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第 4.4 單元 二次曲線

在文檔中 99mathall (頁 186-200)

h cos 60 − sin 60

sin 60 cos 60

i h 1 2

i (5)h b1

b2

i = h cos 60 sin 60 sin 60 − cos 60

i h 1 2

i

A(1,2) O

B

Y

X

15. 求點 A(2, 5), B(−3, 2) 依 x 軸作2倍的推移後, 所得新坐標 A, B 為?

又若依 y 軸方向作 (−3) 倍的推移後, 所得新坐標 A′′, B′′ 為?

16. 設 P (4, 2), Q(−2, 3), R(1, −1) 將 P,Q,R 三點依 y 軸方向作 −1倍 之推移後得 P1, Q1, R1 三點坐標, 則 P1 點坐標為? 又 ∆P1Q1R1 面積為?

17. 將一平面坐標系的坐標軸旋轉45, 得一新坐標系, 則一圖形對原坐標系之方程式 為 3x2+ 8xy + 3y2 = 2 , 求其對新坐標系的方程式? 又一圖形對新坐標系之方 程式為 2x2 + y2 = 1 , 求其對原坐標系的方程式?

18. 將圖形 x2 + y2 = 1 繞 B(1, 1) 旋轉45後所得新圖形的方程式為何?

4.4

單元 二次曲線

4.4.1 拋物線 錐面與圓錐曲線:

空間中取兩不垂直之相交直線, 固定其中一直線為軸, 另一直線 (母線) 與此軸保 持固定交角 Ω , 繞此軸旋轉 360 , 所掃出的曲面為圓錐曲面。

1. 圓: 將一平面與此圓錐之對稱軸垂直所截交的軌跡。(軸與平面夾角 = 90 )(平 面過錐頂點則退化成一點)

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2. 橢圓: 將一平面稍微傾斜與此圓錐之對稱軸非垂直所截交的軌跡。( Ω < 夾角

< 90 ) (平面過錐頂點則退化情形為一點)

3. 拋物線: 平面不通過頂點, 但與錐面上通過頂點的一直線平行, 則此截交出有 開口的拋物線。(平面與對稱軸夾角為 Ω ) (平面過錐頂點則退化情形為一直 線)

4. 雙曲線: 將平面與上下兩錐面都有相交時, 則截交成雙曲線。( 0 ≤ 夾角 < Ω ) (平面過錐頂點則退化情形為兩相交的直線)

4-1: 錐面與圓錐曲線

二元二次方程式圖形的判別方法: 先配成x的完全平方式, 再配成 y 的完全平方式。 或 採取雙十字交叉相乘法因式分解。 如表列所示

4-1: 二元二次方程式圖形的判別方法

二次曲線 橢圓類 拋物線類 雙曲線類

圓錐曲線 橢圓 拋物線 雙曲線

(ax + by + c)2+ (ax + c)2 = 正常數

(ax + by + c)2 = px + q py + q (a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) =定常數 ,m16= m2

退化錐線 (ax + by + c)2+ (ax + c)2 = 0 為一點

(ax + by + c1)(ax + by + c2) = 0 兩平行線

(a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) = 0 ,m1 6= m2 為兩相交直

(ax + by + c)2+ (ax + c)2 = 負常數,

(ax + by + c)2 = 0 為兩重合直線 (ax + by + c)2 = 負常數,ø

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拋物線的定義: 動點P 到一直線L及線外一定點F 等距之點所成的圖形為拋物線。 即 d(P, L) = P F , 其中直線 L : ax + by + c = 0 稱準線, 點 F (x0, y0) 為拋物線的焦點。

拋物線的數學式: p(x− x0)2 + (y− y0)2 = ax + by + c√ a2 + b2

, (一般式的求法)

焦點 對稱軸

拋物線x2 = 4cy

準線 L : y =−c F (0, c)

P (x, y)

V頂點

對稱軸 拋物線y2= 4cx 準線L : x =−c

焦點F (c, 0) P (x, y)

V頂點

拋物線的各要素: 過焦點F 與準線L垂直的直線 V F 稱為此拋物線的對稱軸。 此直線V F 與拋物線的交點 V 稱為頂點。 頂點與焦點的距離 V F 稱為焦距。

拋物線的標準式:

上下開口型: 以y = −c為準線,(0, p)為焦點的拋物線方程式。

px2 + (y− c)2 = |y + c| −−−−−−→兩邊取平方

展開,整理 x2 = 4cy ;c > 0開口向上,c < 0開口向下。

左右開口型: 以x = −c為準線,(p, 0)為焦點的拋物線方程式。

p(x− c)2 + y2 = |x + c| −−−−−−→兩邊取平方

展開,整理 y2 = 4cx ;c > 0開口向右,c < 0開口向左。

0 x

y

( p,€0)

x=_p

(d)¥=4px, p<0

0 x

y

( p,€0)

x=_p

(c)¥=4px, p>0 0

x y

(0, p) y=_p

(b)≈=4py, p<0

0 x

y

(0, p)

y=_p

(a)≈=4py, p>0

圖形的平移: 曲線 Γ 沿向量 −⇀v = (h, k) 平移, 就是曲線 Γ 上的每一個點都沿著−⇀v 方 向移動 |−⇀v | 距離。

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y

O x

P (x, y) Γ

V

v

v = (h, k) Γ P(x, y)

V

y

v x

拋物線標準式: 將拋物線上的點平移 (h, k) 單位後, 可得拋物線方程式 Γ : x2 = 4cy −−−→(h,k)

平移 Γ : (x− h)2 = 4c(y − k); 一般式: y = ax2 + bx + c Γ : y2 = 4cx −−−→(h,k)

平移 Γ : (y− k)2 = 4c(x− h) ; 一般式: x = ay2 + by + c

4-1: 拋物線的幾何性質

拋物線方程式 左右型: (y− k)2 = 4c(x− h) 上下型: (x− h)2 = 4c(y− k)

開口方向 c > 0 開口向右 c > 0 開口向上

c < 0 開口向左 c < 0 開口向下

頂點 (h, k) (h, k)

焦點 (h + c, k) (h, k + c)

準線 x− h = −c y− k = −c

對稱軸 y− k = 0 x− h = 0

正焦弦長(最短焦弦) 4|c| 4|c|

參數式

x− h = 4ct2 y− k = t

x− h = t y− k = 4ct2

拋物線的開口大小與焦距的關係:(共同頂點之拋物線伸縮) (x − h)2 = 4c(y − k) ⇔ y = ax2 + bx + d

|a| = 1|4c| 即 |a|大 ⇔ 焦距 |c|小 開口愈小

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y

O x

Γ

準線L P (x, y)

V Γ1

準線L1

P1

Γ2

P2

準線L2

Γ3

P3

準線L3

d(F, L) = 2|c| , 準線與對稱軸互相垂直。

點在拋物線曲線開口內部或外部的判別:

1. 拋物線 Γ : y2 = 4cx 若 y02

4c < x0 則點 (x0, y0) 在 Γ 曲線的右方 且當

 c > 0, 開口向右, 即點 (x0, y0)在開口內部 c < 0, 開口向左, 即點 (x0, y0)在開口外部 2. 拋物線 Γ : y2 = 4cx 若 y02

4c > x0 則點 (x0, y0) 在 Γ 曲線的左方 且當

 c > 0, 開口向右, 即點 (x0, y0)在開口外部 c < 0, 開口向左, 即點 (x0, y0)在開口內部 3. 拋物線 Γ : x2 = 4cy 若 x20

4c < y0 則點 (x0, y0) 在 Γ 曲線的上方 且當

 c > 0, 開口向上, 即點 (x0, y0)在開口內部 c < 0, 開口向下, 即點 (x0, y0)在開口外部 4. 拋物線 Γ : x2 = 4cy 若 x20

4c > y0 則點 (x0, y0) 在 Γ 曲線的下方 且當

 c > 0, 開口向上, 即點 (x0, y0)在開口外部 c < 0, 開口向下, 即點 (x0, y0)在開口內部 拋物線與直線的關係: (拋物線無漸近線)

1. 不相交 (聯立方程式無解, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ < 0)

2. 恰一交點 (相切: 直線非平行對稱軸, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ = 0 ) (非切線: 直線平行對稱軸)

3. 兩交點 (聯立方程式為兩解, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ > 0 ) 例題演練

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例題1 空間中一直線 L :

 x = 0 y = t

z = t , t ∈ R 繞 z 軸旋轉, 形成一直圓錐面, 則下列哪 一平面可使與此直圓錐面截交痕跡為橢圓? (1) z = 0 (2) z = 1 (3) y + z = 3 (4) y + 2z = 3 (5) 2y + z = 3 [Ans:4]

例題2 試判別下列方程式所表示的圖形:

(a) x2 + 6xy + y2 − 10x − 14y + 9 = 0 (b) x2 − xy + y2 + x− y − 7 = 0

(c) x2 − 4xy + 5y2+ 2x− 8y + 5 = 0 (d) 2x2+ xy− y2 + 3x− 3y − 2 = 0

[Ans:a. 雙曲線 b. 橢圓 c. 一點 d. 兩相交直線]

例題3 一拋物線的頂點為 V (2, 3), 焦點 F (2, 4) 試求此拋物線方程式? [Ans:(x− 2)2 = 4(y − 3)]

例題4 拋物線 x2 + 2x− 4y + 5 − 0 上點 P 到直線 L : 3x + y + 12 = 0 的最短距離 為? 並求此點 P 坐標? [Ans: d = 1010, P (−7, 10)]

例題5 求拋物線 y2 = −16x 的頂點, 焦點, 準線與正焦弦長?

[Ans: V (0, 0), F (−4, 0), L : x = 4, 4|c| = 16]

例題6 求焦點 F (1, 1) , 準線 L : x = 5 的拋物線方程式?

[Ans: (y − 1)2 = −8(x − 3)]

習題4-1 拋物線

1. 若實係數二元二次多項式 f (x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F , 當 f (x, y) 可分解成兩個一次式的乘積時, f (x, y) = 0 的圖形可能是 (1) 一直線 (2) 兩平行直線 (3) 兩相交直線 (4) 一點 (5) 雙曲線

2. 若實係數二元二次多項式 f (x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F , 當 f (x, y) 不能分解成兩個一次式的乘積時, f (x, y) = 0 的圖形可能是 (1) 橢圓 (2) 拋物線 (3) 雙曲線 (4) 一點 (5) 空集合

3. 試判別下列方程式所表示的圖形:

(a) x2 + 4xy + 4y2 − 20x + 10y − 50 = 0 (b) 4x2− 4xy + y2 − 4x + 2y − 15 = 0

(c) 2x2+ 4√

3xy + 6y2 + (8 +√

3)x + (8√

3 + 3)y + 25 = 0 (d) 9x2− 12xy + 4y2 + 30x− 20y + 25 = 0

4. 求下列的拋物線方程式:

(a) 焦點為 F (3, 0) , 準線為 x + 3 = 0 (b) 頂點為 (0, 0) , 準線為 y + 3 = 0

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.4 二次曲線 · (c) 頂點為 (1, 1) , 焦點為 (2, 1)

(d) 頂點 (−3, 2) , 軸 x + 3 = 0 , 過點 (1, 4) (e) 焦點為 (3,−2) , 準線平行 x 軸, 正焦弦長為16

5. 在拋物線 y2 = 12x 上, 找一點 P , 使得P 與其交點的距離等於15

6. 求通過點 (0, 5) , 且與 (y− 1)2 = 4(x + 1) 共焦點, 共對稱軸的拋物線方程式?

7. 關於方程式 |3x + y√ − 19|

10 = p(x + 1)2 + (y− 2)2 所代表的錐線圖形Γ , 下 列何為真?

(A) Γ 為拋物線 (B) (1,−2) 為 Γ 的焦點 (C) 3x + y − 19 = 0 為 Γ 的漸近線 (D) x− 3y + 7 = 0 為對稱軸 (E) (3, 1) 為 Γ 的頂點

8. 一拋物線的頂點為 (1, 1) , 焦點為 (2, 3) , 則其方程式為?

9. 一拋物線的頂點在 y 軸上, 軸為 y = 2 , 而焦點在直線 x + 2y = 7 上, 求其方程 式?

10. 求拋物線 x = 2y2 與直線 x − 3y − 2 = 0 的交點坐標?

11. 求過點 (5, 0) 而與拋物線 y = x2 − 9 相切的切線方程式?

12. 求拋物線 y2 = 4(x + 2) 與直線 L : y = x + 2 的交點坐標?

13. 求拋物線 x2 + 2x + 4y− 7 = 0 的頂點坐標與正焦弦長?

14. 一拋物線造型的拱門, 已知以通過最高點的鉛直線為對稱軸, 現測量得知拱門底部

寬6公尺, 距底部 3

2 公尺高處其寬為5公尺, 求此拱門的高度?

15. 拋物線造型的鋼拱建跨於一立體道路上, 已知鋼拱寬為80 公尺, 正中央的高度為

20公尺, 求距離中央30公尺處的鋼柱高度為何

16. 已知點 P 在拋物線 Γ : y2 = 12x 上, 且點 P 與焦點 F 的距離為9, 求點 P 坐 標?

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4.4.2 橢圓

橢圓的定義: 平面上動點 P 到二定點 F1, F2 的距離和為定值 2a, (2a > F1F2 = 2c) 則 P 點的軌跡所形成的曲線為橢圓。 定點 F1, F2 為橢圓焦點。

橢圓的各要素: 橢圓上任一點 P 與兩焦點連成的線段 P F1, P F2 稱為焦半徑。 連接兩 焦點與橢圓的相交點線段稱為長軸。 長軸線段的中點(或兩焦點的中點) 稱為橢圓 的中心。 過中心點且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓兩交點的線段稱為橢圓的短軸。

長短軸與橢圓的焦點都稱為橢圓的頂點。

P F1 + P F2 = 2a ; 兩焦點 F1(x1, y1), F2(x2, y2) , 橢圓長軸長 2a , 兩焦點距離 F1F2 = 2c ,b2 = a2 − c2,e = ac

橢圓的數學式: p(x− x1)2 + (y− y1)2 +p(x− x2)2 + (y− y2)2 = 2a 1. 若 P F1 + P F2 = 2a > F F , 則動點P 的軌跡為橢圓

2. 若 P F1 + P F2 = 2a = F F , 則動點P 在 F F 線段上 3. 若 P F1 + P F2 = 2a < F F , 則動點P 為 ∅

橢圓的方程式:

中心點為原點, 長軸在x軸上的橢圓: p(x− c)2 + y2 + p(x + c)2 + y2 = 2a

1. 移項P F1=2a−P F2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2. 取平方,移項 3. 取平方再整理 左右型:x2 a2 + y2

b2 = 1, (a > b > 0, a2 = b2 + c2) 中心點為原點, 長軸在y軸上的橢圓: px2 + (y− c)2 +px2 + (y + c)2 = 2a

1. 移項P F1=2a−P F2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2. 取平方,移項 3. 取平方再整理 上下型:x2 b2 + y2

a2 = 1, (a > b > 0, a2 = b2 + c2) 橢圓的平移與伸縮:

y

O x

F2(−c, 0) F1(c, 0)

O(h, k)

F2(h − c, k) F1(h + c, k)

y

O x

F2(0, −c)

F1(0, c) O(h, k)

F2(h, k − c)

F1(h, k + c) y

O x

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橢圓的標準式: 平移 (h, k)單位後, 可得





左右型:Γ : (x− h)2

a2 + (y− k)2 b2 = 1 上下型:Γ : (x− h)2

b2 + (y− k)2 a2 = 1 將橢圓 x2

a2+y2

b2 = 1 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得橢圓 x2

(ar)2+ y2

(br)2 = 1 的圖形。

4-2: 橢圓標準式及與圓的關係

4-2: 橢圓的幾何性質

橢圓方程式 中心 焦點坐標 頂點坐標 長軸方程式 短軸方程式 正焦弦長

左右型: (x− h)2

a2 +(y− k)2

b2 = 1 (h, k) (h± c, k) (h± a, k), (h, k ± b) y− k = 0 x− h = 0 2b2 a

上下型: (x− h)

2

b2 +(y− k)2

a2 = 1 (h, k) (h, k± c) (h, k± a), (h ± b, k) x− h = 0 y− k = 0 2b2 a

橢圓的參數式:

(x− h)2

a2 + (y− k)2

b2 = 1 ⇒ n x = h + a cos θ

y = k + b sin θ , 0 ≤ θ < 2π ; 此 θ 夾角非 OP 的水平夾角。

若橢圓上一點 P (a cos θ, b sin θ) 則 OP 與水平軸夾角 α ⇒ tan α = ba tan θ 若 (x − h)2

b2 + (y− k)2

a2 = 1 ⇒n x = h + b cos θ

y = k + a sin θ , 0 ≤ θ < 2π 焦半徑 P F : (以太陽為焦點的行星橢圓軌道的遠日點及近日點)

max P F = a + c ;min P F = a− c

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最短焦弦長就是正焦弦長 = 2ba2 橢圓內接正方形面積為 4a2b2

a2 + b2 ; 內接矩形最大面積為 2ab , 周長為 4√

a2 + b2 橢圓與直線的關係:

1. 不相交 (聯立方程式無解, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ < 0) 2. 恰一交點 (相切: 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ = 0)

3. 兩交點 (聯立方程式為兩解, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ > 0) 例題演練

例題1 求焦點為 (4, 0), (−4, 0) , 長軸長為10的橢圓方程式? [Ans:x2 25 + y2

9 = 1]

例題2 求橢圓 x9 +2 y2

25 = 1的頂點, 焦點坐標與正焦弦長? [Ans: 長軸頂點 (0, 5), (0, −5) , 短軸頂點 (3, 0), (−3, 0), 焦點 (0, 4), (0, −4), 正焦弦長 185 ]

例題3 求橢圓 x25 +2 y2

9 = 1 上一點 P 與兩焦點 F, F所形成的 △P F F 的最大面積?

[Ans:12]

例題4 求直線 x− 4y + 1 = 0 被橢圓 x16 +2 y2

9 = 1 所截出的線段長? [Ans:9517] 例題5 求橢圓 x9 +2 y2

4 = 1 上一點 P 與直線 L : x + 2y + 15 = 0 的最短距離?

[Ans:2√ 5]

例題6 已知坐標平面上一動點 P 到點 (1, 0) 的距離等於它到直線 L : x − 4 = 0 之距 離的 1

2, 求動點 P 所形成的軌跡方程式? [Ans:x2 4 + y2

3 = 1]

習題4-2 空間直線方程式 1. 求滿足下列條件的橢圓方程式?

(a) 中心為 (3, 5) , 長軸平行 x 軸且長為12, 短軸長為8 (b) 長軸上的頂點為 (0, 1), (0, 21), 焦點為 (0, 2), (0, 20)

(c) 中心為原點, 軸為坐標軸, 且過 (2, 3), (−1, 4) 兩點 (d) 兩焦點為 (3, 1), (−1, 1), 長軸長為 2√

5 的橢圓?

2. 求橢圓 4x2 + y2 + 16x + 2y + 13 = 0 的頂點與焦點坐標?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.4 二次曲線 · 3. 求與 x3 +2 y2

10 = 1 有相同的焦點且長軸長為 10 的橢圓方程式?

4. 關於橢圓 Γ : p(x− 1)2 + (y− 2)2 + p(x + 1)2 + (y + 2)2 = 6, 下列何者為 真? (A) (0, 0) 是 Γ 的中心 (B) (1, 2), (−1, −2) 為 Γ 的焦點 (C) Γ 的短軸 為4 (D) Γ 對稱於直線 x = y (E) Γ 對稱於(1, 2), (−1, −2) 兩點的連線

5. 火星繞太陽的軌道是以太陽為焦點的橢圓, 而且火星軌道上之近日點與遠日點和 太陽的距離比為 5 : 6 , 求橢圓軌道之長短軸比?

6. 點 P 在橢圓 Γ : x2

25 + y2

36 = 1 上, 且 P 到一焦點 F1 的距離為7, 則點 P 到另 一焦點 F2 的距離為何?

7. 求過點 P (10, 5) 至橢圓: x2 + 4y2 = 180 之切線方程式有兩條, 試求兩切點坐標 及兩切線方程式?

8. 一動點 P 到 (32, 0) 的距離等於它到直線 x − 6 = 0 的距離一半, 求動點 P 所成 圖形的方程式?

9. 設圓 C 過點 B(−1, 0) 且與圓 C : (x + 1)2+ (y + 2)2 = 9 相切, 又圓 C 的圓 心 P 所形成的圖形為何? 其方程式為何?

10. 已知三角形 ABC 的周長為16且 B, C 為兩定點, 其 BC = 6 , 求頂點 A 的軌 跡方程式?

11. 將橢圓 Γ : x2 9 + y2

16 = 1 以原點為中心伸縮3倍, 所得的新圖形 Γ1 方程式為何?

若將 Γ 上每一點沿 x 方向伸縮4倍, 沿 y 方向伸縮3倍, 所得的新圖形 Γ2 方程 式為何?

4.4.3 雙曲線

雙曲線的定義: 平面上動點P 到兩定點 F1, F2 之距離差的絕對值為定值2a, 即 P F− P F = 2a; (2a < F F = 2c) 則P 點所形成的軌跡稱為雙曲線。 兩定點 F1, F2

稱為雙曲線的焦點, 線段 F1F2 的中點稱為此雙曲線的中心。

雙曲線的數學式: p(x− x1)2 + (y− y1)2p(x− x2)2 + (y− y2)2 = 2a



2a < F F = 2c , P 點軌跡為 : 雙曲線 2a = F F = 2c , P 點軌跡為 : 兩射線 2a > F F = 2c , P 點軌跡為 : ∅

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雙曲線的各要素: 雙曲線上任一點 P 與兩焦點的線段 P F1, P F2 稱為 P 的焦半徑。

過 兩焦點的直線為雙曲線的貫軸線。 過中心點且與貫軸垂直的直線稱為雙曲線的 共軛軸線。 貫軸與雙曲線的交點稱為雙曲線的頂點。

c a

P

F µJÂI³e¶b

V ³»ÂI V' ³»ÂI

F' µJÂI

º¥ªñ½u

¦@³m¶b

-¤¤¤ß

雙曲線的方程式: c2 = a2 + b2 ; a,b 無絕對大小關係。

中心點為原點, 貫軸在x軸上: |p(x− c)2 + y2p(x + c)2 + y2| = 2a

1. 去絕對值, 移項P F1=P F2±2a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2. 取平方,移項 3. 再取平方,整理 左右型:x2 a2 − y2

b2 = 1, (c2 = a2 + b2) 中心點為原點, 貫軸在y軸上: |px2 + (y− c)2px2 + (y + c)2| = 2a

1. 去絕對值, 移項P F1=P F2±2a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2. 取平方,移項 3. 再取平方,整理 上下型:x2 b2 − y2

a2 = −1, (c2 = a2 + b2)

漸近線的意義: 當雙曲線上的動點 P (x, y) 逐漸遠離中心點時, 點 P 就逐漸趨近直線 L1 : y = abx 或 L2 : y = −abx 。 也就是說雙曲線向四個象限往外伸展時, 雙曲線 與此兩條直線就會任意的接近 (不相交)。

亦即 L1, L2 為此雙曲線的漸近線則雙曲線上任意一點 P (x, y) 會滿足 d(P, L1)× d(P, L2) = k , 其中 k = aa22+bb22 為定值。

雙曲線的平移與伸縮:

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 4.4 二次曲線 ·

(h, k)

漸近線

ΓΓ為共軛雙曲線 Γ Γ

1. 雙曲線 Γ 之貫軸是 Γ 的共軛軸。 Γ 之共軛軸是 Γ 的貫軸。

1. 雙曲線 Γ 之貫軸是 Γ 的共軛軸。 Γ 之共軛軸是 Γ 的貫軸。

在文檔中 99mathall (頁 186-200)