數學推理的內涵

由上述可知，各國對於數學推理能力的培養皆相當重視，因此，在數學課程 中都將推理能力視為學生該具備的能力之一。然而，由先前的文獻可發現，對於 推理的定義眾說紛紜但都大同小異，因此本研究綜合幾種說法將推理定義為解決 日常生活問題上的一種心理活動，而數學推理能力即是將得到的數學訊息或概念 經由推演、分析及驗證未知的數學概念的能力。換言之，本研究所指的數學推理 能力是指將推理能力運用在數學邏輯、空間、及比例上的歷程。

第二節 數學推理的內涵

由於本研究目的在編製數學推理能力測驗，因此在測驗編製之前須先針對欲 測量之特質-數學推理能力進行內涵分析，以下便依據所收集的文獻來分析數學推 理能力的重要內涵。

壹、何謂推理

張春興（1992）把一般性的推理概分為演繹式推理、歸納式推理與捷徑式推 理。所謂演繹式推理是在已知的原理原則或條件下，並依照此條件的限制，所進

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行的推理歷程；歸納式推理則是從許多實際的事例中找出共通的特徵或原則來，

而這些推論出來的特徵或原則並非絕對的，只能說為幫助思考的依據；捷徑式推 理則是在問題的情境中，根據過往的經驗，所進行的跳躍式邏輯思考來進行推理，

在有限的時間下，經驗老道的人使用會有事半功倍的效果（張春興，1992；涂金 堂，1999）。

郭靜芳（1997）則指出十二歲至成年的推理能力有六類分別為控制變項、相 關推理、組合推理、機率推理、比例推理及守恆能力。控制變項是指系統內正確 的改變自變項，在其他變項保持不變之下，觀察依變項的思考方式；相關推理是 指斷定變項間的相互關係之思考方式，以建立變項間關係的思考歷程；組合推理 是指適當的提取元素，使其成為組合狀態，並找出所有組合狀態的思考方式；機 率推理是指判斷某個體在群體中被抽取的機率為多少的思考方式；比例推理是指 呈現兩對應數值間的關係，改變其中之特性時，判斷所呈現的另外對應值間，關 係仍保持不變的思考方式；最後守恆能力是指系統的關係經過改變後，系統的特 性仍保持不變。

此外，陳素玲（2002）亦將推理的方式加以分類，分為類比推理、對話推理、

歸納推理、演繹推理、評估推理與整合推理等六種。而這些推理思考的方式，常 是在科學探究期間，經常發生的思考歷程（ Hongan & Keller, 1996；陳素玲，

2002）。

貳、推理思考運作之歷程

Polya (1981) 在數學發現這本書中曾提出解題者的思維的過程 (The Working of the Mind)。他將思維的過程區分為以下十二個部分（引自趙旼冠、楊憲明，2006）： 一、能覺察到問題的存在。二、能尋找關連性 (relevancy)。三、能覺察成功解題 的機會 (proximity)。四、能預見解題的方向及答案的輪廓 (prevision)。五、能尋 找範圍 (region of search)。六、決斷 (decisions)。七、動員與組織 (mobilization and organization) 。 八 、 辨 認 與 回 憶 (recognizing and remembering) 。 九 、 充 實

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(supplementing) 。 十 、 重 組 (regrouping) 。 十 一 、 分 離 與 結 合 (isolation and combination)。十二、局部提示整體，即意指建立起符合解題需要的聯想聯繫。在 這十二個部分中，說明解題者的思維運作，同時也包含了數學推理的本質和模式。

此外，根據思考路徑的不同，從邏輯的角度觀之，又可將推理主要分為歸納推理 (inductive reasoning) 、 演 繹 推 理 (deductive reasoning) 及 類 比 推 理 (analogical reasoning)及非正式推理（黃秀瑄、林瑞欽，1991；張玉成，1998）。

参、推理思考之模式

Hongan 和 Keller (1996)將推理思考模式分為以下六種：一、分析的推理 (analytical reasoning)。二、類比的推理 (analogical reasoning)。三、對話的推理 (dialogical reasoning)。四、推論的推理 (inferential reasoning)。五、評估的推理 (evaluative reasoning)。六、整合的推理 (integrative reasoning)。TIMSS-2003 中則 提出所謂的數學推理是指具有邏輯與系統化的能力，其數學推理分為：

一、臆測 (hypothesize/conjecture/predict)

研究一個模式，討論一個想法或提出模型，解釋資料，說明一個數、模 式或量的結果之前，根據一些操作與經驗做一適當的猜測。

二、分析 (analyze)

描述變數和實物間的關係並將之定義；從分析統計資料，分解幾何圖形，

簡化以解決問題，到畫出簡單的概念圖，也就是從已知的資料中做有效 的推論。

三、批判 (critique)

對一個關於數學的想法、臆測、問題解決策略、方法、證明等，共同討 論並批判之。

四、一般化 (generalize)

以更一般化或更適合的詞來重新敘述數學思考與解決問題的結果，來擴

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展數學式思考和解題結果的範圍。

五、綜合/整合 (synthesize/integrate)

結合不同數學程序來建立結果；結合這些結果來產生更深一層的結論。

六、解決非例行性的問題 (solve Non-routine problems)

使用數學的程序來解決一些學生平日較不熟悉的數學或真實生活中的問 題。

七、辯證 (justify)

參考數學的結構或屬性，證明某一行動或言論的真實性；根據相關資訊，

提出數學的評論，以證明一個陳述是否正確。

八、證明/否證 (prove/disprove)

藉著給一相關資訊，發展數學辯論來證明或否證命題。

九、引出結論 (draw conclusions)

從得到的資訊中作出有效的推論。

而洪瑞鎂（2001）將學生數學表現的期望分為概念理解、過程知識、解題能 力三類。其中解題能力是學生連結所有的概念、程序、推理和溝通技巧的數學知 識，而解題能力的內容為：

一、推理與分析的能力。

二、能認清問題並能用數學式表示。

三、能判辨資料的充分性和均質性。

四、能使用策略、數據、模型。

五、能產生、修訂、充實過程。

六、能判斷問題答案或方法的正確性。

七、能空間推理、歸納推理、演繹推理、統計推理及比例推理。

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肆、推理能力相關教材

根據九年一貫課程目標的達成，可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論 能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法；奠定高中階段的數學基礎，並希望 能培養學生欣賞數學的態度及能力（教育部，2003）。其中，第三階段（國小五 至六年級）：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量 關係，解決日常生活的問題；能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其 面積或體積之計算；能製作簡單的統計圖形。及第四階段（七至九年級）：在數 方面，能認識負數與根號數之概念與計算方式，並理解坐標表示的意義。代數方 面則要熟練代數式的運算、解方程式，並熟悉常用的函數關係。幾何方面要學習 三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾 何推理。能理解統計與機率的意義，並認識各種簡易統計方法。

由於，本研究只針對五年級及八年級之學生，因此，未把九年級才會學到的 統計推理放在推理能力內，只針對邏輯推理、空間推理及比例推理加以探討。其 中，邏輯推理包含在「數與量」能力指標中，「N-4-13：為辨識數列的規則性」

及「N-4-14：為能熟練等差數列與等差級數的樣式、記法與公式，並解決相關問 題」；在「代數」能力指標中，「A-4-01：能用符號代表數，表示常用公式、運 算規則以及常見的數量關係」。空間推理之於 數學五大主題「幾何」能力指標中，

對幾何形體概念的相關能力指標有「S-1-01：能由物體的外觀，辨認、描述與分 類簡單幾何形體。」、「S-1-02：能描繪或仿製簡單幾何形體。」、「S-4-01 能 理解常用幾何形體之定義與性質。」、「S-4-04：能利用形體的性質解決幾何問 題。」、及「S-4-13：能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、

梯形)與正多邊形的幾何性質。」。比例推理之於數學五大主題「數與量」能力指 標，其相關能力指標有「N-3-14 能認識比率及其在生活中的應用。」及「N-3-15 能認識比、比值與正比的意義，並解決生活中的問題。」（教育部，2003）。

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根據以上的論述，可發現數學推理可以往下細分成很多能力；如歸納推理能 力、空間推理能力等。因此本研究根據以上的整理，將數學推理分類為：邏輯推 理能力、空間推理能力、及比例推理能力。並以此為基礎編製數學推理能力測驗，

而透過 HO-DINA 模式了解數學推理能力及邏輯推理、空間推理、比例推理的關 係。

一、邏輯推理能力：邏輯是指對某些已知的跡象，根據一般原理原則推循可 能導致的結果，因此，邏輯思考活動是一種尋求因果關係的心理歷程。

邏輯推理可分為兩種類型，即演繹 (deducative) 推理與歸納 (inductive) 推理（張春興，1994；劉福增，1996、1998；Hunt & Pellegrino, 1984；

Rips, 2001）。演繹推理就是依邏輯規則來推得事實，結論是必然，所以 也稱為必然推理（葉秋呈、辛靜宜，2007）。歸納推理就是前提和結論 的聯繫是非必然性，大多是觀察或實驗所得的結論（高哲翰，2002）。

故本研究所指的邏輯推理能力是包含演繹推理及歸納推理。

二、空間推理能力：Linn 與 Petersen (1985) 將空間能力分 為空間知覺 (spatial perception) 、 心 智 旋 轉 (mental rotation) 與 空 間 視 覺 (spatial visualization) 三項。空間知覺 (spatial perception) 指個體利用自己身體 的方位去辨識空間關係之能力；心智旋轉 (mental rotation) 指個體能想 像 旋 轉 二 維 (2D) 或 三 維 (3D) 圖 像 之 能力 ； 空 間 視 覺 (Sspatial visualization) 指個體能操作一連串複雜影像折疊與移動及使用解決策略 之能力。故本研究所指的空間推理能力是關於國中小學生在2D及3D的空 間概念上的應用，包含空間知覺、空間視覺及心智旋轉。

三、比例推理能力：Lamon (1993) 將比例問題分為熟知的量數、部份─部份

─全體、聯想的集合、擴大縮小四種類型，國內數學實驗課程教師手冊

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依照語意的差異將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題、密度 問題四種類型，沈明勳、劉祥通（2002）綜合國內外的分類方法，把比 例問題分為五類，分別為交換問題、母子問題、組合問題、密度問題及 伸縮問題方面。本研究指的比例推理能力是指國中小學生在解決交換 、 母子、組合、密度及伸縮方面的比例問題。