數學寫作的意涵及相關研究

當人類處理訊息資料時，會把新訊息和舊經驗相互對比，找出共通性或 相似性，再做出適當的反應。語言在社會中擔任傳達訊息的主要工具，包括 口說和書寫兩種方式，根據Vygotsky的觀點，他認為語言在初期是伴隨行動 出現，接著在進入解決問題的歷程，扮演調和思考與行動，運用符號的操弄，

以語言的形式來思考及解決問題（李維譯，2001）。數學學習應該是數學想 法的溝通，而非數學想法的堆棧（Skemp, 1995）。因此，當學童透過書寫 的方式進行思考，概念就會經由符號逐漸內化中而形成。在台灣，自1996 年推動新課程，至九年一貫課程實施以來，建構論的觀點主導了整個數學課 程與教學，強調數學教學必須激發學生自己建構知識和學習，要讓學童從解 題的活動中，建構數學的意義及反省解題過程，讓學生能透過自我對話來修 改知識（林生傳，1998；引自陳怡靖，2002）。美國數學教師協會（1989）

指出，將數學寫作納入教學活動裡，可以使學習者有機會來釐清自己的想法，

數學課程目的之一是要能協助學童發展數學溝通能力，一方面要能了解別人 透過書寫、圖形、或口語所傳達的數學訊息；另一方面，也要能以書寫、圖 形、或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的想法。劉祥通、周立勳

（1998）認為，寫作是提供學童在數學學習的過程中進行相當程度的思考機 會。因此，透過寫作，學童能將內心的數學想法自然呈現在文字書寫上時，

數學概念的理解及溝通的目的就容易達成。以下，研究者將針對國內外文獻 對於數學與寫作的研究彙整及分析，並論述數學寫作活動在數學學習時所扮 演的角色。因此，本研究共分三段進行論述：第一，從數學寫作的本質及重 要性；第二，論述數學寫作的類型及教學模式；第三，數學寫作的相關研究。

一、數學寫作的本質與重要性

關於寫作，多數的人認為是語文活動。Azzolino（1990）強調，數學專 家以寫作的方式闡述自己的想法及論證；從事數學教育的教學者，為了瞭解 學生學習及自己的教學歷程，則透過課堂筆記、教案設計的編寫與教科書編 輯來達成。因此，就教學觀點來看，數學寫作是教師與學生在批改與寫作學 習單時，兩者互動的數學語言溝通，是有意義的溝通。何謂數學寫作？美國 數學教師協會（1989）出版的《數學課程與評鑑標準》清楚定義數學寫作為：

「數學寫作即是個人描述如何解決一個問題，在這樣的過程中，可以協助學 童釐清他們的想法與發展更深一層的理解。」Burns（2004）也指出，數學 寫作支持學生學習，因為它需要學生去分析、澄清、反思，除此之外，當學 生寫作時，會在文本上呈現一個理解、誤解、數學學習態度的一個視窗。因 此，所謂數學寫作就是促使學習者能夠透過分析、組織、解釋，將新舊數學 概念的連結來執行解題過程之書寫與記錄活動的歷程。數學寫作就像是一種 想法的呈現，學生可以從中獲得或表現他們的理解，並且提供教師教學結果 後的一些訊息。因此，劉祥通，黃國勳（2005）更進一步說明，教學者可以 利用寫作的方式作為輔助數學教學的溝通工具，使學習者能在數學記錄單上 解釋、反思、回顧、組織或連結有關數學知識與經驗，以幫助學習者進行有

魏宗明在（1997）將數學寫作（Mathematical Writing）定義為數學表徵 的活動之一，學習者透過紙筆，以學習日誌、報告或故事的方式表現個人的 數學想法、概念、技巧和解題過程。此種學習過程，除了讓學習者將新舊知 識產生連結外，同時也是將原本的認知做簡單的轉譯，這是一種主動學習的 過程。然而，學生往往在進行寫作的時候，才發現自己在想什麼？學到什麼？

什麼是重要的？換句話說，寫作可以提供學生加以思考，陳述自己的想法，

還能達到反省的效果（簡雅惠，2012）。因此，數學經由寫作活動，以手寫 方式記錄文字、圖像等表徵，心理同時進行編碼及轉譯的工作，甚至還會自 我對話。在此多感官的刺激下，意識受到強化，學習自然更加深刻。

研究者整理國內外學者，如Emig（1977）、Johnson（1983）、Lappan 與Schram（1989）、Pugalee（2001）、蔣治邦（1994）、劉祥通與周立勳

（1998）等，對於數學寫作之觀點，歸納出以下的數學寫作本質與重要性，

分述如下。

（一）數學寫作是溝通工具

教育部（1975）所頒佈之數學課程標準，就有「使用適當數學語言」之 敘述；美國數學教師協會出版的《數學課程與評鑑標準》（2000）也強調，

數學課程應培養學生運用口說或寫作的方式，能將其想法表達出來的溝通工 具。這樣的論點一直到目前所使用的九年一貫課程綱要（2009）也被提及，

數學是一種語言，融合在人類生活世界的諸多面相，宛如另一種母語，同時，

這裡面更是提到，溝通則要包括禮節及表達能力。所以，數學溝通要能了解 別人以書寫、圖形、或口語中所傳遞的數學資訊，也要能以書寫、圖形、或 口語的形式，運 用精確的語言表達自己的意思。 美國國家寫作委 員會

（National Commission on Writing）（2005）也提出：「如果學生要自我學 習，自我發展知識，就必須有能力將ㄧ堆零碎的資料、數據消化重整，並透 過語言的表達來跟別人溝通。」因此，數學寫作能結合一般語言與數學語言 說明情境及問題，並從數學觀點推測及說明解答的屬性及合理性，能與他人

最自然的語言（教育部，2009）。Lappan 與Schram（1989）認為數學是一 種包含語言（ ordinary language ）、術語（ technical vocabulary） 、 定義

（definitions）、符號（symbols）、模型（models）、流程圖（charts）、圖 表（graph）、圖形（diagrams）、規則（rules）和程序（procedures）的語 言，數學教學與學習需要對上述語言有深入的瞭解才能溝通與討論。周筱亭

（1993）也認為數學符號是一種語言，能以這樣的語言與人溝通，才有意義，

若能透過「寫」來表達數學，是幫助兒童將自己的直接想法和數學抽象語言 作一個連結。

透過數學寫作進行溝通時，學童可以透過自己的表徵方式來表達自己的 想法，這是自己和他人溝通；是自己和自己溝通，也是在解題過程中，前一 個概念是後一個概念的溝通工具。什麼是表徵？蔣治邦（1994）認為表徵是 用某一種形式將事、物或想法重新表現出來；也就是說，原本的想法在不同 方式下被表現出來，稱之為「表徵」。對於表徵活動的說法有許多，例如，

Bruner（1964）認為表徵有三種形式：動作（enactive）表徵、圖像（iconic）

表徵、符號（symbolic）表徵(引自張春興，1994)。動作表徵是以具體物操 弄運思活動，當具體物不見時，不能再被操弄時，這具體物件的意義就消失，

如積木、花片等教具；圖像表徵即是當具體物不見時，仍可使用「心像」來 掌握概念，進行內化活動；符號表徵，則是指以符號當做運思材料來掌握概 念，它與心像不同，符號是一個記號。當學童要以數學寫作，傳達概念時，

學童則能符號運思，如，解2+3=? 時，學童可能會在記錄畫2個○和3個○，

然後在下面標示1，2，3，4，5，並寫上答案5。就如Emig（1977）指出，以 圖形來表徵語言是第一階段思考過程的語言，而以寫作來表徵言語是第二階 段思考過程的語言（引自劉祥通、周立勳，1997）。記錄知識時，符號會和 保有長久記憶的概念產生聯結，但一個符號包含許多的概念，在進行符號溝 通時時，必須注意三個原則：

1. 必須確定接收者已熟知我們所用的基模。

2. 設法讓一個符號對應一個概念。

3. 在不了解接收者的回應前，不要隨便更換所使用的基模。

當教師以書寫的方式呈現問題後，學童能以數學符號進行表徵言語的活 動時，教師會進行課室走動以了解學童的學習狀況，但是，教師並無法立即 注意到每個學童想法，然而，數學寫作提供這樣的機會，每個學童可以透過 數學寫作和老師對話，同樣的，老師也可以利用這個機會去回應學童的需求

（陳怡靖，2002）。

另外，以Vygotsky論點出發，語言和思維各自獨立，在某一時刻，兩者 會相容，思維變成語言的形式，語言變成有意義的東西，在兩者相容的部分，

便產生言語思維（verbal thought）（李維譯，2001）。甯自強（1996）提到，

數學概念的表徵形式，比如描述的語言、手勢、書寫記號等都是個人產物，

但要如何有意義？端賴同一群體的他人如何回應，即是溝通，個人為了達成 和他人、文化溝通相容的目的，就是要調適自己的產物成為大家認同的格 式。

綜合上述文獻，數學寫作是一種數學概念的表徵形式，可以當作溝通的 工具，在教學活動的歷程中，扮演媒介，讓教學者能知道現場的每位學生學 習情況和所要表達的形式，並隨時審視自己的教學模式；同時，讓學習者在 學習歷程中，除了呈現自然想法外，也能透過溝通，不斷反省、思考與修正，

重新組織數學概念之架構。

（二）數學寫作是遞迴式的認知歷程

Rose(1989)針對寫作模式指出，寫作包含歷程的互動關係與複雜的思考 過程，不再是線性(line)模式，而是一種遞迴(recursive)模式。Flower 與 Hayes

（1981）認為寫作歷程內有三種活動，包括計畫、轉譯與回顧，這三個活動 在整個寫作過程中無先後順序，不定時來回交替進行，形成遞迴(recursive) 狀態。作者如何運用大腦的資料，以處理眼前的任務，包括作者如何提取大 腦資料，如何轉譯成為文字符號，如何選擇素材等。認知主義對認知也提出 定義，是指個體對事物知曉的歷程，包括對事物的專注、辨別、理解、思考

基於此，以下先從三個方面：記憶、知識、後設認知，進行探討：

1.記憶

記憶系統在 Mayer（1981）的觀點中是一個採取行動的起始點。

記憶系統在 Mayer（1981）的觀點中是一個採取行動的起始點。