第二章 文獻探討
第四節 認知診斷模型
第四節 認知診斷模型
認知診斷模型（cognitive diagnostic models, CDMs）是一種結合認知科學與心 理計量學的方法。認知診斷測驗的發展，對教育實務問題有重大的意涵與啟示，
不僅可以替教師找出學生在學習上產生偏差的原因所在，以便教師針對學習產生 落差之處即時進行補救，還可以節省補救教學時間和增進教學效果（余民寧，1995；
涂金堂，2003）。近幾年許多研究皆以此模式進行探討，主要是因為美國的「沒
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有落後的孩子」法案（No Child Left Behind, 2002），簡稱NCLB，其法案要求美 國全國3-8年級的學生每年必須接受各州政府的閱讀與數學會考，而考試的目的在 於能夠診斷出學生在閱讀與數學的各項概念或認知屬性是否達到精熟狀態，當然 也提供了學生優缺點分析的訊息(Huebner, 2010)。不同於試題反應理論 (Item Response Theory,IRT) 只用廣義的潛在特質來代表受試者能力，在認知診斷模型 中，受試者的認知屬性的分數向量常以α = {αi1, αi2, … … , αiK}表示在K個概念上的 狀態，每個概念可以對應到精熟與不精熟兩種狀態，也就是說受試者共有2K種認 知屬性，其中αiK = 0表示第i位受試者未精熟第K個屬性，相對的αiK = 1則表示第 i位受試者精熟第K個屬性。下列為K=3時，所有可能的8種反應組型。
(0,0,0)(0,0,1)(0,1,1)(0,1,0)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1)
為了達到診斷的目的，須經由專家界定每個試題所測量的認知屬性，為了清 楚表示試題與認知屬性之間的關係，大多數的認知診斷模型使用Q矩陣(Tatsuoka, 1985)來進行診斷。Q矩陣由1跟0組成，其大小為J×K，J為試題數，K為屬性數，
其中Qjk為要完成第j個試題，是否具備屬性k，其Q矩陣內元數的定義如下：
Qjk = �1 第j題需要第k個認知屬性 0 其他
其中j=1,2,……,J k=1,2,……,K 舉例來說，假設一個3×4的Q矩陣，表示如下：
Q = �1 0 0 11 1
1 11 0 0 0�
代表第一題需要第1、第2及第3個認知屬性；第二題需要第2個及第3個認知屬性；
第三題則需要第1個及第2個認知屬性。
認知診斷模型至今已發展出相當多的模型，包括Fischer (1973)提出的線性邏 輯測驗模式（linear logistic test model, LLTM）、Tatsuoka (1983)的規則空間（rule
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space ）、 Junker 與 Sijstma (2001) 提 出 的兩 個 認 知 診 斷 模 式 ： DINA 模 式
（ deterministic input, noisy “and” gate model ） 和 NIDA 模 式 （ noisy inputs, deterministic “and” gate model）、de la Torre 與Douglus (2004)提出的HO-DINA 模 式 (higher-order DINA model) 、 Templin 與 Henson (2006) 提 出 的 DINO 模 式
（Deterministic Input, Noisy “Or” gate model）。
以下僅介紹跟本研究有關的兩種模式：DINA 模式及HO-DINA 模式。
壹、DINA 模式(deterministic input, noisy “and” gate model)
DINA 模式是許多認知診斷模型的基礎，其創建與流行則是開始於Junker &
Sijtsma(2001)的研究。該模式適用於二元計分試題來進行測驗，會依據受試者是 否完全具備試題所測量的認知屬性，將受試者分為兩個類別，在理想的反應模式 下，若完全具備時，應當答對該題；若缺少任一個認知屬性則會答錯，但是在實 際的作答情形中，會受到粗心（slip）或猜測（guessing）的雜訊（noise）干擾，
DINA 模式機率模型定義如下：
P �Yij= ηij = 1� = (1 − sj)ηijgj(1−ηij) (1) 其中
ηij = � αikQjk k
k=1
sj = P �Yij = 0�ηij = 1�
gj = P �Yij = 0�ηij = 1�
其中Yij：第i個受試者在第j個試題的反應組型。
ηij：第i個受試者在第j個試題須具備的認知屬性，完全具備其值為1，缺少一 個以上所需的認知屬性其值為0。
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Qjk：受試者答對第j個試題是否需要第k個認知屬性，如需要該屬性其值為1，
無則為0。
αik：第i個受試者在第k個認知屬性的有無，有該屬性其值為1，無則為0。
sj ：受試者回答第j題試題所需要的認知屬性，但因粗心大意而答錯此題的機 率。
gj ：受試者回答第j題試題所需要的認知屬性，但因猜測而答對此題的機率。
貳、HO-DINA 模式(higher-order DINA model)
de la Torre & Douglas (2004)延伸DINA 模型，將屬性的機率分布加入IRT 模 式，提出higher-order DINA (HO-DINA)模型。假設認知屬性間相依於一個或是多 個在高層次的表示式中，給定高階的潛在能力θi下，假定元素αi條件獨立，其關 係式可用下列公式(2)表示：
P(αi|θi) = � P(αik|θi)
K
k=1
= � � exp [1.7λ1(θi− λ0k) 1 + exp [1.7λ1(θi − λ0k)]�
K
k=1
(2) 其中θi：第i個受試者在高階層的潛在能力。
αi：第i個受試者在具備的認知屬性，完全具備其值為1，缺少一個以上所需 的認知屬性其值為0。
此式子與IRT模式中的單參數模型近似，參數λ1相當於認知屬性的鑑別度參 數，λ0k則相當於認知屬性難度參數，λ0k越高代表越難精熟。其模式反應程序如 圖2-4-1：
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圖2-4-1 higher-order DINA模式反應架構圖(de la Torre, 2010)
由於數學推理為高階層的能力，因此本研究擬定使用 HO-DINA 模式進行測 驗編製與分析，以評估五年級及八年級學生的數學推理能力，並了解學生是否有 無此認知屬性，測驗的結果便能提供老師及學生更多的學習資訊，進而及時改善 學生的學習，提升教學效能。因此，本研究的θi為學生數學推理能力，αi為十個 認知屬性即本研究邏輯推理能力下的演繹、歸納，空間推理能力下的空間知覺、
心智旋轉和空間視覺，比例推理能力下的交換、密度、母子、組合和伸縮等，並 透過 HO-DINA 模式探討不同背景因素對五年級及八年級學生在數學推理問題表 現之影響。
λ
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