以HO-DINA模式為基礎的數學推理能力測驗編製之研究－以五年級及八年級為例

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指導教授：施淑娟博士

以 HO-DINA 模式為基礎的數學推理

能力測驗編製之研究－以五年級及

八年級為例

研究生：高書薇撰

中

華

民

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零

一

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六

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I

謝辭

碩士生涯兩年的時間過很快，一路上有歡笑也有辛苦的汗水，終歸告一個段落。這過程中感謝老師、同學、朋友及家人的協助與支持，給予我前進的力量和勇氣。本論文的完成，首先感謝指導教授施淑娟接著，我要感謝口試委員老師的悉心指導，無論老師再忙，仍督促我們每個禮拜該有的進度不可荒廢，並且不厭其煩的幫我們解惑。在施測期間，老師還幫忙我們找尋施測的學校，關心我們施測的情形及學生作答情況，在論文寫作上，一遍又一遍的幫我論文內容及檢查格式，並適時地提出疑點，讓我省思問題的癥結，使我在論文寫作上更精進，在此非常謝謝老師。孫扶志老師與吳慧珉老師撥冗費心審查，針對我的論文提出清晰、具體的建議，使本論文更加嚴謹完備。還有幫忙施測的老師，謝謝你們。除此之外，還要謝謝給予我許多幫助的智為學長、俊彥學長、敏嫻學姐、婕婷學妹、姵錡學妹、緯誠學弟，和一起奮戰的同學們-珮苓、金谷、宜玲、宗恩、偉民、書華、保閔、芷寧，有你們的陪伴寫論文的路上一點都不會寂寞。還有在我身邊給予我精神上的慰藉的朋友們-政剛、政凱、詩茜、欣珊、芳瑜、妍榛、佳容最後，感謝我的家人支持我繼續攻讀碩士學位，感謝你們無怨無悔地為我付出，你們的包容是我溫暖的後盾。 ...等。高書薇謹誌 2012 年 6 月

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I

中文摘要

在日常生活中或是學校的課業表現裡，推理能力都是一項相當重要的能力。故本研究編製一份數學推理能力測驗並分析其信效度，並以 HO-DINA 模式為基礎探討全體學童在數學推理能力上的表現及不同背景因素對五年級及八年級學生在數學推理問題表現之影響。研究結果發現：一、以 Cronbach α係數計算測驗題目內部一致性，其測驗信度 0.91，顯示本測驗具有良好之信度。二、五年級與八年級學生數學推理能力有顯著差異。整體而言，五年級學生最缺乏的認知屬性是屬性 6：「能運算數學比例交換問題。」及屬性 9：「能運算數學比例組合問題。」；八年級學生最缺乏的認知屬性為屬性 4：「能運用心智旋轉進行推理」及屬性 6：「能運算數學比例交換問題。」。三、在背景變項對數學推理能力表現影響之分析上，「喜歡數學的程度上」、「家中書籍的多少」及「將數學運用在日常生活上的態度」對五年級學生之數學推理能力有顯著影響；「性別」、「補習情況」、「喜歡數學的程度」、「學生學習數學的時間」、「學生學習數學的方法」、「家中書籍的多寡」及「將數學運用在日常生活上的態度」對八年級學生之數學推理能力有顯著影響。在背景變項對認知屬性分析上，「性別」、「喜歡數學的程度」、「學生學習數學的時間」、「家中書籍的多寡」及「將數學運用在日常生活上的態度」對五年級學生在認知屬性上有相關性的存在；「性別」、「家庭情況」、「補習情況」、「喜歡數學的程度」、「學生學習數學的時間」、「學生學習數學的方法」、「家中書籍的多寡」及「將數學運用在日常生活上的態度」對八年級學生在認知屬性上有相關性存在。 關鍵詞：數學推理能力、HO-DINA、測驗編製

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II

Abstract

Reasoning abilities are vital for both daily life and performance in school education. In this study, we developed a mathematical reasoning ability test, then analyzed its reliability and validity. We also employed the HO-DINA model as a basis to explore mathematical reasoning ability performance for overall students and the influence that various background factors had on the mathematical reasoning performance of students in grade five and grade eight. The findings of this study are shown as follows:

1. The Cronbach’sαreliability coefficient of the test proposed in this study is 0.91.

2. The mathematical reasoning ability of students i in grade five and grade eight show significant differences. The most deficient cognition attributes of the grade five students were Attribute 6; that is, the ability to calculate mathematical proportion exchange questions; and Attribute 9; that is, the ability to calculate mathematical proportion combination questions. The most deficient cognition attributes of the grade eight students were ; Attribute 4; that is, the ability to perform mathematical reasoning using mental rotation.; Attribute 6; that is, the ability to calculate mathematical proportion exchange questions. 3. Regarding the influences of various on background variables, the results indicate there are sign the reasoning abilities of grade five students’ in different enjoyment of mathematics, number of books at home, and attitude to applying mathematics in daily life showed significant differences ;similary, there are sign of grade eight students’ with different enjoyment of mathematics, gender, status of attending cram schools, spending much time in practicing mathematics, number of books at home, and attitude to applying mathematics

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III

in daily life.

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IV

目錄 ... IV 表目錄 ... V 第一章緒論 ... 1 第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 3 第三節名詞解釋 ... 4 第四節研究限制 ... 5 第二章文獻探討 ... 7 第一節數學推理的意義與重要性 ... 7 第二節數學推理的內涵 ... 10 第三節數學推理能力相關研究 ... 16 第四節認知診斷模型 ... 29 第三章研究方法 ... 35 第一節研究架構與流程 ... 35 第二節研究對象 ... 36 第三節研究工具 ... 40 第四節資料處理與分析 ... 46 第五節認知診斷模式建構... 47 第四章分析與討論 ... 53 第一節測驗的信效度分析... 53 第二節以HO-DINA模式分析學生在數學推理能力測驗的表現 ... 56 第三節學生的背景變項對數學推理能力測驗表現之影響 ... 61 第五章結論與建議 ... 107 第一節結論 ... 107 第二節建議 ... 113

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V

表目錄

表2-3-1 推理相關研究分類表 ... 20 表3-2-1 五年級學生預試樣本分配表 ... 37 表3-2-2 八年級學生預試樣本分配表 ... 38 表3-2-3 五年級學生正式樣本分配表 ... 38 表3-2-4 八年級學生正式樣本分配表 ... 39 表3-3-1 預試試題分配 ... 41 表3-3-2 試題難度鑑別度一覽表 ... 42 表3-3-3 難度分析摘要表 ... 43 表3-3-4 鑑別度分析摘要表 ... 44 表3-3-5 正式施測試題分配 ... 45 表3-5-1 認知屬性及其敘述對照表 ... 49 表3-5-2 Q矩陣對照表... 49 表4-1-1 模式適配度比較 ... 54 表4-1-2 試題難度鑑別度一覽表 ... 54 表4-1-3 難度分析摘要表 ... 55 表4-1-4 鑑別度分析摘要表 ... 56 表4-2-1 五年級及八年級學生能力獨立樣本 t 檢定 ... 57 表4-2-1 學生數學能力推理表現之敘述統計摘要表 ... 57 表4-2-3 不同表現水準下學生具備各認知屬性的百分比 ... 58 表4-3-1 五年級學生性別組別統計量 ... 61 表4-3-2 五年級學生不同性別獨立樣本 t 檢定 ... 62 表4-3-3 八年級學生性別組別統計量 ... 62 表4-3-4 八年級學生不同性別獨立樣本 t 檢定 ... 63 表4-3-5 不同家庭情況的五年級學生變異數同質性檢定 ... 63 表4-3-6 不同家庭情況的五年級學生ANOVA表 ... 64 表4-3-7 不同家庭情況的八年級學生變異數同質性檢定 ... 64

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VI 表4-3-8 不同家庭情況的八年級學生ANOVA表 ... 64 表4-3-9 五年級學生有無補習組別統計量 ... 65 表4-3-10 五年級學生有無補習數學獨立樣本 t 檢定 ... 65 表4-3-11 國中學生有無補習組別統計量 ... 66 表4-3-12 八年級學生有無補習數學獨立樣本 t 檢定 ... 66 表4-3-13 五年級學生學生喜歡數學的程度變異數同質性檢定 ... 67 表4-3-14 均等平均數的 Robust 檢定 ... 67 表4-3-15 Games-Howell 檢定多重比較 ... 67 表4-3-16 八年級學生學生喜歡數學的程度變異數同質性檢定 ... 68 表4-3-17 均等平均數的 Robust 檢定 ... 68 表4-3-18 Games-Howell 檢定多重比較 ... 69 表4-3-19 不同練習數學的時間對五年級學生變異數同質性檢定 ... 70 表4-3-20 不同練習數學的時間對五年級學生ANOVA表 ... 70 表4-3-21 不同練習數學的時間對八年級學生變異數同質性檢定 ... 70 表4-3-22 均等平均數的 Robust 檢定 ... 71 表4-3-23 Games-Howell 檢定多重比較 ... 71 表4-3-24 學習數學的方法對五年級學生變異數同質性檢定 ... 72 表4-3-25 不同家庭情況的五年級學生ANOVA表 ... 72 表4-3-26 八年級學生對學習數學的方法變異數同質性檢定 ... 73 表4-3-27 均等平均數的 Robust 檢定 ... 73 表4-3-28 Games-Howell 檢定多重比較 ... 73 表4-3-29 家中書籍的多寡對五年級學生的變異數同質性檢定 ... 74 表4-3-30 家中書籍的多寡對五年級學生ANOVA表 ... 74 表4-3-31 Scheffe 法多重比較 ... 75 表4-3-32 家中書籍的多寡對八年級學生變異數同質性檢定 ... 76 表4-3-33 家中書籍的多寡對國中學生ANOVA表 ... 76 表4-3-34 Scheffe 法多重比較 ... 76

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VII 表4-3-35 變異數同質性檢定 ... 77 表4-3-36 將數學運用在日常生活上對五年級學生ANOVA表 ... 77 表4-3-37 Scheffe 法多重比較 ... 78 表4-3-38 變異數同質性檢定 ... 78 表4-3-39 將數學運用在日常生活上對國中學生ANOVA表 ... 79 表4-3-40 Scheffe 法多重比較 ... 79 表4-3-41 背景變項對數學推理能力顯著性摘要表 ... 80 表4-3-42 五年級學生性別之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 81 表4-3-43 八年級學生性別之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 82 表4-3-44 國小學生不同家庭情況之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 83 表4-3-45 八年級學生不同家庭情況之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 84 表4-3-46 五年級學生不同補習情況之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 85 表4-3-47 八年級學生補習情況之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 87 表4-3-48 五年級學生喜歡數學的程度之數學推理能力認知屬性交叉表 . 89 表4-3-49 八年級學生喜歡數學的程度之數學推理能力認知屬性交叉表 . 92 表4-3-50 五年級學生學習數學的時間之數學推理能力認知屬性交叉表 . 93 表4-3-51 八年級學生學習數學的時間之數學推理能力認知屬性交叉表 . 95 表4-3-52 五年級學生學習數學的方法之數學推理能力認知屬性交叉表 . 97 表4-3-53 八年級學生學習數學的方法之數學推理能力認知屬性交叉表 . 98 表4-3-54 五年級學生家中書籍的多寡之數學推理能力認知屬性交叉表100 表4-3-55 八年級學生家中書籍的多寡之數學推理能力認知屬性交叉表102 表4-3-56 五年級學生數學運用在日常生活上之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 104 表4-3-57 八年級學生數學運用在日常生活上之數學推理能力認知屬性交叉表 ... 105 表4-3-58 背景變項對認知屬性顯著性摘要表 ... 106

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VIII

圖目錄

圖2-4-1 higher-order DINA模式反應架構圖 ... 33 圖3-1-1 研究架構圖 ... 35 圖3-1-2 研究流程圖 ... 36 圖3-5-1 正式施測試題測驗架構 ... 48

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第一章緒論

本研究主題是以 HO-DINA 模式(higher-order DINA model)為基礎的數學推理

能力測驗編製並以五年級及八年級為對象之研究。本章將說明本研究的研究動機、目的及研究限制，並對本研究所涉及到的名詞加以定義。

第一節研究動機

近年來，許多國家將數學推理能力列為重要議題，例如：NCTM (1989)「在學校數學的原則與標準」(principles and standards for school mathematics)把推理與證明列為課程評價(curriculum & evaluation)其中一項；National Assessment of Educational Progress (NAEP) (2003) 將數學能力劃分成三個向度，其中一項數學力(mathematical power)向度內也包含了推理能力。所謂的數學推理能力是解決數學問題所必需的能力，要解決數理問題，沒有數理推理是無法達成的（王文科，

1989）。Johan (2000) 指出，數學推理是一種合理性推理(plausible reasoning)，而

數學推理的基礎在於從學習環境而來的已建立的數學經驗。推理不僅能促進數學概念的理解，亦可以藉此去探索發現數學新知識 (Ball & Bass, 2003)。近年來我國也逐漸重視學生的推理能力，因此，在國民中小學九年一貫數學領域中提到：學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解，然後懂得利用推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑。並藉由課程目標的達成，來培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力，並能培養學生欣賞數學的態度及能力（教育部，2003），其中推論能力即包含了數學推理能力。綜合言之，不論是在日常生活中，或是學校的課業表現裡，推理能力都是一項相當重要的能力。PISA (the Programme for International Student Assessment)

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2 (2003) 在數學領域的評量中亦測驗學童是否能應用機率、空間及圖形、量化推理等的數學概念。Linda (1999) 指出應用數學能力時有三種考量，分別為問題解決、語言溝通及數學推理。亦即，數學推理能力能協助我們順利的使用及解決應用問題。有鑑於數學推理能力在數學教育的重要性，國內外已有許多學者投入推理能力的相關研究（張秀蓁，1996；黃幸美，2000；Reid，2002；陳亦媛，2003；唐慧娟，2003；劉春纓，2003；張筱珊，2004；李佩玟，2005；歐惠如，2006；張勝凱，2010；Szombathelyi,Szarvas，1998)，檢視這些文獻的成果可發現：大部分的推理能力研究仍著重於推理能力的調查、歷程因素及規範探討，而國內研究數學推理能力測驗編製的文獻相當少，並大多以傳統的測驗理論來進行測驗分析。然而一般傳統測驗理論，僅能提供學生在團體中的量尺分數，並無法顯現出學生是否精熟某種技能的訊息，進而幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵意，進行更有效率的學習。因此，Nichols (1994) 提出將認知科學 (cognitive science) 與心理計量學 (psychometrics) 結合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標的達成。Nichols 將這種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量。通常，認知診斷評量必須使用認知診斷模式來分析診斷測驗，才能了解學生是否精熟了某些概念。近年來，認知診斷模型已發展出相當多的模型，包括Fischer (1973) 提出的線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model, LLTM)、Tatsuoka (1983) 的規則空間 (rule space) 、 Junker 與 Sijstma (2001) 提出的兩個認知診斷模式： DINA模式 (deterministic input, noisy “and” gate model) 和 NIDA 模式 (noisy inputs, deterministic “and” gate model)、de la Torre 與 Douglas (2004)提出的 HO-DINA 模式(higher-order DINA model) 等。其中，HO-DINA 模式為高層次的心理計量模式，除了可診斷學生須具備的認知屬性上是否缺乏，同時亦能估算這些認知屬性所共同測量的高階層能力之量尺，很適合用來分析高階層的評量資料，並同時進行診斷。

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3 由於數學推理能力為高階層的能力，包含許多認知屬性，因此本研究套用階層式的認知診斷模式 HO-DINA 模式進行測驗編製與分析，如此一來，測驗的結果便能提供老師及學生更多的學習資訊，進而及時改善學生的學習，提升教學效能。相較於張勝凱（2010）使用 HIRT 模式建立國小六年級學童數學推理能力測驗，HO-DINA模式可直接估計學生在認知屬性(次級量尺)上有無的二元結果，而非連續的能力估計值，對於教學現場的教師來說，提供二元結果會比提供連續能力估計值，更有助於快速進行後續補救教學的決策，此外，由於先前的研究只以單一年級的學生做為研究對象，並未進行不同年級學生表現之比較，無法進一步了解國小高年級學生進入國中後數學推理能力之進展情形。故本研究以 HO-DINA 為計量模式，自編一份測驗工具，根據國內外文獻將數學推理能力分為三個向度（邏輯推理、空間推理、比例推理）及十個認知屬性，並透過 HO-DINA 模式探討五年級學生及八年級學生數學推理能力上的表現及不同背景因素對國中小學童在數學推理問題表現之影響。

第二節研究目的

壹、編製一份數學推理能力測驗並分析其信效度。貳、以 HO-DINA 模式為基礎探討全體學生在數學推理能力上的表現。参、透過 HO-DINA 模式探討不同背景因素對五年級及八年級學生在數學推理問題表現之影響。

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第三節名詞解釋

為能更清楚了解本研究之用語，將本研究所使用的相關特定名詞解釋定義如下：

壹、數學推理能力

將得到的數學訊息或概念經由推演、分析及驗證未知的數學概念的能力。本研究將數學推理能力分為邏輯推理、空間推理、比例推理三個向度做為試題設計及認知診斷模型的分析。

貳、HO-DINA

Torre & Douglas (2004) 延伸 DINA 模型，將屬性的機率分布加入IRT 模式，提出 HO-DINA (higher-order DINA) 模型。DINA 模型以二元計分試題來進行測驗，會依據受試者是否完全具備試題所測量的認知屬性，將受試者分為兩個類別，在理想的反應模式下，若完全具備時，應當答對該題；若缺少任一個認知屬性則會答錯，但是在實際的作答情形中，會受到粗心(slip)或猜測(guessing)的雜訊(noise) 干擾。而有別於 DINA 模型，HO-DINA 模型在認知屬性αi上再加上了高階層潛在特質θ_i的架構，使其可降低估計認知屬性的組合數量，同時也能達到參數的精準估計。故本研究當中的潛在特質θ_i為數學推理能力，並根據三種推理向度（邏輯推理、空間推理、比例推理）下劃分的十個認知屬性α_i。

参、背景變項

本研究所涉及的背景變項有八項，分別為：學生的性別、家庭情況、補習情況、喜歡數學的程度、學生學習數學的時間、學生學習數學的方法、家中書籍的多寡、將數學運用在日常生活上的態度等。

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第四節研究限制

由於考量試題數目與施測樣本數，因此施測方式採紙筆測驗，且正式施測題目皆為選擇題型；施測方式方面，雖有交代各班老師給予學生充足的作答時間，但因施測地點為各施測學校，因此無法確保施測情境之標準化；在評量架構方面，因推理能力涵蓋面向甚廣，有些能力無法有效地在此評量工具中測出，因此所得之結果不宜做過多的推論。研究取樣因地域限制，故所得的結果不宜做過度且廣域之推論。

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第二章文獻探討

本章根據研究目的加以探討，第一節介紹數學推理的意義與重要性，第二節介紹數學推理的內涵，第三節介紹推理的相關研究，第四節則介紹本研究使用的認知診斷模型。

第一節數學推理的意義與重要性

壹、數學推理的意義

推理 (reasoning) 是由判斷所組成（教育百科辭典，1994）。是按邏輯規範推理思考的歷程，亦即在解決問題時合理思考的歷程（張春興，1994）。Rosser (1994) 認為推理是由舊資料引出新訊息的思考歷程，個體須根據系統性的原則，在前提間建立起特殊關係。推理其特點是有過程、有目的；推理依據其目標而會採取特定的方式；推理屬於個人思考的一種心智活動（郭靜芳，1997）。它是屬於一種高層次的認知能力，它能協助個體清楚的知悉所處環境的因果事件（涂金堂， 1999）；也可屬於「學習遷移」的一種（林寶貴、張昇鵬，1993）。所以推理是一種動態的人類活動，也是一種心理活動，這種活動包括解決問題 (solve a problem)、想出某事 (think something out)。它有四個特點（張春興，1994）：

一、推理是有過程、有目的。二、根據推理目標而採取特定的推理方式。三、屬於個人。四、是一種心智的 (mental) 及內心的 (inward) 活動。因此，不論是在日常生活中，或是學校的課業表現裡，推理能力都是一項相當重要的能力。 Linda (1999) 指出應用數學能力時有三種考量，分別為問題解決、語言溝通

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8 及數學推理。亦即，數學推理能力能協助我們順利的使用及解決應用問題。更明確的說明，數學能幫助我們解決問題，及辨識一再重複發生的模式及主題，並將之運用於問題解決，即是數學推理的具體表現。Johan (2000) 指出，數學推理是一種合理性推理 (plausible reasoning)，而數學推理的基礎在於從學習環境而來的，已建立的數學經驗。推理不僅能促進數學概念的理解，亦可以藉此去探索發現數學新知識 (Ball & Bass, 2003)。王文科（1989）亦指出，數理推理是解決數學問題所必需的能力，要解決數理問題，沒有數理推理是無法達成的。TIMSS (2003) 指出數學推理是具有邏輯與系統化思考的能力，它包含在原有的模式與規則下進行直觀與歸納的推理，以解決非例行性的問題。

貳、數學推理的重要性

近代課程改革也對學生的數學推理能力相當重視，美國的 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000) 指出推理和證明是數學的基礎。在推理和證明標準的內容提到數學推理和證明是發展和表現人們對廣闊現象最有力的認識方式，並列出了四個目標，期望學前到十二年級的教學內容應使學生能夠認識到推理和證明是數學的基本內容、建立和探究數學的臆測、發展和評估數學的論證和證明、選擇和使用不同類型的推理與證明的方法。近年美國國家研究院

(National Research Council, 2001) 的研究報告也指出，學生的數學能力就如同五種相互交織的繩索，五種能力必須同時地、統整地發展，方能成就其功能。這五種數學能力包括：概念的理解、流暢的運算能力：選擇策略的能力、適當的推理能力及具生產力的數學性向。匈牙利亦進行數學課程改革，改革過程中非常強調數學推理能力的培養。在匈牙利的課程中談到教學應著重於促進學生的思考技巧，藉由強調分析、比較、歸納、具體化技巧的加強，去促進系統化、經驗與連結的技巧，或在日常生活中應用模仿、推理、演繹和問題解決（林宜臻、林沂昇，2007）。香港的課程指出數學科的學習總目標為：通過學習數、度量、代數、圖形與空間及數據處理的知

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9 識、概念及技巧程序，增強學生在探究、傳意、推理、構思和解決問題等學習及運用知識的能力（香港課程發展議會，1994）。由此可見，香港亦將推理能力視為重要的能力之一，也期望學生能透過學習數學來促進這方面的技能，以及期望學生能運用這些學習策略去汲取更多數學知識。此外，丹麥數學家Niss 在 2003 年提出有關於能力與數學學習的計畫，其中談到精通數學就是指擁有數學能力。數學能力即是在不同數學活動的情境脈絡下，瞭解、判斷、實做與使用數學的能力。在 Niss 指出的八項數學能力中，數學推理的能力亦是其中一項觀點內容，包含 (Niss, 2003)：一、能理解別人論證的條理，並能評估該論證是否有效。二、知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同。三、能從論證的條理中找到基本的想法。四、能將直觀論證轉化成有效的證明。

NCTM (1989)「在學校數學的原則與標準」 (principles and standards for school mathematics) 把推理與證明列為課程評價 (curriculum & evaluation) 其中一項，包含：一、能察覺並應用歸納及演繹推理。二、能使用模式、已知事實、性質及關係解釋自己的思考。三、能解釋答案及解答過程。四、能使用樣式和關係分析數學情境。五、能創造並評估數學臆測與數學推論。

National Assessment of Educational Progress (NAEP) (2003) 則將數學能力劃分成三個向度，分別為內容向度 (content strands)、數學能力 (mathematical abilities) 與數學力 (mathematical power)。其中，數學能力分為三種類型：概念的了解

(conceptual understanding) 、程序性知識 (procedural knowledge) 及問題解決

(problem solving) 另外，數學力也分為三種類型：推理 (reasoning) 、溝通 (communication) 及連結 (connections)。

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10 我國九年一貫課程綱要旨在培養學生帶著走的能力，而九年一貫課程（2003）數學學習領域也於綜合基本理念及課程目標中所強調四種數學能力：演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。由此可以看出推理能力在國內數學課程的重要。另外，在數學內容的五大主題中之連結主題亦提及國中小學生須具備下列的基本能力：「C-S-03能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。」及「C-S-04能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。」，其中推理能力亦包含於當中。由上述可知，各國對於數學推理能力的培養皆相當重視，因此，在數學課程中都將推理能力視為學生該具備的能力之一。然而，由先前的文獻可發現，對於推理的定義眾說紛紜但都大同小異，因此本研究綜合幾種說法將推理定義為解決日常生活問題上的一種心理活動，而數學推理能力即是將得到的數學訊息或概念經由推演、分析及驗證未知的數學概念的能力。換言之，本研究所指的數學推理能力是指將推理能力運用在數學邏輯、空間、及比例上的歷程。

第二節數學推理的內涵

由於本研究目的在編製數學推理能力測驗，因此在測驗編製之前須先針對欲測量之特質-數學推理能力進行內涵分析，以下便依據所收集的文獻來分析數學推理能力的重要內涵。

壹、何謂推理

張春興（1992）把一般性的推理概分為演繹式推理、歸納式推理與捷徑式推理。所謂演繹式推理是在已知的原理原則或條件下，並依照此條件的限制，所進

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11 行的推理歷程；歸納式推理則是從許多實際的事例中找出共通的特徵或原則來，而這些推論出來的特徵或原則並非絕對的，只能說為幫助思考的依據；捷徑式推理則是在問題的情境中，根據過往的經驗，所進行的跳躍式邏輯思考來進行推理，在有限的時間下，經驗老道的人使用會有事半功倍的效果（張春興，1992；涂金堂，1999）。郭靜芳（1997）則指出十二歲至成年的推理能力有六類分別為控制變項、相關推理、組合推理、機率推理、比例推理及守恆能力。控制變項是指系統內正確的改變自變項，在其他變項保持不變之下，觀察依變項的思考方式；相關推理是指斷定變項間的相互關係之思考方式，以建立變項間關係的思考歷程；組合推理是指適當的提取元素，使其成為組合狀態，並找出所有組合狀態的思考方式；機率推理是指判斷某個體在群體中被抽取的機率為多少的思考方式；比例推理是指呈現兩對應數值間的關係，改變其中之特性時，判斷所呈現的另外對應值間，關係仍保持不變的思考方式；最後守恆能力是指系統的關係經過改變後，系統的特性仍保持不變。此外，陳素玲（2002）亦將推理的方式加以分類，分為類比推理、對話推理、歸納推理、演繹推理、評估推理與整合推理等六種。而這些推理思考的方式，常是在科學探究期間，經常發生的思考歷程（ Hongan & Keller, 1996；陳素玲，

2002）。

貳、推理思考運作之歷程

Polya (1981) 在數學發現這本書中曾提出解題者的思維的過程 (The Working

of the Mind)。他將思維的過程區分為以下十二個部分（引自趙旼冠、楊憲明，2006）：

一、能覺察到問題的存在。二、能尋找關連性 (relevancy)。三、能覺察成功解題的機會 (proximity)。四、能預見解題的方向及答案的輪廓 (prevision)。五、能尋找範圍 (region of search)。六、決斷 (decisions)。七、動員與組織 (mobilization and organization) 。八、辨認與回憶 (recognizing and remembering) 。九、充實

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(supplementing) 。十、重組 (regrouping) 。十一、分離與結合 (isolation and combination)。十二、局部提示整體，即意指建立起符合解題需要的聯想聯繫。在這十二個部分中，說明解題者的思維運作，同時也包含了數學推理的本質和模式。此外，根據思考路徑的不同，從邏輯的角度觀之，又可將推理主要分為歸納推理 (inductive reasoning) 、演繹推理 (deductive reasoning) 及類比推理 (analogical

reasoning)及非正式推理（黃秀瑄、林瑞欽，1991；張玉成，1998）。

参、推理思考之模式

Hongan 和 Keller (1996)將推理思考模式分為以下六種：一、分析的推理 (analytical reasoning)。二、類比的推理 (analogical reasoning)。三、對話的推理 (dialogical reasoning)。四、推論的推理 (inferential reasoning)。五、評估的推理 (evaluative reasoning)。六、整合的推理 (integrative reasoning)。TIMSS-2003 中則提出所謂的數學推理是指具有邏輯與系統化的能力，其數學推理分為：一、臆測 (hypothesize/conjecture/predict) 研究一個模式，討論一個想法或提出模型，解釋資料，說明一個數、模式或量的結果之前，根據一些操作與經驗做一適當的猜測。二、分析 (analyze) 描述變數和實物間的關係並將之定義；從分析統計資料，分解幾何圖形，簡化以解決問題，到畫出簡單的概念圖，也就是從已知的資料中做有效的推論。三、批判 (critique) 對一個關於數學的想法、臆測、問題解決策略、方法、證明等，共同討論並批判之。四、一般化 (generalize) 以更一般化或更適合的詞來重新敘述數學思考與解決問題的結果，來擴

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展數學式思考和解題結果的範圍。五、綜合/整合 (synthesize/integrate)

結合不同數學程序來建立結果；結合這些結果來產生更深一層的結論。六、解決非例行性的問題 (solve Non-routine problems)

使用數學的程序來解決一些學生平日較不熟悉的數學或真實生活中的問題。七、辯證 (justify) 參考數學的結構或屬性，證明某一行動或言論的真實性；根據相關資訊，提出數學的評論，以證明一個陳述是否正確。八、證明/否證 (prove/disprove) 藉著給一相關資訊，發展數學辯論來證明或否證命題。九、引出結論 (draw conclusions) 從得到的資訊中作出有效的推論。而洪瑞鎂（2001）將學生數學表現的期望分為概念理解、過程知識、解題能力三類。其中解題能力是學生連結所有的概念、程序、推理和溝通技巧的數學知識，而解題能力的內容為：一、推理與分析的能力。二、能認清問題並能用數學式表示。三、能判辨資料的充分性和均質性。四、能使用策略、數據、模型。五、能產生、修訂、充實過程。六、能判斷問題答案或方法的正確性。七、能空間推理、歸納推理、演繹推理、統計推理及比例推理。

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肆、推理能力相關教材

根據九年一貫課程目標的達成，可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法；奠定高中階段的數學基礎，並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力（教育部，2003）。其中，第三階段（國小五至六年級）：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算；能製作簡單的統計圖形。及第四階段（七至九年級）：在數方面，能認識負數與根號數之概念與計算方式，並理解坐標表示的意義。代數方面則要熟練代數式的運算、解方程式，並熟悉常用的函數關係。幾何方面要學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推理。能理解統計與機率的意義，並認識各種簡易統計方法。由於，本研究只針對五年級及八年級之學生，因此，未把九年級才會學到的統計推理放在推理能力內，只針對邏輯推理、空間推理及比例推理加以探討。其中，邏輯推理包含在「數與量」能力指標中，「N-4-13：為辨識數列的規則性」及「N-4-14：為能熟練等差數列與等差級數的樣式、記法與公式，並解決相關問題」；在「代數」能力指標中，「A-4-01：能用符號代表數，表示常用公式、運算規則以及常見的數量關係」。空間推理之於數學五大主題「幾何」能力指標中，對幾何形體概念的相關能力指標有「S-1-01：能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。」、「S-1-02：能描繪或仿製簡單幾何形體。」、「S-4-01 能理解常用幾何形體之定義與性質。」、「S-4-04：能利用形體的性質解決幾何問題。」、及「S-4-13：能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形)與正多邊形的幾何性質。」。比例推理之於數學五大主題「數與量」能力指標，其相關能力指標有「N-3-14 能認識比率及其在生活中的應用。」及「N-3-15 能認識比、比值與正比的意義，並解決生活中的問題。」（教育部，2003）。

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15 根據以上的論述，可發現數學推理可以往下細分成很多能力；如歸納推理能力、空間推理能力等。因此本研究根據以上的整理，將數學推理分類為：邏輯推理能力、空間推理能力、及比例推理能力。並以此為基礎編製數學推理能力測驗，而透過 HO-DINA 模式了解數學推理能力及邏輯推理、空間推理、比例推理的關係。一、邏輯推理能力：邏輯是指對某些已知的跡象，根據一般原理原則推循可能導致的結果，因此，邏輯思考活動是一種尋求因果關係的心理歷程。邏輯推理可分為兩種類型，即演繹 (deducative) 推理與歸納 (inductive) 推理（張春興，1994；劉福增，1996、1998；Hunt & Pellegrino, 1984； Rips, 2001）。演繹推理就是依邏輯規則來推得事實，結論是必然，所以也稱為必然推理（葉秋呈、辛靜宜，2007）。歸納推理就是前提和結論的聯繫是非必然性，大多是觀察或實驗所得的結論（高哲翰，2002）。故本研究所指的邏輯推理能力是包含演繹推理及歸納推理。

二、空間推理能力：Linn 與 Petersen (1985) 將空間能力分為空間知覺 (spatial perception) 、心智旋轉 (mental rotation) 與空間視覺 (spatial visualization) 三項。空間知覺 (spatial perception) 指個體利用自己身體的方位去辨識空間關係之能力；心智旋轉 (mental rotation) 指個體能想像旋轉二維 (2D) 或三維 (3D) 圖像之能力；空間視覺 (Sspatial visualization) 指個體能操作一連串複雜影像折疊與移動及使用解決策略之能力。故本研究所指的空間推理能力是關於國中小學生在2D及3D的空間概念上的應用，包含空間知覺、空間視覺及心智旋轉。三、比例推理能力：Lamon (1993) 將比例問題分為熟知的量數、部份─部份 ─全體、聯想的集合、擴大縮小四種類型，國內數學實驗課程教師手冊

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16 依照語意的差異將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題、密度問題四種類型，沈明勳、劉祥通（2002）綜合國內外的分類方法，把比例問題分為五類，分別為交換問題、母子問題、組合問題、密度問題及伸縮問題方面。本研究指的比例推理能力是指國中小學生在解決交換、母子、組合、密度及伸縮方面的比例問題。

第三節數學推理能力相關研究

壹、國內外推理能力相關研究

有關推理能力國內外有許多相關研究，以下根據研究內容將推理相關研究分為推理測驗編製、推理因素探究、推理能力探究及推理規範探究，其介紹如下：一、有關測驗編製方面張秀蓁（1996）編製一份適用於國小四年級至國中三年級的推理能力測驗，建立常模及信效度考驗，將推理能力分為語言、數量及圖形三個部分，研究結果指出在六個年級裡男女生的推理能力沒有顯著差異，但國中二、三年級數學推理能力的部分，男生顯著優於女生。張勝凱（2010）使用 HIRT 模式建立國小六年級數學推理能力測驗，驗證 HIRT 模式是否可以應用於數學推理能力測驗，透過 HIRT 模式了解數學推理能力中歸納推理、空間推理、比例推理間的關係，並比較 HIRT、MIRT 及 UIRT 模式，其結果顯示 HIRT 模式分析較佳，顯示數學推理能力測驗中數學推理能力與空間推理的相關較高。二、有關推理因素探究方面張美玉、吳玉明（1999）針對不同學習型的學生在課堂推理表現中，以積極主動型的學生在預測、解釋與推理能力方面表現最佳，其次是審慎

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17 思考型的學生。影響學生預測、解釋以及推理能力的因素有包括教師的引導、舊經驗的影響、和同儕相互辯證的結果、閱讀課外書籍的有無、個人意願以及分組討論的結果。研究發現影響學生預測、解釋以及推理能力的因素有：教師的引導、舊經驗的影響、和同儕相互辯證的結果、閱讀課外書籍的有無、個人意願及分組討論的結果。唐慧娟（2003）探討國小高年級學童在解題歷程中所表現出的解題策略與推理思考能力，以個案分析的方式進行，選取不同年級、族群與學業成績的四位學童，進行四個非例行性活動的個人與小組合作解題。研究指出學童在圖形的分析上表現較好，對於操作的活動則普遍表現較差。劉春纓（2003）探討國小高年級學童在進行類比推理時的心理歷程、類型、理論模式，並對學童的日常生活背景因素分析與探討。研究發現：國小高年級學童不因性別的不同而在類比推理能力上有顯著差異，且不因年級不同而在非語文類比推理能力、類比推理能力總分表現上有顯著差異；但卻因年級不同而在語文類比推理能力上有顯著差異，不同城鄉別的學童在類比推理能力上皆有顯著差異。國小高年級學童的學業成就越高，其類比推理能力亦越高。顯示出高年級學童之學業成就是類比推理能力相關之因素之一。三、有關推理能力探究方面魏金財（1987）瞭解兒童處理比例問題的解題策略，以及解題策略隨生長而變遷的情形。研究結果發現，在相同的比例問題中，得分隨年齡而增加，但解題策略除在六年級發展出比例公式型外，其餘各類型解題策略並未隨年齡之變化而有差異。Szombathelyi 和Szarvas (1998) 鼓勵學童使用演譯的和歸納的推理，說明反例與反證法，並讓學童做臆測，試著讓他們證明他們的想法，真假問題的判定並且檢驗有瑕疵的錯誤論證，這些都會令學童的概念提升。

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18 黃幸美（2000）探討兒童有否參與解題討論，對於其類比推理解決問題特徵相似性不同的問題表現之影響。兒童參與解題討論者，在解決表面與結構特徵皆相似的問題上，類比推理表現優於無參與討論的兒童;但是在解決表面特徵相似但結構特徵不相似的問題上，則兩組兒童未具顯著差異。在推理解題表現方面，接受不同教學方式的兒童於充分理解來源問題基模以後，其類比推理解題表現皆無顯著差異。王欽麟（2002）探討多元文化族群國小四年級學童，其長度與面積保留概念發展之情形，並了解學童正確的答題策略及犯錯的類型與可能原因，最後整理出長度與面積保留概念涉及「位置」、「方向」、「形狀」等改變要素及其在多元文化族群學童之發展順序。Reid (2002) 發現推理的類型包含檢驗規則，反駁一個隱含的臆測，排除例外導引到一般化。首先第一類型，學生可藉由類型的觀察去做出臆測，並藉由臆測去做出假設，在假設之後由例子來做驗證，例子要是成立變形成一般化；第二種類型則是學童在一般化當中找到一個特殊的例子，並藉由這個特殊的例子進行觀察並臆測，檢驗之後若矛盾則得到一個反例，在排除這個反例之後再將原本的臆測導向一般化；第三種類型則是學童觀察類型之後，除了包含前二種類型之外，會在矛盾之中再產生新的臆測並加以歸納。陳亦媛（2003）減低推理時的認知資源負擔及讓推理者進行與後設認知相關的活動，來提升並檢驗兒童在歸納推理歷程中不同階段的表現。認為認知資源的負擔大小與兒童的證據處理能力有關，當推理時所耗費的認知資源較低時，兒童展現出較佳的證據處理能力。陳滿（2003）指出大部分的學生推理時都偏重於使用單一種算式，其中學童使用的算式乃以加減法佔大多數。並說明在國小五年級男、女學童的推理能力並沒有太大的表現差異。張筱珊（2004）探討國小學童的演繹邏輯推理能力的表現情形，不同性別、年級、城鄉別的國小學童演繹邏輯能力的表現情形。指出國小男、

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19 女學童在邏輯三段論推理及各題型的表現均無顯著差異，但在不同城鄉別學童在演繹邏輯推理的表現有顯著差異國小學童在演繹邏輯推理的表現與數學科和自然科成績的都達到顯著的正相關。黃子千（2006）探究國小六年級學生在樣式推理能力、數學創造力上之表現。黃秀青（2006）透過三種電腦益智遊戲的解題活動，瞭解學童推理思考能力的運用情形，研究發現：當情境複雜時，運用分析推理解題；當有相似的情境，運用類比推理解題；當情境複雜、有相互影響的情形，運用演繹推理解題；當要找出很多資料的共通性時，運用歸納推理解題；當情境要兼顧許多條件時，運用整合推理解題。林浚傑（2007）是探討國小學童平面視覺空間能力之現況，並據以瞭解不同年級學童間的差異情況。測驗內容包括圖形旋轉、圖形鏡射、類比推理和歸納推理四種基本面向。張世強、洪碧霞（2010）在利用電腦多媒體的優勢及認知成份分析的明確架構，發展電腦化圖形推理測驗。歐瑞蘭（2010）探討國小六年級學童在不同性別、居住環境、語文理解能力和空間視覺化成就等變因下，對空間能力的表現情形。四、有關推理規範探究方面李佩玟（2005）建立一套數列推理解題之認知歷程操弄「數串個數」、「數串性質」及「項次階差二大關係」。歐惠如（2006）透過實地參與教室觀察的方式，蒐集相關資料，藉以瞭解在數學課室討論文化下，數學推理規範的形成、學生數學推理及教室的數學推理實踐的面貌。發現數學推理規範與社會數學規範有相互影響的關係。黃雅惠（2007）是在數學課室討論文化的環境中，探討四年級學生形成的數學推理規範，並觀察推理規範與學生學習乘除法概念的關係。蘇泱因、蔡文煥（2009）探討課室討論文化中，教師如何發展推理規範之情形，以及推理規範對學生推理歷程發展的影響為何。

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20 根據上述可知，在數學推理能力測驗編製方面國內的相關研究很少，張秀蓁（1996）利用古典測驗編製國小四年級到國中三年級的推理試題，其中包含數學推理能力，測驗目的是為了對於特殊學生的篩選診斷提供參考，但並非對數學推理能力多加探討。張勝凱（2010）利用 HIRT 編製國小六年級學童數學推理能力測驗，但測驗內容只針對國小六年學童，並未能涵蓋國中學生之能力測驗，且此研就只針對 HIRT、MIRT 及 UIRT 進行模式的比較，並未診斷學生的認知屬性，無法立即提供教學現場的老師學生的能力有無之資訊。因此，本研究利用 HO-DINA 編製適用於五年級至八年級的數學推理能力測驗試卷，並比較五年級及八年級學生數學推理的能力差異。茲將推理相關研究整理如表 2-3-1： 表 2-3-1 推理相關研究分類表 研究主題研究者(年代) 研究結果推理測驗編製國民中小學學生推理能力測驗編制之研究張秀蓁（1996）六個年級裡男女生的推理能力沒有顯著差異，但國中二、三年級數學推理的部分，男生顯著優於女生。使用HIRT 模式建立國小六年級學童數學推理能力測驗張勝凱（2010）編製一份國小六年級學童數學推理能力測驗，將推理能力分為歸納推理、空間推理及比例推理，並比較 HIRT、MIRT 及UIRT 模式。研究結果指出HIRT 模式顯示數學推理能力與空間推理的相關較高的分析結果也較佳。 (續下頁)

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21 研究主題研究者(年代) 研究結果能力探究兒童比例推理能力探討魏金財（1987）研究結果發現，在相同的比例問題中，得分隨年齡而增加，但解題策略除在六年級發展出比例公式型外，其餘各類型解題策略並未隨年齡之變化而有差異。推理能力探究兒童問答討論解決類比推理問題之探討黃幸美（2000）兒童參與解題討論者，在解決表面與結構特徵皆相似的問題上，類比推理表現優於無參與討論的兒童;但是在解決表面特徵相似但結構特徵不相似的問題上，則兩組兒童未具顯著差異。在推理解題表現方面，接受不同教學方式的兒童於充分理解來源問題基模以後，其類比推理解題表現皆無顯著差異。多元文化族群國小四年級學童長度與面積保留概念之比較研究王欽麟（2002）性別對學童長度與面積保留概念表現有顯著差異，女生優於男生; 族群對學童長度與面積保留概念表現有顯著差異，閩南學童優於原住民學童，客家學童也優於原住民學童且學童的數學成就對其長度與面積保留概念表現有顯著影響，高數學成就學童優於低數學成就學童。 (續下頁)

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22 研究主題研究者(年代) 研究結果推理能力探究兒童歸納推理能力探究--影響兒童證據與假設協調能力的可能原因與解決之道陳亦媛（2003）認知資源的負擔大小與兒童的證據處理能力有關，當推理時所耗費的認知資源較低時，兒童展現出較佳的證據處理能力。國小五年級學童數學推理能力之研究~以BBS 為工具陳滿（2003）學童在本活動中，不論是數字題或圖形題，較常使用的推理模式皆以尋找項次之間的差距以及尋求乘法表為最多；而在圖形題方面，當圖形的黑點排列的方式較為工整，可將其視為四方形時，使用乘法表推理的次數更多。國小學童演繹邏輯推理能力之研究張筱珊（2004）研究指出國小男、女學童在邏輯三段論推理及各題型的表現均無顯著差異，但在不同城鄉別學童在演繹邏輯推理的表現有顯著差異國小學童在演繹邏輯推理的表現與數學科和自然科成績的都達到顯著的正相關。 (續下頁)

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23 研究主題研究者(年代) 研究結果推理能力探究國小學生樣式推理與數學創造力之研究（以國小六年級學生為例）黃子千（2006）發現學生於樣式推理能力表現，以數字推理能力最優異，圖形推理能力與形數推理能力次之;數學成就高者在圖形推理能力、數字推理能力、形數推理能力、樣式推理能力、流暢力、變通力及數學創造力的表現，均優於數學成就低之學生。電腦益智遊戲與國小學童推理思考過程之研究黃秀青（2006）國小六年級學童已有分析推理、類比推理、演繹推理、歸納推理、評估推理、整合推理等六種推理能力，並且學童大多能運用各種推理能力來解決電腦益智遊戲問題，而少數表現較差的學童只有類比推理和歸納推理的運用。國小學童之平面視覺空間能力研究林浚傑（2007）探討國小學童平面視覺空間能力之現況，發現國小學童平面視覺空間能力表現情形不佳，在不同年級間的平面視覺空間能力有顯著差異存在，而且會隨著年級的增加而越來越高；國小學童平面視覺空間能力分別與數學、國語學業成就均呈現正相關。 (續下頁)

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24 研究主題研究者(年代) 研究結果推理能力探究認知成份依據的電腦化圖形推理測驗發展張世強、洪碧霞（2010）利用電腦多媒體的優勢及認知成份分析的明確架構，發展電腦化圖形推理測驗。研究指出問題解決歷程若知覺組織的辨識困難，將對學生構成明顯的認知負荷。國小六年級學童空間能力與問題表徵之相關研究歐瑞蘭（2010）探討國小六年級學童在不同性別、居住環境……等變因下，對空間能力的表現情形。研究指出空間視覺化能力越高的學童，在空間文字推理和空間圖像推理測驗的得分也越高。推理因素不同學習型態學生學習表現的探討-解釋推理及問題解決能力張美玉吳玉明（1999）探討建構取向的教學中不同學習型態學生在解釋推理及問題解決能力的學習表現。研究發現影響學生預測、解釋以及推理能力的因素有：教師的引導、舊經驗的影響、和同儕相互辯證的結果、閱讀課外書籍的有無、個人意願及分組討論的結果。國小高年級學童解題與推理思考能力相關因素之個案研究唐慧娟（2003）研究指出學童在圖形的分析上表現較好，對於操作的活動則普遍表現較差。 (續下頁)

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25 研究主題研究者(年代) 研究結果推理因素國小高年級學童類比推理能力及其影響因素之研究劉春纓（2003）研究發現：國小高年級學童不因性別的不同而在類比推理能力上有顯著差異，且不因年級不同而在非語文類比推理能力、類比推理能力總分表現上有顯著差異；但卻因年級不同而在語文類比推理能力上有顯著差異，不同城鄉別的學童在類比推理能力上皆有顯著差異。國小高年級學童的學業成就越高，其類比推理能力亦越高。顯示出高年級學童之學業成就是類比推理能力相關之因素之一。推理規範及歷程國小六年級學童發現數列樣式的推理歷程之分析研究李佩玟（2005）建立一套數列推理解題之認知歷程：編碼→發現樣式→應用∕類化 →反應，然後以兩個實驗結果來支持發現樣式階段中『單位化』、『計算與推論』、『映射』步驟之存在。研究結果發現複合數列較單一數列難，但複合數列兩種題型無顯著差異，策略部分發現複合數列的解題使用分群策略較鄰近策略更能正確解題。 (續下頁)

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26 研究主題研究者(年代) 研究結果推理規範及歷程數學推理規範發展下對三年級學生數學推理歷程之探究歐惠如（2006）闡述數學推理規範的形成，分為「藉由已知推論未知」和「尋找數學關係」兩大類；探討在數學推理規範的影響下，學生產生四種數學推理，分別為：確認公共知識作為推論的基礎、證明、提出具體事例加以反駁和使用個案作推論；歸納在課室討論的活動中，所產生的數學推理實踐。數學推理規範對四年級學生乘除法概念學習關係之研究黃雅惠（2007）研究發現數學推理規範的形成方式與社會規範、社會數學規範的形成方式類似，且與社會數學規範有相關性。探討國小教師發展數學推理規範以促進學生的推理歷程蘇泱因蔡文煥（2009）教師在課室中發展許多推理規範，而這些推理規範之形成對學生的數學學習確實有相當大的影響。由研究中發現：使用已學過的數學知識作為說明的依據；使用的方法必須要先能說服別人方可使用當已證明過的知識，範圍擴大時，必須重新證明其正確性。

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貳、推理能力的背景變項相關研究

國內外研究學者對於影響推理能力之背景因素著墨不多，大多以年齡及性別做探討，故以下針對推理能力在不同年齡、性別及其他背景變項之研究結果進行綜合分析。一、不同年齡的推理能力 Shemesh (1990) 指出人類推理能力屬於較晚發展完成的。張春興（1989）指出學齡年的兒童（三至六歲）：兒童思考多半靠直覺判斷，對顏色、形狀、重量、體積等概念已稍具概念。小學階段（六至十二歲）：思考漸趨合理並能做抽象推理。中學階段（十二至十八歲）：本階段的學生多半能抽象思考，也可運用文字符號為思考工具。根據李丹（1989）的觀點，學齡前及小學低年級兒童：抽象概念、邏輯及自覺性較不好，學齡前的兒童較以直接觀察到的表象作為因果關係推論。小學中年級兒童：開始出現根據前提進行推理的能力，但還不能純粹地按命題來進行推導，往往受具體實際的知識經驗干擾。此時兒童雖然能根據前提進行推理，但是當結論與實際不符時，兒童還是會根據實際狀況修正推理結果。小學高年級兒童：開始能按前提之間的邏輯關係來推導，並擺脫實際經驗與既有觀念的干擾。在學者實際調查的研究方面，黃曼麗（1980）的研究指出多數國中學生認知發展均在具體運思期及過度期內，而國中二、三年級學生推理表現方面並無顯著差異。黃湘武等（1985）指出國中生的推理能力有明顯的個別差異，僅約有50％達到形式運思期。周台傑（1985）更指出有90％的國中生停留在具體運思期的階段。Bitner-Corvin (1989) 亦發現國小六年級至高中一年級學生大部分都未表現出形式運思推理的功能，不過學生在國一結束前明顯地從具體運思推理轉變到形式運思推理；Ward 與 Overton (1990)的研究則認為：雖然國小六年級至高中三年級學生的推理表現呈現逐漸進步的情形，但只有約16％的小學六年級學生及80％的

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28 高三學生提升到形式運思期。林寶貴等（1995）發現對三至七歲的兒童來說，各項普通推理能力會隨著兒童的年齡而有逐漸增長的趨勢，但對八至十歲的兒童各項普通推理能力並沒有顯著的差異。洪麗晴等（1998）研究指出，不論學童的性別與籍別，六年級學童在非文字普通能力測驗的校對、方塊與辨認等向度上的表現，皆一致顯著高於四年級學童的表現。二、不同性別的推理能力在樣本多且具代表性、評量工具客觀的情況下，男女之間的智力不會有顯著的差異，但在發展速度方面則會有所不同。一般而言，男女生長發展時期不一，在智力測驗上所獲致的分數方面，青春期前女性發展速度略優於男性；青春期後則呈現男優於女的傾向（陳李綢，1992）。在實際調查研究，黃曼麗（1980）研究指出在國中學生推理方面，性別變項並未造成顯著性的差異；Nolan 與 Brandon (1984) 的研究則認為：男女兩性的推理能力表現並未存有顯著的差異；不過，黃湘武等（1985）研究指出推理能力有性別上的差異。三、其他背景變項對推理能力之影響 White, K. (1997) 從一百篇有關家庭社經地位與學業成就關係的研究中，發現兩者確有相關存在。石培欣（2000）指出國中生的家庭環境、同儕關係與學業成就之間是兩兩相關的。洪川富（2008）在國中二年級，學生數學家庭作業完成時間與教師指派數學家庭作業頻率，對學生數學學習成就皆有正向的影響。.在國小四年級，學生數學家庭作業完成時間與學生數學學習成就為負相關；教師指派數學家庭作業頻率與學生數學學習成就之間為正相關，但並不顯著。孫清山、黃毅志（1996）研究發現顯示，在台灣地區對於教育之影響主要透過下列三個中介變項：接受補習教育之份量、是否唸書時要為家裡賺錢或做工、家庭讀書環境。臺灣學生學習成就評量資料庫（2010）指出喜愛數學的程度與學習數學的自信心兩變項間呈現高度正相關。

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29 根據 2007年臺灣學生學習成就評量結果之分析結果發現，各年級學生若是表示愈喜歡學習該科目、對該科目有信心、或自覺只要努力就能學好各科目的話，則其學習成就表現亦皆相對較佳。顯示學生的父母親婚姻關係愈良好（如：兩人均居住在一起）、家庭結構愈完整（如：學生目前是與父母親同住在一起）者的各科學習成就表現，顯著地比父母親婚姻關係愈不良（如：離婚、或其中1至2人已去世）、家庭結構愈不完整（如：單親家庭、隔代教養家庭、或寄親家庭）者的各科學習成就表現較優。國小階段的學生作業時間，係以「30分鐘以內」（針對四年級學生而言）至「30分-1小時」者（針對六年級學生而言）的表現較佳；而作業時間過長或不足者，皆無法相對提高其學習成就表現。而對國中學生而言，則以「30分-1小時」至「1-2小時」者表現為佳（曾建銘、陳清溪，2007）。根據上述，雖然學者對特定年齡、性別學生的推理能力表現皆有不同看法，但仍可看出，年寧越高的學童在推理能力上的表現會比低年齡的學生來的好；然而在其他背景變項的對其推理能力的影響則各有不同的研究結果。因此，本研究亦將針對不同年級、性別、家庭情況、補習情況、喜歡數學的程度、學生學習數學的時間、學生學習數學的方法、家中書籍的多寡、將數學運用在日常生活上的態度等背景變項對數學推理能力的影響進行深入探討，並與先前之結果逕行驗證。

第四節認知診斷模型

認知診斷模型（cognitive diagnostic models, CDMs）是一種結合認知科學與心

理計量學的方法。認知診斷測驗的發展，對教育實務問題有重大的意涵與啟示，不僅可以替教師找出學生在學習上產生偏差的原因所在，以便教師針對學習產生落差之處即時進行補救，還可以節省補救教學時間和增進教學效果（余民寧，1995；涂金堂，2003）。近幾年許多研究皆以此模式進行探討，主要是因為美國的「沒

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有落後的孩子」法案（No Child Left Behind, 2002），簡稱NCLB，其法案要求美國全國3-8年級的學生每年必須接受各州政府的閱讀與數學會考，而考試的目的在於能夠診斷出學生在閱讀與數學的各項概念或認知屬性是否達到精熟狀態，當然也提供了學生優缺點分析的訊息(Huebner, 2010)。不同於試題反應理論 (Item Response Theory,IRT) 只用廣義的潛在特質來代表受試者能力，在認知診斷模型中，受試者的認知屬性的分數向量常以α = {α_i1, α_i2, … … , α_iK}表示在K個概念上的狀態，每個概念可以對應到精熟與不精熟兩種狀態，也就是說受試者共有2K_種認知屬性，其中α_iK = 0表示第i位受試者未精熟第K個屬性，相對的α_iK = 1則表示第 i位受試者精熟第K個屬性。下列為K=3時，所有可能的8種反應組型。 (0,0,0)(0,0,1)(0,1,1)(0,1,0)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1) 為了達到診斷的目的，須經由專家界定每個試題所測量的認知屬性，為了清楚表示試題與認知屬性之間的關係，大多數的認知診斷模型使用Q矩陣(Tatsuoka, 1985)來進行診斷。Q矩陣由1跟0組成，其大小為J×K，J為試題數，K為屬性數，其中Qjk為要完成第j個試題，是否具備屬性k，其Q矩陣內元數的定義如下： Qjk = �1 第j題需要第k個認知屬性 0 其他其中j=1,2,……,J k=1,2,……,K 舉例來說，假設一個3×4的Q矩陣，表示如下： Q = �1 00 1 1 1 1 1 1 0 0 0� 代表第一題需要第1、第2及第3個認知屬性；第二題需要第2個及第3個認知屬性；第三題則需要第1個及第2個認知屬性。認知診斷模型至今已發展出相當多的模型，包括Fischer (1973)提出的線性邏輯測驗模式（linear logistic test model, LLTM）、Tatsuoka (1983)的規則空間（rule

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space ）、 Junker 與 Sijstma (2001) 提出的兩個認知診斷模式： DINA 模式（ deterministic input, noisy “and” gate model ）和 NIDA 模式（ noisy inputs,

deterministic “and” gate model）、de la Torre 與Douglus (2004)提出的HO-DINA 模

式 (higher-order DINA model) 、 Templin 與 Henson (2006) 提出的 DINO 模式（Deterministic Input, Noisy “Or” gate model）。

以下僅介紹跟本研究有關的兩種模式：DINA 模式及HO-DINA 模式。

壹、DINA 模式(deterministic input, noisy “and” gate model)

DINA 模式是許多認知診斷模型的基礎，其創建與流行則是開始於Junker & Sijtsma(2001)的研究。該模式適用於二元計分試題來進行測驗，會依據受試者是否完全具備試題所測量的認知屬性，將受試者分為兩個類別，在理想的反應模式下，若完全具備時，應當答對該題；若缺少任一個認知屬性則會答錯，但是在實際的作答情形中，會受到粗心（slip）或猜測（guessing）的雜訊（noise）干擾， DINA 模式機率模型定義如下：

P �Yij= η_ij = 1� = (1 − sj)ηijgj(1−ηij) (1)

其中 η_ij _{= � α}_ikQjk k k=1 sj = P �Yij = 0�η_ij = 1� gj = P �Yij = 0�η_ij = 1� 其中Y_ij：第i個受試者在第j個試題的反應組型。 η_ij：第i個受試者在第j個試題須具備的認知屬性，完全具備其值為1，缺少一個以上所需的認知屬性其值為0。

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32 Qjk：受試者答對第j個試題是否需要第k個認知屬性，如需要該屬性其值為1，無則為0。 α_ik：第i個受試者在第k個認知屬性的有無，有該屬性其值為1，無則為0。 s_j ：受試者回答第j題試題所需要的認知屬性，但因粗心大意而答錯此題的機率。 g_j ：受試者回答第j題試題所需要的認知屬性，但因猜測而答對此題的機率。

貳、HO-DINA 模式(higher-order DINA model)

de la Torre & Douglas (2004)延伸DINA 模型，將屬性的機率分布加入IRT 模式，提出higher-order DINA (HO-DINA)模型。假設認知屬性間相依於一個或是多

個在高層次的表示式中，給定高階的潛在能力θ_i下，假定元素α_i條件獨立，其關係式可用下列公式(2)表示： P(αi|θi) = � P(αik|θi) K k=1 = � �_{1 + exp [1.7λ}exp [1.7λ1(θi− λ0k) 1(θi − λ0k)]� K k=1 (2) 其中θ_i：第i個受試者在高階層的潛在能力。 αi：第i個受試者在具備的認知屬性，完全具備其值為1，缺少一個以上所需的認知屬性其值為0。此式子與IRT模式中的單參數模型近似，參數λ₁相當於認知屬性的鑑別度參數，λ_0k則相當於認知屬性難度參數，λ_0k越高代表越難精熟。其模式反應程序如圖2-4-1：

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圖2-4-1 higher-order DINA模式反應架構圖(de la Torre, 2010)

由於數學推理為高階層的能力，因此本研究擬定使用 HO-DINA 模式進行測驗編製與分析，以評估五年級及八年級學生的數學推理能力，並了解學生是否有無此認知屬性，測驗的結果便能提供老師及學生更多的學習資訊，進而及時改善學生的學習，提升教學效能。因此，本研究的θ_i為學生數學推理能力，α_i為十個認知屬性即本研究邏輯推理能力下的演繹、歸納，空間推理能力下的空間知覺、心智旋轉和空間視覺，比例推理能力下的交換、密度、母子、組合和伸縮等，並透過 HO-DINA 模式探討不同背景因素對五年級及八年級學生在數學推理問題表現之影響。 λ

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第三章

研究方法

本研究的主要目的在編製五年級及八年級學生數學推理能力試卷，並透過 HO-DINA 模式藉以分析學童在邏輯推理、空間推理、比例推理的表現，及瞭解在不同背景因素對五年級及八年級學生在數學推理問題表現之影響。本章將分成五小節，第一節說明研究流程，第二節說明研究對象，第三節說明本研究所使用的研究工具，第四節說明資料的蒐集、處理與分析方式，第五節認知診斷模式的建構。

第一節研究架構與流程

壹、研究架構

本研究旨在編製一份數學推理能力測驗，首先，以 HO-DINA 模式為基礎探討五年級及八年級學生在數學推理能力上的表現，接著，探討不同背景因素對國中小學生在數學推理問題表現之影響，其架構圖如圖 3-1-1：圖3-1-1 研究架構圖 背景變項： 1.性別 2.家庭情況 3.補習情況 4.喜歡數學的程度 5.學生學習數學的時間 6.學生學習數學的方法 7.家中書籍的多寡 8.將數學運用在日常生活上的態度數學推理能力測驗邏輯推理：演繹歸納空間推理：空間視覺空間知覺心智旋轉比例推理：交換問題密度問題母子問題組合問題伸縮問題

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貳、研究流程

研究者首先和指導教授討論過後，確立研究主題及目的，接著閱讀相關文獻，確立其向度之認知屬性，以此來編製數學推理能力試卷並進行預試分析，利用預試結果分析其試題是否要進行刪題及修題；接著進行正式施測及分析，最後根據研究結果提出結論與建議。其研究流程如圖 3-1-2：圖3-1-2 研究流程圖

第二節研究對象

本研究對象為五年級及八年級學生。主要針對學生的數學推理能力進行探究。基於研究目的及研究限制下，無法採用隨機抽樣的方式，因此採用立意抽樣來進行研究，研究階段包含數學推理能力測驗的預試及正式施測，研究對象如下：確立研究主題及目的相關文獻探討編製數學推理能力試卷進行預試進行正式施測試題修正與分析資料處理與分析提出結論與建議

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壹、預試樣本

本研究預試樣本於一百學年度第一學期選取四所國小五年級的學生，刪除無效樣本後總樣本數為 422 人，國小樣本四個學校，分別為台中市市區學校兩所及偏鄉學校兩所，共計 10 個班級，271 位學生；國中樣本三個學校，分別為台中市區學校一所、嘉義偏鄉學校一所及南投偏鄉學校一所，共計七個班級，151 位學生，接受數學推理能力測驗預試。茲將預試之有效樣本人數分配表整理如表 3-2-1 及表 3-2-2 所示： 表 3-2-1 五年級學生預試樣本分配表 年級學校班級編號合計（名）國小 A 1 28 2 27 3 29 4 28 B 1 25 C 1 28 2 27 D 1 25 2 26 3 28 合計 10 271

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38 表 3-2-2 八年級學生預試樣本分配表 年級學校班級編號合計（名）國中 A 1 25 2 26 B 1 20 2 20 3 15 C 1 23 2 22 合計 7 151

貳、正式樣本

本研究之五年級及八年級學生「數學推理能力測驗」試題經預試修正後，在一百學年度第二學期(101 年 3 月)進行正式施測。正式樣本與預試樣本皆不重複，拿掉無效樣本後，共計 601 份樣本，其中包含國小五個學校，分別位於台北市區一所、台中市區二所、台中市偏鄉一所、嘉義縣偏鄉一所，共計 10 個班 300 份樣本及國中四所學校，分別位於為台中市區二所、嘉義縣偏鄉一所、雲林偏鄉一所，共計 13 個班級 301 份樣本。茲將正式施測之有效樣本人數分配表整理如表 3-2-3 及表 3-2-4 所示： 表 3-2-3 五年級學生正式樣本分配表 年級學校班級編號男女合計（名）國小 A 1 17 15 32 2 17 15 32 3 15 14 29 B 1 11 17 28

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39 C 1 15 14 29 2 15 14 29 D 1 18 14 32 2 14 15 29 3 17 15 32 E 1 13 15 28 合計 10 152 148 300 表 3-2-4 八年級學生正式樣本分配表 年級學校班級編號男女合計（名）國中 A 1 14 15 29 2 17 12 29 3 14 14 28 4 15 14 29 5 15 16 31 B 1 8 8 16 2 6 14 20 3 10 9 19 4 11 10 21 C 1 14 14 28 D 1 11 7 18 2 10 8 18 3 9 6 15 合計 13 154 147 301

以HO-DINA模式為基礎的數學推理能力測驗編製之研究－以五年級及八年級為例

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指導教授：施淑娟 博士