樣式推理思考表現分析

數學的本質就是尋求規律以及規律之間的關係(張英傑, 2001)，數學裡有許多 樣式規律可探究，透過這些樣式推理(pattern reasoning)的經驗累積，習得如何察 覺事物中的數量規律並進一步歸納樣式，接著解決數學問題。法國數學家何密得

（Hermite, 1822~1901）曾寫道：「在一團亂糟糟的事物中，一條小小規律的察覺，

宛如黑暗中摸索時的一線光明，常引導我們到達新的數學天地。這份經過『柳暗 花明又一村』帶來的喜悅，就是許多人窮畢生之力研究純粹科學的動機。」對學 習者而言，每條小小規律的覺察，都帶來「我找到了」的成就感，這種成就感就 是鼓勵學習者學習數學最好的原動力。一條小小規律的覺察，也會使人牢牢的記 住有關的數學教材(黃敏晃, 2000)。以下就樣式推理的內涵、樣式推理相關研究以 及樣式推理教材現況分別進行探討。

一、樣式推理的內涵

「樣式」譯自英文pattern 一詞，泛指通性、風格、式樣、圖案、花樣、典型 等等，曹亮吉(2003)將pattern 譯為「胚騰」，意思是說任何一個看似突然或特別 的現象，背後都有其發生的依據及規律。Steen 認為數學已從「一門研究數、量、

形的學問」轉變成為「一門規律(pattern)的科學」；數學家從數字中、空間中、電 腦裡、甚至是從想像中尋找pattern，而數學定理便是研究pattern裡與pattern之間的 關係(Steen, 1988；引自Zimmermann & Cunningham, 1991)，也就是說，數學必須 是經由察覺生活周遭千變萬化的樣式規律，將其公式化或一般化而產生。

Owen(1995)以數學教育的觀點將樣式區分為三種類型，這三種類型都會出現 在小學課程中，包括重複樣式(repeating patterns)、結構樣式(structural patterns)以 及擴增樣式(growing patterns)。

1、重複樣式(repeating patterns)

重複樣式重點在於循環或重複(cycle)的概念(Owen, 1995)，意指一系列特定的 特質重複出現，像顏色、形狀、方向、大小、聲音、數字或其他元素。例如：「黃 色─綠色─紅色─黃色─綠色─紅色」、「□─○─△─□─○─△」，而特質 的重複不僅限於一種元素，也可以多種元素一起變化，像Threlfall (1999)曾經指出

「^{□ ○} □ ^○ □ ○ ^□ ○ ^{□ ○} □ ^○ □ ○ ^□ ○」，在大小特質的變化是「小─

小─大─小─大─大─小─大」變化週期為8的循環，而在形狀特質上的變化是

「方─圓─方─圓─方─圓」變化週期為2的循環，兩個特質的規律組成起來就 會呈現上述的樣子，只要學習者能夠找出其重複樣式的循環週期，即可使用相同 單位去辨認、複製及創造重複樣式。

2、結構樣式(structural patterns)

結構樣式強調結構的存在(Owen, 1995)，結構意味著概念之間的連繫，也就 是從一組有關連性的事物中發現一些特質，例如：「5可以用多少方式來組成？」，

會有4＋1＝5、3＋2＝5、2＋3＝5、1＋4＝5的答案出現，當兩數組合成5的時候，

一數變大，另一數必然等量變小。國小數學課程當中，數學乘法中的交換律、結 合律和乘法對加法的分配律，以及國中課程之後的等量公理之類的等式，或者不 等式等等，都是屬於結構樣式的議題。例如：「3×5=15，5×3＝15」、「8×4=(5＋

3)×4=(5×4)＋(3×4)」、「a1＞b1，a2＞b2，則a1＋a2＞b1＋b2」。結構樣式的察覺 看似容易，但是若學習者以算術思維為重，那麼理解數與運算背後潛藏的結構樣

式會產生問題，因此學習者需要培養代數思維，才能夠讓相連繫概念間產生結構 性的改變。

3、擴增樣式(growing patterns)

擴增樣式是用可預測的方式來改變某個數值的型式。例如：樹的年輪每年都 會增加一圈(引自何雪芳、陳彥文譯, 2003)，此預測方式亦隱藏一套規則，規則隱 含著運算，使得前項透過規則的應用可衍生出後項，而後形成一系列項目，各個 項目均具有數量意義。其內涵於Owen (1995)的分類中稱為序列(sequences)，指的 是一系列非重複的數值，隨著一種規則擴張所組成，在正式課程活動中，此類型 以數字序列(以下簡稱數列，series)最為典型，如等差數列、等比數列、巴斯卡三 角形數，例如：「5、10、15、20……」，是開始於5，每項為前一項加5的數列、

或是「14、24、34……」，是開始於14，每項為前一項加10的數列。

簡單地說，「樣式推理」就是一種規律的尋求，學習者能夠根據問題情境所 提供的線索，透過推理思考的過程，找出樣式、然後確認樣式，並且進一步能夠 將所尋找的樣式一般化，藉以解決所遇到的問題。

樣式推理活動不僅強調從察覺數量規律為起點的歸納推理，亦可衍生演繹推 理的活動(Fernandez & Anhalt, 2001)，也就是學習者根據問題中的線索，透過歸納 推理來找出樣式、確認樣式，更進一步將樣式一般化(generalize)，並以此樣式規 則進行解題。而察覺樣式關係和學習者的代數經驗有關，代數指的是使用符號來 表示及操弄數量脈絡裡的一般性，其關係到歸納經驗的活動，也就是累積例子、

而後發現一系列數字、圖形或算則背後的結構之一般化過程，因此察覺樣式規律 的活動不僅可以成為學習者早期的代數經驗，也是促進學習者對符號的理解、培 養歸納推理的能力及多元獨特的想法之好題材。

美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)在其 所建構的「代數」數學標準中，開宗明義地點出「瞭解樣式(understanding patterns)」

的重要性，認為歸納數字情境可以連結以數與計算為要素的數學內容和代數等抽 象性質的數學知識(NCTM, 2000)，另外也明確指出5到8年級的學生應積極從事於

探討樣式規律與函數，包括(1)對於廣義有變化的樣式規律能描述、延伸、分析及 創造；(2)能以表格、圖形或式子來描述並表示數量之間的關係；(3)分析函數關係 並解釋一個變數如何產出另一個變數；(4)能運用樣式規律及函數來呈現並解決數 學問題。Herbert & Brown(1997)也認為樣式推理的活動對於國小學生奠定日後學 習代數的基礎，扮演著非常重要的角色。

二、樣式推理相關研究

近年來，關於邏輯推理能力的研究雖備受國內外學者重視，但大部分集中在 比例推理與類比推理方面，關於樣式推理(pattern reasoning)的研究，不僅國內缺 乏相關研究，就連國外學者對於這部分的研究亦少之又少，較多的研究皆與數列 相關。

Herbert & Brown(1997)在一項由美國國科會所贊助之ESI-9054677計畫中一 部份名為「數字和形狀的樣式」單元的研究中指出，學生在從事樣式推理的一般 步驟可以分為三階段：(1)尋找樣式；(2)使用不同的方法，加以確認樣式的存在且 描述之；(3)將樣式一般化。

Melanie, Diane & John(1998)研究學習者在面對等差和二階等差的數字樣式 策略，研究對象為7至11歲的學生，研究結果顯示，如果給予足夠的時間，學習 者可以產生自己的探索策略，包括(1)尋找數字間的差；(2)判斷奇偶數；(3)尋找 倍數關係；(4)尋找數字差的差；(5)判斷數字差的奇偶數；(6)合併某幾項去產生 其他項。

Bishop(2000)研究七、八年級的學生學習線型幾何數樣式的過程，研究結果 顯示，七、八年級的學生處理這類樣式的探索過程有四個步驟：

1、依賴具體物表示：學生能夠用模型來表示具體樣式，但似乎無法察覺其中「數」

的規律性。

2、用比例表示：學生意識到數和位置有某種關係存在，傾向單純的用乘法倍數 關係表達數列的規律。

3、遞迴地找關係：學生將注意力放在相鄰幾項，來找出數列的規律。

4、函數性的認知：學生能建立數列中各項的值與項數間的對應關係。

陳滿(2003)進行國小五年級學生數學推理能力之研究，研究結果發現當五年 級學生面對樣式探索過程中會有下列現象產生：(1)在面對圖形樣式與數字樣式較 常使用的推理模式均為尋找數字間的差及尋找倍數關係；(2)學生在做圖形樣式的 題目時，會將圖形直接換算成數列模式；(3)學生會使用有限的資料來做歸納，而 不會考慮是否所有的項次皆符合此一規律。

三、樣式推理教材現況

根據民國91年所頒布的九年一貫課程暫行綱要，數學領域內容分為「數與量 (N)」、「圖形與空間(S)」、「統計與機率(D)」、「代數(A)」、「連結(C)」五 大主題，前四個主題又分為四個學習階段，各個階段有其分段能力指標，分段的 依據為學生的「思考型態」與「所需的學習方式」兩項變因，每個階段年級別與 所對應的思考型態、學習方式如表2-1所示(教育部, 2002)。

表2-1

九年一貫學習四階段與思考型態、學習方式對照表

階段 年級 思考型態 學習方式

一 1~3 視覺 具體操作

二 4~5 察覺樣式 具體表徵

三 6~7 辨識樣式間的關係 類化具體表徵

四 8~9 樣式間的非形式化演繹 符號表徵

代數主題的能力指標打破階段流水號的限制，依循學習者代數學習發展的模 式，嘗試將代數主題的能力指標循序漸進，依照學習者代數概念學習的先後次序 歸類成五類，分為：(1)數量的樣式；(2)列方程式、不等式；(3)解方程式、不等 式；(4)函數；(5)幾何的代數量。此外，在代數的教學準則裡，強調第二、第三學 習階段的學習活動必須以尋求樣式的經驗為基石，所涉及的核心能力指標有二，

其一是N-2-17：能察覺簡單數列之規律，另一個則是A-2-3：能透過具體觀察及探 索，察覺簡易數量樣式，並能描述樣式的一些特性(教育部, 2002)。現行數學領域 教材中，可以發現國小五、六年級都有「察覺並辨識樣式」的相關單元，主要都 圍繞在擴增樣式，也就是以等差數列為主，另外，也強調透過圖形樣式的探索，

讓學習者具備從察覺形的規律轉化為數的規律之解題經驗，以下將樣式推理相關 教學內容簡單整理如表2-2所示。

由上述文獻探討可知，在樣式推理的過程，學習者可以運用數與計算的基礎 技能，不斷培養觀察、分析、推論、歸納、類比等獨特的自我解題策略或想法，

進而促發演繹等邏輯推理能力的培養，最後終能瞭解代數符號的運算，對於所吸 收的知識內容產生結構化的思維，因而學習者察覺樣式的想法與過程，可以幫助 其建構較完備的數學概念。國小課程中的樣式推理教材較著重於固定規律的樣 式，容易落入計算公式的演算、形式化算則的記憶，因此，本研究探究不同的數 學表徵對學習者樣式推理概念學習之影響，期望教學中可提供促進樣式推理的教 材，以提升學習者樣式推理的學習成效。

表2-2 (2008a; 2008b)

第十二冊(六下)

第二節 數學表徵

當學習者解決數學問題時，能夠以個人的理解為基礎運用數學表徵呈現問題

當學習者解決數學問題時，能夠以個人的理解為基礎運用數學表徵呈現問題