第二章 文獻探討
第三節 虛擬教具
數學教具可以讓學生建立概念理解的基礎，更能初始化抽象的理解(Hiebert et al, 1997)，所以在數學教學中通常使用實際操作協助學習者學習數學概念，隨著 科技的發展，教學者使用電腦科技或虛擬操作來輔助學習，虛擬操作不只是運用 電腦科技把具體實物呈現出來，更包含了具體操作所提供的特徵。以下就虛擬教 具的意義、使用虛擬教具的教與學以及過去的相關研究進行探討。
一、虛擬教具的意義
虛擬教具(Virtual Manipulatives)是結合電腦科技加上有助於學習的特徵，和實 體教具非常相似，透過網際網路提供教學者使用以協助教學。Moyer, Bolyard, &
Spikell (2002)定義虛擬教具為：一個動態物體透過可互動、網路的虛擬圖像來呈 現，讓學習者建構數學知識，研究中也將網際網路上的虛擬教具分為兩大類：一 類是靜態的虛擬教具(static visual representations of concrete manipulatives)；另一類 是動態的虛擬教具(dynamic visual representations of concrete manipulatives)，如表 2-3 所示。
虛擬教具的優點是可以利用動態的圖片與抽象的符號作連結，這是使用傳統 的教具較難做到的，其透過電腦科技呈現圖像、數字及文字，與符號做連結(Kaput, 1992)，例如在立體圖形的學習，透過虛擬積木的操作，除了和視覺化連結，也可 作為學習者表達想法的第二語言，表達重組過程中概念的理解。Izydorczak(2003) 的研究亦整理出將虛擬教具運用於數學教學有八大優點：(1)虛擬教具比實體教具 更有擴張性。例如虛擬教具可以表現比
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更細微的分數概念，而實體教具則受 限於物理的特性，無法隨需要轉變；(2)虛擬教具能呈現出比實體教具更細微的概 念。例如 Hands-On Math 網站中所呈現之位值概念，當由 10 個 1 的積木轉換為 1 個 10 的大積木時，會讓學習者留下非常深刻的印象；(3)虛擬教具比實體教具更 易於操作。例如學習者操作拼圖或七巧板時，往往因疏忽而破壞已經完成的部分 成果，但是當學習者使用虛擬教具時，可以拼得更好，可更專心的進行所需要的 操弄；(4)虛擬教具比實體教具更適合用於大團體的教學。實體教具有一定的大 小，在大團體中往往讓距離遠的學生看不清楚，虛擬教具可以透過投影機投射於 大尺寸的畫面，甚至同時使用多個螢幕，非常適合大團體的教學；(5)虛擬教具透 過輔助說明的連結，可以更清楚的表徵數學符號和程序；(6)購買實體教具往往有 經費的限制，而虛擬教具可以解決經費不足的問題。軟體只要一份，就可以提供 多人同時使用，且目前這些虛擬教具多半是免費使用的；(7)虛擬教具可以監控學 習活動；(8)虛擬教具所產生的班級管理問題比傳統的實體教具少。二、使用虛擬教具的教與學
虛擬教具就像圖形表徵物一樣，在教學與學習的過程中提供視覺上的印象，
但同時也像具體教具一樣具有可操弄的功能。在數學教學上，最常使用到的表徵 有 實 物 表 徵 (concrete/physical representation) 、 圖 形 表 徵 (pictorial/visual representation)及符號表徵(abstract/symbolic representation)三種，而虛擬教具的表 徵方式並不完全與前述三種表徵相同，除了具備前述三種表徵的功能外，還具備 前述三種表徵沒有的功能，其尚具有以下特性(Yuan, 2005)：(1)可變性，學習者可 針對某一物件的某一部分塗顏色，或是增加或減少某一物件的數量，如圖 2-2，
可以任意改變圖形幾何釘板上的釘子數；(2)無限量供應性，可以解決課堂上實體 教具不足的問題，也能解決分配、整理教具耗時的問題，且整理教具也十分方便，
如圖 2-3，只要點選重來按鈕，所有畫面上的教具即可清除，或是可將單一的方 塊清除至垃圾桶；(3)可同時呈現圖形及符號於畫面上，能強化表徵間的連結之特 性，如圖 2-4 所示之虛擬教具雖然沒有實體教具的一些感官刺激，例如沒有觸感，
但有助於學習者具體感官知識及抽象知識的連結，Clement(1999)稱這是整合的具 體知識(integrated-concrete knowledge)，即虛擬教具能連結動態的視覺心象與抽象 符號，這是一般的實體教具所不能做到的。
圖 2-2 圖形幾何釘板
圖 2-3 多方塊虛擬教具(引自王智弘, 2005)
圖 2-4 虛擬白板同時呈現圖形與符號
David Young(2006) 則提到使用虛擬教具協助教學有以下六點優勢：(1)立即 性、矯正性的回饋(Instantaneous, corrective feedback)；(2)概念的多重表徵(Various representations of concepts)；(3)以具體的表徵連結符號概念(Link symbolic concepts with concrete representations)；(4)連結特殊的例子到一般的理解 (Link specific ideas to general understandings) ； (5) 提 昇 解 題 還 有 驗 證 假 設 的 能 力 (Promotes problem solving and the ability to test hypotheses)；(6)增加注意力以及動機(Increases attention and motivation)。
在 Suh, Moyer, & Heo (2005)使用分數的虛擬教具學習等值分數、異分母的分 數加法之研究中，發現具備下列特徵：(1)提供學習者自我發現的機會、(2)鼓勵學 習者探討數學關係、(3)將圖形和符號做連結、(4)避免學習者學習分數的加法時，
犯典型的錯誤。綜合過去研究結果可知(Reimer & Moyer, 2005; Suh, Moyer, & Heo, 2005; Steen, Brooks, & Lyon, 2006)，使用虛擬教具協助教與學有以下特徵：(1)提 供學習者自我發現的機會、(2)鼓勵學習者探討數學關係、(3)將圖形和符號做連 結、(4)學習分數的加法時，避免學習者犯典型的錯誤、(5)學習者喜愛立即地回饋、
(6)虛擬操作比起紙筆方式來得更容易、更快。整體來說，學習者認為虛擬教具幫 助他們學習、容易操作、可以得到立即性且特定的回饋，比傳統的方法更為迅速，
因而提高學習興趣。因此，虛擬教具不僅改善學習者視覺上以及概念上的數學能 力，動態的特性、顏色、圖解、互動亦可以讓其保持注意力，進一步持續地完成 任務，並且經由探索的方式理解數學概念。對照國小數學的教學，在幾何、分數 及邏輯思考推理等較抽象思考概念，透過虛擬教具教學與練習，可以提供學習者 自我發現的機會、鼓勵探討數學關係、將圖形和符號做連結、避免犯典型的錯誤；
在推理能力的訓練上，透過快速大量的複製、視覺化呈現，可以協助學習者察覺 樣式的規律；在教學方面可以增加、提高學習者的注意、動機，這對於一般被認 為是無趣的數學學習有很大的幫助。
此外，使用虛擬教具可節省收發教具的時間，需要重新操作時也較方便，能 讓學習者更集中注意力、練習的質和量均提高、可從事較適當的活動層次，這些 都是傳統的紙筆或實體操作活動無法做到的。使用虛擬教具教學不必像實體教具 常常需要輪流使用，每位學習者有相同的機會參與相同的教學活動，以教育均等 的觀點來看，學習者的立足點是平等的，藉由虛擬教具有同等的學習機會和效果 (Steen, Brooks, & Lyon, 2006)。
虛擬教具雖然有許多優點，但截至目前，教室中使用虛擬教具的教學研究仍 十分有限，一個可能的原因是教學者使用虛擬教具從事數學教學的知能不足
（Reimer & Moyer, 2005）。不同的學習者需要不同的學習鷹架，單一種類的教具
無法適用於每一個學習者，除了教具本身的好壞之外，更需要教學者選擇教具與 引導教學的專業能力，才能提升教具的實質效益(Char, 1989)。也就是說，虛擬教 具的使用對學習者而言，有教學者的專業引導才能達到相輔相成的效果。
三、虛擬教具相關研究
虛擬教具相關研究指出，虛擬教具應用在數學教育上或者其他領域皆有良好 的學習成效，且學習者有能力從電腦虛擬的環境中轉移至真實環境。Shade &
Watson(1990) 對18到36個月大的小孩實施桌子、椅子以及燈的物品分類研究，使 用電腦操作圖形一個小時之後，再給予真實物品做分類，研究結果發現大約36個 月大的小孩，透過電腦操作可以增進實際物品分類的正確率。Ainsa(1999) 的研 究使用M&M’s虛擬數學操作來測量學生完成數學任務的能力，結果發現在顏色配 對、數字配對、形狀辨認、計數能力、加減法等數學任務，使用電腦操作與實體 操作皆無顯著差異。
在幾何教學方面，Olkun (2003)曾經比較實體和電腦操作的七巧板，對於學習 相同平面幾何概念之影響，研究對象為93位國小四、五年級的學生，研究結果顯 示不管使用虛擬教具或是實體教具對學生學習平面幾何概念皆有正面的影響，但 是並沒有顯著的差異，四年級學生使用實體教具學習成效較好，五年級學生使用 虛擬教具學習成效較好，不過可以知道七巧板的虛擬教具促進了學生幾何概念之 學習。接著，Olkun的後續研究，探討虛擬七巧板對學習者學習幾何概念及未來 幾何概念學習之影響，研究結果顯示家中有電腦的學習者表現較好，接觸電腦的 時間長短亦會影響測驗成績(Olkun, Altun, & Smith, 2005)。
Steen, Brooks, & Lyon (2006)則比較實體和電腦操作對學生幾何概念學習成 效及學習態度之影響，研究對象為31位國小一年級學生，實驗教學所涵蓋的數學 概念有：球體、圓柱、角柱、角錐、圓錐的辨識；複製平面圖形；將圖形轉變為 較大或較小圖形之能力；依據邊或角的數量，畫出平面圖形；畫出形狀、大小一 樣的平面圖形；使用問題解決策略延伸圖形；畫線對稱圖形；畫出相同分割數量
的平面圖形。研究結果顯示，使用虛擬教具的學習者前後測得分有顯著的差異，
後測分數顯著優於前測，雖然學習者使用虛擬教具學習成效較好，但使用虛擬教 具和實體教具在學習成效上無顯著差異，由此可知，虛擬教具可以達到與實體教 具一樣之效益。
在分數教學方面，Reimer & Moyer (2005)研究虛擬教具對學生分數概念及學 習態度之影響，並探討學生使用虛擬教具的學習特徵。研究對象為19位國小三年 級學生，皆已學過分數概念，教學內容包括分數部分/整體概念、等值分數、及比 較分數大小，首先讓學習者了解如何操作分數虛擬教具後，再給予學習任務，接 著學習者獨自操作虛擬教具解決學習任務，依據學生前後測成績檢驗其學習成
在分數教學方面，Reimer & Moyer (2005)研究虛擬教具對學生分數概念及學 習態度之影響，並探討學生使用虛擬教具的學習特徵。研究對象為19位國小三年 級學生，皆已學過分數概念，教學內容包括分數部分/整體概念、等值分數、及比 較分數大小，首先讓學習者了解如何操作分數虛擬教具後，再給予學習任務，接 著學習者獨自操作虛擬教具解決學習任務，依據學生前後測成績檢驗其學習成