第一章 緒論
本研究主題是以 HO-DINA 模式(higher-order DINA model)為基礎的數學推理 能力測驗編製並以五年級及八年級為對象之研究。本章將說明本研究的研究動機、
目的及研究限制，並對本研究所涉及到的名詞加以定義。
第一節 研究動機
近年來，許多國家將數學推理能力列為重要議題，例如：NCTM (1989)「在 學校數學的原則與標準」(principles and standards for school mathematics)把推理與 證明列為課程評價(curriculum & evaluation)其中一項；National Assessment of Educational Progress (NAEP) (2003) 將數學能力劃分成三個向度，其中一項數學 力(mathematical power)向度內也包含了推理能力。所謂的數學推理能力是解決數 學問題所必需的能力，要解決數理問題，沒有數理推理是無法達成的（王文科，
1989）。Johan (2000) 指出，數學推理是一種合理性推理(plausible reasoning)，而 數學推理的基礎在於從學習環境而來的已建立的數學經驗。推理不僅能促進數學 概念的理解，亦可以藉此去探索發現數學新知識 (Ball & Bass, 2003)。近年來我 國也逐漸重視學生的推理能力，因此，在國民中小學九年一貫數學領域中提到：
學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解，然後懂得利用 推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，懂 得自尋解決問題的途徑。並藉由課程目標的達成，來培養學生的演算能力、抽象 能力、推論能力及溝通能力，並能培養學生欣賞數學的態度及能力（教育部，2003），
其中推論能力即包含了數學推理能力。
綜合言之，不論是在日常生活中，或是學校的課業表現裡，推理能力都是一 項相當重要的能力。PISA (the Programme for International Student Assessment)
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(2003) 在數學領域的評量中亦測驗學童是否能應用機率、空間及圖形、量化推理 等的數學概念。Linda (1999) 指出應用數學能力時有三種考量，分別為問題解決、
語言溝通及數學推理。亦即，數學推理能力能協助我們順利的使用及解決應用問 題。
有鑑於數學推理能力在數學教育的重要性，國內外已有許多學者投入推理能 力的相關研究（張秀蓁，1996；黃幸美，2000；Reid，2002；陳亦媛，2003；唐 慧娟，2003；劉春纓，2003；張筱珊，2004；李佩玟，2005；歐惠如，2006；張 勝凱，2010；Szombathelyi,Szarvas，1998)，檢視這些文獻的成果可發現：大部分 的推理能力研究仍著重於推理能力的調查、歷程因素及規範探討，而國內研究數 學推理能力測驗編製的文獻相當少，並大多以傳統的測驗理論來進行測驗分析。
然而一般傳統測驗理論，僅能提供學生在團體中的量尺分數，並無法顯現出 學生是否精熟某種技能的訊息，進而幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵意，
進行更有效率的學習。因此，Nichols (1994) 提出將認知科學 (cognitive science) 與心理計量學 (psychometrics) 結合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標 的達成。Nichols 將這種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量。通常，認知診 斷評量必須使用認知診斷模式來分析診斷測驗，才能了解學生是否精熟了某些概 念。近年來，認知診斷模型已發展出相當多的模型，包括Fischer (1973) 提出的線 性邏輯測驗模式 (linear logistic test model, LLTM)、Tatsuoka (1983) 的規則空間 (rule space) 、 Junker 與 Sijstma (2001) 提 出 的兩 個 認 知 診 斷模式 ： DINA模 式 (deterministic input, noisy “and” gate model) 和 NIDA 模 式 (noisy inputs, deterministic “and” gate model)、de la Torre 與 Douglas (2004)提出的 HO-DINA 模式(higher-order DINA model) 等。其中，HO-DINA 模式為高層次的心理計量模 式，除了可診斷學生須具備的認知屬性上是否缺乏，同時亦能估算這些認知屬性 所共同測量的高階層能力之量尺，很適合用來分析高階層的評量資料，並同時進 行診斷。
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由於數學推理能力為高階層的能力，包含許多認知屬性，因此本研究套用階 層式的認知診斷模式 HO-DINA 模式進行測驗編製與分析，如此一來，測驗的結 果便能提供老師及學生更多的學習資訊，進而及時改善學生的學習，提升教學效 能。相較於張勝凱（2010）使用 HIRT 模式建立國小六年級學童數學推理能力測 驗，HO-DINA模式可直接估計學生在認知屬性(次級量尺)上有無的二元結果，而 非連續的能力估計值，對於教學現場的教師來說，提供二元結果會比提供連續能 力估計值，更有助於快速進行後續補救教學的決策，此外，由於先前的研究只以 單一年級的學生做為研究對象，並未進行不同年級學生表現之比較，無法進一步 了 解 國 小 高 年 級 學 生 進 入 國 中 後 數 學 推 理 能 力 之 進 展 情 形 。 故 本 研 究 以 HO-DINA 為計量模式，自編一份測驗工具，根據國內外文獻將數學推理能力分 為三個向度（邏輯推理、空間推理、比例推理）及十個認知屬性，並透過 HO-DINA 模式探討五年級學生及八年級學生數學推理能力上的表現及不同背景因素對國 中小學童在數學推理問題表現之影響。
第二節 研究目的
壹、編製一份數學推理能力測驗並分析其信效度。
貳、以 HO-DINA 模式為基礎探討全體學生在數學推理能力上的表現。
参、透過 HO-DINA 模式探討不同背景因素對五年級及八年級學生在數學推理問 題表現之影響。
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第三節 名詞解釋
為能更清楚了解本研究之用語，將本研究所使用的相關特定名詞解釋定義如 下：
壹、數學推理能力
將得到的數學訊息或概念經由推演、分析及驗證未知的數學概念的能力。本 研究將數學推理能力分為邏輯推理、空間推理、比例推理三個向度做為試題設計 及認知診斷模型的分析。
貳、HO-DINA
Torre & Douglas (2004) 延伸 DINA 模型，將屬性的機 率分布加入IRT 模式，
提出 HO-DINA (higher-order DINA) 模型。DINA 模型以二元計分試題來進行測驗，
會依據受試者是否完全具備試題所測量的認知屬性，將受試者分為兩個類別，在 理想的反應模式下，若完全具備時，應當答對該題；若缺少任一個認知屬性則會 答錯，但是在實際的作答情形中，會受到粗心(slip)或猜測(guessing)的雜訊(noise) 干擾。而有別於 DINA 模型，HO-DINA 模型 在認知屬性αi上再加上了高階層潛 在特質θi的架構，使其可降低估計認知屬性的組合數量，同時也能達到參數的精 準估計。故本研究當中的潛在特質θi為數學推理能力，並根據三種推理向度（邏 輯推理、空間推理、比例推理）下劃分的十個認知屬性αi。
参、背景變項
本研究所涉及的背景變項有八項，分別為：學生的性別、家庭情況、補習情 況、喜歡數學的程度、學生學習數學的時間、學生學習數學的方法、家中書籍的 多寡、將數學運用在日常生活上的態度等。
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第四節 研究限制
由於考量試題數目與施測樣本數，因此施測方式採紙筆測驗，且正式施測題 目皆為選擇題型；施測方式方面，雖有交代各班老師給予學生充足的作答時間，
但因施測地點為各施測學校，因此無法確保施測情境之標準化；在評量架構方面，
因推理能力涵蓋面向甚廣，有些能力無法有效地在此評量工具中測出，因此所得 之結果不宜做過多的推論。研究取樣因地域限制，故所得的結果不宜做過度且廣 域之推論。
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