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第 4.2 單元 空間中的平面與直線

在文檔中 99mathall (頁 156-166)

4.2.1 平面方程式

平面的法向量: 坐標空間中, 一個以非零向量 −⇀n 的直線 L 與平面垂直, 則稱 −⇀n 為平 面 E 的一個法向量, 記為 −⇀

⊥ E

平面方程式: 平面上任兩點的向量有共同的法向量, 且平面的法向量均 //−⇀n , 若確定 平面的法向量 −⇀n 及平面上任一點 P (x0, y0, z0) 可決定其方程式。(點法式)

若法向量 −⇀n = (a, b, c) 垂直平面 E 上的所有直線,P (x0, y0, z0) 在平面 E 上, 則 點法式: (a, b, c)· (x − x0, y − y0, z − z0) = 0 化簡可得平面方程式

E : ax + by + cz = d 其中 d = ax0 + by0 + cz0 ,

一般式: 故在坐標空間中平面方程式可表成三元一次方程式的形式 E : ax + by + cz + d = 0 , 其中 (a, b, c) 為平面的一個法向量。

平面截距式:

平面與三坐標軸交於 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) 三點, 則平面方程式 E : xa + y

b + zc = 1 此時的平面法向量為 (1a,1b, 1c)

兩平面的夾角 θ, π − θ : cos θ = −n⇀1 · −n⇀2

|−n⇀1||−n⇀2|

E1, E2 之夾角 θ, π − θ 其中之一與其兩平面法向量 −n⇀1, −n⇀2 夾角相同, 利用向量

內積可得 cos θ = −n⇀1 · −n⇀2

|−n⇀1||−n⇀2|

E1

θ

E2

B A

C n1

n2 π− θ

π− θ

θ

點 P (x0, y0, z0) 到平面 E : ax + by + cz + d = 0 的距離: d(P, E) = ax0√+ by0 + cz0 + d a2 + b2 + c2

P (x0, y0, z0) 到平面 E : ax + by + cz + d = 0 距離。 利用解析法:P 在 E 上的

垂足點 H, 假設 PH 直線的參數式, 且 H 點在平面 E 上。 則 d = P H 或 d(P, E) = P H = |−⇀

QP|| cos θ| = |−⇀

QP||

−⇀QP · −⇀n

|−⇀

QP||−⇀n|| =|(x0 − x, y0 − y, z0 − z) · (a, b, c)

|(a, b, c)| |

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= ax0√+ by0 + cz0 + d a2 + b2 + c2

E

P (x0, y0, z0)

H P

Q(x, y, z)

−⇀n

θ

兩平行面距離: 兩平面 E : ax + by + cz + d1 = 0, F : ax + by + cz+2 = 0 則兩平行面 E, F 距離為 d(E, F ) = |d(P, E) − d(P, F )| = √ |d1 − d2|

a2 + b2 + c2 平面簇: 若 E1, E2, E3 為有共同交線的平面, 則 E3 : E1 + kE2 = 0 , k ∈ R

三平面 E1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0, E2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0, E3 : a3x+b3y+c3z+d3 = 0 若有共同交線, 則聯立方程式 E1, E2 與 E1, E3 的解集合 相同。 即 E1−E2 = 0 ≡ E1−E3 = 0 , 故存在實數 s, t 使得 s(E1−E2)+t(E1− E3) = 0 可得 E3 = s+tt E1stE2 , 同除以 s+tt , 可令 E3 : E1+ kE2 = 0 , k ∈ R

例題演練 例題1 平面 E : x + 2y + 3z = 4 包含下列哪些向量?

−⇀

A = (1,−2, 1),−⇀

B = (1, 2, 3) , −⇀

C = (1, 1,−1),−⇀

D = (−3, 2, 1) 又下列哪些 點在平面 E 上?

P (1,−2, 1), Q(1, 2, 3),R(1, 1, −1), S(−3, 2, 1) Ans:−⇀ A ,−⇀

C ;S 例題2 求通過 P (3, 2, 1) 和平面 x− 2y + 3z = −4 平行的平面方程式?

Ans: x− 2y + 3z = 2

例題3 求過點 A(1,−1, 2), B(2, 0, 4), C(3, 2, 5) 三點的平面方程式? [Ans:E:3x-y-z=2]

例題4 求平面 E : x +√

2y + z = 4 與 xz 平面的夾角? [Ans:θ = 45, 135]

例題5 求點 P (4,−3, 5) 到平面 E : x − 2y + 2z = 2 的垂足點坐標? [Ans:(2,1,1)]

例題6 坐標空間中, 求平面 E : 2x − 3y + 4z = 17 上一點 Q 坐標, 使 Q 點到空間 P (0, 11,−2) 的距離為最短? [Ans:Q(4, 5, 6)]

習題2-1 平面方程式

1. 求通過點 A(1, 2, 3), 且以 −⇀n = (1,−1, 2) 為法向量之平面 E 的方程式?

2. A(−1, 1, 2), B(3, −5, 4) , 求線段 AB 之垂直平分面方程式?

3. 求過 A(1,−1, 4), B(−2, −2, 3), C(−1, −2, 2) , 三點的平面E方程式?

4. 若過 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) 三點的平面方程式為 ax + by + cz = 6 則 a, b, c 之值為?

5. 試求兩平面 E1 : x− y + z − 3 = 0, E2 : x + y +√

6z + 2 = 0 的夾角?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.2 空間中的平面與直線 · 6. 試求兩平面 E1 : x + 2y− z − 3 = 0, E2 : x− y + 2z − 3 = 0 的夾角?

7. 求空間三點 A(3, 4, 5), B(4, 5, 4), C(2, 6, 6) , 求 △ABC 之面積? 設 ABC 平 面與平面 x − 2y + z − 7 = 0 的夾角為 θ , 則 cos θ =?

8. 求點 P (−1, 2, −4) 到平面 E : x + 4y − 5z + 15 = 0 的距離?

9. 求點 P (5,−2, 6) 在平面 E : x − 4y + 7z + 11 = 0 的投影點座標H?

10. 空間中四點 (0, 0, 0), (1, 2, 3), (2, 3, 1), (1, 1, a) 共平面, 則 a 值為何?

11. 求過點 A(2,−3, 4) 且與 x + 2y + 3z = 4 平行的平面方程式?

12. 求過點 A(1,−2, 1) 且與兩平面 x + 2y − z = −1, x − y + z = 1 均垂直的平面 方程式?

13. 求點 P (2,−3, 5) 在平面 E : x − y − 3z − 12 = 0 的垂足點坐標及點 P 對於平 面 E 的對稱點坐標?

14. 求與平面 E : x− 2y + 2z = 3 平行且與 E 之距離為5的平面方程式?

15. 求兩平行面的距離:E1 : x− y + 2z = 7, E2 : x− y + 2z + 2 = 0

16. 求包含兩平面 E1 : x− 2y + z − 3 = 0, E2 : 2x + 3z + 4 = 0 之交線, 且過點 (1, 4, 1) 的平面方程式?

4.2.2 空間直線方程式

直線參數式: 直線過 A(x0, y0, z0) 點, 且直線方向 −⇀

L //(l1, l2, l3) 的直線方程式: L : ( x = x0 + l1t

y = y0 + l2t

z = z0 + l3t , t ∈ R , 稱為直線的參數式。

空間中, 直線 L 通過 A 點的直線, 且 L 與向量 −⇀v 平行, 則直線上任意異於 A 點 P (x, y, z), 必有 −⇀

AP //−⇀v , 因此 −⇀

AP = (x− x0, y− y0, z− z0) = t(l1, l2, l3), t ∈ R 可得直線 L 上的點坐標為 L :

( x = x0+ l1t y = y0 + l2t

z = z0 + l3t , t ∈ R;

L

v = (l1, l2, l3)

A(x0, y0, z0) P (x, y, z)

所以只要找出直線的一個方向 −⇀

L , 及任何直線上的 一點就可決定其直線方程式。

直線對稱比例式: 若將直線上的關係 −⇀

AP //−⇀v 表達成 x − xl1 0 = y − y0

l2 = z − zl3 0 稱 為直線對稱比例式。 其中 l1, l2, l3 均不為0

空間中直線、 平面關係:

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1. 平面與平面的關係:

兩面式: 兩平面的法向量不平行時, 相交成一直線 L : n a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 E2

E1

E2

L

(a) 兩相異平面的法向量不行時, 兩平面平行。

2. 兩相異直線的關係:

(a) 兩直線相交一點 (此時兩直線必共平面) (b) 兩直線平行 (此時兩直線必共平面)

(c) 兩直線為歪斜線 (此時兩直線必不共平面)

E

M L

−⇀n

E

LM E

L

M L

3. 直線與平面關係:

(a) 直線 L 與平面 E 平行不相交。

(b) 直線 L 落於平面 E 上。

(c) 直線 L 與平面 E 相交一點。

E L

L E

−⇀n

E P

L

求空間的點坐標 (求垂足點、 最遠、 最近點、 交點、 投影點 · · · ): 可設法用參數式來 表示, 再用解析法求其點坐標。

⊚ 空間 P 點到直線 L 距離:

1. 利用垂足點 Q 參數式, 且 −⇀

P Q⊥−⇀

L , 則 d = P Q 2. 空間 P 點到直線 L 的距離 d: 直線 L 任一點 A,−⇀

AP 與 −⇀

L 夾角 θ 則 d = |−⇀

AP| sin θ = |−⇀

AP|√

1− cos2θ = |−⇀

AP| s

1− (−⇀

AP ·−⇀ L

|−⇀

AP||−⇀ L|)2

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A

Q L P

θ

空間P點與平面 E 的最近點 (垂足點) H 及對稱點 P: 可設點 H 為直線 P H 的參 數式 (−−⇀

P H//−⇀n ), 且H在平面 E 上。

⊚ 若平面 E 垂直平分 P P 則稱 P 為 P 點關於平面 E 的對稱點。 可利用 P, P

的中點為 H , 求出 P 的對稱點P

E

P (x, y, z)

H P

−⇀n

⊚ 空間中兩平行線的距離: 兩直線 L1, L2 互相平行時, 直線上任意一點 P 到另一直線 的距離都相等。 故兩平行線距離即為 L1 上一點 P 到直線 L2 的距離。 d(L1, L2) = d(P, L2) = P Q

L2

L1 P

Q

⊚ 歪斜線: 空間中兩直線沒有共同交點, 且直線方向不平行, 稱為互為歪斜的兩直線。(此 時兩線 ←→AB,←→

CD 不共平面)。 若直線 L 同時垂直 L1, L2 且與 L1, L2 相交點分別 為 P, Q 則稱 L 為兩歪斜線的公垂線, P Q 為 L1, L2 的公垂線段。

兩歪斜線的距離求法:

1. 可設公垂線與 L1, L2垂足點 P,Q 的直線參數式點坐標, 再利用−⇀

P Q⊥−⇀ L1,−⇀

P Q⊥−⇀ L2

求出兩坐標的參數, 則 d = P Q

2. 求出包含 L2 且 //L1 的平面 E, 則 d = L1 上的任一點到平面 E 的距離。

3. AC 在公垂線 −⇀

P Q//−⇀

AB×−⇀

CD 上的正射影長 d = |

−⇀AC · (−⇀

AB×−⇀

CD)|

|−⇀

AB ×−⇀

CD|

E

L1

L2 Q P

L A

B

C

−⇀ D

AC Q

P

空間三坐標軸與三坐標平面方程式:

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1. x 軸: 直線參數式

 x = t y = 0

z = 0 , t ∈ R 。x 軸直線的單位向量 (±1, 0, 0) 兩面式:

 y = 0 , (xz 平面) z = 0 , (xy 平面) 2. y 軸: 直線參數式

 x = 0 y = t

z = 0 , t ∈ R 。y 軸直線的單位向量 (0, ±1, 0) 兩面式:

 x = 0 , (yz 平面) z = 0 , (xy 平面) 3. z 軸: 直線參數式

 x = 0 y = 0

z = t , t ∈ R 。z 軸直線的單位向量 (0, 0, ±1) 兩面式:

 x = 0 , (yz 平面) y = 0 , (xz 平面)

4. xy 平面方程式: 0x + 0y + 1z = 0 ; xy 平面的單位法向量為 (0, 0,±1) , 直線 z 軸的方向必垂直 xy 平面。

5. yz 平面方程式: 1x + 0y + 1z = 0 ; yz 平面的單位法向量為 (±1, 0, 0) , 直 線 x 軸的方向必垂直 yz 平面。

6. xz 平面方程式: 0x + 1y + 1z = 0 ; xz 平面的單位法向量為 (0,±1, 0) , 直 線 y 軸的方向必垂直 xz 平面。

空間向量的方向角: −⇀

OP 與坐標軸的三個方向角α, β, γ, 則 cos2α + cos2β + cos2γ = 1

|−⇀

OP| = r = √

a2 + b2 + c2, 且cos α = ar, cos β = b

r , cos γ = c r

⇔ −⇀

OP = r(cos α, cos β, cos γ)

平面向量的方向角 α, β : cos2α + cos2β = 1 ⇒ α + β = π2 或 |α − β| = π 2 空間中兩平面夾角、 兩相交線夾角及直線與平面的夾角:

1. 空間中, 若 −⇀v ⊥ 平面 E , 則平面法向量 −⇀n //−⇀v 。 2. 空間中, 若 −⇀v 與直線平行, 則直線方向向量 −⇀

L 必 //−⇀v 。

3. 兩平面上的相異兩線夾角不一定是兩平面夾角 (兩平面法向量夾角)。 除非此 兩直線所在的平面恰垂直這兩平面。

兩平面夾角 θ, 180 − θ 其中之一恰為兩平面法向量 −n⇀1, −n⇀2 的夾角。

4. 兩相交直線的夾角 θ, π− θ 其中之一為兩直線方向向量 −⇀ L1,−⇀

L2 的夾角。

5. 直線 L 與平面 E 的銳夾角為 θ , 若 L 直線方向向量 −⇀

L 與平面 E 法向量

−⇀n 夾角為 λ , 則 θ + λ銳角 = 90 或 θ + 90 = λ鈍角

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E L

θ

−⇀n

L

例題演練

例題1 已知直線 L 過 A(2, 1,−3), B(4, 2, 1) 兩點, 求 L 的參數式?

[Ans:

 x = 2 + 2t y = 1 + t

z = −3 + 4t , t ∈ R (表示法不唯一)]

例題2 求過點 P (1, 4,−3) 且包含直線

 x = 2 + 2t y = −4 + 3t

z = 5− t , t ∈ R 的平面方程式?

[Ans: 16x− 17y − 19z = 5]

例題3 求兩平面 E1 : x− 2y + z − 3 = 0, E2 : 2x + y − z − 2 = 0 交線的對稱式?

[Ans:x − 21 = y − 1

3 = z − 35 ] 例題4 求兩線 L1 : x − 42 = y + 1

2 = z + 31 , L2 : x − 43 = y + 1

−1 = z + 32 的交點坐標 P 及包含兩直線的平面方程式 E? [Ans:P (4,−1, −3), E : 5x − y − 8z = 45]

例題5 求包含點 P (−1, 1, 5) 和直線 L : x1 = y − 1

1 = z − 2−5 的平面 E 方程式?

[Ans:E : 3x + 2y + z = 4]

例題6 空間中, 討論直線 L :

 x = 5 + 2t y = 3− 2t

z = −1 + t , t ∈ R, 與平面 E : 2 − 3 − 5 + 9 = 0 相交情形? [Ans: 交一點P (−1, 9, −4)]

例題7 設平面 E 的方程式為 2x + y − z = 3, 試分別討論與下列三直線與平面的關係:

L1 : x− 2

3 = y − 2

1 = z − 3

2 , L2 : x− 1

2 = y− 2

−1 = z− 3

3 , L3 : x− 1 2 = y − 2

−1 = z − 1

3 [Ans:L1, E交一點 P (2, 2, 3); L2//E ;L3 ⊂ E]

例題8 求直線 L : x−11 = y−3−2 = z−32 與兩直線 L1 : x2 = −6y = z4, L2 : x−1−2 = y+13 = z−2−5 的相交情形? [Ans:L//L1, L = L2]

例題9 ⊚ 求點 P (3, 2, 6) 到直線 x + 12 = y

2 = z − 2

−3 的距離? [Ans:6]

例題10 ⊚ 求二平行線 L1 : x− 1

2 = y − 3

−3 = z − 4

2 , L2 : x− 4

2 = y − 2

−3 = z− 8 2 的 距離? [Ans:3]

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例題11 ⊚ 兩歪斜線 x− 1

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⊚ 三平面幾何關係的代數判定:

坐標空間中三平面 E1 : a1x + b1y + c1z = d1, E2 : a2x + b2y + c2z = d2, E3 : a3x+b3y+c3z = d3 的交點坐標, 相當於解三元一次方程組

( a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

1. 恰有一組解, 則三平面恰相交一點。 (∆ 6= 0, 三法向量彼此不平行、 不成比 例)

2-3: 三平面恰相交一點

2. 若有無限多組解, 則三平面為

(a) 三平面互異且相交於一直線。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量彼 此不平行、 不成比例)

(b) 兩平面重合與第三平面相交一直線。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 有兩 法向量成比例)

(c) 三平面重合。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比例)

2-3: 三平面異且相交於一直線、 兩平面重合與第三平面相交一直線、 三平面重合

3. 若無解, 則三平面為

(a) 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交。(∆ = 0, 但 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 , 三法向量彼此不平行、 不成比例)

(b) 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線。(∆ = 0, 但 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 , 兩法向量平行與另一個不平行)

(c) 三平面互相平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比 例)

(d) 兩平面重合且與第三平面平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量 互相平行成比例)

空間向量的線性組合: 若 −⇀

OA,−⇀

OB 為空間中兩不平行的非零向量, 空間向量 −⇀

OP 能表 示成形如 −⇀

OP = x−⇀

OA + y−⇀

OB 其中 x, y 為實數, 稱為 −⇀

OA,−⇀

OB 的線性組合。

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