• 沒有找到結果。

第 4.1 單元 空間向量

在文檔中 99mathall (頁 138-148)

數學第四冊

4.1

單元 空間向量

4.1.1 空間概念

空間中點、 線、 面的公設(空間中點線面之間存在直觀上的基本關係):

1. 相異兩點可以決定一直線; 一直線至少含有相異的兩點。

2. 不共線的三點可以決定一平面。

3. 若直線 L 有相異兩點落於平面 E 上, 則直線 L 在平面 E 上。

4. 若相異兩平面相交, 則此兩平面相交於一直線。

空間中決定平面的條件:

1. 不共線的三點 2. 一線及線外一點 3. 相交於一點的兩直線 4. 兩平行線

空間中相異兩直線的關係:

1. 相交一點 (此時兩直線共平面)

2. 平行不相交 (兩線在同一平面上)

3. 歪斜不相交 (兩線不共平面, 不相交又不平行), 此時兩直線為歪斜線。

線與平面的關係:

1. 直線與平面平行 (沒有交點) 2. 直線與平面相交一點

3. 直線在平面上 (直線上的點均在平面上)

平面的垂線: 若直線 L 和平面 E 相交於 P 點, 平面 E 上通過 P 點的任一直線都與 L 垂直, 則稱直線 L 和平面 E 垂直。 記為 L⊥E

P L

E 空間垂直線

直線、 平面間垂直與平行的關係:

1. 與直線 L 垂直的直線有無限多個 (不同方向的直線) 2. 與直線 L 垂直的平面有無限多個 (平面均為平行面) 3. 與直線 L 平行的直線有無限多個 (方向相同)

4. 與直線 L 平行的平面有無限多個 (平面法向量方向不同) 1. 與平面 E 垂直的直線有無限多個 (均為平行線)

2. 與平面 E 垂直的平面有無限多個 (法向量方向不同) 3. 與平面 E 平行的直線有無限多個 (不同方向的直線) 4. 與平面 E 平行的平面有無限多個 (相同法向量的平面)

三垂線定理: 設直線AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C , 則 AC⊥CD

利用 ABC = ∠ABD = ∠BCD = 90, 直角三角形畢氏定理: AD2 = AB2+ BD2 = (AC2− BC2) + (BC2 + CD2) = AC2 + CD2ACD = 90 向量觀點: 已知

 −⇀

AB ·−⇀

BC = −⇀

−⇀ 0 BC ·−⇀

CD = −⇀

0 ⇒−⇀

AC ·−⇀

CD = (−⇀

AB +−⇀

BC)·−⇀

CD = −⇀ 0

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 4.1 空間向量 ·

意義: 若 L1 在 E 上, L2 不在 E 上, 它們相交於一點, 則要判別 L1, L2 是否互 相垂直時, 可將 L2 在 E 上的正射影 L3 , 則只要判別 L1, L3 是否垂直即可。

三垂線定理的逆定理: 設直線AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 AC⊥CD 於 C , 則 BC⊥CD

平行關係的判定與性質:

1. 平面 E 外的一直線 L 和平面上的一直線平行, 則直線 L//E 。

2. 直線 L 和一平面 E 平行, 經過 L 的平面 E’交平面 E 於一線 L , 則 L//L 3. 平面 E 上的兩相交直線都平行於一平面 E, 則兩平面 E//E

4. 兩平行平面與第三個平面相交, 則其兩交線互為平行。

垂直關係的判定與性質:

1. 一直線 L 與一個平面上的兩相交直線都垂直, 則直線 L 垂直於此平面。

2. 若兩直線同垂直於一平面, 則此兩直線互相平行。

3. 若平面 E 包含另一平面 E 的垂線, 則兩平面 E⊥E

4. 若兩平面 E, E 互相垂直, 且交線為 L, 若 L 在平面 E 上, 且 L⊥L 則 L⊥E

5. 平面 E 上的一直線 L 與另一斜直線 L ( L * E ) 垂直的充要條件是 L 與 L在平面 E 上的正射影垂直。 三垂線逆定理。

兩面角:若 AB, BC 分別在兩平面 E1, E2 上, 且均與兩平面相交的稜邊垂直, 則 ∠ABC

為其兩面夾角。 E2

E1

B A

θ

θ C

L1

L2 五個正多面體:

順伯的窩

正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體

頂點個數 V 4 8 6 20 12

面個數 F 4 6 8 12 20

稜長個數 E 6 12 12 30 30

尤拉公式 V + F − E = 2 2 2 2 2 2

每面正N 邊形 3 4 3 5 3

正四面體: 每一面均為稜長 a 的正三角形。 A B

D

C

1. 高 h =

√6a 3 2. 表面積 =√

3a2 3. 體積 = 13 ×

√3a2

4 × h =

√2a3 12 4. 外接球半徑 R = 3h4 =

√6a 4 5. 內切球半徑 r = 1h4 =

√6a 12 6. 兩面夾角餘弦 cos θ = 13

7. 外接球球心 O 到任兩頂點夾角 α,⇒ cos α = −13 正八面體: 連接正四面體各稜長的中點, 為正八面體。

正八面體體積: 為同稜長正四面體體積的4倍。

正立方體的八個頂點中, 任四頂點形成的正四面體有兩類: 稜長為 √

2a 及 a 兩 種。

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 4.1 空間向量 · 正六面體(正立方體): 每面均為稜長 a 的正方形

1. 斜對角線長 √ 3a 2. 外接球半徑 R =

√3a 2 3. 內切球半徑 r = 1a2

F E

B

G C D

A

H A

D C B

O

四角錐體: 底面為四邊形, 側面為三角形, 稜邊共同相交一點。

例題演練

例題1 邊長為1的正四面體, 求此四面體任兩面的夾角為 θ , 則 cos θ =?

[Ans:cos θ = 13 ]

例題2 求稜邊邊長為 a 的正四面體的體積? [Ans:122a3 ]

例題3 每個稜邊邊長均為 a 的正四角錐, 底面為正方形, 側面為正三角形, 設底面與側面 的所夾的兩面角為 θ , 求 cos θ =? 及錐頂點到底面的高 h = ? [Ans:cos θ =

1

3; h = a2] B O

D A

C

習題1-1 空間概念

1. 如圖: 邊長為2的正四面體 ABCD, 從頂點 D 對底面 ABC 作垂線 DH 交底面 於 H 點, 求高 DH 的長度為何?

順伯的窩

A

B C D

2. 一長方體的稜邊共有幾組歪斜線? 四面體的稜邊有幾組歪斜線?

3. 下列有關空間敘述, 那些是正確?

(A) 過已知直線外一點, 恰有一平面與此直線垂直。 (B) 過已知直線外一點, 恰有 一平面與此直線平行。 (C) 過已知平面外一點, 恰有一直線與此平面平行。 (D) 過 已知平面外一點, 恰有一平面與此平面垂直。 (E) 過已知平面外一點, 恰有一平面 與此平面平行。

4. 正四面體 ABCD 中, 設兩平面 BCD, 與 ACD 的夾角為 θ , 求 cos θ 之值?

5. 請指出或說明下列敘述錯誤的地方?

(A) 平行於同一平面的兩相異直線必平行。(B) 垂直於同一直線的兩線戶相平行。

(C) 任意兩相異直線必有一公垂線。(D) 兩相異直線若不相交, 必平行。(E) 過平面 外一點, 恰有一直線平行於此平面。 (F) 兩相異平面可能只交於一點。

6. 設直線 AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C,

且 AC = 2, BC = CD = 1, 則 AD =?, AB =?

4.1.2 空間向量的坐標表示法

空間坐標系:

在平面上建立一直角坐標系, 過原點 O 作一直線, 使它同時與 x, y 軸互相垂直, 此直線稱為 z 軸。 依右手法則規定z軸正負方向, 就組成空間坐標系, 此三個軸稱 為空間坐標軸; 由x軸與 y 軸所決定的平面稱為xy 平面; 由 y 軸與 z 軸所決定的 平面稱為yz 平面; 由 x 軸與 z 軸所決定的平面稱為xz 平面; 此三平面稱為坐標 平面, 坐標平面將空間分割成八個部份, 稱為卦限, 三個坐標軸正向所圍成的卦限

稱為第一卦限。

空間點P (a, b, c)對坐標軸與坐標平面的關係:

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 4.1 空間向量 ·

垂足點 對稱點 距離 x(a, 0, 0) (a,−b, −c)

b2+ c2 y(0, b, 0) (−a, b, −c) a2+ c2 z(0, 0, c) (−a, −b, c) a2+ b2 xy 平面 (a, b, 0) (a, b,−c) |c|

yz平面 (0, b, c) (−a, b, c) |a|

xz平面 (a, 0, c) (a,−b, c) |b|

x

y z

P (a, b, c)

(a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c)

(a, b, 0) (a, 0, c)

(0, b, c)

1-2: 空間坐標點P (a, b, c) 對坐標軸與坐標平面的關係

空間兩點P1, P2距離:

P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2), P1P2 = p(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2 + (c1 − c2)2 空間兩點P1, P2 中點坐標:

P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2) 中點 M = (a1 + a2

2 , b1 + b2

2 , c1 + c2

2 ) 正四面體空間坐標: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1):

x y

z

空間向量的坐標表示法:

坐標空間中, 始點 A(x1, y1, z1), 終點 B(x2, y2, z2) 的位置向量 −⇀

AB 其坐標表示 為 −⇀

AB = (x2− x1, y2 − y1, z2 − z1) 我們可將 −⇀

AB 平移, 使得它的始點落於原點 O 上, 使其位置向量 −⇀

AB = −⇀

OP

設−⇀

OP = (a, b, c),a, b, c 分別為 −⇀

OP 的 x 分量、y 分量、z 分量。

O

x y

z

P

−⇀AB

順伯的窩

空間中 P 點坐標 (a, b, c), 向量 −⇀

https://sites.google.com/site/hysh4math 4.1 空間向量 · 例題演練

例題1 坐標空間中, 點 B(1, 2, 3) 對 z 軸的對稱點 B 的坐標為何? 又點 B 對 xy 平面

的對稱點 R 坐標為何? [Ans:B(−1, −2, 3), R(1, 2, −3)] E F

G H

x

y z

A B

D C

例題2 正四角錐體 (稜邊相等的金字塔形) 的底面四頂點的空間坐標分別為

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) , 求此錐體的錐頂點坐標? [Ans:±(12,12,22)]

例題3 坐標空間中, 平行四邊形 ABCD 三頂點坐標 ,A(1, 2, 5), B(4,−4, −3), C(−6, 5, 9) , 求點 D 的坐標? [Ans:D(−9, 11, 17)]

例題4 已知坐標空間中, 三點 A(3, 2, 6), B(5,−1, 0), C(−3, 4, 3) , 試證明 △ABC 為 等腰直角三角形?

例題5 已知點 P 在線段 AB 上的點, P A : P B = 2 : 3 , 若 A(1,−1, 8), B(11, −6, −2) 求 P 點坐標? [Ans:P (5, −3, 4)]

例題6 設 −⇀

OA = (2, 1),−⇀

OB = (1, 2), 若 −⇀

OP = x−⇀

OA + y−⇀

OB , 且 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

1, x, y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域?

C

x y

O A

B

例題7 坐標空間中, 已知 −⇀

OA = (1, 2, 3),−⇀

OB = (0, 1,−1) (a) 若 −⇀

OC = 12−⇀

OA + 23−⇀

OB 試描述 C 點的位置? [ans:−⇀

OC = (12,53,56)]

(b) 若 −⇀

OD = −⇀

OA + 2−⇀

OB 試描述 D 點的位置?[ans:−⇀

OD = (1, 4, 1)]

(c) 若 −⇀

OP = −⇀

OA + t−⇀

OB, 0 ≤ t ≤ 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? [Ans: 線 段 AM ]

(d) 若 −⇀

OP = s−⇀

OA + t−⇀

OB, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖 形? [Ans: 平行四邊形 OANE]

順伯的窩

M

O

p = 1−a + 2 b

−⇀OB B

E N

−⇀OA A

−⇀OP =−⇀

OA + t−⇀

OB

p = s−a + 2 b

習題1-2 空間向量的坐標表示法 1. 已知 P (2, 3, 4) 為坐標空間中一點, 求下列各值?

(a) P 點到原點的距離?

(b) P 點到 yz 平面的距離?

(c) P 點到 x 軸的距離?

(d) P 點對 xy 平面的垂足點 P 坐標?

2. 在第一卦限內有一點 P 到 x 軸,y 軸,z 軸的距離分別為 15, 13,√

106, 求 P 點的 坐標?

3. 設 A(2, 1,−2), B(0, −2, −1), C(1, 1, 0) , 求一點 P 使 P A2 + P B2 + P C2 為 最小, 並求其最小值?

4. 坐標空間中, △ABC 的三頂點為 A(2, 3, −1), B(0, 5, 2), C(1, 5, −4) 求 B,C 邊 上的中線 AM 長?

5. 在坐標空間中, 在 x 軸上找一點 P, 使 P 點到 A(1,−1, 4), B(−2, 1, 3) 兩點等 距?

6. 已知 P (1, 2, 2), Q(2,−3, 5) 與 R(x, y, 11) 為坐標空間中三點, 且 P, Q, R 三點 共線, 求 x, y 之值?

7. 已知 A(9, 3, 1), B(6, 4, 3), C(0, 6, 7) 為空間中三點, 判斷 A,B,C 三點是否共線?

並說明理由?

8. 設 A(3,−1, 2), B(4, 1, 0), C(0, −1, −2) , 若 ∆ABC 中 A 的內角平分線, 外 角平分線交底邊 ←→BC 於 D,E 兩點, 求 D,E 兩點坐標?

9. 空間三點 A(1, a, 1), B(3,−5, 5), C(−1, 1, b) 共線, 求 a,b 之值?

10. 設 A(3,−1, 2), B(0, 3, 2), C(3, 7, −4) , 求 △ABC 之重心坐標? A 的內角平 分線交 BC 於 D, 求 D 點坐標?

11. 若平行四邊形 ABCD, 已知三頂點 A(1, 2, 3), B(4, 3, 1), C(2,−3, 5) 求 D 點坐 標?

12. 坐標空間中, 已知−⇀

OA = (1, 2, 2),−⇀

OB = (−1, 2, 3) 若−⇀

OP = s−⇀

OA+t−⇀

OB, s, t ∈ R

(a) 若 s = 1, 0 ≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖形?

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 4.1 空間向量 · (b) 若 −⇀

OP = s−⇀

OA +−⇀

OB, 0≤ s ≤ 1 試描述 P 點位置所形成的圖形?

(c) 若−1 ≤ s ≤ 2, 0 ≤ t ≤ 3 試描述 P 點位置所形成的區域面積是 −⇀

OA,−⇀

OB所 張開平行四邊形面積的幾倍 ?

4.1.3 空間向量的內積

空間的向量內積: −⇀a ·−⇀

b = |−⇀a ||−⇀

b | cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3

若 −⇀a = −⇀

OA = (a1, a2, a3),−⇀

b = −⇀

OB = (b1, b2, b3) 則由餘弦定理:

AB2 = OA2 + OB2 − 2OA × OB cos θ 及內積的定義

−⇀OA·−⇀OB = |−⇀OA||−⇀OB| cos θ

= |−⇀

OA||−⇀

OB| ×|−⇀

OA|2+|−⇀

OB|2− |−⇀

AB|2 2|−⇀OA||−⇀OB|

= 1

2(OA2+ OB2− AB2)

= 1

2[(a21+ a22+ a23) + (b21+ b22+ b23)− ((a1− b1)2+ (a2− b2)2+ (a3− b3)2)]

= a1b1+ a2b2+ a3b3

a ·b =|−a ||b | cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3

O y

z

x

θ a

A

b

B

空間向量內積的基本性質

:

空間中任意向量

a ,b , −c 1.

空間向量內積具有交換律

: −a ·b = b · −a

2.

空間向量內積與係數乘法關係

: (α−a )·b = −a · (αb ) = α(b · −c ) 3.

內空間向量積對加法的分配律

:−a · (b + −c ) = −a ·b + −a · −c 4.

空間向量自己內積值為其長度平方

:−a · −a =|−a |2

空間中兩向量垂直的判定

:

a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3)

a b ⇔ −a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

在文檔中 99mathall (頁 138-148)