99mathall

高三數學科

P

復習講義

範圍

:

高中

99

課綱數學一、 二、 三、 四、 冊

選修甲、 乙上下冊

高

三

:

班

號

學

生

:

演練

指 導 教 師

:

老師

新營高中

鄭國順 編

版本修訂

:2013

年

8

月

3

日

目 次 1 數學第一冊 1 1.1 數與式 _{. . . . 1} 1.1.1 數與數線 . . . 1 1.1.2 式的運算 . . . 5 1.2 多項式函數 _{. . . . 8} 1.2.1 簡單多項式函數及其圖形 _{. . . . 8} 1.2.2 多項式的運算與應用 _{. . . 13} 1.2.3 多項式方程式 . . . 18 1.2.4 多項式不等式 . . . 24 1.3 指數對數函數 _{. . . 27} 1.3.1 指數與指數定律 _{. . . 27} 1.3.2 指數函數及其圖形 _{. . . 29} 1.3.3 對數與對數定律 _{. . . 32} 1.3.4 對數函數及其圖形 . . . 33 1.3.5 指數與對數的應用 _{. . . 37} 2 數學第二冊 41 2.1 數列與級數 . . . 41 2.1.1 數列與數學歸納法 _{. . . 41} 2.1.2 級數 _{. . . 43} 2.2 排列、 組合 _{. . . 46} 2.2.1 邏輯、 集合與計數原理 _{. . . 46} 2.2.2 排列與組合 . . . 51 2.2.3 二項式定理 _{. . . 61} 2.3 機率_{. . . 63} 2.3.1 樣本空間與事件 _{. . . 63} 2.3.2 機率的定義與性質 _{. . . 64} 2.3.3 條件機率與貝氏定理 . . . 67 2.4 數據分析 . . . 72 2.4.1 單變量數據分析 _{. . . 72} 2.4.2 雙變量數據分析 _{. . . 79} 3 數學第三冊 87 3.1 三角_{. . . 87} 3.1.1 直角三角形的邊角關係 _{. . . 87} 3.1.2 廣義角與極坐標 _{. . . 90} 3.1.3 正弦、 餘弦定理與面積公式 _{. . . 96} 3.1.4 差角公式 . . . 98 3.1.5 三角測量 . . . 101 3.2 直線與圓 _{. . . 104}

3.2.1 直線方程式及其圖形 _{. . . 104} 3.2.2 線性規劃 _{. . . 108} 3.2.3 圓與直線關係 _{. . . 113} 3.3 平面向量 _{. . . 117} 3.3.1 平面向量的運算 _{. . . 117} 3.3.2 平面向量的內積 _{. . . 122} 3.3.3 平面上的直線 _{. . . 125} 3.3.4 面積與二階行列式 _{. . . 128} 4 數學第四冊 133 4.1 空間向量 _{. . . 133} 4.1.1 空間概念 . . . 133 4.1.2 空間向量的坐標表示法 . . . 138 4.1.3 空間向量的內積 . . . 143 4.1.4 外積、 體積與行列式 _{. . . 145} 4.2 空間中的平面與直線 _{. . . 151} 4.2.1 平面方程式 _{. . . 151} 4.2.2 空間直線方程式 _{. . . 153} 4.2.3 三元一次聯立方程式 . . . 159 4.3 矩陣_{. . . 164} 4.3.1 線性方程組與矩陣 _{. . . 164} 4.3.2 矩陣的運算 _{. . . 167} 4.3.3 矩陣的應用 _{. . . 171} 4.3.4 ⊚平面上的線性變換與二階方陣 _{. . . 175} 4.4 二次曲線 _{. . . 181} 4.4.1 拋物線 _{. . . 181} 4.4.2 橢圓 _{. . . 188} 4.4.3 雙曲線 _{. . . 191} 5 選修乙上 197 5.1 機率統計II . . . 197 5.1.1 隨機的意義 . . . 197 5.1.2 期望值、 變異數、 標準差 _{. . . 199} 5.1.3 獨立事件 . . . 202 5.1.4 二項分佈 . . . 204 5.1.5 抽樣與統計推論 . . . 208 5.2 三角函數的性質與圖形 . . . 222 5.2.1 弧度與弧長 . . . 222 5.2.2 三角函數的性質 . . . 223 5.2.3 三角函數的圖形 . . . 227 6 選修乙下 237 6.1 極限與函數 _{. . . 237} 6.1.1 數列及其極限 _{. . . 237} 6.1.2 無窮等比級數 _{. . . 239} 6.1.3 函數的概念 _{. . . 241} 6.1.4 函數的極限 _{. . . 245} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math _· 7 選修甲上 255 7.1 機率統計_{II . . . 255} 7.1.1 隨機的意義 _{. . . 255} 7.1.2 二項分佈 _{. . . 260} 7.1.3 抽樣與統計推論 _{. . . 265} 7.2 三角函數 _{. . . 279} 7.2.1 弧度、 弧長 _{. . . 279} 7.2.2 三角函數的性質與圖形 _{. . . 280} 7.2.3 三角函數的圖形 . . . 285 7.2.4 三角函數的應用 . . . 292 7.2.5 複數的幾何意涵 . . . 295 8 選修甲下 301 8.1 極限與函數 _{. . . 301} 8.1.1 數列及其極限 _{. . . 301} 8.1.2 函數的概念 _{. . . 305} 8.1.3 函數的極限 _{. . . 309} 8.2 多項式函數的微積分 _{. . . 316} 8.2.1 微分 _{. . . 316} 8.2.2 函數性質的判斷 _{. . . 321} 8.2.3 積分的意義 _{. . . 335} 8.2.4 積分的應用 . . . 343 9 習題答案 355 9.1 數學第一冊習題答案 _{. . . 355} 9.1.1 第一章 . . . 355 9.1.2 第二章 . . . 356 9.1.3 第三章 _{. . . 358} 9.2 數學第二冊習題答案 . . . 360 9.2.1 第一章 _{. . . 360} 9.2.2 第二章 _{. . . 360} 9.2.3 第三章 _{. . . 362} 9.2.4 第四章 _{. . . 363} 9.3 數學第三冊習題答案 _{. . . 365} 9.3.1 第一章 _{. . . 365} 9.3.2 第二章 _{. . . 367} 9.3.3 第三章 _{. . . 369} 9.4 數學第四冊習題答案 _{. . . 371} 9.4.1 第一章 . . . 371 9.4.2 第二章 . . . 372 9.4.3 第三章 . . . 373 9.4.4 第四章 . . . 374 9.5 數學乙上習題答案 . . . 376 9.5.1 第一章 _{. . . 376} 9.5.2 第二章 _{. . . 378} 9.6 數學乙下習題答案 . . . 380 9.6.1 第一章 _{. . . 380} 9.7 數學甲上習題答案 . . . 382 9.7.1 第一章 _{. . . 382} 順伯的窩

9.7.2 第二章 _{. . . 384}

9.8 數學甲下習題答案 _{. . . 387}

9.8.1 第一章 . . . 387

9.8.2 第二章 _{. . . 388}

第 1 冊 數學第一冊 第 1.1 單元 數與式 1.1.1 數與數線 整數 Z: 包含正整數 (可數數 Z+ )、0、 負整數三類。(自然數 N :1, 2, 3,_{· · · 。 皮亞諾假設} 自然數定義: 0, 1, 2, 3, · · · ) 有理數 Q: 若 m, n 均為整數, 且 n 6= 0 , 凡可表示成 p 整數比 m_ny 的數, 稱為有理數。 整數、 有限小數 (最簡分數後, 分母只含2或5的質因數)、 循環小數 (最簡分數後, 分母含有2或5以外的質因數) 都可化為 “整數比 m_{n ” , 都是有理數。} 有理數的四_則運算: 1. ba + dc = bc + adac 2. ba − dc = bc− adac 3. ba × dc = bdac 4. ba ÷ dc = a ×b _dc = bc_ad 有理數運算律: r, s, t 為有理數 1. 加法交換律: r + s = s + r 。 乘法交換律: r _{· s = s · r} 2. 加法結合律: (r + s) + t = r + (s + t) 。 乘法結合律: (r· s) · t = r · (s · t) 3. 分配律: r· (s + t) = r · s + r · t 有理數次序: r, s, t 為有理數 三一律: r > s, r = s, r < s 三式中恰有一式成立。 遞_{移律: 若 r > s 且 s > t 則 r > t} ( 若r > s 則 r + t > s + t r > s, t > 0 則 rt > st r > s, t < 0 則 rt < st 稠_密性: 數線上對應整數的點稱為整數點。 對應有理數的點稱為有理點。 數線上的任何區段

中, 都有“無限多個”同樣的對應點, 具有此性質稱為稠密性。 整數無稠密性。 (任意兩相異有理數之間, 都可找到一個有理數) 有理數具有稠密性。(稠密性隱藏“無 窮”的意涵) 有理點的尺規_{作圖: (每個有理點均可尺規作圖)} 相似三角形: △P MN ∼ △P QR ⇔ P M : P Q = P N : P R = MN : QR 若 P B//AD 則 OP : OA = OB : OD P Q R M N O P A B D L 1. 數線上 ←→OA 2. 過原點 O 作一直線 L 3. 在 L 上作 n 等分點 B, D, 使 OB : OD = m : n , 連接 AD , 過 B 點作 平行 AD 直線, 交數線於 P 點。 則 OP = OB OD × OA = mn OA 無理數: 數線上, 不是有理數的數, 稱為無理數 (無法化為兩整數比值的數)。 形_{如 √n 的無理數:} 自然數 n 的標準分解式中, 某一個質因數出現奇數次方時, 則 √n 為無理數。 √ n 的無理數的尺規作圖: 若 n 可表示成兩整數平方和, n = a2+ b2 可利用直角 三角形畢氏定理斜邊長 = √n。 或利用直角三角形母子相似定理: AB2 = BC × BD, AD2 = BD× CD, AC2 = BC × CD 比例中項作圖: √AD = pBD× CD A B D C _{P E Q} L F 無理數的近_似值: 形如 √n 的無理數, 無理數 √n = √a2 _{± b= a}. _{± b} 2a 。 _順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數與式 _· 無理數的_多樣性: 除了形如 √n 的無理數外, 諸如 √3 2 = 1.25992105· · · 、1 + √3 = 2.732 、 圓 周_{率 π = 3.141592653 · · · 、 特殊數 e = 2.7182818284 · · · , 化成十進位數都} 是“不循環的無限小數”。 我們可造成許多無理數, 如 0.101001000100001 · · · , 它是由0與1組成, 夾在兩 個1之間“0的個數”逐漸增加, 是一個不循環的無限小數。 實數 R : 有理數與無理數合在一起稱為實數。 任意實數 α , 則 α2 _{≥ 0} C N Z Q R 數 系 自然數 ⊂ 整數 ⊂ 有理數 ⊂ 實數 ⊂ 複數 N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 複數 _C                實數_{R, (平方 ≥ 0)}            有理數_Q        整數_Z ( 正整數(自然數)N 零 負整數 分數 小數(有限小數、 無限小數) 無理數(不可化為分數) : π, e,√2,√3 2,· · · 虛_數i 數線坐標: 數線上的所有點的集合為實數, 若數線上 A 點對應點為 a, 稱為 A 點在數線上的 坐_{標。 記為 A(a)} 實數的四則運算與次序: 1. 數線上兩實數 a, b 則 a + b, a_{− b, ab, ba, (a 6= 0) 仍為數線上實數點。} 2. 實數仍具有運算律中的結合律、 交換律、 分配律。 3. 數線上愈右邊的點愈大。 a− b > 0 稱 a 大於 b , 記為 a > b 4. 實數次序性質仍具有三一律、 遞移律、 加法律、 乘法律。 有理數與無理數的_和與積: 1. 有理數與有理數的和與積仍為有理數。 2. 有理數與無理數的和為無理數。 3. 有理數 (不為0) 與無理數的積為無理數。 4. 兩個無理數的和或積可能為有理數, 也有可能為無理數。 5. 設 a, b, c, d 均為有理數,x 為無理數; 若 a + bx = c + dx 則 a = c, b = d 順伯的窩

算幾_不等式:

若 a, b 為非負實數, 則 a + b_{2 ≥}√ab 。 且當 a = b 時, 等式才成立。

絕_對值:

數線上對應的點 A(a) , 用符號 |a| 表示原點 O 與點 A(a) 的距離, |a| 為 a 的 絕對值。

絕_{對值的性質:}

1. 當 a≥ 0 時, |a| = a。 a < 0 時, |a| = −a 。

2. 數線上兩點 A(a), B(b) 的距離為 AB =|a − b| = |b − a| 3. 絕對值性質: 兩實數 a, b (a) _{|a| ≥ 0} (b) |a| = | − a| (c) |a|2 _{= |a}2_| (d) |a||b| = |ab| (e) |a| |b| = |ab|, b 6= 0 (f) |a| ≤ |b| ⇔ a2 _{≤ b}2 (g) 三角不等式 |a + b| ≤ |a| + |b| 精選範例 例題1 已知 √5 < √6 < √7 , 試問 √6 比較接近 √5 或 √7 ? [Ans:較接近 √7] 例題2 設 a, b 為有理數, 且滿足 (a_{− b) + (a + b)}√2 = (3− a) + (4 − b)√2 , 求 a, b 值? [Ans:a = 2, b = 1] 例題3 設 a, b 為實數, 且滿足 (a₋₁₎2+(b₋₂₎2 = 0 , 求a, b 值? [Ans:a = 1, b = 2] 例題4 設 a, b, c 為整數, 且滿足 (a − 1)2 _{+ 2(b− 2)}2 _{+ 3(c + 1)}2 _{= 1 , 求a, b, c 值?} [Ans:a = 0, 2, b = 2, c = −1] 例題5 設 a, b, c 為整數, 且滿足 _{|a − 1| + 2|b − 2| + 3|c + 1| = 1 , 求a, b, c 值?} [Ans:a = 0, 2, b = 2, c = _−1] 例題6 若 a 為正整數, 且 13_{99 < 0.1a2 <} 14_{99 ,} 求 a 值? [Ans:a = 3] 習題1-1 數與數線 1. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為整數, 則 a, b 是否為整數? 2. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為有理數, 則 a, b 是否為有理數? 3. 已知 a, b 為有理數, 且 (2₋√2a + 5√2b = 4 + 3√2) , 求 a, b 值? 4. 將 _{5607 −}1 ₆₈₅₃1 化為最簡分數 b_{a , 求分母 a 及分子 b?} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數與式 _·

5. 將 _{4369 +}1 ₅₉₁₁1 化為最簡分數, 則其分母為 ?

6. 設 a, b ∈ Q 且 a < b , 則下列何者為真? (A)a < 2a + b₃ < a + 2b₃ <

b (B)a < 3a + b₄ < a + 3b₄ < b (C)a < a + 3b₄ < 2a + 2b₄ < b (D)a < a + b 3 < b (E)a < 3a + 2b5 < 2a + 3b5 < b 7. 滿足 27 < 300 <n 116 的正整數 n有幾個? 8. 設 x, y ∈ Q, 若 (2 +√5)x + (1−√5)y = 8− 2√5 , 求 x,y 之值? 9. 設 a ∈ R, 若 a12 _{∈ Q 且 a}5 _{∈ Q 則 a 是否必為有理數?Why?} 10. 設 37 化為小數後, 小數點以下第 n 位數字為 f(n), 則 f(1) + f(2) + · · · + f (12) =? 11. 求滿足 |3x + 1| = 4 的實數 x 值? 12. 解方程式 _{|x − 1| + 2|x − 4| = 6, x ∈ R} 13. 設 x, y 為正實數且 x + y = 2 , 求 2y_{x +} 2x_{y 的最小值?} 14. 設 a, b 是正實數, 試證: a + b₂ ≥√ab (算幾不等式) 1.1.2 式的運算 乘法_公式: 1. 完全平方公式: (a_{± b)}2 = a2 _{± 2ab + b}2 2. 平方差公式: a2 − b2 _{= (a + b)(a− b)} 3. 立方和公式: a3 + b3 = (a + b)(a2 _{− ab + b}2) 4. 立方差公式: a3 − b3 _{= (a− b)(a}2 _{+ ab + b}2₎ 5. 和立方公式: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a3 + b3) + 3ab(a + b) 6. 差立方公式: (a− b)3 _{= a}3 _{− 3a}2_{b + 3ab}2 _{− b}3 _{= (a}3 _{− b}3_{)− 3ab(a − b)} 分解因式: 把_{二次或二次以上的式子分解成較低次數的因式乘積, 稱為因式分解。} 常見的因式分解方法: 1. 先提出公因式:(分組配對) 物以類聚法。 2xy + y _{− 2xz − z} 2. 乘法公式: 平方公式、 平方差公式、 立方和、 立方差、 完全立方公式等。 3. 十字交叉乘法 (二次三項式):(ax + b)(cx + d) 4. 雙十字交叉乘法:(a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) 5. 拆項配方 (乘法公式) 法: x4 + x2 + x 順伯的窩

根_{式的運算性質:} a _{≥ 0,}√a 表為方程式 x2 _{= a 的非負解。} 1. 若 a, b > 0 則 √a2_{b = a}√_b 2. 若 a, b > 0 則 √a√b = √ab 3. 若 a, b > 0 則 √ a √ b = q a b 4. √x2 _{= |x|、 (}√_x)2 _{= x 、 (}√n _x)n _{= x} 根式 有理化因子 乘積 單項二次根式 √_a √_{a (}√_a)2 二次根式 √_{a +}√_b √_a−√_{b (}√_a)2 _{− (}√_b)2 二次根式 √a₋√b √a +√b (√a)2 _{− (}√_b)2 單項三次根式 √3 _a √3 _{a2 (}√3 _a)3 單項三次根式 √3 a2 √3 _{a (}√3 _a)3 三次根式 √3 _{a +}√3 _{b [(}√3 _a)2 ₋√3_{ab + (}√3_b)2_{] (}√3 _a)3 _{+ (}√3 _b)3 三次根式 √3 _a −√3 b [(√3 _a)2 ₊√3 _{ab + (}√3 _b)2_{] (}√3_a)3 − (√3 b)3 三次根式 _[(√3 _a)2₋√3 _{ab + (}√3 _b)2_] √3 _{a +}√3 _{b (}√3 _a)3 _{+ (}√3 _b)3 三次根式 _[(√3_a)2 ₊√3 _{ab + (}√3 _b)2_] √3 _a−√3 _{b (}√3_a)3 _{− (}√3 _b)3 雙重根式的_化簡: p x± 2√y = q (a + b)± 2√ab = q (√a±√b)2 _{= |}√_a±√_b| 分點公式: 分點公式: 設 A(a), B(b) 為數線上相異兩點, 若點 P (x) 是線段 AB 上的一點 且 P A : P B = m : n, 則 P (x) = (nb + ma_{n + m )} 絕_{對值不等式:} 1. |x| ≤ a 充要條件為 −a ≤ x ≤ a 。 2. |x| ≥ a 充要條件為 x ≥ a或x ≤ −a 。 精選範例 例題1 比較三實數大小: a = √6 +√7, b = √3 +√10, c =√2 +√11? [Ans:a > b > c] 例題2 計算 (3√2− 2√3)2 + (3√2 + 2√3)2 =? [Ans:60] 例題3 設 x = 2₋√3 , 求(1)x+ 1_{x = (2) x}2+ 1 x2 = (3) x 3_{+ 1} x3 = [Ans:(1)4, (2)14, (3)52] 例題4 化簡 p17 + 12√2 為 √a +√b 的形式, 其中 a, b 為正整數? [Ans:3 + 2√2]

例題5 設 x, y 為正實數且 x+y = 24 , 求 xy 的最大值? [Ans:x = y = 12,max=144

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數與式 _· 例題6 解一次不等式 1 < −3x + 1_{4 ≤ 7} [Ans:−9 ≤ x < −1] 習題1-2 式的運算 1. 設 a = 1 + √ 5 2 , 則下列選項何者的值與 a 相等?(1) 0.618 (2) 1a + 1 (3) 1 a_{− 1} (4) a2 − 1 (5) √ a + 1 2. 無理數 p17 + √80 的小數表示法中, 其整數部份為 ? 3. a = √21, b = p21 +√21 , 問 a, b 分別最接近哪一整數? 4. 化簡根式: p18− 2√77 =? p9 + 4√5 =? 5. 比較 a,b 大小? a = √5 +√3, b = √6 +√2 6. 展開下列各式: (a) (2x3 + 3x_{− 1)(x}2 + 4) (b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 _{− ab − bc − ac)} 7. 因式分解下列各式: (1) x4 + 3x2 + 4 (2) x2 _{− 8xy + 15y}2 + 2x_{− 4y − 3} 8. 因式分解下列各式: (a) (x + 4)(x− 9) + 5x (b) x6 − 81 (c) x2 + y2 − z2 _{+ 2xy} (d) (2x_{− 5)(x + 1) + (3x + 2)(x + 1)} (e) 2(3x + 1)2 _{− 3(3x + 1)(x − 3) + (x − 3)}2 9. 將 96_{− 64 寫成標準分解式} 10. 計算下列式子的值? (a) 2011× 2012 − 2009 × 2013 (b) 40.5_{× 39.5} (c) (19)3 (d) (10.1)3 11. 設 a = √3 + 1, b = √3_{− 1 , 求} (a) a + b = (b) ab = (c) a_{− b =} (d) a2 + b2 = 順伯的窩

(e) a2 _{− b}2 = (f) a3 + b3 = 12. 設 x = p7−√40, y =p7 +√40 , 試求 x2+ 3xy + y2 之值? 13. 已知 a = √ 3 + 1 √ 3− 1, b = √ 3− 1 √

3 + 1 求下列各值: (1)a+b (2)ab (3)a

2_+b2 _(4)a2_−b2 14. 若 x = 1 + √ 5 2 證明: x2 = x + 1 並求 x3 − x2− x + 1 值? 15. 設 a = √12 +√5, b = √14 +√3, c = √10 +√7 試比較a,b,c 大小 16. 化簡並求出其值: (a) (1 +√3₋√6)(1₋√3 +√6) =? (b) √ 54 3 + √3₆ − 8√₂₄ (c) p9− 4√2−p11 + 6√2 17. 數線上兩點 A(_{−1), B(5) , 求} (a) AB =? (b) 已知 AB 線段上一點 P , 使 P A : P B = 2 : 1 , 求 P 點坐標? (c) 已知 AB 直線上一點 P , 使 P A : P B = 2 : 1 , 求 P 點坐標? 18. (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x7)2 展開式中的 x3 _{項係數及所有} 係數和為多少? 19. 多項式x(x + 1)(x + 2)(x + 3)_{· · · (x + 9)(x + 10)的展開式,x}11, x9項的係數各 為? 20. 設 x, y 為實數且 x + y = 2, x2 + y2 = 3 , 求 2y_{x +} 2x_{y 的值?} 21. 設 x, y 為正實數且 x + y = 2 , 求 2y_{x +} 2x_{y 的最大值?} 22. 設 a, b ∈ R, 若 |ax − 3| ≤ b 的解為 −8 ≤ x ≤ 3, 求數對 (a, b) =? 23. 解不等式: _{|x − 4| + |x + 3| > 5} 第 1.2 單元 多項式函數 1.2.1 簡單多項式函數及其圖形 函數的_定義: 兩變數 x, y 若 y 是隨著 x 所取的值, 依某種對應關係而變的值, 稱 y 是 x 的函 數對應。 用 y = f (x) 表示。 其中 x 稱為自變數, 取值稱為函數的定義域。 而 y 稱為應變數 (因變數), 其取值 稱為函數的值域。y = f (a) 稱為 x = a 時的函數值。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 多項式函數: 多項式: 用未知數 x 正整數次方經過加、 減、 乘運算所形成的式子。 多項式函數: 型如 f (x) = anxn+ an₋₁xn−1+· · · + a2x2+ a1x + a0 , 次數 deg f (x) 為 n , 領導係數為 an。 常數多項式: f (x) = a0, a0 6= 0 稱為零次多項式。 零多項式:f (x) = 0 稱為零多項式 (無次數可言)。 一_次函數: f (x) = ax + b, a _{6= 0 又稱為線性函數。 圖形為斜率為 a, b 為直線 L 的截距。} 直線的斜率: 直線 L 與 x 軸正向的夾角稱為斜角θ, 則直線斜率 m = ∆y_∆x = y2 − y1 x2 − x1 = tan θ x y L : y = mx + b ∆x ∆y 點斜式:y − b = m(x − a) , 表必過點 (a, b) , 斜率為 m 的直線。 二_{次函數 f (x) = ax}2 _{+ bx + c 圖形與係數關係:} 1. a 值: a > 0 開口向上, a < 0 開口向下。 2. b 值: 由頂點坐標 (−b_{2a , −}b2 − 4ac_4a ) 在哪一象限判斷來決定。 3. c 值: 圖形與 Y 軸交點坐標 (0, c) 位置來判定。 4. ∆ = b2 _{− 4ac :} 由圖形與 X 軸交點個數判定 (交點即方程式 ax2 _{+ bx + c = 0 之解)} (a) 若圖形與 X 軸交兩點 ⇔ ∆ > 0 (b) 與 X 軸相切 (交一點) _{⇔ ∆ = 0} (c) 與 X 軸不相交 ⇔ ∆ < 0 x y D > 0: 與 x 軸交兩點 x y D = 0: 與 x 軸相切, 恰交一點 x y D < 0: 與 x 軸不相交 二次函數恆正_{、 恆負的條件:} f (x) = ax2 + bx + c 1. 若 _{∀x ∈ R, f(x) ≥ 0 ⇔ a > 0, b}2 _{− 4ac ≤ 0} 2. 若 _{∀x ∈ R, f(x) ≤ 0 ⇔ a < 0, b}2 _{− 4ac ≤ 0} 二_{次函數的極值:} f (x) = ax2 + bx + c 順伯的窩

1. 當 x = −b_2a 時    a > 0 , f (x)有最小值 _{− b}2 − 4ac_4a a < 0 , f (x)有最大值 − b2 − 4ac_4a 2. 若 m ≤ x ≤ n , 則二次函數: f (x) 最大值與最小值發生在 x 的左右兩端點或頂點 x = −b_{2a ,} 這三點其中的 兩點。 ³»ÂI ³»ÂI ³»ÂI ³»ÂI (m,f(m)) (m,f(m)) (n,f(n)) (n,f(n)) a>0 a<0 圖 2-1: 二次函數極值的發生點 三次_{、 四次單項式函數圖形特徵:} 1. 三次單項式 y = f (x) = x3 的圖形: 遞增性、 圖形對稱於原點。 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 y = x3 三次函數y = x3_圖形 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 y = x3 y = 2x3 y =1 2x3 三次函數圖形的伸縮 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 y = x3 y = (x− 2)3 三次函數圖形的平移 2. 四次單項函數圖形 :y = f (x) = x4 的圖形:  x _{≥ 0 f(x)為遞增} x ≤ 0 f(x)為遞減 、 圖形 對稱於 y 軸。 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 函數y = x4 _圖形 −4 −2 2 4 6 8 −5 5 10 y = x4 y = (x− 3)4_{+ 2} y = x4_{圖形的每一點平移(3, 2)單位} 函數的遞_{增與遞減:} 若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若 x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≤ f(x2) 則稱函數 f (x) 為遞增函數。 (恆有 f (x1) < f (x2) 則稱嚴格遞增函數) 若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若 x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≥ f(x2) 則稱函數 f (x) 為遞減函數。 (恆有 f (x1) > f (x2) 則稱嚴格遞減函數) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 函_{數的奇偶性:} 奇函數 : ∀x ∈ D, 函數f(x)使得f(−x) = −f(x)恆成立。 偶函數 : ∀x ∈ D, 函數f(x)使得f(−x) = f(x)恆成立。 奇函數圖形對稱於原點 (0, 0), 偶函數圖形對稱於 y 軸。 −2 −1 1 2 3 4 −4 −2 2 4 6 y = x y = x3 y = x5 奇函數圖形: 對稱原點 −2 −1 1 2 3 −4 −2 2 4 6 y = x4 y = x2 偶函數圖形: 對稱 y 軸 利用平移、 伸縮、 對稱性質描繪圖形: 1. 若 (x, y) 是函數 y = f (x) 圖形上的點, 則新函數 Y = y + k = f (x + h) 的圖形是 y = f (x) 圖形平移 (h, k) 單位。 2. 若 (x, y) 是函數 y = f (x) 圖形上的點, 而新函數 Y = by, X = ax 則 Y = f (X) 圖形是 y = f (x) 圖形 x 軸方向左右伸展a倍、y 軸方向左右伸 展b倍。 3. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (_{−x, y) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 y} 軸。 4. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (x,_{−y) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 x} 軸。 5. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (_{−x, −y) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於} 原點 (0, 0) 。 6. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (y, x) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 x = y 例: |x| + |y| = 1 圖形具有對稱 x 軸、 對稱 y軸、 對稱原點、 對稱直線 y = x 特 點。 y = f (x) =|x| 圖形只具有對稱 y軸特點。y = x3 _{圖形具有對稱原點特點。} 高次函數的圖形:*利用微積分性質 (遞增遞減區間、 極值、 反曲點、 開口方向、 漸近線 · · · 等) 描繪圖形。 精選範例 例題1 已知常用的溫度計有兩種華氏◦F 與攝氏◦C, 且彼此間的關係為線性函數, 又 0◦C = 32◦F, 100◦C = 212◦F 設 x◦C = y◦F , 試求 x, y 的關係式? [Ans:y = 9 5x + 32] 例題2 求下列二次函數在閉區間上的最大值與最小值? y = x2 _{− 2x + 3, x ∈ [−1, 2]}

[Ans:x = 1, min = 2; x =_{−1, Max = 6]}

例題3 設 f (x) = 2x2_{− 3x + k , 不論 x 為任何實數, 所對應的 f(x) 值恆為正數, 求實} 數 k 的範圍? [Ans:k > 9₈ ] 例題4 一矩形周長為20, 求其矩形面積最大值, 又面積最大時其長與寬分別為何? [Ans:面積最大 A = 25 長、 寬為5] 例題5 將函數 f (x) = 2x2 的圖形, 向左移 3 單位, 再向上移 4 單位, 所得之新圖形為 y = g(x) 的圖形, 求 g(x) 為何? [Ans:g(x) = 2(x + 3)2 + 4] 例題6 找出二次函數 f (x) = 2x2 _{− 4x + 5 的頂點坐標及對稱軸方程式?} [Ans:V (1, 3), L : x = 1] 例題7 坐標平面上, 二次函數 y = ax2_{+ bx + c 圖形所表示的拋物線, 其對稱軸為 x = 1} 且圖形_{通過 P (2, 6), Q(−1, 12) 求 a, b, c 的值? [Ans:a = 2, b = −4, c = 6]} 習題2-1 簡單多項式函數及其圖形 1. 過兩點 P (−4, 3), Q(2, −3) 的直線斜率? 2. 如圖中, 直線 L1, L2, L3, L4 的 斜率分別為 m1, m2, m3, m4 試將斜率按大小排 序? L L L L 1 2 3 4 X Y

3. 已知三點 A(3,_{−2), B(−1, −5), C(a, −2a + 1) 共線, 則 a =?}

4. 二次函數 y = f (x) = x2 − 2x − 4 且 −3 ≤ x ≤ 3 , 求 y 的最大值與最小值? 5. 已知任意實數 x , 恆使 x2 − 6x + k 的值為正數, 求實數 k 的範圍? 6. 函數 y = x2 , 將其圖形如何平移可得到 Γ1 : y + 3 = (x− 1)2 的圖形? 7. 討論 Γ : y = 4x2 與 Γ′ _{: y + 3 = −4(x − 1)}2 _{的圖形關係?} 8. 討論 Γ : y = x2 與 Γ′ : y = 4x2 的圖形關係? 9. 試問沿著坐標軸方向平移, 如何可將二次函數 y = −2x2 _{+ 4x − 1 的圖形移到} y = −2x2 _{− 12x − 14 的圖形上呢?} 10. 求函數 f (x) = x2 − 4x + 2, 0 ≤ x ≤ 3 的最大值與最小值? 11. 設 x, y 為實數, 滿足 x + 2y = 4, x_{≥ 0, y ≥ 0, 求 x}2 + y2 的最大值與最小值? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 12. 設 f (x) = (x_{− 1)}2 + 3(x_{− 2)}2+ (x _{− 3)}2 , 當 x =? 時 f (x) 有最小值? 13. 設 f (x) = _{|x − 1| + 3|x − 2| + |x − 3| , 當 x =? 時 f(x) 有最小值?} 14. 已知二次函數 f (x) = ax2 + 2x + a 的值恆小於零, 求實數 a 的範圍? 15. 求二次函數 y = f (x) = 2x2+ 4x− 5 且 1 ≤ x ≤ 4 , 求 y 的最大值與最小值? 16. 某超商若賣定價50元便當, 每天可賣出80個, 現今舉辦促銷活動, 依以往經驗, 便 當每降價1元, 每天可多賣出20個。 已知便當的成本每一個30元, 問此超商應將促 銷_{價訂為多少元, 才會有最大利潤? 又此最大利潤為何?} 17. 下圖中兩函數圖形, 分別為 f (x) = xn_{, g(x) = x}m _{的圖形, m, n 為正整數, 則下} 列敘述哪些正確? (1) f (x) 為偶函數 (2) g(x) 為奇函數 (3) 相交點 A 坐標為 (1, 1) (4) n > m (5) g(x) 為嚴格遞增函數 x y f (x) = xn g(x) = xm A 1.2.2 多項式的運算與應用 多項式的係數: 多項式 f (x) = anxn+ an₋₁xn−1 +· · · + a2x2 + a1x + a0 1. 常數項 a0 = f (0) 2. 所有的係數和 a0 + a1 + a2 +· · · + an = f (1) 3. 偶次項係數和 a0 + a2 + a4 +· · · = 12[f(1) + f(−1)] 4. 奇次項係數和 a1 + a3 + a5 +· · · = 12[f(1) − f(−1)] 若 f (x) ∈Z[x] 所有係數 ai 均為整數則稱多項式 f (x) 為整係數多項式。 若 ∀ai ∈ R 稱 f (x) 為實係數多項式。 多項式的四則運算: 多項式的四則運算可用分離係數法、 長除法、 綜合除法等。

Note: deg (f (x)± g(x)) 未必等於 deg f(x)± deg g(x)

deg (P (x)· Q(x)) = deg P (x)+ deg Q(x)

除法_定理: 被除式=除式 × 商式 + 餘式 即 f (x) = g(x) · q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x) 求_{某特定項: 展開式比較係數法 (特定係數法)、 恆等式代入法、 長除法與綜合除法:} 1. 展開式比較係數法: 針對某項係數展開比較。 順伯的窩

2. 恆等式特殊值代入法: 針對 f (x) = g(x)_{· q(x) + r(x) 代入特殊值左右兩式} 恆_{等, 可求得某特定項。} 3. 長除法: 通常使用於被除式次數不大, 或除式非一次式時。 4. 綜合除法: 通常使用於被除式次數頗大, 且除式為一次式時 (ax_{− b) 。} (以 ba 為除數, 所求得的商, 須除以 a 才是真正的商式) 綜_{合除法的應用:} 1. 求 f (x) 除以 (x− α) 的餘式值。 2. 將 x 的多項式變形為 (x−α) 的多項式。 可求諸如 f(0.99), f(1.01), f(1.499), · · · 函數值之近似值。 3. 求 f (x + α) 的展開式, 降冪排列。

Note: 用綜合除法時除式為 (x_{− ba) 所得的商是除式 (ax − b) 所得商的 a 倍。}

餘式_定理: 設 a 6= 0 , 則多項式 f(x) 被一次式 ax − b 所除的餘式是 f( ba) f (x) = g(x)· q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x) 當 g(α) = 0 時, 函數值 f (α) = r(α) 值。 1. 長除法: 被除式次數不大, 或除式非一次式時通常使用長除法。 2. 綜合除法: 被除式次數頗大, 且除式為一次式時通常使用綜合除法。 3. 餘式定理: 當長除法與綜合除法都不適用時, 或 g(α) = 0, α 好解時, 函數值 f (α) 好算時, 可利用餘式定理求餘式。 因式定理: 設 a 6= 0 , 則多項式 f(x) 被一次式 ax − b 所整除的充要條件是 f( ba) = 0 α 是f (x)的一個零解 ⇔ f(α) = 0 零_{解的定義(方程式的根)} ⇔ R(α) = 0 餘式定理 ⇔ f(x) = (x − α)Q(x) 除法算則 ⇔ (x − α)是f(x)的因式 因式的定義 多項式的應用: 多項式的值與插值多項式。 1. 求數值: 餘式定理應用。 長除法、 綜合除法 求 3(4 + √ 13 3 )4− 17(4 + √ 13 3 )3+ 28(4 + √ 13 3 )2− 11(4 + √ 13 3 ) + 3 = 2 求 2 × 75_{− 13 × 7}4 _{− 9 × 7}3 _{+ 11× 7}2 _{+ 15× 7 − 17 = −59} 2. 插值多項式: 給定相異實數 x1, x2, x3 分別對應到 y1, y2, y3 ; 若多項式 f (x) 滿足 f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 且次數 ≤ 2 則 (a) 簡易多項式: 可假設 f (x) = ax2+bx+c, 再分別將三點 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入, 解多項式係數 a, b, c 三元一次聯立方程組。 (b) 牛頓插值多項式: 可假設 f (x) = A(x− x1)(x− x2) + B(x− x1) + C , 再分別將三點 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入, 解 A, B, C 聯立方程組。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· (c) 拉格朗日插值多項式: 有固定公式, 可處理大量數據運算。 設 f (x) = A(x −x2)(x− x3) + B(x− x1)(x− x3) + C(x− x1)(x− x2) , 再分別將三點 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入, 解 A, B, C 聯立方程組。 一般已知 n + 1 個相異值求 n 次拉格朗日插值多項式: Pn(x) = n X k=0 yk × n Y i=0,i_6=k (x− xi) (xk− xi) = n X k=0 yk · (x_{− x}0)(x− x1)· · · (x − xk−1)(x− xk+1)· · · (x − xn) (xk − x0)(xk− x1)· · · (xk − xk₋₁)(xk− xk+1)· · · (xk− xn) = y0 · (x− x1)(x− x2)· · · (x − xn) (x0 − x1)(x0− x2)· · · (x0 − xn) + y1 · (x_{− x}0)(x− x2)(x− x3)· · · (x − xn) (x1 − x0)(x1− x2)(x1− x3)· · · (x1 − xn) +· · · +yk · (x_{− x}0)(x− x1)· · · (x − xk₋₁)(x− xk+1)· · · (x − xn) (xk− x0)(xk− x1)· · · (xk − xk−1)(xk − xk+1)· · · (xk − xn) + · · · + yn · (x− x0)(x− x1)· · · (x − xn₋₁) (xn− x0)(xn− x1)· · · (xn − xn₋₁) 整_{係數多項式的一次因式檢驗法(牛頓定理):} (整係數多項式方程式有理根檢驗法) 整係數多項式的一次因式檢驗法: 設 f (x) = anxn + an−1xn−1+· · · + a2x2 + a1x + a0 是整係數 n 次多項式。 若 px − q 是 f(x) 的因式, 且p和q為互質的整數, 則 p|an 且 q|a0 (即 p 必為 an 的因數, q 必為 a0 的因數)。 精選範例 例題1 求多項式 2x4_{− 7x}2 _{− 9x − 5 除以 x}2 _{− 2x − 1 的商與餘式?} [Ans:商:2x2 + 4x + 3 餘式 x_{− 2]} 例題2 求特定項: (a) 設 x 的多項式 x2+3 等於 a(x−1)(x−2)+b(x−2)(x−3)+c(x−1)(x−3) 求 a, b, c 值? [Ans:: a = 6, b = 2, c = _{−7 ]} (b) 已知兩多項式 x3+ 3x2− 4x + a 與 (x2_{+ x− 1)(x + b) − 5x + 5 相等, 求} a, b 值? [Ans:: a = 3, b = 2] (c) 設 f (x) = 3x3_{− 5x}2 + 4x_{− 1, g(x) = x}2 + x + 2 求 f (x)_{÷ g(x) 之商式} 與餘式? [Ans:: 商 3x− 8, 餘式 6x + 15] (d) 設 f (x) = 3x4− 16x3_{+ 23x}2_{+ 11x− 29 = a(x − 2)}4_{+ b(x− 2)}3_{+ c(x−} 2)2+ d(x_{− 2) + e 求 a, b, c, d, e 值?} [Ans:: a = 3, b = 8, c = _{−1, d =} 7, e = 5] 順伯的窩

(e) 用綜合除法求 4x4_{− x}2 + 5 除以 (2x_{− 3) 的商式與餘式?} [Ans:: 商 2x3_{+ 3x}2 _{+ 4x + 6, 餘式 23 ]} 例題3 設 x4 _{+ 2 = (x}2 _{+ 2x− 5)(x}2 _{+ ax + b)− 28x + 47 求 a, b 值?} [Ans:: a = _{−2, b = 9 ]} 例題4 若多項式 2x3 _{− x}2 _{+ bx + a 可被 (x− 2)(x + 3) 整除, 求 a, b 值?} [Ans::a = 18, b = _−15] 例題5 若 f (x) = 2x5_{− 13x}4_{− 9x}3_{+ 11x}2_{+ 15x− 17 , 求 f(7) 值? [Ans::f (7) =} −59] 例題6 試分解出 f (x) = 6x4_{− 5x}3_{+ 9x}2 _{+ 4x− 4 的整係數一次因式?} [Ans::f (x) = (2x− 1)(3x + 2)(x2_{− x + 2)]} 例題7 設多項式 f (x) 除以 x− 1 的餘式為5, 除以 x + 2 的餘式為 −1, 則 f(x) 除以 (x_{− 1)(x + 2) 的餘式為何?} [Ans:: 2x + 3] 例題8 求 x100_{− 10x + 9 除以 (x − 1) 的餘式?} [Ans::0] 例題9 找出多項式 f (x) = 16x3 − x2 + 11_{6 x − 1} 的一次因式? [Ans:: f (x) = 16(x − 1)(x − 2)(x − 3)] 例題10 設多項式 f (x) 分別除以 x_{− 1, x − 2, x − 3 所得餘式依次為 5, 10, 17 , 且 f(x)} 除以 (x − 1)(x − 2)(x − 3) 的餘式為 r(x), 求餘式 r(x) ? [Ans:x2+ 2x + 2 例題11 已知多項式次數不超過3次, 且滿足 f (1) = 7, f (2) = 6, f (3) = 11, f (4) = 28, 求 f (5) 的值? [Ans:63 習題2-2 多項式的運算與應用 1. 設 f (x) = 8x3 + 4x2 − 16x + 5 , 將 f(x) 表成 (x − 1) 的多項式, 即 f(x) = a(x_{− 1)}3+ b(x _{− 1)}2 + c(x_{− 1) + d 之各項係數?} 2. 試將 f (x) = 8(x_{− 1)}3 + 28(x_{− 1)}2+ 16(x_{− 1) + 1 展開並降冪排列?} 3. 已知二次多項式 f (x) 滿足 f (1) = 5, f (2) = 11, f (3) = 19 , 求此多項式? 4. 計算 (x2 _{− 4x + 3)(x}3 _{+ 2x}2 _{− 4x + 3) 並降冪排列?} 5. 試求 (9x + 8x2_{+ 7x}3 _{+· · · + 2x}8 _{+ x}9_{)(x + 2x}2_{+ 3x}3_{+· · · + 8x}8_{+ 9x}9_{) 的} 展開式中的領導係數? 常數項? x10 _{項的係數?} 6. 試求 f (x) = x4 − 3x3_{+ 4x}2 _{− 5x + 7 除以 x − 2 的商式及餘式?} 7. 多項式 f (x) = x4+ ax + b 被 x2 + 3x + 1 所除, 商式為 x2 − 3x + 8 , 餘式為 −12x + 24 , 求常數 a, b 值? 8. 設 f (x) = x3+ 5x2− 10x + 5 , 將 f(x) 表成 (x − 2) 的多項式? 並求 f(2.001) 的值, 取近似值到小數點以下第三位? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 9. 設 f (x) = x3 _{− 4x}2 + 7x_{− 1 , 將 f(x) 表成 (x − 2) 的多項式?} (a) 求 f (2.003) 的值, 取近似值到小數點以下第三位? (b) 求 f (2 +√3) 值=? (c) 求 f (x) 除以 (x_{− 2)}2 的餘式? 10. 設 f (x) = x4 _{− 6x}3 _{+ 10x}2_{− 17x + 18 = a} 4(x− 1)4 + a3(x − 1)3 + a2(x− 1)2+ a1(x− 1) + a0 , 其中 ai ∈ R 則 (a4, a3, a2, a1, a0) =? 又 f (1.01) 之近 似值取至小數點後第四位是多少? 11. 若 x4 _{− 2x}3 _{+ ax}2 _{+ 2x− b 能被 x}2 _{+ x− 2整除, 求 a =? b =?} 12. 設 f (x) = (a + b)x2 + 5x + (c − 2), g(x) = −2x2 _{+ (2a − b)x + 4 , 若} f (x) = g(x), 則 a, b, c =? 13. 多項式 x(x + 1)(x + 2)(x + 3)_{· · · (x + 9)(x + 10) 的展開式, x}11, x9 項的係數 各為? 14. 設 f (x) = (x5 − 2x4 _{− 3x + 1)}4 _{, 試求 f (x) 的展開式中, 各項係數和? 及其偶} 次項係數和? 15. f (x) 為一多項式, a, b _{∈ R, a 6= 0 , 若以 (ax − b) 除 f(x) 所得的商式為 q(x) ,} 餘式為 r, 則將 xf (x_{a) 除以 (x − b) 的商式及餘式為?} 16. 求 (3x + 1)100 除以 (3x + 2) 的餘式? 17. 試求 f (x) = 3x3 − 4x2 _{+ 5x− 2 除以 x − 2 的餘式為何?} 18. 已知多項式次數不超過2次, 且滿足 f (1) = 1, f (2) = 2, f (4) = 10, 求 f (3) 的 值? 19. 設 f (x) 為三次多項式, 且 f (1) = f (_{−1) = 0, f(2) = 9, f(−2) = −15 , 試求} f (x) 20. 設 f (x)為一多項式, degf (x) = 3 且 f (1) = f (2) = f (3) = 4, f (4) = −8 求 f (x) =? 21. 多項式 f (x) = ax2 + bx + c 通過點 (11, 5), (12,_{−3), (13, 6) 求 f(14) =?} 22. x4 + 4x2 + ax + b 可被 x2 + 1 整除, 求 a,b=? 23. 設 f (x) = x7 − 50x5 _{+ 6x}4 _{+ 4x}3_{+ 25x}2_{− 30x + 11 , 求 f(7) 的值?} 24. 設 f (x) = 3x4 − 17x3 _{+ 28x}2 _{− 11x + 3, 則 f(4 +}√13 3 ) =? 25. 求 115 − 4 · 114 _{− 73 · 11}3 _{− 50 · 11}2 _{+ 70· 11 + 6 之值?} 26. 設 f (x) = x5 _{+ 2x}2 _{− 3x − 1 求 f(1.99) 的近似值至小數點後第三位?} 27. 設 f (x) = x3 − 5x2 _{− kx + 9 可被 x − 3 整除, 則 k =? 又 f(x) = 0 之根為?} 順伯的窩

1.2.3 多項式方程式 複數 _{C : 實數與虛數合稱為複數。} • 虛數單位 i : i = √−1 是方程式 x2 + 1 = 0 的一個根, 因此 i2 = ₋₁ 。b > 0,√_{−b =} √bi ,i 稱為虛數單位。 • 複數 : 當 a, b 為實數, i = √−1 , 則形如 Z = a + bi 的數, 稱為複數。 其中 Re(Z) = a 稱為 Z 的實部,Im(Z) = b 稱為 Z 的虛部。 • 純虛數: 當 a, b 為實數, i = √−1 ,z = a + bi 若 Re(Z) = 0, b 6= 0 稱為純 虛_{數。 若 Im(Z) = 0 為實數。} 複數 _C                實數_{R, (平方 ≥ 0)}            有理數_Q        整數_Z ( _{正整數(自然數)N} 零 負整數 分數 小數(有限小數、 無限小數) 無理數(不可化為分數) : π, e,√2,√3 2,_{· · ·} 虛_數i 複_{數相等: 設 a, b, c, d 均為實數, 若 a + bi = c + di 則 a = c, b = d} 複_{數重要性質:} • z1 + z2 = z2 + z1, z1 · z2 = z2 · z1 • z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1 · (z2 · z3) = (z1 · z2)· z3 • z1 · (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 • z1 + 0 = z1, z1 · 1 = z1 • 複數沒有正負大小次序關係。 • 複數的化簡 a + bi_{c + di} = (a + bi)(c− di) (c + di)(c_{− di)} = (ac + bd) + (bc− ad)i c2 + d2 • −i = −√−1; i2 _{= −1; i}3 _{= −i; i}4 _{= 1} 共軛複數 : 當 a, b 為實數, i = √_{−1 ,z = a + bi 與 a − bi 稱為共軛複數。 以 Z = a − bi} 表示。 1. z = z 2. z1 ± z2 = z1 ± z2 3. z1z2 = z1z2 4. z2 z1 = z 2 z1 5. (z)n = (z)n _{z ∈ R ⇔ z = z ; 若 z 為純虛數⇔ z = −z} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 實根的幾何意涵: n 次多項方程式 f (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 = 0 若實數 α 滿足 f (α) = 0 , 則 α 稱為方程式 f (x) = 0 的實數解 (根)。 “實根 α ” 就是函數 f (x) = 0 圖形與 x 軸的相交點橫坐標。 Thinking! 1. 多項式方程式有沒有根?(涉及代數基本定理) 2. 有多少個根?(代數基本定理、 因式定理) 3. 如何求其根?(整係數有理根檢驗法、 實係數勘根定理、 因式定理) 二_{次方程式的根:} 求 一元二次方程式 ax2 _{+ bx + c = 0 的常見方法} • 十字交叉乘法: ax2 _{+ bx + c = (a} 1x + c1)(a2x + c2) = 0 • 配方法: ax2 + bx + c = a(x + _2ab )2 ₋ b2−4ac_4a = 0 • 公式解: x = −b± p b2 _{− 4ac} 2a • 根與係數關係: 兩根 α、β 則 ( α + β = −b_a αβ = ca • 根的判別式: ∆ = b2 _{− 4ac} 1. 若 ∆ = b2 _{− 4ac > 0 則有兩相異實根。} 2. 若 ∆ = b2 − 4ac = 0 則為兩相等實根。 3. 若 ∆ = b2 − 4ac < 0 則無實數解。(兩共軛複數根) 判別正負根: ∆ = b2 _{− 4ac < 0 無法判別} 1. 兩正根: ∆ _{≥ 0, α + β = −ba > 0, αβ = a > 0}c 2. 兩負根: ∆ ≥ 0, α + β = −b_{a < 0, αβ = a > 0}c 3. 一正根一負根: ∆ > 0, αβ = ca < 0 • 有理係數的一元二次方程式: f(x) = ax2 _{+ bx + c = 0 ; a, b, c ∈ Q} 有理_{根判別: 利用一次因式檢查法(牛頓定理),f (x) 有一次因式 px + q} 若有一根形如 d + e√f 則必有另一根 d− e√f 1. 有兩相異有理根 ⇔判別式 ∆ = b2 _{− 4ac > 0 且 ∆ 為完全平方數。} 2. 有兩相等有理根 _{⇔判別式 ∆ = b}2 _{− 4ac = 0} 3. 有兩相異無理根 ⇔判別式 ∆ = b2 _{− 4ac > 0 且 ∆ 非完全平方數。} 一次_{因式檢查法(牛頓定理):} 設 a0, a1, a2· · · an₋₁, an ∈ Z 若 f(x) = anxn + an₋₁xn−1+· · · + a1x + a0 有 一次因式 ax + b; a, b ∈ Z, (a, b) = 1 則 a|an, b|a0 勘根_定理: 設 f (x) = 0 為一實係數方程式, 若 f (a)f (b) < 0, 則 ∃c ∈ (a, b) 使得 f(c) = 0 即在 a, b 之間 ,至少有一實根 c 使得 f (c) = 0 順伯的窩

1. 若 f (a)f (b) < 0 , 則在 a, b 之間一定有奇數個根。 2. 若 f (a)f (b) > 0 , 則在 a, b 之間無根或有偶數個根。 代數基本定理: 每一複係數 n 次多項方程式 f (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 = 0 恰 有n個複數根。( f (x) 可分解成 n 個複係數一次因式乘積) 韋達_{定理(方程式根與係數關係):} 1. 一元二次方程式: ax2 _{+ bx + c = 0 的根為 α, β 則} ( α + β = −b_a α_{· β = ca} 2. 一元三次方程式: ax_ 3 + bx2+ cx + d = 0 的根為 α, β, δ 則     α + β + γ = −b_a α_{· β + α · γ + β · γ = ca} α_{· β · γ = −da} 共軛虛根成雙定理: 實係數方_{程式 f (x) = 0 , 若有複數根 z = a + bi , 則其共軛複數 z = a − bi 亦} 為其根。 即 f (z) = 0則 f (z) = 0 二次有理係數方程式 f (x) = 0 , 若有無理根 a + b√c , 則 a− b√c 亦為其根(其 中 a, b, c ∈ Q)。 Note: 實係數多項式必可分解成實係數一次因式或二次因式的乘積。 勘根_定理: 設 f (x) = 0 為一實係數方程式, 若 f (a)f (b) < 0, 則 ∃ c ∈ (a, b) 使得 f(c) = 0 即在 a, b 之間至少有一實根 c 使得 f (c) = 0 1. 若 f (a)f (b) < 0 , 則在 a, b 之間一定有奇數個根。 2. 若 f (a)f (b) > 0 , 則在 a, b 之間無根或有偶數個根。 正 n 次方根 √n _{a 的意義:} 設 a > 0, n 是大於1的正整數, 滿足方程式 xn _{= a 的正實根 x , 記為} √n _{a 。} 正 n 次方根的運算: 1. √n _a√n _{b =} √n _ab 2. n √ a n √ b = n q a b 3. (√n _a)m ₌ √n am 4. pm √n _{a =} mn√_a 精選範例 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 表 _2-3: 多項式函數與多項式方程式的一些性質 多項式 f (x) = anxn _{+ a} n−1xn−1 +· · · + a2x2_{+ a1x + a0} 方程式_{f (x) = 0} 因式定理: 若 _{(x − α)} 是 _{f (x)} 的因式 _⇔ f (α) = 0 。 稱α 是函數f (x) 的一個零解 。 x = α是方程式的一根₍解_{) ⇔ f(α) = 0} 整係數多項式 f (x) f (x) 有整係數一次因式px + q則p_|an, q_|a0 (整係數一次因式檢查法) 有理根判別法: f (x) = 0 有有理根 x = −q_p 則p_|an, q_|a0 有理係數多項 式 f (x) 方程式f (x) = 0 , 若有無理根 a + b√c , 則a_{− b}√c亦為其根(其中 a, b, c_{∈ Q)}。 實係數多項式 1.f (z) = f (z) 虛根成雙定理: f (x) 2. 若f (c + di) = 0, c, d_{∈ R} 則f (c_{− di) =} 0 , f (x) 有實係數二次因式x2_{− 2cx + (c}2₊ d2_{) (此時 ∆ < 0) 。} 方程式 f (x) = 0 , 若有複數根 z = c + di, c, d∈ R , 則其共軛複數z = c− di 亦 為其根。 3.f (x) 必可分解成實係數一次因式或二次因 式的連乘積。 勘根定理: 4. 連續函數中間值定理: 若 f (a) _{6= f(b)} , 則存在 c _{∈ (a, b)} 使得 f (c) 的值介於 f (a), f (b) 之間 若 f (a)f (b) < 0, 則 _{∃ c ∈ (a, b)} 使得 f (c) = 0。 即在 a, b 之間至少有一實根 c 使得 f (c) = 0 實係數多項式 二次函數 f (x) = ax2 _{+ bx + c 二次方程式f (x) = ax}2 _{+ bx + c = 0} f (x) 1. f (x) 恆正 _{⇔ a > 0, ∆ < 0 ∆ > 0 ,}方程式有兩相異實數根 2. f (x) 恆負 _{⇔ a < 0, ∆ < 0} ∆ < 0 ,方程式有兩共軛複數根 3. ∆ > 0 _{⇔ f(x)}圖形部分在X 軸上方, 部 分在 X 軸下方 ∆ = 0 ,方程式有相等實根 4. 在 x = −b_2a 時,f (x) 有最大或最小值 −b2 − 4ac_4a 公式解x = −b ± √ b2 _{− 4ac} 2a 複係數多項式 代數基本定理: f (x) 複係數_{數一次因式連乘積}n 次多項式 f (x) 可分解成n 個複係 複係數_{一個複數根。}n 次多項方程式 f (x) = 0最少有 解複係數方程式f (x) = ax2_{+ bx + c = 0} , 令 α 為其實根, 代入 f (α) = 0 比較實 部、 虛部均必為0 _⇒ 解出 α , _⇒ 再利用 根與係數關係 (韋達定理) 求另一複數根。 若 α 無實數解則 f (x) = 0 無實根, 則其 兩複數根 (非共軛複數) 為 x = −b ± z_2a , 其中 z2 _{= ∆ = b}2_{− 4ac} 實係數多項式 1. 唯一分解定理: 複係數 n 次多項式 f (x) 可分解成 n 個複係數一次因式連乘積。(因式 不一定完全相異) 2.f (x) 必可分解成實係數一次因式或二次因 式 (此時 ∆ < 0)的連乘積。 f (x) 3. 若c + di, c, d∈ R, d 6= 0是f (x) 的一個 零解, 則 c_{− di} 亦是 f (x) 的一個零解。 的一些定理 4. 奇數次多項式至少有一實數的零解。 5. n 次多項式有 n 個零解 (可為實數或複 數, 若為複數必為共軛複數出現) 順伯的窩

例題1 設 a, b _∈ R , 且滿足 (2a_{− 1) + (ab − 5)i = 5 + 4i , 求 a, b 值?} [Ans::a = 3, b = 3] 例題2 化簡 √ 5 √ −3 =? 又 √ −5 √ 3 =? [Ans:− √ 15i 3 , √ 15i 3 ] 例題3 判別二次方程式的根解: (a) 有理係數方程式整數解的個數: 2x2 _{− x − 3 = 0} [Ans:整係數因式分解法;1個] (b) 有理係數方程式有理數解的個數: 2x2 _{− x − 3 = 0} [Ans:判別式 ∆ 為有理數完全平方數;2個] (c) 實係數方程式實數解的個數: x2 _{− 5x + 5 = 0} [Ans:判別式 ∆ > 0 ;2個] (d) 複係數方程式實數解的個數: 2x2 + 2(1− i)x + (1 − i) = 0 [Ans:設α 為實數解, 代入, 比較實虛部。 無解 _{⇒ 兩複數根]} (e) 複係數方程式實數解的個數: x2 + (1_{− i)x − i = 0} [Ans:設α 為實數解, 代入, 比較實虛部。α = −1 ⇒ 有一實根−1, 一複數根i (根與係數關係)] 例題4 設二次方程式 x2_{− x − 11 = 0 的兩根為 α, β , 求 αβ} + _{α 的值?}β [Ans:−23₁₁ ] 例題5 已知方程式 x4 _{− 6x}3 + 16x2 _{− 20x + 12 = 0 有一根是 2 +}√2i , 試解這方程 式? [Ans:x = 1_{± i, 2 ±}√2i] 例題6 已知方程式 x3 − 2x − 7 = 0 恰有一正根, 則此正根介於哪兩連續整數之間? [Ans:(2, 3)] 例題7 求方程式 x4_{− 5x}2 _{− 10x − 6 = 0 的有理根? [Ans:−1, 3} 例題8 設方程式 x3 − 3x2 _{− 13x + k = 0 的三個根成等差數列, 試求 k 值, 並求此方程} 式的_{根? [Ans:k = 15; 三根 −3, 1, 5]} 習題2-3 多項式方程式 1. 解二次方程式 x2 + x + 1 = 0 2. 計算 (1 + i√ 2 ) 50_{+ (1 − i√} 2 ) 50 _=? 3. 設 f (x) = x100+ x50 + 1 , 求 f (−1 + i√ 2 ) 之值? 4. 設 α = _{−1 + 2}√2i , 利用餘式定理求 α3 _{+ 2α}2 _{+ 8α + 15 的值?} 5. 化簡 (1 + i_{1− i})2002 =? 6. 求 5_{− 12i 的平方根?} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 7. 若 ω = −1 + √ 3i 2 , ω3 = 1 求 (−1 + √

3i)10+ (1 +√3i)10 = a + bi; a, b _{∈ R} 則 a =?, b =? 8. 設 α, β 是二次方程式 x2 − 2x − 5 = 0 的兩根, 求 α2 _{+ β}2 _{與 α}3 _{+ β}3 _值? 9. 設 α, β 為方程式 x2 + 3x + 4 = 0 的兩根, 試求以 α(β + 1), β(α + 1) 為兩 根的二次方程式為? 10. 已知 α, β 為方程式 5x2 _{− 7x + 4 = 0 的兩根, 求 α}2 + β2 及 1_{α +} 1 β 之值? 11. 利用勘根定理求方程式 x3 _{+ x}2 _{+ x− 2 = 0 的一個實根之近似值, 並使其誤差} 小於 1 10 ? 12. 設 f (x) = x3 _{− 2x}2 + ax + b = 0 為一實係數方程式, 且 f (2_{− i) = −1 − i ,} 求 a, b值? 並求 f (2 + i) =? 13. 實係數方程式 ax3 + 9x2 + ax− 30 = 0 有一根 −3 + i , 求 a 值? 及其它根? 14. 討論: 方程式 x3+ x− 1 = 0 是否有實根? 15. 利用一次因式檢驗法, 證明 √3 10 是無理數?(hint:f (x) = x3 − 10 = 0 沒有有理 根) 16. 化簡下列方根: A = (√6 25)3 = ? B = √5 72×√5 108 =? 17. 若 a, b _{∈ R , 且 −2 + bi 是方程式 x}2 + ax + (a + 3) = 0 的一根, 求數對 (a, b) =? 18. 解方程式 3x3_{− 14x}2 + 5x + 2 = 0 19. 解方程式 x3 − 3x2 _{− x + 6 = 0} 20. 用牛頓定理解方程式 x3 + x2 − 10x − 6 = 0 21. 若 x3 + 3x2− 9x + c 恰可分解兩個相異整係數一次因式, 試因式分解 f(x) , 並 求出 c 值? 22. 設 f (x) = _−4x3 + 5x2+ ax + 4 有 x + 2 的一次因式, 求 a =? 23. 試證: 820_{− 5}20 是3的倍數也是13的倍數。 24. 設 a, b _{∈ N , 且整係數多項式 f(x) = x}5_{− 2ax}4 _{+ x}3 _{− bx}2_{+ x− 2 有一次因} 式。 則a =?, b =? 25. 試因式分解 x3 − 3x2 _{− x + 3} 26. 整係數多項式 f (x) = 9x4+ax3+bx2+cx+1 有四個相異一次因式, 求 a−b+c = ? 27. 設多項式 f (x) = 2x4− 9x3 _{+ 3x}2 _{+ 24x + 10, 先求 f (x) = 0 的有理根, 進而} 解方程式 f (x) = 0 順伯的窩

28. 若 a, b _∈ R , 且方程式 x4_{− x}3 + x2 + ax + b = 0 有一根為 1_{− 2i , 求 a, b值?} 並解此方程式? 29. 設 α, β, γ 為方程式 x3 − 3x2 _{+ x− 4 = 0 之三根, 求 α}2 _{+ β}2 _{+ γ}2 _=? 30. 實係數多項式 f (x) , 若 f (3_{− 2i) = −5 + 4i , 則 f(3 + 2i) =?} 31. 設 f (x) = x4 − x3 _{− 9x}2 _{+ 2x + 10 = 0, 則方程式 f (x) = 0 的實數根在那些} 連續的整數之間? 32. 若方程式 2x4 − x3 _{+ 2x}2 _{− 6x − 5 = 0 , 有一根 1 +}√5 2 ; 求此方程式的其他 三根為? 33. 設方程式 x4+ ax3+ bx2− 4x − 12 = 0 其中兩解為2與 −3 , 試求 a 與 b 的值 及其他解? 34. 指出方程式 x3 − 3x2 _{+ 2x + 7 = 0 的實根在那兩連續整數之間?} 35. 判別方程式根: (a) 判別方程式 x3_{− 3x}2_{− 2x − 2 = 0 是否有有理根?} (b) 判別方程式 x3_{− x + 6 = 0 是否有有理根?} (c) 方程式 x3 + 2x2 ₋√2x_{− 2}√2 = 0 是否有有理根? (d) 方程式 12x3 _{− 8x}2 _{− 21x + 14 = 0 有幾個實數根?} (e) 方程式 x3 + x2 − 2x + 1 = 0 有幾個正實數根? (f) 方程式 x2 − (1 + i)x + i = 0 是否有實數根? 若有則實根為何? 1.2.4 多項式不等式 不等式的基本性質: 不等式左右兩式, 未具等量乘律。 不可任意乘除一數 _{· · ·} 實數次序性質: 1. 三一律: a > b, a = b, a < b 三式中恰有一式會成立。 2. 遞移律: 若 a > b 且 b > c 則 a > c 3. 加法律: 若 a > b , 則 a + c > b + c (c∈ R) 4. 乘法律 : 若 n a > b, c > 0_{a > b, c < 0} 則 ac > bc_{則 ac < bc} 二次_{不等式的恆正與恆負:} 幾何觀點: 函數圖形恆在 x 軸上方表 f (x) 值恆為正數。 函數圖形恆在 x 軸下方 表 f (x) 值恆為負數。 代數觀點: 1. 若 f (x) = ax2 + bx + c > 0 恆成立, 表方程式 f (x) = 0 無實數解。 故 b2 − 4ac < 0 且 a > 0 2. 若 f (x) = ax2 + bx + c < 0 恆成立, 表方程式 f (x) = 0 無實數解。 故 b2 _{− 4ac < 0 且 a < 0} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 多項式函數 _· 高次_{不等式的解法:} 代數觀點: 先將其因式分解, 可直接去除恆正 (負) 的二次因式。 f (x) = a(x− xn)· · · (x − x3)(x− x2)(x− x1) ≶ 0, a > 0 將 f (x) = 0 的實數解畫記在 x 軸上, 由右往左依序採一正 , 一負的區間分別為 不等式f (x) > 0 及 f (x) < 0 的解。

+

+

-+

x

x

x

x

₄

₃

₂

₁

圖 _2-4: 高次多項式不等式 f (x) 正負的取值區間 幾何觀點: 先作出函數圖形, 再由函數值正負判別出高次多項不等式的區間。 分式不等式: (Note: 分母不為0) 1. 先移項通分化簡, 切記不可交叉相乘 (因無法知公倍式值正負)。 g(x) f (x) > h(x) k(x) ⇒ 移項通分 ⇒ A(x) B(x) > 0, B(x) 6= 0 2. A(x) B(x) ≤ 0 ⇒ A(x)B(x) ≤ 0, B(x) 6= 0 精選範例 例題1 解一次不等式 1 < −3x + 1₄ ≤ 7 [Ans:−9 ≤ x < −1] 例題2 解不等式 x3 _{− 5x}2 + 2x + 8 < 0 [Ans:x < _{−1, 2 < x < 4]} 例題3 若不等式 ax2 + 5x + b > 0 的解為 _{−12 < x < 3 , 求實數 a, b 值?} [Ans:a = _{−2, b = 3]} 例題4 設 a, b 為實數, 且二次不等式 −x2_{+ ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3 , 求a, b 的} 值? [Ans:a = 1, b = 6] 例題5 解不等式 x8 − 1 < 0 [Ans:−1 < x < 1] 例題6 已知多項式函數圖形如右; 問 f (x) > 0 的解為何? 方程式 f (x) = 0 的根為何? 順伯的窩

[Ans:x < −2, −1 < x < 1, x > 1; x = −2, −1, 1] x y y = f (x) −2 −1 1 例題7 解不等式: (a) (x_{− 1)}2(x + 2)(x_{− 3) < 0} [Ans:_{−2 < x < 3, x 6= 1]} (b) (x− 1)3_{(x + 2)(x− 3) < 0 [Ans:x <−2, 1 < x < 3]} (c) (x_{− 1)(x}2+ 4x + 3)(x_{− 2) > 0} [Ans:x > 2,_{−1 < x < 1, x < −3 ]} 習題2-4 多項式不等式 1. 若 i = √−1 則下列敘述何者為真? (1) 3 + i > 2 + i (2) i28 _{> i}26 ₍₃₎ (3 + 2i)(3− 2i) > 0 (4) √−2√−3 = √6 (5) √√−2 −3 = q 2 3 2. 若對任意實數 x, 二次式 kx2 + 2x + k 的值恆為正數, 求實數 k 的範圍? 3. 解不等式 −2x2 _{+ 4x− 5 > 0} 4. 設二次不等式 f (x) = ax2+ bx + c < 0 之解為−6 < x < 4, 求f(2x) > 0之解? 5. 不等式 ax2 − 3x + b > 0 的解為 −3 < x < 1₂, 求實數 a, b 的值? 6. 已知 k ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = x2 _{+ kx + (k + 1) 恆為正數, 求實數 k 之範圍?} 7. 設 a ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = ax2_{+ 2a(1− a)x + 4a 恆為負數, 求實數 a 之範圍?} 8. 多項式 f (x) = x4 − 5x3 _{+ 3x}2 _{+ 19x− 30, 有一複數根 2 + i , 若實數 a 滿足} f (a) < 0, 求 a 的範圍? 9. 解不等式: (a) (x2 + 3x− 4)(x2 _{− 5x + 6) < 0} (b) 不等式: (x_{− 1)}2(x_{− 2) > 0} (c) 不等式: 6x3 + 7x2 − 9x + 2 > 0 (d) 不等式 _−x2 _{+ 2x > 7} 10. 二次函數 y = f (x) = (5−m)x2_{−6x+(m+2), m ∈ R 圖形恆在直線y = −3的} 上方, 則 m 的範圍為? 11. 已知 k 為實數且方程式 x2 + (2− k)x + k = 0 的兩根為相異實數, 則 k 之範圍 為何? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 _· 12. 解分式不等式: (a) x + 3 x2 _{− x − 2} < 0 (b) x_{x + 1 > 0}2 − 4 (c) _{x + 2 < 3}1 (d) _{x + 2 < x}3 13. 解下列不等式: (a) f (x) = (1− x)(x + 1)(x − 2)(x − 3) < 0 (b) g(x) = (x + 1)(x− 2)2_{(x− 3) ≥ 0} (c) h(x) = (x + 1)(x_{− 2)}3_{(x− 3)(x}2 _{− x + 3) ≥ 0} (d) 4x + 6 x2 + x− 12 ≤ −1 (e) (2− x)(x2 _{− 3x + 1) < 0} (f) 3x3 − 14x2_{+ 5x + 2 > 0} 第 1.3 單元 指數對數函數 1.3.1 指數與指數定律 指數_{定義: a}n _{= a· a · · · · a} | {z } n個 , 當 a > 0, a _{6= 1 時稱 a 為底數,n為其指數} 整數指數: 1. 指數律: a, b _{∈ R; m, n ∈ Z} am_an _{= a}m+n (am)n = amn ambm = (ab)m 2. 零指數的定義: 底數 a 為異於 0 的實數, 則 a0 _{= 1。 說明: 1 = a}m am = am−m = a0 3. 負指數: a−n = 1_an。 說明: am−m = am· a−m = a0 = 1 有理數指數: 1. 定義: 若 a, b > 0, m, n ∈ N, n ≥ 2則 ar _{= a}1 n = (√n a) = √n a 2. 指數律: r, s ∈ Q aras = ar+s (ar)s = ars arbr = (ab)r 順伯的窩

實數指數: 若 a > 0, r ∈ R, < rn >: r1, r2,· · · , rn,· · · 其極限為r, 則 ar 為數列 < arn >: ar1_{, a}r2_,· · · , arn,· · · 的極限值。 指數為實數的指數律仍成立。 ( _奇√ 負實數 = − 奇√正實數 偶√ 負實數 = 虛數 6= 偶√正實數 (₋₂₎6 = [(₋₂₎3]2 = [(₋₂₎2]3 ;(₋₂₎3 = (₋₂₎2(₋₂₎1 _{6= [(−2)}2]32 有理指數時底 數 a > 0 才有指數律。 (−8)13 : 底數 a = −8 < 0 , 有理指數, 在實數範圍內未定義。 3 √ −8 = −√3 8 = ₋√3 23 _{= −2}33 = −2 。 指數式比較_{大小: (最好熟知 y = a}x _{圖形的遞增或遞減性來判斷 )} 1. 可化為同底數 :  a > 1 , 時 m > n > 0, 則 am _{> a}n _{> 1} 0 < a < 1 , 時 m > n > 0, 則 am _{< a}n _{< 1} 2. 可化為同指數: 若 1 < b < a :  x > 0 時 , 則 ax > bx > 1 x < 0 時 , 則 ax _{< b}x _{< 1} 若 0 < d < c < 1 :  x > 0 時 , 則 dx < cx < 1 x < 0 時 , 則 dx > cx > 1 3. 無法化為同底數或同指數: 取對數後, 利用對數值再比較其大小。 指數型式的化簡: a > 0, x∈ R, ax _{= t > 0} 1. a2x = (ax)2 = t2 ; a2x+1 = a(ax)2 = at2 ; a2x−1 = 1_a(ax)2 = t_a2 a−2x = _(a1x₎2 = 1 t2 ; a x+2 _{= a}x_{× a}2 _{= a}2_{t ; a−x = 1} ax = 1t ax−1 _{= a}x a = at ; ax/2 = √ax = √ t ; ax _{= (a}x/3₎3 2. ax+ a−x = t _{≥ 2; a}2x + a−2x = t2 _{− 2; a}3x+ a−3x = t3 _{− 3t} 精選範例 例題1 計算 212 × 4 1 8 × 8 1 24 × 16 1 32 的值? [Ans:2] 例題2 化簡 (a14 − b 1 4)(a 1 4 + b 1 4)(a 1 2 + b 1 2)(a + b) =? [Ans:a2 − b2] 例題3 比較 a = √2, b = √3 3, c = √6 10 三數的大小? [Ans:c > b > a] 例題4 已知 4x = 5 , 則 A = 2x, B = 8x, C = 24x 的值分別為多少? [Ans:A = √5, B = 5√5, C = 25 例題5 若 a2x ₌ √_{2 − 1 , 則 a}2x _{+ a}−2x _{=? 又 (a}3x _{+ a}−3x_{) ÷ (a}x _{+ a}−x_{) =?} [Ans:2√2; 2√2− 1] 例題6 化簡 (2 + √3)43(2−√3) 4 3 =? [Ans:1] 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 _· 習題3-1 指數與指數定律 1. 化簡下列的值: (a) 10√2 × 1001− √ 2 2 = (b) (3√2)2√2 = (c) 36 √ 3 6√12 = 2. 比較兩數大小: a = 2175, b = 575 3. 化簡 729−13 + 32 2 5 + (27)−13 = 4. 若 x12 + x−12 = 5 , 求 x1 + x−1 =? , x 3 2 + x−32 =? 5. 比較大小: a = 0.50.7, b = 0.250.36, c = (₁₆1 )0.25 6. 設 20.6 _{= 1.516, 2}0.03 _{= 1.021, 求 2}0.63 _{=? 2}−0.37 _=? 7. 若 102y = 25, 試求 10−y =? 8. 比較 a = √3, b = √3 4, c = √4 5 三數的大小關係? 9. 放射性物質重量變為原來的一半所需經過的時間, 稱為該物質的半衰期, 某放射物 質在一年後剩下8公克, 而四年後剩下1公克, 問原來有多少公克? 其半衰期為多 少? 10. 設 a > 0 , 且 a + a−1 = 3, 求下列各式的值: a2 + a−2 =? 及 a12 + a−12 =? 11. 設 a 為正實數且 a2x = 5, 計算 a3x+ a−3x ax+ a−x 的值? 1.3.2 指數函數及其圖形 一_{對一函數:} 若 x1 6= x2 則 f (x1) 6= f(x2) 則稱 f (x) 為一對一函數。 亦即若 f (x1) = f (x2) 則 x1 = x2 指數函數_{圖形: y = f (x) = a}x _{, a > 0, a 6= 1。 定義域 D : (−∞, ∞) , 值域} R : (0,_∞) x y Γ1 : y = ax, a > 1 Γ2 : y = ax, 0 < a < 1 (0, 1) 指數函數圖形 x y y = 2x y = 3x y = 5x (0, 1) x y y = (1 2) x y = (1 3) x y = (1 5) x (0, 1) 順伯的窩

1. f (x) 恆正, 且通過點 (0, 1) 2. 底數 a > 1 時,  x > 0 , f (x)圖形在 y = 1 上方 x < 0 , f (x)圖形在 y = 1 下方 底數 0 < a < 1 時,  x > 0 , f (x)圖形在 y = 1 下方 x < 0 , f (x)圖形在 y = 1 上方 3. 圖形若底數 a > 1 時具有嚴格遞增性, 或 0 < a < 1 時具有嚴格遞減性。 4. 圖形無上界性:f (x) 函數值可無窮大。 5. 漸近性: 以 x 軸為漸近線。 指數函數重要性質: y = f (x) = ax , 恆滿足 1. f (x1 + x2) = f (x1)f (x2) 2. f (x1 − x2) = f (x1)÷ f(x2) 3. 單調性:  a > 1 時, 嚴格遞增 , x1 < x2則 f (x1) < f (x2) 0 < a < 1 時, 嚴格遞減 , x1 < x2則 f (x1) > f (x2) 4. f (x) = ax > 0 , 為一對一函數。 若 ax1 = ax2 則 x 1 = x2 5. 圖形凹凸性: y = f (x) = ax 圖形永遠凹口向上。 即 ax1 + ax2 2 > a x1+x2 2 函數_{圖形凹凸性: 知道圖形凹凸性, 可以描繪函數圖形並判斷ㄧ些函數值大小關係。} 若 f (x) 函數具有 f (x1) + f (x₂ 2) _{≥ f(}x1+ x2 2 ) 則函數圖形凹向上。 若 g(x) 函數具有 g(x1) + g(x₂ 2) _{≤ g(}x1 + x2 2 ) 則函數圖形凹向下。 f (x) = 3x 凹向上:32.3 _{+ 3}1.7 _{> 3}2.1 _{+ 3}1.9 _{> 2× 3}2.3+1.7_{2 , g(x) =} √_{x 凹向下:} √ 2.3 +√1.7 < √2.1 +√1.9 < 2_×q2.1+1.9₂ 精選範例 例題1 解方程式 25x = 26· 5x_{−1 − 1 [Ans:x = 1,−1 ]} 例題2 如圖為 y = ax, y = bx, y = cx, y = dx 四個函數圖形, 試比較 a, b, c, d 四數的大 小? [Ans:c > d > 1 > a > b] -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 2.5 5 7.5 10 12.5 15 y=ax y₌bx _y =cx y=dx -2 -1 1 2 2.5 5 7.5 10 12.5 15 y=3x y₌3ÈxÈ y₌3x+1 y=3x+1 y₌3-x 例題3 利用 y = 3x _{的圖形, 透過“平移、 鏡射 ”描繪下列函數圖形?} (a) y = 3x+ 1 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 _· (b) y = 3−x (c) y = 3|x| (d) y = 3x+1 例題4 解指數不等式 (3x _{− 9)(3}x_{− 27) ≤ 0 [Ans:2 ≤ x ≤ 3]} 例題5 解指數方程式 22x _{− 7 · 2}x_{− 2}3 = 0 [Ans:x = 3 ] 例題6 解下列指數不等式 (a). 2x _{> 4 (b). (12)}x+2 _{> 1 (c). (14)}x_{+ (12)}x_{− 2 < 0} [Ans:(a)x > 2 (b) x <_{−2 (c) x > 0]} 例題7 比較 (0.3)1.3, (0.3)0.3, (0.3)−0.3,√0.3 與 1 這五個數的大小關係? [Ans:(0.3)−0.3 > 1 > (0.3)0.3 > √0.3 > (0.3)1.3 習題3-2 指數函數及其圖形 1. 利用指數函數關係比較大小: a = √2, b = √3 4, c = √4 8 2. 比較大小 :a = 2√2, b = 2√3, c = 2√5 3. 若 x1, x2 ∈ R , 試比較 2 x1 _{+ 2}x2 2 與 2 x1+x2 2 的大小? 4. 試比較: y = 2x, y = 2−x, y = 3x, y = 3−x 的圖形? 5. 試比較 y = f (x) = 2x, y = f (x) = 2−x, y = f (x) = ₋₂x, y = f (x) = 2x−1 圖 形彼此間的關係? 6. 將函數 f (x) = 3x _{的圖形向左移動1單位, 再向上移動2單位, 所得到新圖形的函} 數為何? 7. 解方程式: 52x_{− 5}x+1 _{− 500 = 0} 8. 解不等式 4x_{− 2}x+1_{− 8 > 0} 9. 解指數不等式 (0.7)x2 _{> (0.49)}x 10. 解不等式: 13 < 32x−1 < 27 11. 在 _{−1 ≤ x ≤ 3 的範圍內, 求函數 f(x) = 4}x_{− 2}x+3+ 18 的最大值與最小值? 12. 若 f (x) = 4x_{− 2}x+1_{− 1,且 −1 ≤ x ≤ 1 求 f(x) 最大值及最小值?} 13. 試求 y = 22x _{− 5 · 2}x−1 + 1 之最小值? 順伯的窩

1.3.3 對數與對數定律 對數的定義: a > 0, a _{6= 1, x > 0; y = loga}x _{⇔ x = a}y _{, ( log} ax 稱為以a為底數,x的對 數;x為此對數的真數)。 對數運算性質: M, N > 0, a > 0, a_{6= 1 時}

1. log_aMN = log_aM + log_aN 2. log_a M_{N = loga}M − logaN 3. log_aMr = r log_aM

4. logab = _loglogcb ca

換底公式 5. 其它恆等式:a, b > 0

(a) alogab = b

(b) log_ab log_bc = log_ac (c) log_ba = _log1

ab (d) log_asbr = rs log_ab 6. 注意:

(a) k log_aM + log_aN = log_aMk _{+ log}

aN = logaMkN (b) log_abr _{× logb}sck = rk_{s loga}b log_bc = rk_{s loga}c

(c) log_axlogax = log

ax× logax = (logax)2 (d) xlog a = alog x

精選範例 例題1 求下列對數值:

(a) 2 log₁₀2 + log₁₀15− log106 = [Ans:1] (b) log 59 − log 37 + log 2735 = [Ans:0]

(c) (log23 + log49)(log34 + log92) = [Ans:5]

例題2 設 log₁₀2 = a, log₁₀3 = b , 試用 a, b 表示出下列各式: (a) log₁₀20 (b)

log₁₀1.2 (c) log₅2 [Ans:(a) a + 1 (b) 2a + b_{− 1 (c) 1−a}a ]

例題3 設 a = log₂3, b = log₃7 , 試用 a, b 表示 log₂₁168 =? [Ans: 3+a+ab_a+ab ]

例題4 已知 x 是正數且 log₅x = 1 +√2, 求 log₅5x + log_0.2x2 的值? [Ans:−√2]

例題5 已知 log₁₀2 ≈ 0.3010, log103 ≈ 0.4771, log107 ≈ 0.8451 , 試求下列各數的近

似值: a = log₁₀2120, b = log₁₀2400, c = log₁₀0.375 [Ans:a = 36.12, b = 3.3801, c = −0.4259]

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 _·

習題3-3 對數與對數定律 1. (log₄9 + log₁₆27)(log₉16 + log₂₇2) =?

2. log_{10 36 + 5 log}7 ₁₀2− log10 14_{25 + 2 log}103 =? 3. 化簡 (log₁₀2)3 + (log₁₀5)3 + (log₁₀5)(log₁₀8) =? 4. 化簡 (1) log427

log₂3 =? (2) log104− log105 + 2 log10 √

125 =?

5. 若 log₁₀2≈ 0.3010, log103 ≈ 0.4771 , 試求 log1020 =?, log10 25_{4 =?} 6. log102 ≈ 0.3010, log103≈ 0.4771, log107 ≈ 0.8451 , 試求:

log 4, log 5, log 6, log 8, log 9, log 12, log 14 =?

7. 設 log₁₀2 = a, log₁₀3 = b , 試用 a, b 表示出下列各式: (a) log₃6 (b) log₃5 (c) log₃18 8. 已知 f (x) = log√ 3x, 且 f (a)− f(b) = 6 , 求 ab 的值? 9. 測量聲音大小的分貝 s 與聲音強度 w 有下列關係式: s = 10· log w, 如果一般人 交談的音量為60分貝, 演唱會中的音量為120分貝, 問演唱會的音量強度是一般人 交談聲音強度的幾倍? 1.3.4 對數函數及其圖形 對數函數函數圖形 : y = f (x) = log_ax。 定義域 D : (0,∞) , 值域 R : (−∞, ∞)。 1. 單調性: 若 a > 1, f (x) 是遞增函數, 若 0 < a < 1, f (x) 是遞減函數 2. 圖形必通過點 (1, 0) 3. y 軸是圖形的漸近線

4. 凹凸性: a > 1時 y = log_ax 圖形永遠凹口向下。 即 log(a + b_{2 ) >} log a + log b₂ 0 < a < 1時 y = log_ax 圖形永遠凹口向上。 即 log(a + b_{2 ) <} log a + log b₂

x y Γ1 : y = logax (1, 0) 底數 a > 1 的對數函數圖形 x y Γ2: y = logax (1, 0) 底數 0 < a < 1 的對數函數圖形 順伯的窩

對數函數與指數函數圖形的關係: f (x) = log_ax , g(x) = ax y = logax 圖形與指數 y = ax 圖形對稱於直線 y = x x y g(x) = log_0.5x f (x) = 0.5x y = x 0 < a < 1 ,此圖 a = 1 2 x y g(x) = log_0.02x f (x) = 0.02x y = x a > 1 , 此圖 a = 0.02 x y g(x) = log₂x f (x) = 2x y = x a > 1 , 此圖 a = 2 x y g(x) = log_1.2x f (x) = 1.2x y = x a > 1 , 此圖 a = 1.2 1. 指數與對數是反函數關係: y = ax 與 y = log_ax 圖形對稱於直線 y = x 。 其相交情形點可能為“不相交、 相切一點、 相交兩點、 相交三點”。(一般圖解法 不一定能觀察出來)。 2. Γ1 : y = 3x 鏡射軸 L:y=x −→ Γ2 : y = log3x 鏡射軸 L:y=0 −→ Γ3 : y = log1 3 x = − log3x 3. 若函數在定義域內 g(f (x)) = x 且 f (g(y)) = y 則稱 f (x) 與 g(y) 互為反 函數, f (x) 反函數記為 F−1(x)。 且反函數的圖形是以 y = x 為鏡射軸。 反函數的求法可用 x 與 y 互換後, 再將 y 用 x 來表示即可。 4. 指數與對數的定義域及值域: 指數 f (x) = ax _{; 當 a > 0 定義域: x ∈ R 。 值域: y = a}x _{> 0 。} 對數 f (x) = log_ax ; 當 a > 0, a_{6= 1 , 定義域: x > 0 。 值域: y = loga}x _∈ R 。 對數式比較大小: y = log_ax , 恆滿足 順伯的窩