運用數學寫作促進國小一年級學童概念理解之研究 ─以時間單元為例

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：陳彥廷博士

運用數學寫作促進國小一年級學童

概念理解之研究─以時間單元為例

研究生：林美伶撰

中華民國一百零三年六月

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謝辭

終於，熬過這不算長也不算短的兩年了！這兩年，我足足花了一年半的

時間，撐著年過四十的身軀，多了幾根白髮，才完成碩士論文，而此時此

刻，內心充滿無比的喜悅與感恩。

寫作過程中，非常感謝指導教授陳彥廷博士，您不辭辛勞的細心指引學

生研究的方向，還不斷鼓勵學生勇敢做自己，使得我能一窺學術領域的深

奧，獲益良多。學生亦十分感謝口試委員劉所長祥通與游副教授自達，因

為您的用心修改與提供寶貴的意見，使得本論文能夠更完善、更嚴謹。再

者，對一個讀夜間部的在職生，沒有學校同事的支持與協助，是無法順利

完成學業的，感謝雅雯、淑卿、雯惠總是一路相扶。另外，要感謝夜碩二

的同學們，與你們一起修課，真的是研究中的「小確幸」

。

最後，要感謝家人的支持與陪伴，爸媽與公婆行動上與精神上的支援，

孩子們對自己事務的自動自發，讓我能放心進行研究。特別感謝老公的包

容與體諒，讓我研究過程全力以赴，無後顧之憂，尤其是那日本之行，在

緊繃的線上，即時給於紓緩的機會。

因為有大家的提攜與鼓勵，才能有今日大豐收的我。特以此文表達我最

深摯的謝意。

林美伶謹誌

民國一○三年六月

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運用數學寫作促進國小一年級學童概念理解之研究

─以時間單元為例

摘要

本研究旨在探討一年級學童在數學寫作歷程中，對於時間概念─日期的各分概念之解題情形及理解情況。因此，本個案研究對象為研究者所任教國小之一年級學童，共 22 位。本研究方式是將數學寫作融入時間單元─日期的課程中，藉由數學寫作學習單、教學活動、概念構圖、教學後測及延宕測為研究工具，研究者再從數學寫作學習單、教學觀察記錄、非結構性訪談、概念構圖和試題表現的蒐集，透過資料與人員的三角校正分析，探討學童在時間概念的發展情形。研究結果發現，一年級學童在數學寫作的歷程中，能清楚的運用時間順序性、時間連續性、時間不可逆與時間週期之特性並結合時間生活用語進行解題，同時，對於期間的問題，會採取減（加）法概念進行解題。此外，從概念構圖分析，研究發現，學童能將所學之新知識融入原有的知識中，使其概念結構更穩固、全面，並有效提供教師了解學童概念發展；從後測與延宕測的測驗結果得知，學童對新學習知識的保留度佳，並能解決情境問題。不過，學童對於「期間」的概念仍有困難點。

關鍵字：數學寫作、時間、概念理解、一年級

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A study on the effects of mathematical writing of first- graders’

conceptual understanding of time

Abstract

The study was to explore the mathematical writing from the 1st graders in terms of their concepts of the time about date in order to understand and solve questions. The 22 objects of the study came from the school that the researcher works for. The study combined mathematics writings with the school curriculums of time and the date, used triangulation to explore developments of the students’ concepts of the time by collecting student’s learning sheets,activities,concept maps,post-tests and deferred tests.The study found fitst-graders understood the order, continuity, non-reversible and periodic characteristics of time from their mathematical writings. They could solve the questions by combining the above concepts with their daily-use languages. In the meantime, they used subtraction to solve the questions of duration.Furthermore, the study revealed that the students could blend the prior knowledge and new knowledge that made their concepts more solid and comprehensive.It effectively helped the teacher to know the conceptual development of the students. From the results of the post and delayed tests, the students had learning and were able to solve the daily problems. However, the concepts of duration were still difficult .

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第一章緒論………... 1

第一節研究背景與動機………

1

第二節研究目的………

4

第三節名詞解釋………

4

第四節研究的範圍與限制………

6

第二章文獻探討………. 7

第一節數學寫作的意涵及相關研究………...

7

第二節兒童時間概念的內涵及相關研究………..

32

第三節概念構圖的意涵及相關研究………..

41

第三章研究方法與程序………. 47

第一節研究設計理念與流程………...

47

第二節研究對象………...

53

第三節研究工具的設計………...

53

第四節資料蒐集與分析………...

62

第四章研究發現與討論………. 71

第一節學童在學習時間概念的解題類型………...

71

第二節學童在運用數學寫作教學後對時間單元的理解……...

102

第五章結論與建議………. 131

第一節結論………...

131

第二節建議………...

139

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參考文獻

………. 142

中文部分………...

142

英文部分………...

148

附錄一

………... 153

附錄二

………... 160

附錄三

………... 161

附錄四

……….. 162

附錄五

……….. 163

附錄六

……….. 164

附錄七

……….. 165

附錄八

……….. 166

附錄九

……….. 168

附錄十

……….. 169

附錄十一

……….. 172

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表次

表 2-1-1 從數學家觀點、心理學觀點與寫作歷程之比較……….. 16 表 2-1-2 國內外數學寫作相關研究……….. 29 表 2-2-1 時間的數學結構……….. 34 表 2-2-2 教育部課程綱要（2009）數學領域「數與量─時間」能力指標……….. 35 表 2-2-3 國內外時間概念相關研究……….. 38 表 2-3-1 國內外概念構圖相關研究……….. 44 表 3-1-1 數學寫作實施階段……….. 49 表 3-3-1 數學寫作工作單內容一覽表……….. 56 表 3-3-2 教學活動設計與數學寫作工作單連結……….. 57 表 3-3-3 日期單元後測試題之雙向細目表……….. 59 表 3-3-4 日期單元延宕後測試題之雙向細目表……….. 60 表 3-4-1 資料編碼……….. 63 表 3-4-2 S01 學童教學前、後時間概念圖與專家時間概念圖比較……… 64 表 3-4-3 教育部（2009）課程綱要與專家模式之比較……….. 66 表 4-1-1 學童在數學寫作裡所使用的學習模式……….. 72 表 4-1-2 解題類型在時間各分概念的使用情況……….. 101 表 4-2-1 學童在教學前、後時間概念圖與專家時間概念圖之比較…….. 103 表 4-2-2 學童教學前、後概念圖之時間概念分布情形……….. 124 表 4-2-3 學童在時間單元─日期後測之各分概念的答題情形………….. 125 表 4-2-4 學童在時間單元─日期延宕測之各分概念的答題情形……….. 128 表 4-2-5 後測與延宕測在時間概念的答題比較……….. 130

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圖次

圖 2-1-1 Mayer 訊息處理模式……… 12 圖 2-1-2 知識、記憶與後設認知的關係……… 14 圖 2-1-3 建構取向的教學模式……….. 27 圖 2-2-1 翰林版 101 學年度低年級時間教材分析圖……… 36 圖 2-2-2 一年級時間單元日期之概念結構圖……….. 37 圖 3-1-1 運用數學寫作之教學流程圖……….. 50 圖 3-1-2 研究流程圖……….. 52 圖 3-3-1 數學寫作工作單與教學活動互動……….. 54 圖 3-4-1 時間概念圖之專家模式……….. 65 圖 3-4-2 三角交叉檢驗……….. 69 圖 4-1-1 S21MW2（S21 數學寫作工作單二）……… 74 圖 4-1-2 S07MW2（S07 數學寫作工作單二）……….. 74 圖 4-1-3 S08MW2（S08 數學寫作工作單二）……….. 75 圖 4-1-4 S20MW2（S20 數學寫作工作單二）……….. 75 圖 4-1-5 S12MW2（S12 數學寫作工作單二）……….. 76 圖 4-1-6 S04MW2（S04 數學寫作工作單二）……….. 77 圖 4-1-7 S02MW2（S02 數學寫作工作單二）……….. 77 圖 4-1-8 S11MW2（S11 數學寫作工作單二）……….. 78 圖 4-1-9 S08MW3（S08 數學寫作工作單三）……….. 79 圖 4-1-10 S21MW3（S21 數學寫作工作單三）……….. 79 圖 4-1-11 S09MW3（S09 數學寫作工作單三）……….. 80 圖 4-1-12 S16MW3（S16 數學寫作工作單三）……….. 81 圖 4-1-13 S05MW3（S05 數學寫作工作單三）……….. 81 圖 4-1-14 S10MW3（S10 數學寫作工作單三）……….. 82 圖 4-1-15 S07MW3（S07 數學寫作工作單三）……….. 82 圖 4-1-16 S16MW3（S16 數學寫作工作單三）………..

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圖 4-1-17 S03MW4（S03 數學寫作工作單四）……….. 85 圖 4-1-18 S12MW4（S12 數學寫作工作單四）……….. 85 圖 4-1-19 S17MW4（S17 數學寫作工作單四）……….. 86 圖 4-1-20 S11MW4（S11 數學寫作工作單四）……….. 86 圖 4-1-21 S15MW4（S15 數學寫作工作單四）……….. 87 圖 4-1-22 S14MW4（S14 數學寫作工作單四）……….. 87 圖 4-1-23 S08MW4（S08 數學寫作工作單四）……….. 88 圖 4-1-24 S05MW4（S05 數學寫作工作單四）……….. 89 圖 4-1-25 S04MW4（S04 數學寫作工作單四）……….. 90 圖 4-1-26 S01MW4（S01 數學寫作工作單四）……….. 91 圖 4-1-27 S06MW5（S06 數學寫作工作單五）……….. 92 圖 4-1-28 S07MW5（S07 數學寫作工作單五）……….. 93 圖 4-1-29 S03MW5（S03 數學寫作工作單五）……….. 94 圖 4-1-30 S08MW6（S08 數學寫作工作單六）……….. 96 圖 4-1-31 S14MW6（S14 數學寫作工作單六）……….. 97 圖 4-1-32 S15MW6（S15 數學寫作工作單六）……….. 97 圖 4-1-33 S05MW6（S05 數學寫作工作單六）……….. 98 圖 4-1-34 S03MW6（S03 數學寫作工作單六）……….. 98 圖 4-1-35 S01MW6（S01 數學寫作工作單六）……….. 99 圖 4-2-1 S07 教學前概念圖……… 105 圖 4-2-2 S07 教學後概念圖……… 105 圖 4-2-3 S16 教學前概念圖……… 106 圖 4-2-4 S16 教學後概念圖……… 107 圖 4-2-5 S08 教學前概念圖……… 108 圖 4-2-6 S08 教學後概念圖……… 108 圖 4-2-7 S09 教學前概念圖……… 109 圖 4-2-8 S09 教學後概念圖……… 109

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圖 4-2-9 S18 教學前概念圖……… 110 圖 4-2-10 S18 教學後概念圖………. 110 圖 4-2-11 S06 教學前概念圖……….. 112 圖 4-2-12 S06 教學後概念圖………. 112 圖 4-2-13 S10 教學前概念圖……….. 112 圖 4-2-14 S10 教學後概念圖……….. 113 圖 4-2-15 S14 教學前概念圖……….. 113 圖 4-2-16 S14 教學後概念圖……….. 113 圖 4-2-17 S01 教學前概念圖……….. 115 圖 4-2-18 S01 教學後概念圖……….. 115 圖 4-2-19 S03 教學前概念圖……….. 116 圖 4-2-20 S03 教學後概念圖……….. 116 圖 4-2-21 S20 教學前概念圖……….. 117 圖 4-2-22 S20 教學後概念圖……….. 117 圖 4-2-23 S13 教學前概念圖……….. 118 圖 4-2-24 S13 教學後概念圖……….. 118 圖 4-2-25 S04 教學前概念圖……….. 119 圖 4-2-26 S04 教學後概念圖……….. 120 圖 4-2-27 S15 教學前概念圖……….. 121 圖 4-2-28 S15 教學後概念圖……….. 122

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第一章緒論

「時間」在兒童的生活中處處用得到，例如起床、上放學、上下課，甚至何時補習，無時無刻都和時間有關，因此，學習如何利用時間來安排作息，是目前學童必須學習的能力。鑑於「時間」對兒童是隨處被使用且重要的基礎，本研究期待能探究學童對此概念的理解。以下茲本研究就研究背景與動機、研究目的、名詞解釋及研究範圍與限制，分四節進行論述，說明如下。

第一節研究背景與動機

九年一貫課程綱要（教育部，2009）指出，數學教育強調學生應具備「帶著走」的能力，而且，評量的目的不只是呈現學習成效，也應包括了學習歷程。也就是說，教師對於學生知識、概念的改變及心理能力的提升，必須在教學現場中，不斷的評估其概念發展的情形。美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）指出，數學寫作在學生數學學習上扮演著重要的角色，因為學生藉由寫作可以讓他們在概念學習過程中，發現自己在想什麼？學了什麼？甚至促進他們組織與重整自己的數學概念知識。同時，運用數學日誌進行數學寫作可以讓學生反思自己的解題歷程，批判上課中所見、所聞的內容，提出自己學習心得的看法，或疑惑待探究的問題（鄔瑞香，1993）。由此可見，透過數學寫作，每個學習者都有自己的想法與表述方式，也呈現不同的概念發展路徑，教師可以從學生撰寫的內容審視其數學學習過程中的想法、遭遇之問題，也因此找到解決其困惑以及促進其數學概念理解的策略。因此，本研究想藉著讓國小低年級學童撰寫數學日誌的歷程，來檢視其數學概念的發展情形。研究者在教學現場已有十七年的經驗，感覺現今的數學教育，仍重視數學知識的建立，學生的學習成效也多以總結性評量來判斷學生數學概念學習的成果，但評量內容大都是以解題成果的表現來呈現。研究者認為，上述評

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量的方式似乎無法看出學生解題的思考歷程。以時間概念來看，時間本身是一個抽象概念，無法像感官量一樣，例如重量（公斤、公克）、容量（公升、毫升）、面積...等可以實際感受與測得，因為，時間是工具量，而不是一個感官量。對此單元來說，研究者指導學習的順序都是先觀察教學掛圖，接著以實體操作教具，融入同儕學習及生活議題（例如：自己的生日），最後，進行發表與分享。以此方法來說，學生的學習在當下是理解的，書寫習作雖然可以進行診斷性評量，但是，學生究竟如何學習？如何思考？似乎無法從中獲得。因此，若能讓學生進行數學寫作的方式，學生將有機會進行反思，以自己最自然的表述方式表達自己的想法。換句話說，對學生而言，以數學日誌是進行數學溝通以促進數學概念理解及延伸學習的一種活動；對教師而言，除了可以了解學生概念發展情形及發展出不同的解題策略，也能從中找出教學盲點並提昇教師高層次的命題能力（馬恬舒，2008）。Arnold, Paige, Greta, Dobbs（2002）的研究所提出的「促進發展」論點指出，要了解學童的心智能力，應透過適當情境的統整性安排來設計適當的教學活動。研究者也發現，由於上課時數的限制，無法讓每位學生都有機會表達自己的想法，而大多以測驗的方式來判定學生的學習成效。但是，兒童學習要有意義，就是每位學生能有機會以「自然想法」來進行學習（甯自強，1993）。因此，研究者希望能藉由提供學生撰寫數學寫作，透過他們寫作的內容來察覺學習者的真正想法。就低年級的「時間」概念來說，孩子們會因個人感受，容易受到動機與情緒因素的影響，往往憑感覺來判斷時間的長短，認為快樂的時間總是稍縱即逝，覺得做越討厭做的事情時間就過得特別慢（鍾靜、鄧玉芬、鄭淑珍， 2003）。根據Piaget（1969）的看法，時間並非一種先有的概念，而是個體在發展過程中，隨著認知結構的不斷重組而逐漸建構形成的。Leushina （1991）也指出，時間是客觀而獨立地存在於我們的知覺之外，而時間的察覺和時間的概念只是真實地反應存在於我們的生活中。時間存在於變動中，變動中的事物有「先」、「後」的變動連續狀態，其變動中的時間也必有「先」與「後」

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的連續情形，而「先」與「後」的連接點是「現在」(張振東，1989)。例如：皮亞傑指出兒童在前運思期時，對事件順序不具可逆性；但是，當兒童到了具體運思期，大約國小一、二年級階段，才開始能夠協調連續的與持續的時間概念。另外，時間也有其數線結構（Friedman, 2007），其意指線上的「點」指時刻，「位置」有排列的序列性與重複性（循環）及持續性（期間）；「長短」有起始到終點，而有一段距離即為期間（duration）（陳埩淑，2010）。由此可知，時間是抽象、非具體存在的，在生活中透過外在的事物或事件的變動，我們可以知道它的存在，它具有不斷運行的連續性與不可逆性。時間無法像實體一樣能測得，因此，陳穗秋與鍾靜（2003）指出，兒童對時間的表達方式常常難以掌握；或是不太了解意思或者是使用錯誤等情形。如何讓一年級的學生，在進行時間概念學習時，能以自我察覺、省思的方式，來釐清概念，這是本研究的重點。關於時間概念方面的相關研究，有些是以資訊融入教學方式進行時間概念教學，其目的是為了增加學習成效（方雪麗，2011；莊苑芬，2005；陳秀吟，2007；陳明義，2007；郭淑慈，2012；楊雁婷，2006）；有的以統計分析的方式，來探討學習者在時間概念的知識結構（吳毓文，2011；呂秀茹， 2008；莊惠雯，2008；張怡婷，2006；湯雅惠，2012）；有的是以教師行動研究的方式，運用教學策略，以概念測驗、訪談、教室觀察、數學日記、教師札記以及教師反思等方式蒐集資料、分析資料，實際行動中所遭遇的困難及解決方法，並進而去探究影響教師改變教學策略的因素與自我反思的歷程（洪雅玫，2006；陳薇雅，2010；黃鶯枝，2007；蔡清田，2012）；有的診斷其迷思概念，找出錯誤類型並實施補救教學（王淑媛，2006；李如弘，2007；蔡世杰，2007）；針對不同的族群進行相同概念，探討彼此之間是否有差異（張楓雪，2012）；有些研究則是從課程設計方面著手，以增進學生學習興趣及了解，設計教材進行教學活動〈賴郁琪，2006；闕書芬，2011〉。綜合上述相關研究，研究者發現，有些研究者以課程設計、資訊融入及統計分析方式，來增加學習效益，或找出迷思概念及錯誤類型，這些多以呈現研究成

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果，並提供未來教學參考的建議，或僅針對教師教學實踐歷程，探究影響教師的教學策略。但是，每個學生都是一個學習的個體，學習歷程及迷思概念也不盡相同，教師如何在了解學生學習狀況後，可以進行迷思概念的釐清？則並未見有相關研究進行說明，因此，本研究將從這個角度切入，期望能在學童學習時間單元的過程，讓學生撰寫數學日誌，從而透過學生書寫的內容發現其學習困難與迷思概念，進而立即從後續教學中協助其對於時間概念的真正理解。鑑於上述論點，本研究希望藉由學生所撰寫的數學寫作發現學生的迷思，並隨時在課堂上進行補救教學，而教學活動內容的安排則依學生的表現進行。為了研究更能掌握學童的想法，希望透過實際的教學活動，了解學生時間概念的發展以及數學寫作運用在一年級效益，並且期盼經由研究的反思過程，能使教師和學童在概念學習上能達到有效的溝通，減少學童的迷思概念。

第二節研究目的

綜合上述研究動機及背景的介紹，本研究的目的如下：一、探究國小一年級學童在數學寫作歷程對時間單元各分概念之解題類型。二、分析國小一年級學童在運用數學寫作教學後對時間單元的概念理解。（一）運用概念圖分析探討國小一年級學童在時間單元的概念理解改變。（二）運用後測和延宕測探討國小一年級學童在時間單元的概念保留情形。

第三節名詞解釋

一、數學寫作

美國數學教師協會（National Council of Teachers of MathematicsNCTM, 1989）所出版之《學校數學課程與評量標準》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）中清楚定義數學寫作：「數學寫作即是個

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想法與發展更深一層的理解。」。NCTM(2000)更進一步提出，數學寫作是學習者在發展概念時，提供一個反省與釐清想法的機會(p.61)。數學寫作是一個教師與學習者溝通數學知識的平台。學習者可以透過寫作來組織及整理數學概念，教師也能從寫昨中回饋學生正確的數學概念；診斷並察覺迷思概念，並當作重新布題、補救教學的依據（劉祥通、黃國勳，2005）。本研究中所稱「數學寫作」是指學習者能在本研究所設計的學習單中，以文字、圖形、符號來表徵、呈現數學活動中的自然想法，並且，學生能藉由寫作對自己的想法加以察覺、詮釋、反思、組織，以連結統整數學概念。 二、概念理解 Skemp（1995）指出，經由心智過程，使我們了解各種四周環境經驗的共通性及相似性，而經過分類，將相似性及共通性的經驗歸納在一起，而概念就是一個連續的心智活動中的一種產品、一種結果，使我們能將分類的舊經驗來認知新經驗。因此，概念形成之前，就必須先有實際經驗。「理解」，可視為過程與產物，是一個改變的動態性系統。從認知心理學的觀點看，學習當時如果不能與本身的認知結構同化、調適，學習之後就不易記憶，這樣的認知過程就是概念理解的建立，如同學童在進行學習活動時，所呈現的學習狀況（張春興，1994，p236）。 Skemp(1995)對於「理解」是知其然又知其所以然，也就是說指概念理解，需有更具適應力、更容易記憶。本研究對於「概念理解」意指學習者在進行數學活動時，學童能將本身的先備知識，在與新訊息不斷進行調適、同化與組織下，達到與新知識產生連結效果而解決問題。 三、時間概念 時間具有摸不到、看不到的特性，只能藉由其他方式來經驗時間。不能是藉用時間實體來了解時間，即使有時鐘、有日期、有年代為指標，時間所牽涉到的概念仍然非常的抽象（陳穗秋、鍾靜，2003）。鍾靜、鄧玉芬與鄭淑珍（2003）研究指出，時間包含時刻、時間量（期間）、時間單位、順序、

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週期及連續性。然而，在九年一貫課程綱要（2009）在低年級階段所提到關於時間的概念，包括報讀時刻、事件先後順序，而本研究中所指的「時間」概念是指能「認識時間用語（昨天、今天、明天、後天、前一天、後一天）」、「事件的先後順序」、「認識月曆及年曆」、「報讀日期」等相關概念。

第四節研究的範圍與限制

由於本研究的人力與時間上有所限制，因此本研究則從研究對象和研究內容來說明研究的範圍和限制。 一、在研究對象方面 本研究是針對國小一年級的學生透過數學寫作來促進學習時間概念的理解情形。為此，本研究從研究者執教班級學童，共22名為主要研究對象。本研究之研究對象為一年級學童，曾經學過整點鐘之時刻報讀，和同一天之事件先後順序排列，相對於本研究之時間概念─日期，可以說是「新」的課程。因此，研究者則會依照學童的解題方式，找出各分概念的解題類型，並進行個別訪談。研究者本身所分析出之解題類型，及進行訪談之研究對象不能完全代表所有一年級學童，則為本研究之限制，但其所呈現之解題類型仍可為某一類型學童之學習概念之方向，以做為日後研究之參考。 二、在研究內容方面 本研究所指出之時間概念，是依據九年一貫課程綱要（2009）之能力指標「N-1-11 能報讀時刻，並認識時間常用單位」相關規定之內容。因此，本研究之範圍限定在對時間概念的理解，僅包括能認識時間用語（昨天、今天、明天、後天、前一天、後一天）、事件的先後順序、查詢月曆及年曆、報讀日期。至於其他單元是否有相同推論，需由相關研究實證研究得知，故，研究結果不宜過度推論。

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第二章文獻探討

本研究之研究目的在於運用數學寫作探討一年級學童在時間單元的解題類型，以及運用概念圖與試題分析了解其理解情況。因此，以下將分別從數學寫作的意義與內涵、時間的概念進行分析，並針對概念構圖在學童學習理解上的意涵及相關研究，作為本研究之基礎。本章共分三節：第一節，首先論述數學寫作的意義及其相關研究，包含了數學寫作的本質與重要性、數學寫作活動的類型和教學模式以及分析國內外關於數學寫作之研究；第二節，針對時間概念進行探討，主要探討目前國小數學課程中關於「時間」的學習教材及相關研究，做為編製試題與設計教學活動的依據；第三節，對於本研究之工具─概念構圖，探究其理論基礎、意涵以及相關研究。茲分述如下：

第一節數學寫作的意涵及相關研究

當人類處理訊息資料時，會把新訊息和舊經驗相互對比，找出共通性或相似性，再做出適當的反應。語言在社會中擔任傳達訊息的主要工具，包括口說和書寫兩種方式，根據Vygotsky的觀點，他認為語言在初期是伴隨行動出現，接著在進入解決問題的歷程，扮演調和思考與行動，運用符號的操弄，以語言的形式來思考及解決問題（李維譯，2001）。數學學習應該是數學想法的溝通，而非數學想法的堆棧（Skemp, 1995）。因此，當學童透過書寫的方式進行思考，概念就會經由符號逐漸內化中而形成。在台灣，自1996 年推動新課程，至九年一貫課程實施以來，建構論的觀點主導了整個數學課程與教學，強調數學教學必須激發學生自己建構知識和學習，要讓學童從解題的活動中，建構數學的意義及反省解題過程，讓學生能透過自我對話來修改知識（林生傳，1998；引自陳怡靖，2002）。美國數學教師協會（1989）指出，將數學寫作納入教學活動裡，可以使學習者有機會來釐清自己的想法，

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數學課程目的之一是要能協助學童發展數學溝通能力，一方面要能了解別人透過書寫、圖形、或口語所傳達的數學訊息；另一方面，也要能以書寫、圖形、或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的想法。劉祥通、周立勳（1998）認為，寫作是提供學童在數學學習的過程中進行相當程度的思考機會。因此，透過寫作，學童能將內心的數學想法自然呈現在文字書寫上時，數學概念的理解及溝通的目的就容易達成。以下，研究者將針對國內外文獻對於數學與寫作的研究彙整及分析，並論述數學寫作活動在數學學習時所扮演的角色。因此，本研究共分三段進行論述：第一，從數學寫作的本質及重要性；第二，論述數學寫作的類型及教學模式；第三，數學寫作的相關研究。 一、數學寫作的本質與重要性 關於寫作，多數的人認為是語文活動。Azzolino（1990）強調，數學專家以寫作的方式闡述自己的想法及論證；從事數學教育的教學者，為了瞭解學生學習及自己的教學歷程，則透過課堂筆記、教案設計的編寫與教科書編輯來達成。因此，就教學觀點來看，數學寫作是教師與學生在批改與寫作學習單時，兩者互動的數學語言溝通，是有意義的溝通。何謂數學寫作？美國數學教師協會（1989）出版的《數學課程與評鑑標準》清楚定義數學寫作為：「數學寫作即是個人描述如何解決一個問題，在這樣的過程中，可以協助學童釐清他們的想法與發展更深一層的理解。」Burns（2004）也指出，數學寫作支持學生學習，因為它需要學生去分析、澄清、反思，除此之外，當學生寫作時，會在文本上呈現一個理解、誤解、數學學習態度的一個視窗。因此，所謂數學寫作就是促使學習者能夠透過分析、組織、解釋，將新舊數學概念的連結來執行解題過程之書寫與記錄活動的歷程。數學寫作就像是一種想法的呈現，學生可以從中獲得或表現他們的理解，並且提供教師教學結果後的一些訊息。因此，劉祥通，黃國勳（2005）更進一步說明，教學者可以利用寫作的方式作為輔助數學教學的溝通工具，使學習者能在數學記錄單上解釋、反思、回顧、組織或連結有關數學知識與經驗，以幫助學習者進行有

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魏宗明在（1997）將數學寫作（Mathematical Writing）定義為數學表徵的活動之一，學習者透過紙筆，以學習日誌、報告或故事的方式表現個人的數學想法、概念、技巧和解題過程。此種學習過程，除了讓學習者將新舊知識產生連結外，同時也是將原本的認知做簡單的轉譯，這是一種主動學習的過程。然而，學生往往在進行寫作的時候，才發現自己在想什麼？學到什麼？什麼是重要的？換句話說，寫作可以提供學生加以思考，陳述自己的想法，還能達到反省的效果（簡雅惠，2012）。因此，數學經由寫作活動，以手寫方式記錄文字、圖像等表徵，心理同時進行編碼及轉譯的工作，甚至還會自我對話。在此多感官的刺激下，意識受到強化，學習自然更加深刻。研究者整理國內外學者，如Emig（1977）、Johnson（1983）、Lappan 與Schram（1989）、Pugalee（2001）、蔣治邦（1994）、劉祥通與周立勳（1998）等，對於數學寫作之觀點，歸納出以下的數學寫作本質與重要性，分述如下。 （一）數學寫作是溝通工具 教育部（1975）所頒佈之數學課程標準，就有「使用適當數學語言」之敘述；美國數學教師協會出版的《數學課程與評鑑標準》（2000）也強調，數學課程應培養學生運用口說或寫作的方式，能將其想法表達出來的溝通工具。這樣的論點一直到目前所使用的九年一貫課程綱要（2009）也被提及，數學是一種語言，融合在人類生活世界的諸多面相，宛如另一種母語，同時，這裡面更是提到，溝通則要包括禮節及表達能力。所以，數學溝通要能了解別人以書寫、圖形、或口語中所傳遞的數學資訊，也要能以書寫、圖形、或口語的形式，運用精確的語言表達自己的意思。美國國家寫作委員會（National Commission on Writing）（2005）也提出：「如果學生要自我學習，自我發展知識，就必須有能力將ㄧ堆零碎的資料、數據消化重整，並透過語言的表達來跟別人溝通。」因此，數學寫作能結合一般語言與數學語言說明情境及問題，並從數學觀點推測及說明解答的屬性及合理性，能與他人

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最自然的語言（教育部，2009）。Lappan 與Schram（1989）認為數學是一種包含語言（ ordinary language ）、術語（ technical vocabulary）、定義（definitions）、符號（symbols）、模型（models）、流程圖（charts）、圖表（graph）、圖形（diagrams）、規則（rules）和程序（procedures）的語言，數學教學與學習需要對上述語言有深入的瞭解才能溝通與討論。周筱亭（1993）也認為數學符號是一種語言，能以這樣的語言與人溝通，才有意義，若能透過「寫」來表達數學，是幫助兒童將自己的直接想法和數學抽象語言作一個連結。透過數學寫作進行溝通時，學童可以透過自己的表徵方式來表達自己的想法，這是自己和他人溝通；是自己和自己溝通，也是在解題過程中，前一個概念是後一個概念的溝通工具。什麼是表徵？蔣治邦（1994）認為表徵是用某一種形式將事、物或想法重新表現出來；也就是說，原本的想法在不同方式下被表現出來，稱之為「表徵」。對於表徵活動的說法有許多，例如， Bruner（1964）認為表徵有三種形式：動作（enactive）表徵、圖像（iconic）表徵、符號（symbolic）表徵(引自張春興，1994)。動作表徵是以具體物操弄運思活動，當具體物不見時，不能再被操弄時，這具體物件的意義就消失，如積木、花片等教具；圖像表徵即是當具體物不見時，仍可使用「心像」來掌握概念，進行內化活動；符號表徵，則是指以符號當做運思材料來掌握概念，它與心像不同，符號是一個記號。當學童要以數學寫作，傳達概念時，學童則能符號運思，如，解2+3=? 時，學童可能會在記錄畫2個○和3個○，然後在下面標示1，2，3，4，5，並寫上答案5。就如Emig（1977）指出，以圖形來表徵語言是第一階段思考過程的語言，而以寫作來表徵言語是第二階段思考過程的語言（引自劉祥通、周立勳，1997）。記錄知識時，符號會和保有長久記憶的概念產生聯結，但一個符號包含許多的概念，在進行符號溝通時時，必須注意三個原則： 1. 必須確定接收者已熟知我們所用的基模。 2. 設法讓一個符號對應一個概念。

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3. 在不了解接收者的回應前，不要隨便更換所使用的基模。 當教師以書寫的方式呈現問題後，學童能以數學符號進行表徵言語的活動時，教師會進行課室走動以了解學童的學習狀況，但是，教師並無法立即注意到每個學童想法，然而，數學寫作提供這樣的機會，每個學童可以透過數學寫作和老師對話，同樣的，老師也可以利用這個機會去回應學童的需求（陳怡靖，2002）。另外，以Vygotsky論點出發，語言和思維各自獨立，在某一時刻，兩者會相容，思維變成語言的形式，語言變成有意義的東西，在兩者相容的部分，便產生言語思維（verbal thought）（李維譯，2001）。甯自強（1996）提到，數學概念的表徵形式，比如描述的語言、手勢、書寫記號等都是個人產物，但要如何有意義？端賴同一群體的他人如何回應，即是溝通，個人為了達成和他人、文化溝通相容的目的，就是要調適自己的產物成為大家認同的格式。綜合上述文獻，數學寫作是一種數學概念的表徵形式，可以當作溝通的工具，在教學活動的歷程中，扮演媒介，讓教學者能知道現場的每位學生學習情況和所要表達的形式，並隨時審視自己的教學模式；同時，讓學習者在學習歷程中，除了呈現自然想法外，也能透過溝通，不斷反省、思考與修正，重新組織數學概念之架構。 （二）數學寫作是遞迴式的認知歷程 Rose(1989)針對寫作模式指出，寫作包含歷程的互動關係與複雜的思考過程，不再是線性(line)模式，而是一種遞迴(recursive)模式。Flower 與 Hayes （1981）認為寫作歷程內有三種活動，包括計畫、轉譯與回顧，這三個活動在整個寫作過程中無先後順序，不定時來回交替進行，形成遞迴(recursive) 狀態。作者如何運用大腦的資料，以處理眼前的任務，包括作者如何提取大腦資料，如何轉譯成為文字符號，如何選擇素材等。認知主義對認知也提出定義，是指個體對事物知曉的歷程，包括對事物的專注、辨別、理解、思考

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基於此，以下先從三個方面：記憶、知識、後設認知，進行探討： 1.記憶 記憶系統在 Mayer（1981）的觀點中是一個採取行動的起始點。圖 2-1-1 Mayer 訊息處理模式資料來源：修改自林清山譯1991）。教育心理學：認知取向。臺北市：遠流。（Richard E. Mayer，1987）從圖 2-1-1 得知，Mayer（1981）認為外來的訊息經由感官接收時，會短暫的保留在記憶儲存器中。這一訊息的表徵是感官性的，會隨著時間流逝。如果在這些訊息未消失前，學童會「注意」到這些訊息，這時接收到訊息某部分會轉為短期記憶。在藉由感官所接收的訊息，短期記憶很有限，除非再主動「複誦」（rehearse）。當短期記憶裡的一部分可用來進行心理運作時，這就是指工作記憶（working menory）。進行編碼（encoding）後，短期記憶的新訊息就會送入長期記憶資料庫中。所謂的編碼（encoding），是指當舊經驗與新經驗交互調整時的一個歷程，主要是能在長期記憶的資料庫中尋找能與新訊息類似或相通的訊息。 2.知識 儲存在長期記憶中的的訊息，會以各種的形式編碼（encoding）來存放，而這些編碼成形的記憶就成知識。Mayer（1987/林清山譯，

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1991 ）認為知識分成三種形式：第一種是語意知識（ semantic knowledge），是指一個人對世界的事實知識，如正方形有幾邊。第二種是程序性知識（procedural knowledge），是指特殊情況下所使用的算則，如長除法的程序。第三種是策略性知識（stragetic knowledge），如何去學習記憶及解決問題的方法，包含使用策略時對進步狀況的自我監控（self-monitoring）。另外，Ormrod（2008/白惠芳、林梅琴、陳慧娟、張文哲譯，2011）則將知識分成兩種：陳述性知識（declaradive knowledge），指一般性的世界知識，包括個人特有的人生經驗，另一個則是程序性知識（procedural knowledge），指如何做事情的知識，也包括在不同的情況下要如何因應的知識(白惠芳等譯)。學習要有意義，不光只是複誦，還使新訊息和先前的知識產生關聯，同時，學童能組織新訊息並敘述或推論。 3.後設認知（metacognition）

關於「思考中的思考」（thinking about thinking），是基本的後設認知的定義。J.Flavell 是這理論的創始者，認為個人知覺到自己記憶容量和處理情形的能力。也就是說，能夠對自己的思考、學習和知識省思，規劃合適的方式去完成任務，並隨時監控自己的知識及理解（Carr & Biddlecomb, 1998; Flavell, 1979; Mayer, 1998）。Ormrod（2008/ 白惠芳、林梅琴、陳慧娟、張文哲譯，2011）認為，經常檢查自己的記憶及理解過程，就是一種有效的學習策略。

整理這三個層面，從記憶、知識及後設認知是一個互有連結的概念形成模式，如圖 2-1-2。

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圖 2-1-2 知識、記憶與後設認知的關係 綜合上述，從有意義的學習來看，要能使學童從先前的記憶中與新概念發生連結，除了問問題，也可以做筆記，筆記可以從中看出關於之前概念的想法，並幫助學童從長期的記憶中檢索相關的知識（Kiewra, 1989；引自陳政煥、邱瓊慧、吳秋儀，2012）。筆記是寫作的一種，Scardamalia 與 Bereiter（1987）認為，這樣的寫作能提供循環式的認知歷程─反思、修改、知識流程和理解，以及擴大觀念，他們提出知識轉換模式理論來證明此觀點，即寫作者的想法在腦中形成時，會不斷修正或改寫，才發展出最後觀點。Hayes 與 Flower（1981）認為寫作者進行寫作時，經歷了計畫、轉譯、回顧的歷程，是一個非直線型的寫作歷程，稱為遞迴(being recursive)，當作者持續在計畫、組織、起草和修正間來回轉移，同時也進行監控，也將許多資訊保留在長期記憶中。更進一步說明，Hayes 與 Flower （1981）把熟練的寫作看成一種問題的解決，他們認為必須具備以下的認知歷程： 1. 廣泛使用先備知識 2. 彈性運用 3. 廣泛的監控 4. 深入的處理，以對任務有實質的了解 5. 很有技巧的管理有限的認知處理容量，及短期記憶。 6. 產生計畫、執行計畫、遇到困難時，可以修正計畫。另外，教育部（1983）頒佈新課程標準年至目前的九年一貫課程標準，記憶知識後設認知

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強調學童要有主動思考的習慣，並建立在「數學是解題的活動」的觀點上，重視學生以數學語言進行溝通的能力。當學童進行寫作時，即正式進行解題活動。Johnson（1983）認為，當人類進行解題時，即正在思考。因此，數學解題不同於數學計算，解題本身是涉及更高層次的思考和認知（周立勳、劉祥通，1998）。什麼是數學解題？就完形心理學論點，解題是從搜尋問題中相關的每一個元素，而形成結構性理解能力，這個理解能力勢將問題的所有元素適當安排滿足於目標的需求（Mayer, 1992）。Polya（1957/蔡坤憲譯， 2006）提到解題是一個心智活動，是要查明障礙四周的困難或方法，並不會立即達到目標，其提出數學解題歷程包括四個階段─了解問題、擬定計畫、實施計畫、回顧或驗算。 1. 瞭解問題：瞭解問題的已知、未知和代答。 2. 擬定計畫：探究問題各層面的關係後並提出初步解題策略。 3. 實施計畫：為解題者提出計畫尋求答案的過程。 4. 回顧或驗算：檢驗答案的過程。 Mayer（1992）以心理學觀點更進一步地從問題的表徵觀點出發探討解題歷程，將解題歷程分成兩個步驟，每個步驟包含 2 個部分： 1. 問題表徵(problem representation)：將心中的思維以文字或圖案轉換 表徵形式。先從對問題的理解以及對問題所牽涉的數學經驗，轉變成某種表徵。接著，進行問題整合，一個問題有許多不同的表徵，要同時把這些表關聯成為有用的條件。 2. 問題解決（problem solving）：自心理表徵進行至最後解答的過程。解答的計畫和監控需要使用策略知識，在所提供可用的資訊及特殊條件的限制下，擬訂解決問題的可能計畫，最後進行運算的過程。

在解題教學策略之研究中，有許多研究者（薛麗卿，1999；Bell & Bell, 1985; Burns, 2004;Burks, 1993）發現藉由寫作活動有助於學生連結各種不同

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的數學概念，使數學解題的歷程變得更有意義。根據 Piaget 基模理論的觀點，當兒童不斷進行反思時，他會依自己的解題經驗重新調整對其所遭遇的問題情境的闡述。當學童透過寫作，能清楚記錄自己數學運思歷程時，就表示他已能理解這個概念了（Johnson，1983）。研究者把 Polya（1957）、Mayer （1992）以及 Folwer 與 Hayes（1981）對於運思的歷程整理如表 2-1-1。表 2-1-1 從數學家觀點、心理學觀點和寫作歷程之比較表 Polya(1957) 數學解題歷程 Mayer(1992)以心理學觀點之數 學解題歷程

Flower & Hayes

（1981） 寫作歷程 瞭解問題問題表徵：問題轉譯問題整合計畫轉譯擬定計畫問題解決：解答的計畫和監控解答的實施實施計畫回顧或驗算回顧從表 2-1-1 看出，Mayer(1992)認為解題的過程是一種嘗試、搜尋，將各種線索組織在一起，這樣重組的過程以各種情境要素、知識策略來回監控。 Hayes 與 Flower（1981）研究發現，寫作時，作者會不斷搜尋與組織，計畫可能回隨時停止，作者在計畫、組織、擬定、修正歷程之間，來回進行轉移及監控活動。當學童進行寫作時，所有關擬定計畫、組織、起草和修正都在短期記憶裡執行。然而，短期記憶的容量是有限的，因此，遞迴的歷程便能補償短期記憶的這個限制，意思是指，藉由計畫、組織、起草和修正之間來回檢視，可以讓作者將許多的資訊保留在腦袋中（曾士杰譯，2010）。學童寫作時，經由個人接收的訊息，包括文字或圖像，會主動形成自我監控與回顧的活動，不斷檢視個人的思考歷程，反思及修正自己的想法（劉祥通、周立勳，1998；Baxter, Woodward, Olson; 2005; Bell & Bell , 1985; Borasi & Rose, 1989; Johnson, 1983）。更進一步說明，就理解的角度來看，寫作時藉由連

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結新的理解到類似的理解，始學習者使用更精緻的策略與組織，進而合成知識、探究相關性並加以應用。當學童進行寫作活動時，寫作是當作反思監控自己理解程度的工具(林雅慧、張文華、張惠博，2007)。因此，數學寫作和數學解題歷程是一個彼此相呼應，都強調重組、回顧和監控的歷程（劉祥通、周立勳，1997）。劉錫麒（1993）更是提到解題的過程中，是個體不斷的進行省思。歸納上述文獻，數學寫作是將數學語言予以表徵，以圖像或符號將概念具體化，作為傳達想法的工具。這樣的歷程是一個認知活動，以認知心理學的觀點來看，寫作應用在數學解題上，能提供計畫、轉譯及回顧的歷程，這些歷程並不會獨立進行，它是一個交互的歷程而不斷來回監控及檢視並無從中釐清概念。個體要能區分、辨識、理解後，才能完成這個任務，當任務完成後，概念即便加深。也就是說，數學寫作除了讓學習者整合新舊概念外，亦可當做溝通工具，達到數學學習及溝通的目的，數學活動內容包括解題活動、表徵的活動、建構知識的活動及產生省思與分析的活動，這就是數學寫作的活動（劉祥通，周立勳，1997）。 （三）數學寫作的功效 1.學習者的觀點

許多的研究（薛麗卿，1999；魏宗明，1997；Bell & Bell, 1985; Borasi & Rose, 1989; Johnson, 1983; Legere, 1991 ; Mcintosh, 1991; Miller, 1991; Pugalee, 2001; 周立勳、劉祥通，1998）指出寫作活動是可以數學寫作是意義創造的過程。Emig（1977）指出數學寫作是一種學習的手段，不僅能溝通數學概念，也可發展對數學概念的理解。寫作能能幫助學童運用先備經驗、探索或揭示新的概念，然進行評估、推理及論證，不僅如此，寫作還可以解決問題、澄清想法，猜測可能改變的原因或解釋，並提出初步意見。對學習者而言，學生透過寫作把心得、解題想法與過程、解題策略或學習活動中無法理解的困難之處全部記錄下來，作為重

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新思考的根據（Legere, 1991; NCTM, 2000）。

「後設認知」是知識建構的一環，後設認知的監控模式在解題過程中是提供方針、組織、執行和論證（Carr & Biddlecomb,1989）。學童能藉由數學寫作活動察覺學習及記憶的過程，也就是說，寫作能使學生陳述、省思或分析，進而促進後設認知的能力的發展( Pugalee, 2001)。因此，數學寫作能使學童在文句間分辨關係，並釐清自己的想法 (Hand & Trobel, 1999; Johnson, 1983; Nahrgang & Petersen, 1986)。從科學角度來看科學知識的過程， Wallace, Hand與Prain2004)認為寫作，不只是將已理解得很清楚的概念表達出來，而在執行寫作過程中還包括推理技巧所需要的組織、描述、創造知識主張和形成論點（引自林雅慧等， 2007）。綜合歸納來說，透過寫作活動，學童能夠釐清、摘要、組織、連結想法，提供對概念描述、比較、探究和解釋的機會，允許個人化、創造知識，促進學童能以數學語言與他人溝通，提昇數學素養。 2.教學者觀點 Borasi與Barbara (1989)提倡以寫作來帶動學習。學童可以透過寫作很自然的表達想法，它可以是學童學習數學的歷史紀錄。因此，

Miller(1991)曾在「寫作中學習數學」”Writing to Learn Mathematics”一文中指出：數學寫作可以幫助上課中不敢發問的學生，利用寫作的方式把自己的遭遇的問題、困難紀錄下來，在這過程中，不但可以幫助老師清楚明瞭問題所在，更可以利用此種溝通方式，協助教師修正自身教學模式，以提升學習效果。寫作是教學者與學習者之間的溝通媒介。就教學者而言，它能提供教師掌握學生對數學語言的瞭解程度，瞭解學生的數學思維（劉祥通、周立勳，1997）。所以，寫作可以讓教師很快的知道學生對數學概念的迷思和困惑之處，並隨時修正自己的教學(Azzolino, 1990; Nahrgang & Petersen, 1986）。依照 Borasi與Rose(1989)的觀點，數學寫作提供老師

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教學。綜合歸納來說，對教師而言，數學寫作是提供老師發現學生學習的困難處、掌握學生的數學語言程度、理解數學概念狀況，進而能改進教學方式或執行補救教學。 3.數學教室文化 Miller(1991)明確指出數學寫作能帶動學習，學生藉由寫作表達思考的過程，老師可藉由寫作觀察學生的真實想法或給予適當回饋，老師和每一位學生便多了互動的機會。更進一步來說，數學寫作能促進營造一個良好的學習環境(Borasi & Rose, 1989; Miller, 1992)。

劉祥通、周立勳、黃國勳（2008）針對一位教師實施數學寫作的過程研究發現，從兒童的表徵中會呈現許多的自然想法，老師再根據學童的想法去追問學生，請他們解釋。學生為了詮釋他們的自然想法，便會設法整理自己的思緒而表達，於是，教室裡的對話、討論、爭辯與質疑就自然而然的發生了，也因而激發學童不斷省思、論證，最後使迷失概念獲得澄清，修正原始的想法。林文生和鄔瑞香（1994）也提到數學寫作可以提昇學童彼此相互聆聽及欣賞、分享同學們不同的解題想法。數學教室文化意指師生在數學教室經過長時期形成的活動型態，教師經營數學教室的信念亦會影饗教室文化（鍾靜，1997）。綜合歸納來說，數學寫作促進學童與老師之間形成的互動是一個可信、能自由闡述、彼此達成共識的過程，在這樣教室文化，學生能個別發展，老師能精進教學，這是一個相互合作、彼此尊重的教室文化。 二、數學寫作活動的類型與教學模式 （一）數學寫作的類型 數學寫作活動能促進理解、反思、溝通、連結不同表徵、提昇後設認知、有助教學評量與診斷（曾安如，2004）。因此，數學寫作在實際的應用或實施上有許多的類型，茲就國內外學者的研究整理如下：

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（1991），Burks（1993）以及Rose（1989）等，依數學寫作的功能提出自己的看法，整理、摘要及說明如下： 1.札記（logs） 這是一個不講究寫作格式的數學寫作，學生剛接觸寫作時，不知道如何著手，教師鼓勵學生可以把剛所學的內容以任何方式表現，包括書寫、畫圖。 2.日誌（journals） 日誌類似札記，也是非正式的寫作方式之一，它是學習者對老師所提問的問題，或是老師所說的話、甚至教學狀況，簡短的寫下自己的反應。所以，它可以隨時記下自己即時的想法，也能表達學習的心得或困難，同時，老師也能從學生的日誌即時做出反應。 3.闡述性寫作（expository writing） 此方式是讓學生能清楚解釋數學概念及程序，所以它的寫作方式是針對一些特定的數學名詞、數學概念、以及解題程序，讓學生將自己的話寫出來，並要要求說明並解釋清楚。 4.創造性寫作（creative writing） 學生可以藉由寫作應用數學概念來編寫一個故事，或設計一個題目，基本上，它是結合數學概念、寫作和創作性思考的活動。而這活動能讓學生自由寫作，因此，往往能引起學生興趣。這類的寫作對於有文學偏好的學生，可以產生對於數學有正向、積極的態度。 5.主題寫作（rubric writing） 此方式是要求學生依照一定的解題程序來寫下自己的想法及做法。例如，根據Polya（1957）的數學解題歷程程序，把各階段所列的問題綱要，寫下自的作法及想法。標題寫作的作用，就是要學生能有系統性的

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逐步接近問題，並慢慢把問題解決（蔡坤憲譯，2006）。

有別於於上述的寫作類型，Hand與Prain（2002）提出一個 Model for writing-to-learning 的架構，主要呈現學科─主題─任務的互動以及學生學習成果等複雜性的相互連結。寫作組成包含產生文本的方法、寫作的對象、寫作目的、形式和主題。主要代表性寫作模式如下： 1.互動式建構模型的寫作類型 （1）支持使用KWL（Know-What-Learn）：以Ogle （1986）年的提出K-W-L 模式，內容包含下列三個部分：學生知道什麼(what students Know)？他們想要知道什麼(what they Want to know)？他們要學習什麼(what they Learn)？以表格去呈現學生的先備經驗，並設立目標。

（2）是一種循環式的寫作方式：寫作─反省─校正─再組織。（3）寫作形式：報紙文章、概念圖、同儕的報導。

2.啟發式科學寫作（the science writing heuristic, SWH）

此種寫作模式（SWH）包含教師教學流程以及學生的寫作任務，在寫作的過程中，教學者提供學習鷹架，以協助學生進行寫作（林雅慧等，2007）。其採取半結構的問題來幫助學生確認研究資料的型式，並將現有資訊和舊有的知識進行有意義的聯結，SWH 內容包含七個 寫作部分，如下說明（黃國鐘，2007）： （1）開頭的想法(beginning ideas)：我的問題是什麼？（2）測試(tests)：我要做什麼？（3）觀察(observations)：我要看什麼？（4）主張(claims)：我要主張什麼？（5）評價(evidence)：我如何知道？為什麼要做這些主張？（6）閱讀(reading)：我的想法如何和別人的想法互相比較？

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另外，Kenyon(1988)也依據數學寫作的時間長短，將其形式分成如下：

1. 長時期的寫作(long-term writing technique)

在此階段中，學生需要較多的認知過程。例如，學生需要較多的時間完成一份專題報告，包括蒐集資料、組織、分析、修正，最後用自己的話去呈現研究的結果。

2. 短時期的寫作(short-term writing technique)

這階段的寫作是隨時都能進行，並不需太多的時間，可能只要幾分鐘。寫作的方式如，解釋問題、文字題、摘要、心得反思、日誌等，也可以把上課不懂或不敢問的疑問的地方寫下來，或者是對同學老師的感受。國內劉祥通、黃國勳（2005）把常用在課室或家庭作業中較為實際可行的類型，茲說明並舉例如下： 1.解釋性寫作（explanatory wruting） 解釋性寫作為了讓學生能回顧數學概念，組織已學過的數學知識，並請學生說明或解釋，或發現。舉例，請學生要如何測量走廊的長度？或說明12-3=9的原因等等。這樣的活動沒有標準答案，不同程度的學生會有不同層次的答案，教師可以了學生的認知程度，並判斷自己教學是否適合學生。 2.偵錯性寫作（probing writing） 此方式能增進學生判斷合理答案的能力，並能檢驗解題的過程。學生從錯誤的解題結果，能分析與討論出正確或錯誤的理由，並能修正錯誤，或提出另外的想法。例如，判斷 2 1 3 2  ＝ 5 3 是否正確？學生可能會圖畫說明，或者是文字說明。在這過程，學生能又機會釐清自己的概念，

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進一步擴展數學的能力。 3.編擬文字題寫作（generating problems） 學生對於數學符號所構成的式子容易產生死背或過度練習，造成無法應用在其他題目上。因此，老師可以要求學生編寫文字題，然後請討論學生自行擬定的題目，或練習。此活動是要增進學生理解數學符號所代表的意義。例如，請為此算式編寫一個數學文字題，12-7=? 4.總結式的寫作（summarizing writing） 總結式寫作是為了讓學生回顧教學活動，促使學生陳述、分析和組織，進而反思並內化數學概念，此類型包括調查、實測、或繪圖等活動，並請學生寫下他的發現、省思、結語，有助提昇學生的後設認知的能力。例如，如何複製同樣大小的三角形？袁媛（2003）依據寫作的時機將數學寫作分成「常態性寫作」和「機動性寫作」。 1.常態性寫作 教師把數學寫作事先規劃在教學活動中，其形式有學習日誌、解釋性寫作和解題歷程引導下的標題寫作。 2.機動性寫作 教師進行教學活動時，依現場教學需要，其形式有札記、創造性寫作或教師設定的主題寫作。綜合上述，數學寫作的類型多樣化，大致分成一般性寫作和特定主題寫作，一般性寫作包含札記、日誌、自由寫作；特定主題寫作包含解釋性、偵錯性寫作、編寫文字題、創作性寫作、啟發式寫作等。通常，日誌（journal）最常被使用，日誌是一個例行性的紀錄，學生可以暢所欲言，包括學習心得、發現新做法、遇到困難等等（黃千芳，2007）。

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依據本研究之研究目的，是要探討學童在時間概念上之分概念之解題類型，以及了解學童概念轉變之情形，為此，研究者能運用數學寫作了解學童的想法，並當作促進學童理解時間概念之工具。所以，研究者擇用了以下的寫作類型。 1.數學日誌 提供把上課時聽到或想知道的內容，以圖像或文字自然表達想法。如，想對老師或同學說的話、想知道數學符號所代表的意思、心中的疑問、學習時的新發現。老師也能在學習日誌裡給於學生情意上的反應、了解學生的理解程度，並反思自己的教學流程。 2.解釋性寫作 此類型主要是讓學童能以圖形或文字來呈現其解題想法或作法（Miller，1992）此類型的寫作並無標準答案，屬於開放性的作答。學童進行解釋說明時，會使概念重新組織；教師能透過寫作的內容，了解學童的認知程度，藉以反省教學的適當性（劉祥通，黃國勳，2005）。 3.偵錯型寫作 這類型的寫作是檢視學生是否察覺問題，並能加以修正，考驗學生的數學理解能力。同時，在這過程，學生有機會釐清自己的概念，進一步擴展數學的能力；老師也能發現學生的另有想法並進行補救。 （二）數學寫作的教學策略 教育部（2009）數學課程綱要提到，教師實施教學應該注意學生個體的發展，學習快慢因人而異。教師應避免將全班學生當作均質的整體，則應透過教學的評量，分析學生的學習問題，做適當的診斷、導引與解決。近年來，國內受國際評量的影響，逐漸重視國民的「數學素養」。PISA 將「數學素養」（mathematics literacy）定位唯有能力去辨識、理解、探索數學在這世界上的意義（周玉秀，2006）。若要問寫作如何促進學習？教師如何去執行數學

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1.Miller（1991）針對在班級實施數學寫作活動時，提出以下十項建議 （1）計畫要讓學生寫多久的時間。（2）進行新單元前，教師要準備好與單元相關的提示詞。（3）教師要讓課堂上的寫作有彈性，沒有限制學生一定要遵循的方法。（4）當寫作的題目太大時教師要適時的幫學生縮小範圍。（5）在上課前，讓學生做好寫作的準備，並幫助學生與先備經驗作連結。（6）在課程結束前幾分鐘，讓學生寫作以便瞭解學生的學習情況。（7）教師適時參與學生的寫作並給予回饋。（8）不要把寫作當成學習的成績，要學生經歷這過程最重要。（9）不要因為學生不想寫作而處罰。（10）教師要有耐心，因為寫作的成效不會在短時間內就見效。 2.Burns（2004）針對以日誌的方式進行數學寫作提出一些策略 （1）讓學生了解數學寫作的目的。一個是支持學習，另一個是幫助教師評量學生學習情況。（2）教師是一個聽眾。讓學生知道教師能透過寫作了解他們的理解、誤解和困惑。 3.國內研究，劉祥通、周立勳（1997）針對數學寫作提出八個教學策略 （1）鼓勵學生留下解題痕跡以及發展算則或符號的教學學童在經驗不足進行算則或符號的教學，容易產生不了解其中的意義。因此，老師應該鼓勵學生使用自己的「自然想法」記錄解題活動，循續漸進發展，由具體轉為抽象化。（2）讓學生以自己的話表徵數學概念寫作事多重表徵與整合的活動。學生的舊經驗透過寫作回饋給老師，老師更能了解學生的先備經驗。

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學生將解題過程透明化，教師能對學生的另有想法，經由批閱得以獲得修正或補救。（4）讓學生自創解題算則或程序學生能創造解題的程序與自己的生活經驗有關，學習數學也因此變得有意義。根據情境理論觀點，學生提供不同的解題程序或模式，教室呈現多元的學習情境，學生從中進行比與釐清知識。（5）創造開放式的問題供學生組織答案教師謹慎設計教學問題，使學生概念得以發展或延伸。（6）要學生列出瞭解題的步驟或策略根據Polya（1957）的見解，學生能照解題四個步驟練習解題，多數學生的解題能力大為提升。Polya的解題步驟讓學生的策略過程透明化，學生也能藉此檢驗答案的合理性。（7）要求學生練習擬題以加深對問題的結構瞭解教師應該要能判斷何時與如何讓學生挑戰艱難的任務，學生對問題結構的了解是關鍵。老師應該多佈題讓學生經驗問題的結構。（8）完成具體活動後，讓學生寫下他們的心得或省思 4.Martines（2001）針對教師進行寫作佈題，其提到教師應該要先以「開 放式問題」來鼓勵學生反思和反省自己的問題解決策略。他建議教師 可以用下列幾個方式進行（引自陳怡靖，2002）

（1）為何要這樣做？（Why did you do this？）（2）為何不這樣做？（Why did you not do that？）

（3）當你時，你的想法是什麼？（What were you thinking when you）

（4）如果你時，會發生什麼事？（What would happened if you had）

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5.以建構取向教學模式 鄔瑞香（1993）以數學寫作的方式進行教學，如下圖2-1-3：圖2-1-3 建構取向的教學模式資料來源：鄔瑞香1993。我的數學教學模式─探索、反省與成果。載於甯自強主編：八 十二年度數學教育研討會論文暨會議實錄彙編。嘉義市：國立嘉義師範學院。林文生、鄔瑞香（1999）在《數學教育的藝術與實務─另類教與學》一書中提到，追求的目標是有效的教學，講究的是關係性的瞭解。因此，其設計的建構取向的教學模式之理念如下：（1）從Vygotsky的建構理論談學習，其認為知識的形成是需透過社會性的溝通與討論。（2）以G.Polya的解題策略─「猜測─證明─發現」，當作主要數學學習活動。（3）以Von Glasersfeld（1987）曾提出的觀點：「教師是協助學生在某經驗領域中從事概念組織的歷程。」（引自林文生、鄔瑞香，1999）。因此，教師的角色是引導思考，促進「反省」、提供深層思考問題。綜合歸納以上之文獻，數學寫作在國內外學者的研究皆強調教學要以學生學習發展為中心，重視個別間的差異，並結合生活經驗及省思活動，讓學生學習有意義，有興趣；而教師從數學寫作中，能建立與每個學生的溝通管道，瞭解學生數學概念發展，並修正教學或佈題的內容。數學寫作之教學策略及模式影響成效大，好的教學策略能讓寫作與數學教學活動更融洽，相反佈題舊經驗有意義生活活化非例行性題討論溝通調整初步共識質疑辯證理性批判概念澄清容忍異議欣賞評鑑共識兒童想法數學規約約定成俗

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地，容易造成事倍功半之結果。劉祥通、周立勳（1997）建議，雖然數學寫作教學策略很多項，不一定每一項、每一節都要實施數學寫作。對於如何教？學習目標是什麼？寫什麼？身為教師必須清楚這些問題的答案。因此，本研究依據研究目的，擬出以下的數學寫作教學策略： 1.從小題目開始，並與生活經驗連結，增進寫作的成就感 對於剛學習寫作的學生，將題目範圍小，並設計與生活周遭的題目相關，不但減輕學生的負荷，還能引起學生的興趣。 2.設計共同分享的時間 同儕間的寫作學習過程，不僅提供較多的互動與指導，也包括情意的支持（黃國鐘，2007）。寫作完成後，學生容易有不確定感，安排學生課室間走動，去和好朋友說說自己的想法，這個任務要在「你怎麼想的？」的相互提問下，才算完成。當透過討論與分享後，有些學生回到位子後會因此調整做法，甚至能刺激想法。

3.結合放聲思考策略（thinking aloud methed）

什麼事放聲思考法？解題者進行解題時，將腦中的思考情形，同步的以語言口述出來。針對低年級小朋友，常把開放性的問題以簡單的方式表徵，如畫圖、或簡單寫，不容易完整表現實質的想法，因此，在寫作後，讓學生能發表自己的想法，再組織寫作的內容。 4.常省思教學活動與教學目標的關係。 劉祥通、鄔瑞香與黃瓊儀（2000）認為教學不是只有監督學生，而是一個相互溝通、取得共識的一個過程。在一個教學情境中，教師與學生兩者是一個夥伴關係，省思是發生在兩者之間，教師應保有一個學習的心去進行教學活動。

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三、數學寫作活動的相關研究 自建構理論的觀點融入課程標準後，數學教育改革者便開始鼓勵教師從事數學寫作，也陸續介紹數學寫作在數學教育領域上所扮演的角色。以下，彙整相關實徵性研究，列表2-1-2所示並說明如下：表2-1-2 國內外數學寫作相關研究 研究者 （年代） 研究對象 研究內容 研究結果

Borasi & Rose （1989） 23 名藝術學院的學生要求學生記錄學習過程，包括心得、困惑。數學寫作對學生學習、老師教學、師生對話皆有益處。 Clarke, Waywood &

Stephens (1993)

7-11 年級的學生

以數學日誌學習學日誌的習寫增強數

學概念間的連結。

Bell & Bell

（1985）國中三年級學生

要求學生解題實寫下解題的程序

提升解題能力，促進後設認知的發展 Hand, Prain &Trobe

（1999） ─ 寫作與科學素養的關係在課堂上，寫作學習能夠提高科學素養的作用 Pugalee （2001） 20 位九年級學生要求學生在解題時，記下心中的想法，支持後設認知發展的證據。數學解題步驟雨後設認知相互契合，學生透過寫作歷程成為最佳解題者。鄔瑞香（1997）國小一年級學生以「數學日記」讓學生生表達想法，書寫內容以結合數學課程中的相關數學概念為主。試用一段時間後，教師多數肯定數學日記，認為有助於學生表達能力的提升。魏宗明（1997） 182 位國小五年級學生（分為分組寫作、一般寫作組、傳統寫組）以自編的「數學學習成長手冊」供學生進行數學日誌寫作，並對兒童數學寫作內紀錄內容進行分析與訪談。「數學寫作」對學生算則理解能力之影響不明顯，師生普遍覺得有助於學習。周立勳、劉祥通（1998） 205 位國小六年級學生在實驗班級中實施「個別」與「合作」兩種形式的寫作活動之數學解題教學，控制組則沒有寫作活動。數學寫作對增進國小學童了解問題、擬訂計畫與執行計畫等解題歷程的表現上有積極顯著的效果。薛麗卿（1999） 40 名六年級學生將學生分成兩組進行，實驗組將數學寫作活動，融入日常數學課中，探討學生解題能力發展。數學寫作提高學生思考層次，能清楚以數學語言表徵想法，但數學態度無明顯的顯著差異

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表2-1-2 國內外數學寫作相關研究(續) 研究者 （年代） 研究對象 研究內容 研究結果 姜淑珍 (2006) 39 位國三學生將數學寫作融入教學活動，要求學生寫數學日誌和完成教學單元後習寫數學學習單學生能藉由數學寫作察覺、連結、重組和延伸數學概念林雅慧、張文華張惠博（2007） 35 位國小四年級學生發展錨定式科學寫作模式，發展解題能力和創思性知識寫作能靈活學生思考能力，促進學生新舊概念的連結綜合上述之研究，不難發現，早期的研究（魏宗明，1997；薛麗卿，1999; Borasi & Rose, 1989; Clarke, Waywood & Stephens, 1993; Bell & Bell, 1985; Pugalee, 2001）多探討數學寫作應用在解題能力之表現，寫作類型以數學日誌的形式最普遍，研究對象多中高年級以上，尤其是國外對數學寫作的研究多觀察國中時期之學習及解題之表現。有別於表中所列之研究，林雅慧、張文華與張惠博（2007）結合KWL（know─What─Learn）、SHW（the science writing heuristic）和錨定教學策略擬定寫作任務，針對四年級學生進行行動研究。他們將寫作任務分成兩個目的：一個是了解學生在進行寫作時，處理學習內容的習慣；另一個是教學者設計寫作任務時，要辨識教學內容的重要概念，同時，也要求學生連結新舊概念，並作合理的推論或解釋。這個研究，係因教師本身為研究者，在進行教學後，經由省思再次提出教學活動之發展過程，因此，研究發展進行也會因不同的教學目標而導致寫作任務屬性不同。研究結果顯示，學生在寫作上所表現的寫作思維歷程可直接提供教師作為課程設計導向之指標；學生因寫作文本的關係，會出現較多的描述思維的句子。然而，低年級小朋友運用數學寫作的研究並不多，不過，近年即可發現針對低年級之數學寫作相關研究。例如，朱龍美（2012）以數學寫作為工具，探究二年級學生對整數概念的加減法運用，發現學生能透過解釋性寫作、偵錯性寫作及擬題方面的寫作，呈現和解釋其解題策略；程玉茹（2010）針對一年級學生進行標題式寫作之研究，發現學生在解非例行性題目時，實驗組教能掌握解題的核心；鄭惠芬（2005）將數學寫作融入教學活動，以數學寫