數學推理的意義與重要性

第二章 文獻探討

本章根據研究目的加以探討，第一節介紹數學推理的意義與重要性，第二節 介紹數學推理的內涵，第三節介紹推理的相關研究，第四節則介紹本研究使用的 認知診斷模型。

第一節 數學推理的意義與重要性

壹、數學推理的意義

推理 (reasoning) 是由判斷所組成（教育百科辭典，1994）。是按邏輯規範推 理思考的歷程，亦即在解決問題時合理思考的歷程（張春興，1994）。Rosser (1994) 認為推理是由舊資料引出新訊息的思考歷程，個體須根據系統性的原則，在前提 間建立起特殊關係。推理其特點是有過程、有目的；推理依據其目標而會採取特 定的方式；推理屬於個人思考的一種心智活動（郭靜芳，1997）。它是屬於一種 高層次的認知能力，它能協助個體清楚的知悉所處環境的因果事件（涂金堂，

1999）；也可屬於「學習遷移」的一種（林寶貴、張昇鵬，1993）。所以推理是一 種動態的人類活動，也是一種心理活動，這種活動包括解決問題 (solve a problem)、

想出某事 (think something out)。它有四個特點（張春興，1994）：

一、推理是有過程、有目的。

二、根據推理目標而採取特定的推理方式。

三、屬於個人。

四、是一種心智的 (mental) 及內心的 (inward) 活動。

因此，不論是在日常生活中，或是學校的課業表現裡，推理能力都是一項相 當重要的能力。

Linda (1999) 指出應用數學能力時有三種考量，分別為問題解決、語言溝通

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及數學推理。亦即，數學推理能力能協助我們順利的使用及解決應用問題。更明 確的說明，數學能幫助我們解決問題，及辨識一再重複發生的模式及主題，並將 之運用於問題解決，即是數學推理的具體表現。Johan (2000) 指出，數學推理是 一種合理性推理 (plausible reasoning)，而數學推理的基礎在於從學習環境而來的，

已建立的數學經驗。推理不僅能促進數學概念的理解，亦可以藉此去探索發現數 學新知識 (Ball & Bass, 2003)。王文科（1989）亦指出，數理推理是解決數學問 題所必需的能力，要解決數理問題，沒有數理推理是無法達成的。TIMSS (2003) 指 出數學推理是具有邏輯與系統化思考的能力，它包含在原有的模式與規則下進行 直觀與歸納的推理，以解決非例行性的問題。

貳、數學推理的重要性

近代課程改革也對學生的數學推理能力相當重視，美國的 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000) 指出推理和證明是數學的基礎。在推 理和 證明標準的內容提到數學推理和證明是發展和表現人們對廣闊現象最有力的認 識方式，並列出了四個目標，期望學前到十二年級的教學內容應使學生能夠認識 到推理和證明是數學的基本內容、建立和探究數學的臆測、發展和評估數學的論 證和證明、選擇和使用不同類型的推理與證明的方法。近年美國國家研究院 (National Research Council, 2001) 的研究報告也指出，學生的數學能力就如同五 種相互交織的繩索，五種能力必須同時地、統整地發展，方能成就其功能。這五 種數學能力包括：概念的理解、流暢的運算能力：選擇策略的能力、適當的推理 能力及具生產力的數學性向。

匈牙利亦進行數學課程改革，改革過程中非常強調數學推理能力的培養。在 匈牙利的課程中談到教學應著重於促進學生的思考技巧，藉由強調分析、比較、

歸納、具體化技巧的加強，去促進系統化、經驗與連結的技巧，或在日常生活中 應用模仿、推理、演繹和問題解決（林宜臻、林沂昇，2007）。香港的課程指出 數學科的學習總目標為：通過學習數、度量、代數、圖形與空間及數據處理的知

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識、概念及技巧程序，增強學生在探究、傳意、推理、構思和解決問題等學習及 運用知識的能力 （香港課程發展議會，1994）。由此可見，香港亦將推理能力 視為重要的能力之一，也期望學生能透過學習數學來促進這方面的技能，以及期 望學生能運用這些學習策略去汲取更多數學知識。

此外， 丹麥數學家Niss 在 2003 年提出有關於能力與數學學習的計畫，其中 談到精通數學就是指擁有數學能力。數學能力即是在不同數學活動的情境脈絡下，

瞭解、判斷、實做與使用數學的能力。在 Niss 指出的八項數學能力中，數學推 理的能力亦是其中一項觀點內容，包含 (Niss, 2003)：

一、能理解別人論證的條理，並能評估該論證是否有效。

二、知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同。

三、能從論證的條理中找到基本的想法。

四、能將直觀論證轉化成有效的證明。

NCTM (1989)「在學校數學的原則與標準」 (principles and standards for school mathematics) 把推理與證明列為課程評價 (curriculum & evaluation) 其中一項，包 含：

一、能察覺並應用歸納及演繹推理。

二、能使用模式、已知事實、性質及關係解釋自己的思考。

三、能解釋答案及解答過程。

四、能使用樣式和關係分析數學情境。

五、能創造並評估數學臆測與數學推論。

National Assessment of Educational Progress (NAEP) (2003) 則將數學能力劃 分成三個向度，分別為內容向度 (content strands)、數學能力 (mathematical abilities) 與數學力 (mathematical power)。其中，數學能力分為三種類型：概念的了解 (conceptual understanding) 、 程 序 性 知識 (procedural knowledge) 及 問 題 解 決 (problem solving) 另 外 ，數 學 力 也 分 為 三 種 類 型 ： 推 理 (reasoning) 、 溝 通 (communication) 及連結 (connections)。

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我國九年一貫課程綱要旨在培養學生帶著走的能力，而九年一貫課程（2003）

數學學習領域也於綜合基本理念及課程目標中所強調四種數學能力：演算能力、

抽象能力、推論能力及溝通能力。由此可以看出推理能力在國內數學課程的重要。

另外，在數學內容的五大主題中之連結主題亦提及國中小學生須具備下列的基本 能力：「C-S-03能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、

論證等。」及「C-S-04能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、

類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。」，其中推理 能力亦包含於當中。

由上述可知，各國對於數學推理能力的培養皆相當重視，因此，在數學課程 中都將推理能力視為學生該具備的能力之一。然而，由先前的文獻可發現，對於 推理的定義眾說紛紜但都大同小異，因此本研究綜合幾種說法將推理定義為解決 日常生活問題上的一種心理活動，而數學推理能力即是將得到的數學訊息或概念 經由推演、分析及驗證未知的數學概念的能力。換言之，本研究所指的數學推理 能力是指將推理能力運用在數學邏輯、空間、及比例上的歷程。