• 沒有找到結果。

順伯的窩

在文檔中 99mathall (頁 21-32)

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 · 9. 設 f (x) = x3 − 4x2 + 7x− 1 , 將 f(x) 表成 (x − 2) 的多項式?

(a) 求 f (2.003) 的值, 取近似值到小數點以下第三位?

(b) 求 f (2 +√

3) 值=?

(c) 求 f (x) 除以 (x− 2)2 的餘式?

10. 設 f (x) = x4 − 6x3 + 10x2− 17x + 18 = a4(x− 1)4 + a3(x − 1)3 + a2(x− 1)2+ a1(x− 1) + a0 , 其中 ai ∈ R 則 (a4, a3, a2, a1, a0) =? 又 f (1.01) 之近 似值取至小數點後第四位是多少?

11. 若 x4 − 2x3 + ax2 + 2x− b 能被 x2 + x− 2整除, 求 a =? b =?

12. 設 f (x) = (a + b)x2 + 5x + (c − 2), g(x) = −2x2 + (2a − b)x + 4 , 若 f (x) = g(x), 則 a, b, c =?

13. 多項式 x(x + 1)(x + 2)(x + 3)· · · (x + 9)(x + 10) 的展開式, x11, x9 項的係數 各為?

14. 設 f (x) = (x5 − 2x4 − 3x + 1)4 , 試求 f (x) 的展開式中, 各項係數和? 及其偶 次項係數和?

15. f (x) 為一多項式, a, b ∈ R, a 6= 0 , 若以 (ax − b) 除 f(x) 所得的商式為 q(x) , 餘式為 r, 則將 xf (xa) 除以 (x − b) 的商式及餘式為?

16. 求 (3x + 1)100 除以 (3x + 2) 的餘式?

17. 試求 f (x) = 3x3 − 4x2 + 5x− 2 除以 x − 2 的餘式為何?

18. 已知多項式次數不超過2次, 且滿足 f (1) = 1, f (2) = 2, f (4) = 10, 求 f (3) 的 值?

19. 設 f (x) 為三次多項式, 且 f (1) = f (−1) = 0, f(2) = 9, f(−2) = −15 , 試求 f (x)

20. 設 f (x)為一多項式, degf (x) = 3 且 f (1) = f (2) = f (3) = 4, f (4) = −8 求 f (x) =?

21. 多項式 f (x) = ax2 + bx + c 通過點 (11, 5), (12,−3), (13, 6) 求 f(14) =?

22. x4 + 4x2 + ax + b 可被 x2 + 1 整除, 求 a,b=?

23. 設 f (x) = x7 − 50x5 + 6x4 + 4x3+ 25x2− 30x + 11 , 求 f(7) 的值?

24. 設 f (x) = 3x4 − 17x3 + 28x2 − 11x + 3, 則 f(4 +

√13 3 ) =?

25. 求 115 − 4 · 114 − 73 · 113 − 50 · 112 + 70· 11 + 6 之值?

26. 設 f (x) = x5 + 2x2 − 3x − 1 求 f(1.99) 的近似值至小數點後第三位?

27. 設 f (x) = x3 − 5x2 − kx + 9 可被 x − 3 整除, 則 k =? 又 f(x) = 0 之根為?

順伯的窩

1.2.3 多項式方程式

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 · 實根的幾何意涵:

n 次多項方程式 f (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 = 0 若實數 α 滿足 f (α) = 0 , 則 α 稱為方程式 f (x) = 0 的實數解 (根)。

“實根 α ” 就是函數 f (x) = 0 圖形與 x 軸的相交點橫坐標。

Thinking!

1. 多項式方程式有沒有根?(涉及代數基本定理) 2. 有多少個根?(代數基本定理、 因式定理)

3. 如何求其根?(整係數有理根檢驗法、 實係數勘根定理、 因式定理) 二次方程式的根:

求 一元二次方程式 ax2 + bx + c = 0 的常見方法

• 十字交叉乘法: ax2 + bx + c = (a1x + c1)(a2x + c2) = 0

• 配方法: ax2 + bx + c = a(x + 2ab )2b2−4ac4a = 0

• 公式解: x = −b±pb2 − 4ac 2a

• 根與係數關係: 兩根 α、β 則 (

α + β = −ba αβ = ca

• 根的判別式: ∆ = b2 − 4ac

1. 若 ∆ = b2 − 4ac > 0 則有兩相異實根。

2. 若 ∆ = b2 − 4ac = 0 則為兩相等實根。

3. 若 ∆ = b2 − 4ac < 0 則無實數解。(兩共軛複數根) 判別正負根: ∆ = b2 − 4ac < 0 無法判別

1. 兩正根: ∆ ≥ 0, α + β = −ba > 0, αβ = c a > 0 2. 兩負根: ∆ ≥ 0, α + β = −ba < 0, αβ = c

a > 0 3. 一正根一負根: ∆ > 0, αβ = ca < 0

• 有理係數的一元二次方程式: f(x) = ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ Q 有理根判別: 利用一次因式檢查法(牛頓定理),f (x) 有一次因式 px + q 若有一根形如 d + e√

f 則必有另一根 d− e√ f

1. 有兩相異有理根 ⇔判別式 ∆ = b2 − 4ac > 0 且 ∆ 為完全平方數。

2. 有兩相等有理根 ⇔判別式 ∆ = b2 − 4ac = 0

3. 有兩相異無理根 ⇔判別式 ∆ = b2 − 4ac > 0 且 ∆ 非完全平方數。

一次因式檢查法(牛頓定理):

設 a0, a1, a2· · · an−1, an ∈ Z 若 f(x) = anxn + an−1xn−1+· · · + a1x + a0 有 一次因式 ax + b; a, b ∈ Z, (a, b) = 1 則 a|an, b|a0

勘根定理:

設 f (x) = 0 為一實係數方程式, 若 f (a)f (b) < 0, 則 ∃c ∈ (a, b) 使得 f(c) = 0 即在 a, b 之間 ,至少有一實根 c 使得 f (c) = 0

順伯的窩

1. 若 f (a)f (b) < 0 , 則在 a, b 之間一定有奇數個根。

2. 若 f (a)f (b) > 0 , 則在 a, b 之間無根或有偶數個根。

代數基本定理:

每一複係數 n 次多項方程式 f (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 = 0 恰 有n個複數根。( f (x) 可分解成 n 個複係數一次因式乘積)

韋達定理(方程式根與係數關係):

1. 一元二次方程式: ax( 2 + bx + c = 0 的根為 α, β 則 α + β = −ba

α· β = ca

2. 一元三次方程式: ax 3 + bx2+ cx + d = 0 的根為 α, β, δ 則





α + β + γ = −ba

α· β + α · γ + β · γ = ca α· β · γ = −da

共軛虛根成雙定理:

實係數方程式 f (x) = 0 , 若有複數根 z = a + bi , 則其共軛複數 z = a − bi 亦 為其根。 即 f (z) = 0則 f (z) = 0

二次有理係數方程式 f (x) = 0 , 若有無理根 a + b√

c , 則 a− b√

c 亦為其根(其 中 a, b, c ∈ Q)。

Note: 實係數多項式必可分解成實係數一次因式或二次因式的乘積。

勘根定理:

設 f (x) = 0 為一實係數方程式, 若 f (a)f (b) < 0, 則 ∃ c ∈ (a, b) 使得 f(c) = 0 即在 a, b 之間至少有一實根 c 使得 f (c) = 0

1. 若 f (a)f (b) < 0 , 則在 a, b 之間一定有奇數個根。

2. 若 f (a)f (b) > 0 , 則在 a, b 之間無根或有偶數個根。

正 n 次方根 √n

a 的意義:

設 a > 0, n 是大於1的正整數, 滿足方程式 xn = a 的正實根 x , 記為 √n a 。 正 n 次方根的運算:

1. √n a√n

b = √n ab 2.

n

a

n

b = qn a b 3. (√n

a)m = √n am 4. pmn

a = mn√ a

精選範例

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 ·

例題1 設 a, b ∈ R , 且滿足 (2a− 1) + (ab − 5)i = 5 + 4i , 求 a, b 值?

[Ans::a = 3, b = 3]

例題2 化簡

√5

√−3 =? 又

√√−5

3 =? [Ans:−

√15i 3 ,

√15i 3 ] 例題3 判別二次方程式的根解:

(a) 有理係數方程式整數解的個數: 2x2 − x − 3 = 0 [Ans:整係數因式分解法;1個]

(b) 有理係數方程式有理數解的個數: 2x2 − x − 3 = 0 [Ans:判別式 ∆ 為有理數完全平方數;2個]

(c) 實係數方程式實數解的個數: x2 − 5x + 5 = 0 [Ans:判別式 ∆ > 0 ;2個]

(d) 複係數方程式實數解的個數: 2x2 + 2(1− i)x + (1 − i) = 0 [Ans:設α 為實數解, 代入, 比較實虛部。 無解 ⇒ 兩複數根]

(e) 複係數方程式實數解的個數: x2 + (1− i)x − i = 0

[Ans:設α 為實數解, 代入, 比較實虛部。α = −1 ⇒ 有一實根−1, 一複數根i (根與係數關係)]

例題4 設二次方程式 x2− x − 11 = 0 的兩根為 α, β , 求 αβ + β

α 的值? [Ans:−2311 ] 例題5 已知方程式 x4 − 6x3 + 16x2 − 20x + 12 = 0 有一根是 2 +√

2i , 試解這方程 式? [Ans:x = 1± i, 2 ±√

2i]

例題6 已知方程式 x3 − 2x − 7 = 0 恰有一正根, 則此正根介於哪兩連續整數之間?

[Ans:(2, 3)]

例題7 求方程式 x4− 5x2 − 10x − 6 = 0 的有理根? [Ans:−1, 3

例題8 設方程式 x3 − 3x2 − 13x + k = 0 的三個根成等差數列, 試求 k 值, 並求此方程 式的根? [Ans:k = 15; 三根 −3, 1, 5]

習題2-3 多項式方程式 1. 解二次方程式 x2 + x + 1 = 0

2. 計算 (1 + i√

2 )50+ (1 − i√

2 )50 =?

3. 設 f (x) = x100+ x50 + 1 , 求 f (−1 + i√

2 ) 之值?

4. 設 α = −1 + 2√

2i , 利用餘式定理求 α3 + 2α2 + 8α + 15 的值?

5. 化簡 (1 + i1− i)2002 =?

6. 求 5− 12i 的平方根?

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 · 7. 若 ω = −1 +

√3i

2 , ω3 = 1 求 (−1 +√

3i)10+ (1 +√

3i)10 = a + bi; a, b ∈ R 則 a =?, b =?

8. 設 α, β 是二次方程式 x2 − 2x − 5 = 0 的兩根, 求 α2 + β2 與 α3 + β3 值?

9. 設 α, β 為方程式 x2 + 3x + 4 = 0 的兩根, 試求以 α(β + 1), β(α + 1) 為兩 根的二次方程式為?

10. 已知 α, β 為方程式 5x2 − 7x + 4 = 0 的兩根, 求 α2 + β2 及 1α + 1

β 之值?

11. 利用勘根定理求方程式 x3 + x2 + x− 2 = 0 的一個實根之近似值, 並使其誤差 小於 110 ?

12. 設 f (x) = x3 − 2x2 + ax + b = 0 為一實係數方程式, 且 f (2− i) = −1 − i , 求 a, b值? 並求 f (2 + i) =?

13. 實係數方程式 ax3 + 9x2 + ax− 30 = 0 有一根 −3 + i , 求 a 值? 及其它根?

14. 討論: 方程式 x3+ x− 1 = 0 是否有實根?

15. 利用一次因式檢驗法, 證明 √3

10 是無理數?(hint:f (x) = x3 − 10 = 0 沒有有理 根)

16. 化簡下列方根: A = (√6

25)3 = ? B = √5

72×√5

108 =?

17. 若 a, b ∈ R , 且 −2 + bi 是方程式 x2 + ax + (a + 3) = 0 的一根, 求數對 (a, b) =?

18. 解方程式 3x3− 14x2 + 5x + 2 = 0 19. 解方程式 x3 − 3x2 − x + 6 = 0

20. 用牛頓定理解方程式 x3 + x2 − 10x − 6 = 0

21. 若 x3 + 3x2− 9x + c 恰可分解兩個相異整係數一次因式, 試因式分解 f(x) , 並 求出 c 值?

22. 設 f (x) = −4x3 + 5x2+ ax + 4 有 x + 2 的一次因式, 求 a =?

23. 試證: 820− 520 是3的倍數也是13的倍數。

24. 設 a, b ∈ N , 且整係數多項式 f(x) = x5− 2ax4 + x3 − bx2+ x− 2 有一次因 式。 則a =?, b =?

25. 試因式分解 x3 − 3x2 − x + 3

26. 整係數多項式 f (x) = 9x4+ax3+bx2+cx+1 有四個相異一次因式, 求 a−b+c =

?

27. 設多項式 f (x) = 2x4− 9x3 + 3x2 + 24x + 10, 先求 f (x) = 0 的有理根, 進而 解方程式 f (x) = 0

順伯的窩

28. 若 a, b ∈ R , 且方程式 x4− x3 + x2 + ax + b = 0 有一根為 1− 2i , 求 a, b值?

並解此方程式?

29. 設 α, β, γ 為方程式 x3 − 3x2 + x− 4 = 0 之三根, 求 α2 + β2 + γ2 =?

30. 實係數多項式 f (x) , 若 f (3− 2i) = −5 + 4i , 則 f(3 + 2i) =?

31. 設 f (x) = x4 − x3 − 9x2 + 2x + 10 = 0, 則方程式 f (x) = 0 的實數根在那些 連續的整數之間?

32. 若方程式 2x4 − x3 + 2x2 − 6x − 5 = 0 , 有一根 1 +

√5

2 ; 求此方程式的其他 三根為?

33. 設方程式 x4+ ax3+ bx2− 4x − 12 = 0 其中兩解為2與 −3 , 試求 a 與 b 的值 及其他解?

34. 指出方程式 x3 − 3x2 + 2x + 7 = 0 的實根在那兩連續整數之間?

35. 判別方程式根:

(a) 判別方程式 x3− 3x2− 2x − 2 = 0 是否有有理根?

(b) 判別方程式 x3− x + 6 = 0 是否有有理根?

(c) 方程式 x3 + 2x2 −√

2x− 2√

2 = 0 是否有有理根?

(d) 方程式 12x3 − 8x2 − 21x + 14 = 0 有幾個實數根?

(e) 方程式 x3 + x2 − 2x + 1 = 0 有幾個正實數根?

(f) 方程式 x2 − (1 + i)x + i = 0 是否有實數根? 若有則實根為何?

1.2.4 多項式不等式

不等式的基本性質: 不等式左右兩式, 未具等量乘律。 不可任意乘除一數 · · · 實數次序性質:

1. 三一律: a > b, a = b, a < b 三式中恰有一式會成立。

2. 遞移律: 若 a > b 且 b > c 則 a > c

3. 加法律: 若 a > b , 則 a + c > b + c (c∈ R) 4. 乘法律 : 若 n a > b, c > 0 則 ac > bc

a > b, c < 0 則 ac < bc 二次不等式的恆正與恆負:

幾何觀點: 函數圖形恆在 x 軸上方表 f (x) 值恆為正數。 函數圖形恆在 x 軸下方 表 f (x) 值恆為負數。

代數觀點:

1. 若 f (x) = ax2 + bx + c > 0 恆成立, 表方程式 f (x) = 0 無實數解。 故 b2 − 4ac < 0 且 a > 0

2. 若 f (x) = ax2 + bx + c < 0 恆成立, 表方程式 f (x) = 0 無實數解。 故 b2 − 4ac < 0 且 a < 0

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 · 高次不等式的解法:

代數觀點:

先將其因式分解, 可直接去除恆正 (負) 的二次因式。

f (x) = a(x− xn)· · · (x − x3)(x− x2)(x− x1) ≶ 0, a > 0

將 f (x) = 0 的實數解畫記在 x 軸上, 由右往左依序採一正 , 一負的區間分別為 不等式f (x) > 0 及 f (x) < 0 的解。

+ +

- -+

x x

x

x 4 3 2 1

2-4: 高次多項式不等式 f (x) 正負的取值區間

幾何觀點: 先作出函數圖形, 再由函數值正負判別出高次多項不等式的區間。

分式不等式: (Note: 分母不為0)

1. 先移項通分化簡, 切記不可交叉相乘 (因無法知公倍式值正負)。

g(x)

f (x) > h(x)

k(x) ⇒ 移項通分 ⇒ A(x)

B(x) > 0, B(x) 6= 0 2. A(x)

B(x) ≤ 0 ⇒ A(x)B(x) ≤ 0, B(x) 6= 0 精選範例

例題1 解一次不等式 1 < −3x + 14 ≤ 7 [Ans:−9 ≤ x < −1]

例題2 解不等式 x3 − 5x2 + 2x + 8 < 0 [Ans:x < −1, 2 < x < 4]

例題3 若不等式 ax2 + 5x + b > 0 的解為 −12 < x < 3 , 求實數 a, b 值?

[Ans:a = −2, b = 3]

例題4 設 a, b 為實數, 且二次不等式 −x2+ ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3 , 求a, b 的 值? [Ans:a = 1, b = 6]

例題5 解不等式 x8 − 1 < 0 [Ans:−1 < x < 1]

例題6 已知多項式函數圖形如右; 問 f (x) > 0 的解為何? 方程式 f (x) = 0 的根為何?

順伯的窩

[Ans:x < −2, −1 < x < 1, x > 1; x = −2, −1, 1]

x y

y = f (x)

−2 −1 1

例題7 解不等式:

(a) (x− 1)2(x + 2)(x− 3) < 0 [Ans:−2 < x < 3, x 6= 1]

(b) (x− 1)3(x + 2)(x− 3) < 0 [Ans:x <−2, 1 < x < 3]

(c) (x− 1)(x2+ 4x + 3)(x− 2) > 0 [Ans:x > 2,−1 < x < 1, x < −3 ] 習題2-4 多項式不等式

1. 若 i = √

−1 則下列敘述何者為真? (1) 3 + i > 2 + i (2) i28 > i26 (3) (3 + 2i)(3− 2i) > 0 (4) √

−2√

−3 = √

6 (5) −2−3 = q23

2. 若對任意實數 x, 二次式 kx2 + 2x + k 的值恆為正數, 求實數 k 的範圍?

3. 解不等式 −2x2 + 4x− 5 > 0

4. 設二次不等式 f (x) = ax2+ bx + c < 0 之解為−6 < x < 4, 求f(2x) > 0之解?

5. 不等式 ax2 − 3x + b > 0 的解為 −3 < x < 12, 求實數 a, b 的值?

6. 已知 k ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = x2 + kx + (k + 1) 恆為正數, 求實數 k 之範圍?

7. 設 a ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = ax2+ 2a(1− a)x + 4a 恆為負數, 求實數 a 之範圍?

8. 多項式 f (x) = x4 − 5x3 + 3x2 + 19x− 30, 有一複數根 2 + i , 若實數 a 滿足 f (a) < 0, 求 a 的範圍?

9. 解不等式:

(a) (x2 + 3x− 4)(x2 − 5x + 6) < 0 (b) 不等式: (x− 1)2(x− 2) > 0

(c) 不等式: 6x3 + 7x2 − 9x + 2 > 0 (d) 不等式 −x2 + 2x > 7

10. 二次函數 y = f (x) = (5−m)x2−6x+(m+2), m ∈ R 圖形恆在直線y = −3的 上方, 則 m 的範圍為?

11. 已知 k 為實數且方程式 x2 + (2− k)x + k = 0 的兩根為相異實數, 則 k 之範圍

為何?

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 · 12. 解分式不等式:

(a) x + 3

x2 − x − 2 < 0 (b) x2 − 4

x + 1 > 0 (c) 1

x + 2 < 3 (d) 3

x + 2 < x 13. 解下列不等式:

(a) f (x) = (1− x)(x + 1)(x − 2)(x − 3) < 0 (b) g(x) = (x + 1)(x− 2)2(x− 3) ≥ 0

(c) h(x) = (x + 1)(x− 2)3(x− 3)(x2 − x + 3) ≥ 0 (d) 4x + 6

x2 + x− 12 ≤ −1

(e) (2− x)(x2 − 3x + 1) < 0 (f) 3x3 − 14x2+ 5x + 2 > 0

在文檔中 99mathall (頁 21-32)