 4, 5, −4, 8}]

例題2 從1到30 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans:22個]

由1到150 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans: 22 × 5 個]

例題3 某校舉行親子日, 某班有35位同學, 已知父親出席者有18位, 母親出席者有 25位, 父母皆出席者有12位, 試問班上有幾位同學家長沒出席親子日? [Ans:4位]

例題4 英國溫布頓網球公開賽, 在男子單打方面有64 名選手參賽, 採單淘汰賽 (任一隊 只要輸一場比賽就被淘汰出局), 共要比賽幾場才能產生單打冠軍? [Ans:32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63

例題5 從1到120的正整數中, 與120互質的數有幾個? [Ans:32個]

例題6 展開 (a + b + c + d)(x + y)(p + q + r) 共有幾個相異項? [Ans:24]

例題7 求 360 的正因數個數有多少個? [Ans:24 個]

例題8 甲與乙兩人分別叫出一個小於10的正整數, 求此兩數乘積大於25的情形有幾種?

[Ans:32種]

例題9 書架上有 3 本不同的中文書、5 本不同的英文書、4 本不同的數學書; 今某人甲欲從 書架上選取一本書共有多少種選法? 若甲改由書架上三種類型的書各取一本則共 有多少種選法? Ans: 12; 60

習題2-1 邏輯、 集合與計數原理

1. 設 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {2, 5, 8}, 求 (1)ATB =? (2)ASB =

? (3)AT(BSC) =?

2. 設 A = {2, 4, a + 1}, B = {−4, a − 2, a2 − 2a − 3}, 若 ATB = {2, 5} , 則 ASB =?

3. 若 A = {x| − 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}, B = {x|x < 3, x ∈ R} , 則 ASB =?

4. 某次考試, 全班40人中, 英文及格的有23人, 數學及格的有32人, 兩科都不及格的 有5人, 則數學及格英文不及格的有? 人

5. 對於0和空集合 ∅ , 下列哪些選項是正確的? (1) 0 ⊂ {0} (2) 0 ⊂ ∅ (3) 0 ∈ ∅ (4) 0 ∈ {0} (5) ∅ ⊂ {0}

6. 在1到100 的正整數中, 是2的倍數但不是3的倍數者共有幾個?

7. 學校舉辦排球比賽, 每場比賽必分出勝負, 採單淘汰賽 (任一隊只要輸一場比賽就 被淘汰出局), 每一輪比賽中, 參賽隊伍盡可能配對比賽, 若該輪為奇數隊比賽, 則 將剩下的一隊輪空, 依下列參賽隊伍計算總共要比賽幾場才能產生冠軍隊伍? (1) 7隊參賽? (2) 16隊參賽?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 排列、 組合 · 8. 在棒球比賽中, 共有10支隊伍參賽, 比賽一定要分出勝負, 若採雙淘汰賽 (一個隊

伍輸一場仍可繼續比賽, 直到第二次輸球才退出比賽), 若從球賽開始到產生冠軍 隊伍 (全勝不敗) 共需比賽幾場? 若球賽開始到產生冠軍隊伍 (只敗1場) 共需比 賽幾場?

9. 某年級甲班有30人, 乙班有35人, 丙班有40人; 若從甲、 乙、 丙三班中挑選一人當 司儀, 則有幾種選法? 若從甲、 乙、 丙三班中各選一人代表學校參加校外比賽, 則 有幾種選法?

10. 書架上有3本不同的中文書, 有5本不同的英文書, 有6本不同的數學書, 現今想從 書架上選取一本書, 有幾種選法? 若改從書架上選取中文書, 英文書, 數學書各一 本, 共有幾種選法?

11. 在三位數中, 百位數與個位數之差的絕對值為2的數, 共有? 個

12. 一室有五門, 甲乙二人分由不同門進出此室一次, 且每人不得由同一門進出, 則其 方法有? 種

13. 求420的正因數個數與這些正因數的總和?

14. 從數字 0, 5, 6, 7, 8 中選取三個數字,

(a) 數字可重複, 則可排列出多少個不同的三位數?

(b) 數字不可重複, 則可排列出多少個不同的三位數?

2.2.2 排列與組合 直線排列數:

n 件相異物的直線排列方法有 n! = n· (n − 1) · (n − 2) · · · · 2 · 1 種 從 n 件相異物品中取 k 件排成一列的方法數 : Pkn = n!

(n− k)!

n n− 1 n− 2 · · · · · ·(n − k + 1) ⊗ ⊗ · · · ⊗

只取出K物排列, 剩下(n − k)物的排列均視為同一排列 不盡相異物的排列:

設 n 個物品可分成 k1, k2,· · · , km 個相同物品的 m 類,( k1+ k2+· · · + km = n ) , 則這 n 個物品排成一列的排列數為 n!

k1!k2!· · · km!

4相異物ABCD 排列 4物中有3相同物 (A=B=C) 排列

ABCD ACBD BACD BCAD CABD CBAD ⇒ D

ABDC ACDB BADC BCDA CADB CBDA ⇒ D

ADBC ADCB BDAC BDCA CDAB CDBA ⇒ D

DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA ⇒D

共有 4! 排法 共有 4!

3! 排法

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重複排列數: nk

n 類物品 (每類至少有 k 件), 中取出 k 件排成一列, 可重複選取, 則其排列數為 n· n · n · · · · n

| {z }

k

= nk 特殊規定排列:

1. 指定位置之排列: 先排指定物後再將其他物排列。

(a) 5人中, 甲必排首位 ⇒ 甲 n− 1 n − 2 n − 3 n − 4

2. 指定相鄰位之排列: 將相鄰物視為一物, 再混入排列後、 再將相鄰物排列。

(a) 5人中的甲、 乙兩人必相鄰⇒

甲乙 + 其他人 99K 混合後再排列

甲乙兩人可排列

(1 + 3)!2! ⇒

3. 指定間隔排列: 將其他物先排列後, 再將間隔物插入間隔排列。

(a) 5人中的甲、 乙兩人必分隔開 ⇒

⊛ ⊛ ⊛ 99K其他人先排列

↑ ↑ ↑ ↑ 99K間隔物插入排列

⇒ 3!P24

4. ⊚環狀排列: n 件相異物的環狀排列方法有 n!n = (n − 1)!

5. 特殊規定排列 (錯排): 利用集合文氏圖運算; 錯排公式。

6. n 人中規定有k個人不可排在k個特定位置 (錯排公式):

C0k· n! − C1k· (n − 1)! + C2k(n− 2)! − · · · + (−1)kCkk(n− k)!

相異組合數: 從n件相異物品中選取 k 件的方法數 Ckn = Cnn−k = n!

k!(n− k)!

5相異物 ABCDE 取出3物排列數 5物取出3物組合數

ABC ACB BAC BCA CAB CBA ⇒ {A, B, C}

ABD ADB BAD BDA DAB DBA ⇒ {A, B, D}

ABE AEB BAE BEA EAB EBA ⇒ {A, B, E}

ACD ADC CAD CDA DAC DCA ⇒ {A, C, D}

ACE AEC CAE CEA EAC ECA ⇒ {A, C, E}

ADE AED DAE DEA EAD EDA ⇒ {A, D, E}

BCD BDC CBD CDB DBC DCB ⇒ {B, C, D}

BCE BEC CBE CEB EBC ECB ⇒ {B, C, E}

BDE BED DBE DEB EBD EDB ⇒ {B, D, E}

CDE CED DCE DEC ECD EDC ⇒ {C, D, E}

共有 P35 = 5!

2! = 60 排法 共有 C35 = 5!

3!2! = 10 取法 從n 件相異物品中取 k 件排列數 Pkn= Ckn× k!

巴斯卡組合公式: Ckn = Ckn−1 + Ckn−1−1, 1 ≤ k ≤ n − 1

從 n 個人選出 k 人的方法數可分成 [甲被選中] 和 [甲未被選中] 這兩種選取情形。

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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 排列、 組合 · 重複組合: 從 n 類相異物品中 (每類物品至少有 k 件, 可重複選取) 則選出 k 件的方

法數有 Hkn選取數 = Ckn+k−1

將相同物 k 件, 切割成 n 份, 只要切 (n − 1) 刀分割。 重複組合數就是相當 於此 k 件相同物及 (n − 1) 個分割點的排列數 = (k + n− 1)!

k!(n− 1)! = Ckn+k−1

非負整數解個數:

x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數為 Hkn = Ckn+k−1 解應用問題時, 假設未知數, 列式後再化成非負整數解的題型。

1. 從 n 類物品 (每類個數很多) 中選取 k 個的組合數。

2. n 元一次方程式 x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數。

3. 將 k 個相同的事物全分給 n 個人的分法。

也就是在乎每類物品被取出幾個, 即第 i 類物品被取出 xi 個, 總共取出 k 個的不 同取法。 ⇒ x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數

相當於有 k 個1要分給 n 個未知數 ⇒ k 個1要分成 n 份, 只要 (n − 1) 個分割

記號。

1 1 1

+ 1 1

+ 1

+ + 1

表示 3 , 2 , 1 , 0 , 1 的整數解

分組分堆組合: 從 n 個相異物分k1個給甲, 分k2個給乙, 分k3個給丙有 Ckn

1Ckn2−k1Ckn3−k1−k2 種分法

相異物的分配

1. 有6相異物平分3人, (2, 2, 2) ⇒ C26C24C22 種相異方法。

2. 有6相異物平分3堆, (2, 2, 2) ⇒ C26C24C22 1

3! 種相異方法。

3. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 各 (1, 1, 4) 件 ⇒ C16C15C44 種相異方法。

4. 有6相異物分3人, (1, 1, 4)⇒ C16C15C443!

2! 種相異方法。

5. 有6相異物分3堆, 各 (1, 1, 4) ⇒ C16C15C44 1

2! 種相異方法。

6. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 分別 (1, 2, 3) 件,⇒ C16C25C33 種相異方法。

7. 有6相異物分3堆, 各 (1, 2, 3) ⇒ C16C25C33 1

2! 種相異方法。

相同物的分配

1. 有6相同物平分3人, (2, 2, 2) ⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。

2. 有6相同物平分3堆, (2, 2, 2) ⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。

3. 有6相同物分甲、 乙、 丙3人, 各 (1, 1, 4)⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。

4. 有6相同物分3人, (1, 1, 4)⇒ 3!2! 種相異方法。

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5相異物 ab12*分給甲2件、 乙2件、 丙1件方法數 分2件、2件、1件三堆方法數

甲 乙 丙 三堆

a,b 1,2 *

⇒ {a, b}, {1, 2}, {∗}

1,2 a,b *

a,1 b,2 *

⇒ {a, 1}, {b, 2}, {∗}

b,2 a,1 *

a,2 b,1 *

⇒ {a, 2}, {b, 1}, {∗}

b,1 a,2 *

a,b 2,* 1

⇒ {a, b}, {2, ∗}, {1}

2,* a,b 1

a,* 2,b 1

⇒ {a, ∗}, {2, b}, {1}

2,b a,* 1

b,* 2,a 1

⇒ {a, ∗}, {2, b}, {1}

2,a b,* 1

a,b 1,* 2

⇒ {a, b}, {1, 2}, {2}

1,* a,b 2

a,* 1,b 2

⇒ {a, b}, {1, 2}, {2}

1,b a,* 2

b,* 1,a 2

⇒ {a, b}, {1, 2}, {2}

a,1 b,* 2

b,* 1,2 a

⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a}

1,2 b,* a

b,1 2,* a

⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a}

2,* b,1 a

1,* b,2 a

⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a}

b,2 1,* a

a,* 1,2 b

⇒ {a, ∗}, {1, 2}, {b}

1,2 a,* b

a,1 2,* b

⇒ {a, 1}, {2, ∗}, {b}

2,* a,1 b

a,2 1,* b

⇒ {a, 2}, {1, ∗}, {b}

1,*b a,2 b

共有 C25C23C11 = 30 種分法 共有 C25C23C11 × 1

2! = 15 種分法

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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 排列、 組合 · 5. 有6相同物分3堆, 各 (1, 1, 4) ⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。

排列組合的類型: 如表 計數方法種類: 如表

特殊規定:

1. n 人中, 甲不可排首位, 乙不可排末位, 丙不可排第三位, 有 n!− 3(n − 1)! + 3(n− 2)! − (n − 3)! 種排法。

2. k 件相異物任分給 n 人, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物, 有 nk−3(n−1)k+ 3(n− 2)k− (n − 3)k 種分法。

3. k 件相同物任分給 n 人, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物, 有 Hkn− 3Hkn−1+ 3Hkn−2− Hkn−3 種分法。

精選範例

例題1 男性4人, 女性3人排成一列, (1) 若任意排列, 有幾種排法? (2) 若同性要排在一 起, 有幾種排法? (3) 若女性完全分開, 有幾種排法?

[Ans:(1)7! = 5040 (2) 4!3!2! = 288 (3) 4!P35 = 1440 ]

例題2 由 0, 1, 2,· · · , 9 這10個數字中, 任選3個相異數字排成三位數, 共有少種排法?

Ans: 9· 9 · 8 = 648 = P310 − P29

例題3 一樓梯共有7級, 今有一人上樓, 若每步只能走一級或二級, 則上樓有幾種方法?

[Ans: 討論 x + 2y = 7 共21 種或遞迴關係式 an = an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2]

例題4 將5本不同的書分給甲, 乙, 丙三人, (1) 若全部任意分給三人, 有幾種分法? (2) 若全部給三人且甲至少得1本, 有幾種分法? (3) 若全部給三人且甲恰得1本, 有 幾種分法? (4) 若每人恰得一本書, 有幾種分法?

[Ans:(1) 35 = 243 (2) 35 − 25 = 211 (3) 5· 24 = 80 (4) P35 = 60]

例題5 甲、 乙兩人負責7天假期到公司值班, 其中甲值班4天, 乙值班3天, 問此7天假期 值班的安排共有多少種? [Ans:(4 + 3)!

4!3! ]

例題6 任意 n 邊形的對角線有幾條? [Ans:C2n− n = n(n − 3) 2 ]

例題7 從10名男生,5名女生中選出一個五人小組。 若規定男女生至少各2人, 則有多少種 選法? Ans: C310C25 + C210C35 = 1650

例題8 將 6 本不同的書, 依照 (1) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各二本, 有幾種分法? (2) 裝 入 3個相同的箱子, 每箱裝 2本, 有幾種裝法? (3) 三個相同箱子分別裝入1本,1 本,4本, 有幾種裝法?

[Ans:(1) C26C24C22 = 90 (2) 903! = 15 (3) C16C15C44/2! = 15]

例題9 考慮方程式 x + y + z = 20 依 (1) 方程式非負整數解個數? (2) 方程式正整數 解個數? (3) 滿足 x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4 的正整數解個數? [Ans:C203+20−1 = 231; C173+17−1 = 171; C113+11−1 = 78]

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2-2: 基本計數公式一覽表

數學模型 公式 備註

n個相異的球中任取 m個球的方法數

1. 取出 m 個球放在一堆 (無次序性) Cmn 2. 取出 m 個球排成一列 (有次序性) Pmn

*3. 取出m個球排成環狀(有序,無首尾之分) P

n

mm

4. 取出任意多個球(包含0) 2nn個相異的球放到 m 個箱子的方法數

*(1). 箱子均相同 (無標記)

1. 每箱的球數不限 (可空箱) * Pm

k=0

Skn *稱作Stirling

2. 每箱至少放入一球 (不空) Smn 劃分 n 個元素為

m 個子集合 (

有空集合)的方法 數

(2). 箱子均相異 (有標記)

1. 每箱的球數不限 (可空箱)=任意放置 (可重複排列)

P

n1+n2+···+nm=n

n n1,n2,n3,··· ,nm

 =

mn 2.i 個箱子放入 ni 個球 n n

1,n2,n3,··· ,nm

= n!

n1!n2!· · · nm! 3. 每箱至少一個球 (不空) mn−C1m(m−1)n+ C2m(m−2)n

C3m(m− 3)n+· · ·

文氏圖排容原理 從 n個相同的球放到 m 個箱子的方法數

*(1). 箱子均相同 (無標記)

1. 每箱的球數不限 (可空箱) * Pm(n) * Pm(n) 表示把 整數 n 劃分成不 多於 m 項的剖分 數。

2. 每箱至少放入一球 (不空) Pm(n)− Pm−1(n) (2). 箱子均相異 (有標記)

1. 每箱的球數不限(可空箱)=可重複組合 數

Hnm = n+m−1n 

相當於x1+ x2+

· · · + xm = n 的 非負整數解個數。

2. 每箱至少放入一球 (不空) Hn−mm = n−1

m−1

 相當於x1+ x2+

· · · + xm = n 的 正整數解個數。

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2-2: 計數方法的種類一覽表

物品 給法 對象 方法數

k 類相異物 任意 (可重複) 分給 n相異對象 nk

n 相異物 每人一件 m 相異對象 Pmn = Cmn × m!

n 相異物 任意 (可重複) 分給 m 相同對象 討論(a1, b1,· · · )Can1 · Cbn−a1

1 · · · (a2, b2,· · · )Can2 · Cbn−a2

2 · · · 有任何k 個相同數目 ai = bi ,×k!1

n 相異物 平均分給 m相同 CknCkn−k· · · × 1

m!

n相異物 (n > m) 每個一件 m 相同對象 Cmn

m相同物 全部任意分給 n相異對象 Hn種類數

m可重複選取數 = Cmn+m−1

n相同物 (n < m) 每人至多一件 m 相異對象 Cnm

n相同物 (n > m) 每人至多一件 m 相異對象 2m

m相同物 任意分給 n相同對象 討論 (a1, a2,· · · , an) 為一種情形

(b1, b2,· · · ) 為一種情形 ... 先固定 a1 再討論其後

計數方法 適用情景 排列或組合

nk n 類相異物任取出 k 個的排列數 相異相異的重複排列 n! n 件相異物的直線排列 相異物的排列數

* n!n n 件相異物的環狀排列 *環狀排列

Pmnn件相異物中選取 m件相異物排列的方法數 選取相異物的排列數 m!n! n 件物品中有m 件相同物的排列數 不盡相異物的排列數 Cmn n 類相異物任意取出 k 個相異的選取方法數 選取相異物的組合數 Hmn m 件相同物任意分給 n 類相異對象的方法數 重複組合數

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例題10 以下敘述的分法數為 H53有哪些選項? (1) 從學校體育室中的籃球, 排球, 棒球三 種球中選取5球。 (2) 三元一次方程式 a + b + c = 5 的非負整數解。 (3) 將5支 相同的筆全部分給甲, 乙, 丙三人。 (4) 不等式 x + y ≤ 5 中, x, y 的非負整數解

。 (5) 將5支不同的筆, 分裝入三個相同箱子 。 [Ans:1,2,3,4]

習題2-2 排列與組合 1. 空間中, x, y, z 坐標皆為整數, 且與原點距離為 √

17 的點, 一共有? 個

2. 將下圖中的黑棋向右移動, 規定每次只能移動1格或2格, 移到最右邊一格, 共有幾 種移動方法?

3. 從1到10000的一萬個數中, 有多少個數不含數字1? 有多少個數含數字1?

4. 將甲、 乙、 丙等共6人排成一列, 若規定甲不排首位, 乙不排末位的排法有多少種?

5. 某旅社有五個房間, 今 A,B,C 三人求宿, 若每人各住一間, 則有? 種不同的分配

5. 某旅社有五個房間, 今 A,B,C 三人求宿, 若每人各住一間, 則有? 種不同的分配

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