數學表徵及數學自我效能對國小五年級學生樣式推理學習成效之影響

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(1)國立臺灣師範大學資訊教育研究所碩士論文. 指導教授：陳明溥博士. 數學表徵及數學自我效能對國小五年級學生樣式推理學習成效之影響. 研究生：許瑋芷撰中華民國九十八年六月.

(2) 摘要本研究旨在探討不同的數學表徵及數學自我效能對國小學生樣式推理思考表現和數學學習態度之影響。研究樣本為雲林縣某國小五年級學生，共 121 位。研究設計採因子設計之準實驗研究法，自變項包含數學表徵和數學自我效能，依數學表徵的不同將教材分為「圖形類型教材」、「數字類型教材」兩種，數學自我效能依據數學自我效能量表總得分，將學習者分為高、低數學自我效能兩組，參與者於教學實驗前接受測量。依變項為「樣式推理思考表現」及「數學學習態度」，樣式推理思考表現包括(1)數字序列推理；(2)圖形序列推理，數學學習態度為學習興趣、學習動機、數學焦慮三個面向。研究結果發現：(1) 樣式推理學習過程中使用圖形類型教材，可以促進學習者樣式推理思考表現；(2) 運用虛擬教具於教學中，可以提升學習者數學學習態度；(3)高數學自我效能者透過圖形類型教材進行教學活動，數學學習態度較正向。本研究結果與建議可供國小數學教學與未來相關研究參考。. 關鍵詞：樣式推理、數學表徵、虛擬教具、數學自我效能. I.

(3) The Effects of Type of Mathematical Representation and Mathematics Self-Efficacy on Fifth-Graders’ Pattern Reasoning. ABSTRACT The purpose of this study was to investigate the effects of type of mathematical representation and mathematics self-efficacy on fifth gr a de r s ’pattern reasoning and mathematics attitudes. Participants were 121 fifth graders from four classes of an elementary school in Yunlin, Taiwan. A quasi-experimental design with factorial design was employed in the study. The independent variables were type of representation (figural representation vs. symbolic representation) and self-efficacy toward. mathematics. (high. mathematics. self-efficacy. vs.. low. mathematics. self-efficacy). The dependent variables were pattern reasoning performance, including (a) number patterns and (b) figure patterns, and mathematics attitudes, including (a) enjoyment, (b) motivation, and (c) anxiety. The results showed that (a) the application of figural representation enhanced participants’pattern reasoning performance, (b) the use of virtual manipulative for teaching mathematics enhanced s t ude nt s ’mathematics attitudes, and (c) students with higher mathematics self-efficacy obtained better mathematics attitudes.. Keywords: pattern reasoning, mathematical representation, virtual manipulative, mathematics self-efficacy.. II.

(4) 謹獻給我最親愛的家人及關心我的人. III.

(5) 致謝一轉眼，兩年的研究生生涯即將畫下句點，回想碩一時，帶著忐忑的心情重返校園，當時還真有點不適應呢！但是，很幸運的，在一個溫馨的學習環境中學習，讓我帶著愉快的心情度過這忙碌又充實的生活。首先要感謝指導教授陳明溥老師在研究中的諄諄教誨與耐心指導，即便碩二時因教職關係只有一天在學校，老師仍舊時時給予關心與指導，讓論文得以順利完成，老師，謝謝您！從您身上不僅學到研究的方法，更重要的是做事的態度。感謝口試委員盧東華教授與蕭顯勝教授，在百忙之中抽空給予詳細的審閱，並提供相當寶貴的意見與指導，讓論文內容更為完善、嚴謹，在此獻上最誠摯的感謝。感謝實驗室的夥伴們，如詩、貴徽，有妳們的陪伴很幸運，要謝謝的太多，只能說一句：有妳們真好！俊儀學長、麗君學姊、千佑，謝謝你們！在論文上給予的建議及幫助；婉怡學姊、靜婷學姊、純瑋學姊、秀如、韻芳、育亭、惠嵐、陳明，謝謝你們！在懵懂無知的碩一時，給予最大的協助；曉嵐、明娟、哲宇、宗霖、毓筑、宜娣，婉寧，謝謝你們！即時的加油打氣與協助。還有資教所的老師、學長姐以及同學們，謝謝你們！讓我在一個溫馨的學習環境中學習。感謝學校的同事們，尤其是同學年的夥伴，有你們的挺力支持，才能順利的完成學業，還有所有關心我的人，容我用一句簡單也最重要的話道出我的感謝：謝謝你！感謝我親愛的家人，總是給予我最大的支持，溫暖的話語、貼心的關懷，時時刻刻都感受到你們的愛，我愛你們！. IV.

(6) 目錄附表目錄……………………………………………………………………………..Ⅶ 附圖目錄……………………………………………………………………………..Ⅸ 第一章. 緒論……………………………………………………………………....1. 第一節. 研究背景與動機……………………………………………………....1. 第二節. 研究目的與待答問題………………………………………………....4. 第三節. 研究範圍與限制……………………………………………………....5. 第四節. 名詞解釋……………………………………………………………....6. 第二章. 文獻探討………………………………………………………………....8. 第一節數學推理………………………………………………………………..8 第二節數學表徵………………………………………………………………15 第三節虛擬教具………………………………………………………………21 第四節數學自我效能…………………………………………………………29 第三章. 研究方法………………………………………………………………...34. 第一節. 研究對象…………………………………………………………34. 第二節. 研究設計…………………………………………………………35. 第三節. 研究工具…………………………………………………………37. 第四節. 實驗程序…………………………………………………………48. 第五節. 資料分析…………………………………………………………50. 第四章. 結果與討論……………………………………………………………....52. 第一節. 樣式推理思考表現分析…………………………………………52. 第二節. 數學學習態度分析………………………………………………59. 第五章. 結論與建議……………………………………………………………....71. 第一節. 結論………………………………………………………………71. 第二節. 建議………………………………………………………………76. V.

(7) 參考資料…………………………………………………………………………80 附錄一. 數學自我效能量表……………………………………………………85. 附錄二. 推理找樣式教材………………………………………………………86. 附錄三. 樣式推理成就測驗……………………………………………………91. 附錄四. 數學學習態度問卷……………………………………………………93. VI.

(8) 附表目錄表 2-1 九年一貫學習四階段與思考型態、學習方式對照表 ……………………12 表 2-2 樣式推理相關教學內容一覽表 ……………………………………………14 表 2-3 虛擬教具的分類 ……………………………………………………………21 表 3-1 教學實驗之分組及各組人數分配 …………………………………………34 表 3-2 數學自我效能量表向度、題數分配及內部一致性 ..………..……………38 表 3-3 數列與圖形序列單元之教學目標 …………………………………………39 表 3-4 推理找樣式教材教學重點、課程內容及學習目標 ………………………40 表 3-5 樣式推理成就測驗試題內容分析 …………………………………………45 表 3-6 樣式推理成就測驗題目類型、題數分配及內部一致性 …………………46 表 3-7 樣式推理成就測驗試題難度與鑑別度摘要 ………………………………46 表 3-8 數學學習態度問卷向度、題數分配及內部一致性 ………………………47 表 4-1 各組在數字序列推理整體之平均數、標準差及人數 ……………………53 表 4-2 數字序列推理之變異數摘要分析 …………………………………………54 表 4-3 各組在圖形序列推理整體之平均數、標準差及人數 ……………………55 表 4-4 圖形序列推理之變異數摘要分析 …………………………………………56 表 4-5 樣式推理思考表現摘要表 …………………………………………………57 表 4-6 學習興趣之各題人數次數分配表 …………………………………………59 表 4-7 各組在學習興趣之調整平均數、標準差及人數 …………………………60 表 4-8 學習興趣之變異數摘要分析 ………………………………………………61 表 4-9 不同教材呈現類型與數學自我效能變項在學習興趣之單純主要效果變異數摘要分析 ………………………………………………………………………62 表 4-10 學習動機之各題人數次數分配表…………………………………………63 表 4-11 各組在學習動機之調整平均數、標準差及人數 ………………………64 表 4-12 學習動機之變異數摘要分析………………………………………………64. VII.

(9) 表 4-13 不同教材呈現類型與數學自我效能變項在學習動機之單純主要效果變異數摘要分析 …………………………………………………………………………66 表 4-14 數學焦慮之各題人數次數分配表…………………………………………67 表 4-15 各組在數學焦慮之調整平均數、標準差及人數 ………………………68 表 4-16 數學焦慮之變異數摘要分析………………………………………………68 表 4-17 數學學習態度分析摘要表…………………………………………………69. VIII.

(10) 附圖目錄圖 2-1 五種類型表徵 ………………………………………………………………18 圖 2-2 圖形幾何釘板 ………………………………………………………………23 圖 2-3 多方塊虛擬教具 ……………………………………………………………24 圖 2-4 虛擬白板同時呈現圖形與符號 ……………………………………………24 圖 3-1 研究架構圖 …………………………………………………………………35 圖 3-2 數字的秘密之平方數規律 …………………………………………………41 圖 3-3 圖形會說話之平方數規律 …………………………………………………42 圖 3-4 推理找樣式教學流程圖 ……………………………………………………44 圖 3-5 研究流程圖 …………………………………………………………………48 圖 3-6 樣式推理思考表現分析流程圖 ……………………………………………50 圖 3-7 數學學習態度分析流程圖 …………………………………………………51 圖 4-1 數學表徵與數學自我效能在學習興趣之交互作用圖 ……………………62 圖 4-2 數學表徵與數學自我效能在學習動機之交互作用圖 ……………………65. IX.

(11) 第一章緒論數學的學習不僅包含知識、理解和應用的層次，還著重分析、綜合、創造等高層次能力的培養。樣式推理概念涉及較高層次的邏輯思考，結合多種能力來察覺數學中隱含的樣式規律，進行抽象的思考、邏輯的推演，學習者透過解決數學問題的經驗，培養察覺、轉化、解題、溝通、評析等能力，為代數能力奠下基礎。數學抽象概念在學習上常有困難點和阻礙，資訊科技的發展，藉由其特性可以協助建構完善的教與學環境，讓教學者與學習者進行有意義的學習活動。另外，數學自我效能對於學習者學習成效及學習態度亦有所影響。本章就本研究的研究背景與動機、研究目的與待答問題、研究範圍與限制及名詞解釋四部份進行說明。. 第一節研究背景與動機數學與生活息息相關，數學視野與技術的基本素養亦是終身學習的利器。現行九年一貫課程中，數學領域有別於其他領域，提出連結主題，內部連結了數學其他四個主題(數與量、圖形、統計與機率、代數)，強調解題能力的培養；外部連結則強調與生活的連結，培養察覺、轉化、解題、溝通、評析等能力，讓學習者增進數學素養、廣泛應用數學，進而具備數學式思維。樣式推理概念涉及較高層次的邏輯思考，從察覺數量關係為起點的歸納推理，進而衍生演繹推理的活動，奠定代數學習的基礎。然而樣式推理過程中，因涉及較多抽象概念，必須藉由具體物或適當表徵物協助概念之建立，進而進行解題。許多學習者無法順利解題的主要原因在於問題分析與解題推理過程產生問題，Lewis & Mayer(1987)的研究中指出，學習者解題困難主要是發生在問題表徵階段，大多數學習者未能成功解題，原因經常出在問題表徵的理解，因此，將問題轉譯為內在表徵(internal representation)的過程是影響學習者解題的重要因素，若能理解不同形式的數學表徵轉換過程，可以掌握數學概念的理解，所以適切的表徵對於樣式推理概念學習是相當重要的。 1.

(12) 在學校的數學教學，常使用教具來輔助學習者理解數學概念，連結不同概念的表徵及轉換。許多教育學家也倡導教具的使用，十九世紀的斐斯塔洛齊（Johann Heinrich Pestalozzi）以及後來的福祿貝爾（Friedrich Froebel）與蒙特梭利（Maria Montessori）都提出學習者必需透過感官與實體操作來學習，從實體到文字、具體到抽象。國小階段學習者的思考模式多處於具體運思階段，必須透過實際具體操作才能形成動作與圖像表徵，使所學得的知識間有更多的連結，國小數學教學借重教具之處甚多，就是希望透過教具的操作形成正確的知識表徵、提供學生具體與抽象思維之轉換，這種轉換可幫助學習者增進抽象思考的發展。隨著科技進步，數學教具也有新的發展變革，許多數學概念的表徵或轉換，都可以藉由資訊科技來輔助。資訊科技是一種問題解決、合作學習的工具，也是訊息傳遞的工具，於是在數學教學上出現了藉由資訊科技創造出新形式的教學工具，也就是虛擬教具(Virtual Manipulatives)。虛擬教具是結合電腦科技加上有助於學習的特徵，和實體教具非常相似，提供教學者使用以協助教學，Moyer, Bolyard, & Spikell (2002)定義虛擬教具為：一個動態物體透過可互動、網路的虛擬圖像來呈現，讓學習者建構數學知識，其優點是可以利用動態的圖片與抽象的符號作連結，這是使用傳統的教具較難做到的。虛擬教具也具有可變性，學習者可針對某一物件的某一部分塗顏色，或是增加或減少某一物件的數量(Yuan, 2005)，動態、顏色、圖解、互動的特性可以持續讓學習者保持注意力(Reimer & Moyer, 2005; Suh, Moyer, & Heo, 2005; Steen, Brooks, & Lyon, 2006)。樣式推理概念對國小學生來說是較困難的學習內容，學習者往往未能透過察覺樣式的關係，內化為本身的知識理解，落入形式化算則的記憶。自我效能的高低會影響學習成效，在數學學習上也不例外，當學習者的數學自我效能較高時，會有較高的數學自信，數學的學習成效也較好，並有較低的數學焦慮，因此會有較佳的學業表現(劉信雄,1992; 吳知賢, 1996; 鄭千佑, 2008; Hackett & Betz, 1989; Schunk, 2007)。因此，數學自我效能的高低對學習成效及學習態度之影響是值得探討的議題。 2.

(13) 綜合上述，教學中若提供適當的表徵可促進學習者對數學概念的了解，在樣式推理概念的學習過程中，實體教具很難讓學習者任意地大量複製物品探究其規律，使得學習者樣式推理思考能力不足，常流於死背算則、形式化運算，虛擬教具具有可變、互動的特性，可將抽象概念視覺化、具體化，彌補實體教具的不足，另外，數學自我效能的高低也會影響學習表現與學習態度。本研究期能藉由不同數學表徵設計之教材進行樣式推理教學，以提升學習者的樣式推理思考表現，並探討數學表徵與數學自我效能是否有交互作用，以及高、低數學自我效能者接受不同數學表徵設計之教材教學後，對樣式推理思考表現及數學學習態度之影響。. 3.

(14) 第二節研究目的與待答問題本研究旨在探討不同的數學表徵（數字 v.s 圖形）及數學自我效能（高數學自我效能 v.s 低數學自我效能），對國小五年級學生樣式推理表現與數學學習態度之影響，希望透過可促進學習者推理能力之虛擬教具，增進學習者推理能力的思考，未來以提供國小數學教師樣式推理概念教學之參考。本研究主要目的如下：一、探討不同的數學表徵對高、低數學自我效能學習者，在「樣式推理」上表現之情形。二、探討不同的數學表徵對高、低數學自我效能學習者，在「數學學習態度」上表現之情形。. 針對以上研究目的，提出下列待答問題：一、在學習樣式推理時，不同的數學表徵設計之教材（數字類型教材、圖形類型教材）與數學自我效能（高數學自我效能、低數學自我效能）是否對學習者樣式推理（數字序列、圖形序列）思考表現產生不同的影響？二、在學習樣式推理時，不同的數學表徵設計之教材（數字類型教材、圖形類型教材）與數學自我效能（高數學自我效能、低數學自我效能）是否對學習者數學學習態度(學習興趣、學習動機、數學焦慮)產生不同的影響？. 4.

(15) 第三節研究範圍與限制本研究為配合教學活動之設計與進行，在虛擬教具、研究對象及教學內容有以下之研究範圍與限制：. 一、虛擬教具本研究教學實驗教材是以數學簡報系統(Mathematical Presentation System, MathPS)製作虛擬教具，依據不同的數學表徵設計教材，分為「數字類型教材」與「圖形類型教材」兩種。「數字類型教材」是指題目以數字表徵呈現之問題；「圖形類型教材」是指題目以圖形表徵呈現之問題。基於此虛擬教具特性與教學環境之考量，無法讓每位學習者均有電腦可以操作虛擬教具，是以教學者操作虛擬教具方式進行教學。. 二、研究對象本研究之研究對象為國小五年級學生，以雲林縣某國小五年級四個班級學習者為研究樣本，為配合受試者原課程規劃與教學需要，以班級為單位進行教學實驗，教學時間為兩節課，共 80 分鐘，各組學習者有相同的學習時間。教學者為研究者本人。進行教學實驗前均已學過基本樣式推理概念，但尚未學習本研究進行教學之擴增樣式推理概念，考量學習者的先備知識，研究結果可推論於類似研究對象。. 三、教學內容本研究為數列與圖形序列單元之實驗教學，此單元課程內容重點在歸納已知線索，進一步察覺樣式中的規律。本研究之教學內容與樣式推理成就測驗皆為擴增樣式(growing patterns)的概念，包括等差數列與二階等差數列的題目，以數字和圖形兩種不同表徵呈現。. 5.

(16) 第四節名詞解釋一、虛擬教具 Moyer、Bolyard 和 Spikell (2002)定義虛擬教具(Virtual Manipulatives)為一個動態物體透過可互動、網路的虛擬圖像來呈現，是一種動態物件的具體表徵，讓學習者有機會建構數學知識。本研究之虛擬教具為動態的虛擬教具，將樣式推理問題用數字、圖形兩種表徵方式呈現，且像實體教具一樣具有操弄的功能，依據不同數學表徵設計「推理找樣式」教材，分為數字類型教材與圖形類型教材兩種。數字類型教材即是以數字表徵呈現樣式推理問題，圖形類型教材即是以圖形表徵呈現樣式推理問題。. 二、數學自我效能數學自我效能為在特定情境或問題中，學習者認為自己可以成功完成或解決某特定數學任務的信心程度(Hackett & Betz, 1989)。本研究數學自我效能為學習者對於自己數學能力的知覺，也就是學習者認為自己是否可以了解以及有效執行數學學習活動的信念，分為主動嘗試、努力堅持、自我信心三個面向，「主動嘗試」指的是學習者面對新的數學學習活動，或較困難的數學任務時，主動學習之信心程度；「努力堅持」指的是學習者學習數學時，面臨挫折或對學習目標努力堅持學習之信心程度；「自我信心」指的是學習者學習數學時，對於完成任務之信心程度。本研究數學自我效能量表在實驗教學前測驗，數學自我效能量表所得總分前 45%為高數學自我效能者，後 45%為低數學自我效能者。. 三、樣式推理思考表現本研究以樣式推理思考表現作為樣式推理學習成效之評定，在實驗教學後測驗。樣式推理思考表現指的是針對擴增樣式（growing patterns）題目的解題表現，題目包括等差數列與二階等差數列，以數字和圖形兩種不同表徵呈現，分為「數. 6.

(17) 字序列推理」與「圖形序列推理」兩部份，分別說明如下： 1、樣式推理之「數字序列推理」表現分析數字序列推理表現分析指的是學習者解決數字序列推理問題表現之情形，也就是評量學習者是否具有數字序列推理的能力，能察覺並找出數字序列間的關係及規律，題目內容包括(1)等差數列、(2)二階等差數列兩類問題。 2、樣式推理之「圖形序列推理」表現分析圖形序列推理表現分析指的是學習者解決圖形序列推理問題表現之情形，也就是評量學習者是否具有圖形序列推理的能力，能察覺並找出圖形序列間的關係及規律，題目內容包括(1)等差數列圖形、(2)二階等差數列圖形兩類問題。. 四、數學學習態度本研究之數學學習態度是指學習者在實驗教學後，對於經由不同數學表徵設計之教材學習樣式推理概念後，在「學習興趣」、「學習動機」及「數學焦慮」的看法。「學習興趣」指的是透過不同數學表徵設計之教材是否可以引起學習者數學學習興趣，進而幫助學習；「學習動機」指的是透過不同數學表徵設計之教材是否可以引起學習者學習數學動機，進而幫助讓學習指持續投入學習活動；「數學焦慮」指的是透過不同數學表徵設計之教材是否可以改善學習者學習數學時的焦慮程度。. 7.

(18) 第二章文獻探討本研究以數學教學及資訊科技融入教學的觀點，探討不同的數學表徵與數學自我效能對國小五年級學生樣式推理思考表現及數學學習態度之影響。本章首先論述樣式推理的內涵、重要性和學習上之困難，接續探討數學表徵、虛擬教具及數學自我效能對學習之影響，探究不同的數學表徵和數學自我效能對樣式推理思考表現及數學學習態度之影響。以下分別對樣式推理、數學表徵、虛擬教具、數學自我效能相關文獻進行歸納與整理，提供教學者教學設計時規劃適切的教學活動，以促進學習者樣式推理思考及數學學習態度的提升。. 第一節樣式推理數學的本質就是尋求規律以及規律之間的關係(張英傑, 2001)，數學裡有許多樣式規律可探究，透過這些樣式推理(pattern reasoning)的經驗累積，習得如何察覺事物中的數量規律並進一步歸納樣式，接著解決數學問題。法國數學家何密得（Hermite, 1822~1901）曾寫道：「在一團亂糟糟的事物中，一條小小規律的察覺，宛如黑暗中摸索時的一線光明，常引導我們到達新的數學天地。這份經過『柳暗花明又一村』帶來的喜悅，就是許多人窮畢生之力研究純粹科學的動機。」對學習者而言，每條小小規律的覺察，都帶來「我找到了」的成就感，這種成就感就是鼓勵學習者學習數學最好的原動力。一條小小規律的覺察，也會使人牢牢的記住有關的數學教材(黃敏晃, 2000)。以下就樣式推理的內涵、樣式推理相關研究以及樣式推理教材現況分別進行探討。. 一、樣式推理的內涵「樣式」譯自英文pattern 一詞，泛指通性、風格、式樣、圖案、花樣、典型等等，曹亮吉(2003)將pattern 譯為「胚騰」，意思是說任何一個看似突然或特別的現象，背後都有其發生的依據及規律。Steen 認為數學已從「一門研究數、量、 8.

(19) 形的學問」轉變成為「一門規律(pattern)的科學」；數學家從數字中、空間中、電腦裡、甚至是從想像中尋找pattern，而數學定理便是研究pattern裡與pattern之間的關係(Steen, 1988；引自Zimmermann & Cunningham, 1991)，也就是說，數學必須是經由察覺生活周遭千變萬化的樣式規律，將其公式化或一般化而產生。 Owen(1995)以數學教育的觀點將樣式區分為三種類型，這三種類型都會出現在小學課程中，包括重複樣式(repeating patterns)、結構樣式(structural patterns)以及擴增樣式(growing patterns)。 1、重複樣式(repeating patterns) 重複樣式重點在於循環或重複(cycle)的概念(Owen, 1995)，意指一系列特定的特質重複出現，像顏色、形狀、方向、大小、聲音、數字或其他元素。例如：「黃色─綠色─紅色─黃色─綠色─紅色」、「□─○─△─□─○─△」，而特質的重複不僅限於一種元素，也可以多種元素一起變化，像Threlfall (1999)曾經指出「□. ○. □. ○. □ ○. □. ○. □ ○. □. ○. □ ○. □. ○」，在大小特質的變化是「小─. 小─大─小─大─大─小─大」變化週期為8的循環，而在形狀特質上的變化是「方─圓─方─圓─方─圓」變化週期為2的循環，兩個特質的規律組成起來就會呈現上述的樣子，只要學習者能夠找出其重複樣式的循環週期，即可使用相同單位去辨認、複製及創造重複樣式。 2、結構樣式(structural patterns) 結構樣式強調結構的存在(Owen, 1995)，結構意味著概念之間的連繫，也就是從一組有關連性的事物中發現一些特質，例如：「5可以用多少方式來組成？」，會有4＋1＝5、3＋2＝5、2＋3＝5、1＋4＝5的答案出現，當兩數組合成5的時候，一數變大，另一數必然等量變小。國小數學課程當中，數學乘法中的交換律、結合律和乘法對加法的分配律，以及國中課程之後的等量公理之類的等式，或者不等式等等，都是屬於結構樣式的議題。例如：「3×5=15，5×3＝15」、「8×4=(5＋ 3)×4=(5×4)＋(3×4)」、「a1＞b1，a2＞b2，則a1＋a2＞b1＋b2」。結構樣式的察覺看似容易，但是若學習者以算術思維為重，那麼理解數與運算背後潛藏的結構樣 9.

(20) 式會產生問題，因此學習者需要培養代數思維，才能夠讓相連繫概念間產生結構性的改變。 3、擴增樣式(growing patterns) 擴增樣式是用可預測的方式來改變某個數值的型式。例如：樹的年輪每年都會增加一圈(引自何雪芳、陳彥文譯, 2003)，此預測方式亦隱藏一套規則，規則隱含著運算，使得前項透過規則的應用可衍生出後項，而後形成一系列項目，各個項目均具有數量意義。其內涵於Owen (1995)的分類中稱為序列(sequences)，指的是一系列非重複的數值，隨著一種規則擴張所組成，在正式課程活動中，此類型以數字序列(以下簡稱數列，series)最為典型，如等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數，例如：「5、10、15、20……」，是開始於5，每項為前一項加5的數列、或是「14、24、34……」，是開始於14，每項為前一項加10的數列。簡單地說，「樣式推理」就是一種規律的尋求，學習者能夠根據問題情境所提供的線索，透過推理思考的過程，找出樣式、然後確認樣式，並且進一步能夠將所尋找的樣式一般化，藉以解決所遇到的問題。樣式推理活動不僅強調從察覺數量規律為起點的歸納推理，亦可衍生演繹推理的活動(Fernandez & Anhalt, 2001)，也就是學習者根據問題中的線索，透過歸納推理來找出樣式、確認樣式，更進一步將樣式一般化(generalize)，並以此樣式規則進行解題。而察覺樣式關係和學習者的代數經驗有關，代數指的是使用符號來表示及操弄數量脈絡裡的一般性，其關係到歸納經驗的活動，也就是累積例子、而後發現一系列數字、圖形或算則背後的結構之一般化過程，因此察覺樣式規律的活動不僅可以成為學習者早期的代數經驗，也是促進學習者對符號的理解、培養歸納推理的能力及多元獨特的想法之好題材。美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)在其所建構的「代數」數學標準中，開宗明義地點出「瞭解樣式(understanding patterns)」的重要性，認為歸納數字情境可以連結以數與計算為要素的數學內容和代數等抽象性質的數學知識(NCTM, 2000)，另外也明確指出5到8年級的學生應積極從事於 10.

(21) 探討樣式規律與函數，包括(1)對於廣義有變化的樣式規律能描述、延伸、分析及創造；(2)能以表格、圖形或式子來描述並表示數量之間的關係；(3)分析函數關係並解釋一個變數如何產出另一個變數；(4)能運用樣式規律及函數來呈現並解決數學問題。Herbert & Brown(1997)也認為樣式推理的活動對於國小學生奠定日後學習代數的基礎，扮演著非常重要的角色。. 二、樣式推理相關研究近年來，關於邏輯推理能力的研究雖備受國內外學者重視，但大部分集中在比例推理與類比推理方面，關於樣式推理(pattern reasoning)的研究，不僅國內缺乏相關研究，就連國外學者對於這部分的研究亦少之又少，較多的研究皆與數列相關。 Herbert & Brown(1997)在一項由美國國科會所贊助之ESI-9054677計畫中一部份名為「數字和形狀的樣式」單元的研究中指出，學生在從事樣式推理的一般步驟可以分為三階段：(1)尋找樣式；(2)使用不同的方法，加以確認樣式的存在且描述之；(3)將樣式一般化。 Melanie, Diane & John(1998)研究學習者在面對等差和二階等差的數字樣式策略，研究對象為7至11歲的學生，研究結果顯示，如果給予足夠的時間，學習者可以產生自己的探索策略，包括(1)尋找數字間的差；(2)判斷奇偶數；(3)尋找倍數關係；(4)尋找數字差的差；(5)判斷數字差的奇偶數；(6)合併某幾項去產生其他項。 Bishop(2000)研究七、八年級的學生學習線型幾何數樣式的過程，研究結果顯示，七、八年級的學生處理這類樣式的探索過程有四個步驟： 1、依賴具體物表示：學生能夠用模型來表示具體樣式，但似乎無法察覺其中「數」的規律性。 2、用比例表示：學生意識到數和位置有某種關係存在，傾向單純的用乘法倍數關係表達數列的規律。 11.

(22) 3、遞迴地找關係：學生將注意力放在相鄰幾項，來找出數列的規律。 4、函數性的認知：學生能建立數列中各項的值與項數間的對應關係。陳滿(2003)進行國小五年級學生數學推理能力之研究，研究結果發現當五年級學生面對樣式探索過程中會有下列現象產生：(1)在面對圖形樣式與數字樣式較常使用的推理模式均為尋找數字間的差及尋找倍數關係；(2)學生在做圖形樣式的題目時，會將圖形直接換算成數列模式；(3)學生會使用有限的資料來做歸納，而不會考慮是否所有的項次皆符合此一規律。. 三、樣式推理教材現況根據民國91年所頒布的九年一貫課程暫行綱要，數學領域內容分為「數與量 (N)」、「圖形與空間(S)」、「統計與機率(D)」、「代數(A)」、「連結(C)」五大主題，前四個主題又分為四個學習階段，各個階段有其分段能力指標，分段的依據為學生的「思考型態」與「所需的學習方式」兩項變因，每個階段年級別與所對應的思考型態、學習方式如表2-1所示(教育部, 2002)。. 表2-1 九年一貫學習四階段與思考型態、學習方式對照表階段. 年級. 思考型態. 學習方式. 一. 1~3. 視覺. 具體操作. 二. 4~5. 察覺樣式. 具體表徵. 三. 6~7. 辨識樣式間的關係. 類化具體表徵. 四. 8~9. 樣式間的非形式化演繹. 符號表徵. 代數主題的能力指標打破階段流水號的限制，依循學習者代數學習發展的模式，嘗試將代數主題的能力指標循序漸進，依照學習者代數概念學習的先後次序歸類成五類，分為：(1)數量的樣式；(2)列方程式、不等式；(3)解方程式、不等式；(4)函數；(5)幾何的代數量。此外，在代數的教學準則裡，強調第二、第三學習階段的學習活動必須以尋求樣式的經驗為基石，所涉及的核心能力指標有二， 12.

(23) 其一是N-2-17：能察覺簡單數列之規律，另一個則是A-2-3：能透過具體觀察及探索，察覺簡易數量樣式，並能描述樣式的一些特性(教育部, 2002)。現行數學領域教材中，可以發現國小五、六年級都有「察覺並辨識樣式」的相關單元，主要都圍繞在擴增樣式，也就是以等差數列為主，另外，也強調透過圖形樣式的探索，讓學習者具備從察覺形的規律轉化為數的規律之解題經驗，以下將樣式推理相關教學內容簡單整理如表2-2所示。由上述文獻探討可知，在樣式推理的過程，學習者可以運用數與計算的基礎技能，不斷培養觀察、分析、推論、歸納、類比等獨特的自我解題策略或想法，進而促發演繹等邏輯推理能力的培養，最後終能瞭解代數符號的運算，對於所吸收的知識內容產生結構化的思維，因而學習者察覺樣式的想法與過程，可以幫助其建構較完備的數學概念。國小課程中的樣式推理教材較著重於固定規律的樣式，容易落入計算公式的演算、形式化算則的記憶，因此，本研究探究不同的數學表徵對學習者樣式推理概念學習之影響，期望教學中可提供促進樣式推理的教材，以提升學習者樣式推理的學習成效。. 13.

(24) 表2-2 樣式推理相關教學內容一覽表教材版本. 單元名稱. 單元重點. 南一. 第十冊(五下). 1.察覺、探索5和10的倍數模式：藉由點數硬幣，讓學. 南一編輯部. 八、怎樣解題. 習者察覺5和10的倍數模式。 2.察覺數列的規律：能在排牙籤、排三角形、火車座位. (2008). 等具體情境中，經驗察覺差數為3、4、6簡單數列的規律。 3.察覺巴斯卡三角形數的樣式：能透過具體操作、觀察及探索關係的活動，察覺巴斯卡三角形數的樣式，並描述其特性。康軒. 第九冊(五上). 康軒編輯部. 五、數列與圖形序列. 1.奇數和偶數：察覺奇、偶數的樣式及關係。 2.數列：透過生活具體情境，如排身高、門牌號碼、置物櫃、火車座位等，探索並察覺其數列當中的樣式和特. (2008a; 2008b). 性。 3.圖形序列：透過圖形樣式的探索，察覺數量關係並描述此樣式的特性。 4.數線：透過具體觀察認識數線，並能利用等分好的線段，做出一條簡單的整數數線。第十二冊(六下) 四、怎樣解題(一). 1.間隔問題：引導學生簡化植樹問題，思考解題方法並察覺其中的規律。 2.規律的問題：透過布題的討論和觀察，簡化問題後察覺數量的樣式，進而發現數量樣式的一般式。. 翰林. 第十冊(五下). 翰林編輯部. 三、找規律. (2008). 1.透過觀察，從時間的周期、直行排列及座位排列中，察覺數的規律。 2.藉由情境或遊戲中觀察，透過數數、組合形體等活動方式，察覺到給定數列的規律性 3.應用數量關係以解決生活中遇到的問題。. 14.

(25) 第二節數學表徵當學習者解決數學問題時，能夠以個人的理解為基礎運用數學表徵呈現問題並解決問題，表示學習者對於問題有進一步的理解並使用數學表徵幫助思考及溝通。一些研究者也指出(Ainsworth, S., 2006; Brenner, et al., 1999; Fennell & Rowan, 2001)，當學習者能善用多樣化的數學表徵，如圖形、具體操作物、符號等等來表徵數學問題，是有助於其進行思考及分析的。以下就數學表徵的意義、形式及數學表徵對學習之影響分別進行探討。. 一、數學表徵的意義表徵(representation)指的是用某一種物理或心理形式，將某種事物或想法重新表現出來，以達成溝通的目的(蔣治邦, 1994)。而數學表徵指的是當學習者解題時，基於相關問題的基本知識，以不同的形式表徵重新詮釋問題的存在(楊瑞智, 1994)，美國數學教師協會(NCTM, 2000)則主張數學表徵是一種數學概念的呈現方式，代表人們對於數學概念的理解與運用。基本上，數學表徵是學習者本身理解數學問題後所形成的一種表達方式，用來協助思考、溝通並解決問題，亦即為用來呈現、表達數學思考過程且進行溝通協商的一種方式。從認知心理學的觀點，學習者在解題歷程中，透過表徵表達對於問題情境的理解，將問題的內在表徵以外在表徵形式來呈現，藉此達到溝通解題的目的(羅素真, 1996)，例如畫出問題的圖形、以符號寫出算式等等。Mayer(1992)也提到，當學習者面對一個新的問題情境時，會首先將所接收到的訊息轉譯成自身能理解的形式，也就是一種內化的心理表徵，接著經由整合問題、解題計畫與監控、解題執行的歷程，將內部思考過程轉化為外在解題的表徵，作為溝通數學想法的工具。因此，數學表徵是內部數學思考的歷程及外在數學形式的展現。. 15.

(26) 二、數學表徵的形式數學表徵在學習者形成數學概念扮演了重要的角色，透過不同的表徵進行數學學習以建構知識，以下分別敘述Bruner(1966)、Heddens(1984)、Kaput(1987)以及Lesh, Post, & Behr (1987) 的觀點。 Bruner(1966) 認為認知發展的歷程也就是形成表徵系統的過程，將學習分為三個循序漸進的發展歷程，包括動作、圖像與符號表徵系統： 1、動作表徵(Enactive representation) 個體在接收刺激之後，會引發外在的行動反應，透過這些行動反應來了解周圍的世界，掌握概念或事物代表的意義。在數學教學上，可以被實際操弄的實物、或具體物教具(花片、積木)，皆為概念的動作表徵，都能夠被實際外顯地操弄，例如點數花片的數量。 2、圖像表徵(Iconic representation) 個體經由對物體知覺留在記憶中的心像(mental image)，或透過照片圖形等掌握概念或事物代表的意義。也就是說個體藉由具體物操作的經驗，在運思過程中只須憑心像，不需要實際操作具體物即可進行。在數學教學上，例如比較數的大小，學習者腦海中浮現相對應的花片個數，接著進行兩個數量的比較進而解決問題。 3、符號表徵(Symbolic representation) 個體運用符號、語言文字等符號為依據來掌握概念，符號與心像不同，是一個隨意選擇的記號，透過不同的符號代表實物或者心像的抽象意義。在數學教學上，適切的數學符號可協助學習更為順利，例如我們會用□來呈現未知數、用. 1 2. 來代表一半的意義。 Heddens(1984) 將學生的學習階段區分為具體、半具體、半抽象、抽象四個表徵階段，主張學習者必須在具體階段將新的知識內化，並且有系統的依循這四個表徵階段，將所學的新知識賦予抽象化的表徵，在真實的世界與抽象的世界之. 16.

(27) 間建立良好的連結，進而改善在數學概念理解方面的困難。 1、具體物表徵階段(concrete level) 運用生活當中真實存在的實體。例如以蘋果、汽車、桌子等來進行數的點數。 2、半具體表徵階段(semiconcrete level) 運用圖片或是照片來表示生活中的實際物體。例如以錢幣圖卡來代表生活中使用的錢幣。 3、半抽象表徵階段(semiabstract level) 運用不同於實際物體的符號或是圖形來代表具體物。例如以畫圈的方式來代表蘋果的數量，一個圓圈即代表一顆蘋果。 4、抽象表徵階段(abstract level) 運用符號表徵來學習的階段。例如23+10＝33來表示兩堆蘋果數量的總合。 Kaput(1987) 從表徵的內部系統分析，提出四種不同的表徵系統來說明數學表徵和數學學習密不可分的關係，前三種為內在表徵，後者為外在表徵。學習者數學知識的內在表徵受到外在表徵的影響；相對的，外在表徵的形式也會反映出學習者數學知識的內在表徵(蔡志仁, 1999；謝孟珊, 2000)。 1、認知與知覺表徵(cognitive and perceptual representation) 指的是個體內在對於知識與訊息的表徵，也就是個體腦中訊息儲存與轉換的形式。 2、解釋性表徵(explanatory representation) 指的是描述個體心理結構的模式，也就是心理學家所建構的一種假設性實體，用以說明個體的內在表徵。 3、數學內的表徵(representation within mathematics) 指的是不同數學結構之間的關聯，也就是以一種數學結構的表徵代表另一種結構的方式。 4、外在符號系統的表徵(external symbolic representation) 指的是用來表示抽象數學概念的形式。 17.

(28) Lesh, Post, & Behr (1987)則從溝通的觀點探討，認為數學學習及數學解題有以下五種不同的表徵，並且強調表徵間轉換的重要性，也就是說在數學學習上，除了能夠了解多樣化的表徵形式，進一步根據問題情境，彈性的轉換表徵形式(如圖2-1)，以最適當、最便利的表徵方式來幫助解釋問題並解決問題，是應該更被強調的(黃芳玉, 2003)。. 圖2-1 五種類型表徵。引自Lesh, Post, & Behr (1987) p.34 1、實物情境(real script) 利用存在於真實世界情境之中的物體或是知識，來解釋與解決數學問題。例如在估算操場面積的問題情境下，將操場面積視為長方形，接著以步長、雙手平舉的長度、掃帚的長度等等真實存在的物體作為基準，約略估計出長度和寬度，進一步求得操場的約略面積，學習者使用生活中真實存在的實體，運用估算的策略以及關於長方形面積的知識，來解釋問題情境並解決問題。 2、具體操作物(manipulative models) 藉由具體操作物，如數學積木、百格板、圓形分數板等教具，建立符合問題情境的關係和運算。例如進行6的因數教學，利用數學積木逐一排列，如果能剛好排得和6的積木一樣長的就是6的因數，學習者運用具體操作物建立數字之間的關係，進一步習得因數的數學概念。 18.

(29) 3、圖畫(static pictures) 指的是靜態的圖形模式。例如數線、長條圖、面積圖等等，透過這一類圖形 1 2 模式的操作，將其內化為心像。例如透過圓形圖呈現和，了解兩個數值是相 3 6. 同的，學習者透過靜態圖形的外在表徵進一步內化為內在表徵。 4、口語符號(spoken languages) 日常生活所用的口語符號，例如「五分之一」。 5、書寫符號(written symbols) 1 常用的數學算式或是數學符號。例如5＋3＝8，，X＋2＝7等等。 3. 三、數學表徵對學習之影響 Davis(1984) 提到數學概念的理解包括兩個面向，一是能夠以一套符號或是系統來表徵數學概念，一是能以多重表徵來呈現某一個概念，並且能夠在不同的表徵系統之間作轉換(引自劉秋木譯, 1990)，Lesh, Post, & Behr (1987)也提出經由不同形式的數學表徵轉換過程，能夠得知學習者對於概念意義的掌握情形。因此，在數學學習過程中，若能靈活運用數學表徵將獲得良好的學習成效。國內外的研究，大多著重在表徵的運用，與數學解題有很大的關連。Willis 和 Fuson(1988)研究利用圖畫的表徵方式解決加減文字題，研究對象為國小二年級學生，研究結果發現透過圖畫的表徵方式，能夠提昇學習者解決加減文字題的學習成效。Lewis(1989)的研究指出引導學習者運用數線圖的表徵方式，可以增強學習者解決四則運算應用問題的技巧。Brenner 等人(1997)則進行實施多樣化表徵教學與純粹以解答為導向的研究，結果顯示實施多樣化表徵教學的實驗班級呈現出比較優異的問題表徵技巧，並且更容易成功的解決代數問題。Cramer, Post, & delMas (2002) 則是比較 CC(commercial curricula) 以及 RNP(rational number project curriculum)兩種課程對於分數學習的影響，研究結果顯示RNP 課程，在強調圖形、具體操作物、真實情境、語言、符號各種不同的表徵系統的轉換之下，對學 19.

(30) 習者分數概念的理解是有助益的；而使用CC 課程的學習者則是會傾向機械性操作，演算固定的標準算則。蔡志仁(1999)橢圓學習之研究提出藉由動態幾何軟體GSP的圖形表徵操弄，連結了多重表徵之間的學習，使學習者能夠將圖形表徵提升為核心的表徵，在解題時發揮多重表徵連結的作用。謝孟珊(2000)研究以不同表徵表示方程式的未知數之解題表現，發現不論以何種表徵作為溝通的刺激，若學習者能用自己熟悉的表徵形式重新表徵，而又不失其原刺激的意義，能有助於問題解決。黃芳玉(2003) 進行數學表徵能力與計算能力之研究，發現運用多樣化的表徵方式進行評量較能夠發現學習者的迷思概念，透過測驗題目中符號以及圖形表徵的理解情形，從不同向度檢驗迷思概念。彭嘉妮(2007)在分數符號、小數符號和圖形表徵三者間轉譯表現之研究，則指出當介紹分數和小數兩者關聯性時，應運用多重表徵來介紹，並提供各表徵間轉譯的練習，以能在不同表徵系統內彈性的處理同一概念。由上述文獻探討可知，數學表徵可以幫助學習者對於數學概念的理解，在學習樣式推理概念時，必須將已有的符號、圖形進行歸納整理，尋求其規律樣式，然而其整體概念是複雜且多元，因此，本研究期望探究不同的數學表徵對學習樣式推理概念之影響，以便在教學上能夠提供適切的數學表徵，引導學習者靈活運用數學表徵，促進學習者樣式推理概念的學習。. 20.

(31) 第三節虛擬教具數學教具可以讓學生建立概念理解的基礎，更能初始化抽象的理解(Hiebert et al, 1997)，所以在數學教學中通常使用實際操作協助學習者學習數學概念，隨著科技的發展，教學者使用電腦科技或虛擬操作來輔助學習，虛擬操作不只是運用電腦科技把具體實物呈現出來，更包含了具體操作所提供的特徵。以下就虛擬教具的意義、使用虛擬教具的教與學以及過去的相關研究進行探討。. 一、虛擬教具的意義虛擬教具(Virtual Manipulatives)是結合電腦科技加上有助於學習的特徵，和實體教具非常相似，透過網際網路提供教學者使用以協助教學。Moyer, Bolyard, & Spikell (2002)定義虛擬教具為：一個動態物體透過可互動、網路的虛擬圖像來呈現，讓學習者建構數學知識，研究中也將網際網路上的虛擬教具分為兩大類：一類是靜態的虛擬教具(static visual representations of concrete manipulatives)；另一類是動態的虛擬教具(dynamic visual representations of concrete manipulatives)，如表 2-3 所示。. 表 2-3 虛擬教具的分類類別. 靜態的虛擬教具. 動態的虛擬教具. 呈現. 將教具的圖像投射在投影布幕或是繪製. 運用軟體呈現，透過鍵盤、滑鼠等工具. 方式. 於黑板呈現。. 進行像實體教具般的實作。. 表徵. 藉由電腦科技所繪製出來的虛擬影像。. 是一個可以被移動、旋轉、翻轉等操作. 無法對靜態的虛擬影像進行操作，因此. 的虛擬物件，甚至可以做到實體較具無. Moyer 認為靜態的虛擬圖像並不是真正. 法複製、放大、縮小的限制。. 的虛擬教具。範例. 教學者以電腦軟體製作使用卡車圖卡來. 教學者利用電腦軟體製作長方體積木，. 進行佈題的教學。. 讓學習者能夠藉由物體的移動、旋轉，探究長方體體積和長、寬、高之間的關係。. 21.

(32) 虛擬教具的優點是可以利用動態的圖片與抽象的符號作連結，這是使用傳統的教具較難做到的，其透過電腦科技呈現圖像、數字及文字，與符號做連結(Kaput, 1992)，例如在立體圖形的學習，透過虛擬積木的操作，除了和視覺化連結，也可作為學習者表達想法的第二語言，表達重組過程中概念的理解。Izydorczak(2003) 的研究亦整理出將虛擬教具運用於數學教學有八大優點：(1)虛擬教具比實體教具更有擴張性。例如虛擬教具可以表現比. 1 更細微的分數概念，而實體教具則受 100. 限於物理的特性，無法隨需要轉變；(2)虛擬教具能呈現出比實體教具更細微的概念。例如 Hands-On Math 網站中所呈現之位值概念，當由 10 個 1 的積木轉換為 1 個 10 的大積木時，會讓學習者留下非常深刻的印象；(3)虛擬教具比實體教具更易於操作。例如學習者操作拼圖或七巧板時，往往因疏忽而破壞已經完成的部分成果，但是當學習者使用虛擬教具時，可以拼得更好，可更專心的進行所需要的操弄；(4)虛擬教具比實體教具更適合用於大團體的教學。實體教具有一定的大小，在大團體中往往讓距離遠的學生看不清楚，虛擬教具可以透過投影機投射於大尺寸的畫面，甚至同時使用多個螢幕，非常適合大團體的教學；(5)虛擬教具透過輔助說明的連結，可以更清楚的表徵數學符號和程序；(6)購買實體教具往往有經費的限制，而虛擬教具可以解決經費不足的問題。軟體只要一份，就可以提供多人同時使用，且目前這些虛擬教具多半是免費使用的；(7)虛擬教具可以監控學習活動；(8)虛擬教具所產生的班級管理問題比傳統的實體教具少。. 22.

(33) 二、使用虛擬教具的教與學虛擬教具就像圖形表徵物一樣，在教學與學習的過程中提供視覺上的印象，但同時也像具體教具一樣具有可操弄的功能。在數學教學上，最常使用到的表徵有實物表徵 (concrete/physical representation) 、圖形表徵 (pictorial/visual representation)及符號表徵(abstract/symbolic representation)三種，而虛擬教具的表徵方式並不完全與前述三種表徵相同，除了具備前述三種表徵的功能外，還具備前述三種表徵沒有的功能，其尚具有以下特性(Yuan, 2005)：(1)可變性，學習者可針對某一物件的某一部分塗顏色，或是增加或減少某一物件的數量，如圖 2-2，可以任意改變圖形幾何釘板上的釘子數；(2)無限量供應性，可以解決課堂上實體教具不足的問題，也能解決分配、整理教具耗時的問題，且整理教具也十分方便，如圖 2-3，只要點選重來按鈕，所有畫面上的教具即可清除，或是可將單一的方塊清除至垃圾桶；(3)可同時呈現圖形及符號於畫面上，能強化表徵間的連結之特性，如圖 2-4 所示之虛擬教具雖然沒有實體教具的一些感官刺激，例如沒有觸感，但有助於學習者具體感官知識及抽象知識的連結，Clement(1999)稱這是整合的具體知識(integrated-concrete knowledge)，即虛擬教具能連結動態的視覺心象與抽象符號，這是一般的實體教具所不能做到的。. 圖 2-2 圖形幾何釘板. 23.

(34) 圖 2-3 多方塊虛擬教具(引自王智弘, 2005). 圖 2-4 虛擬白板同時呈現圖形與符號. David Young(2006) 則提到使用虛擬教具協助教學有以下六點優勢：(1)立即性、矯正性的回饋(Instantaneous, corrective feedback)；(2)概念的多重表徵(Various representations of concepts)；(3)以具體的表徵連結符號概念(Link symbolic concepts with concrete representations)；(4)連結特殊的例子到一般的理解 (Link specific ideas to general understandings) ； (5) 提昇解題還有驗證假設的能力 (Promotes problem solving and the ability to test hypotheses)；(6)增加注意力以及動機(Increases attention and motivation)。. 24.

(35) 在 Suh, Moyer, & Heo (2005)使用分數的虛擬教具學習等值分數、異分母的分數加法之研究中，發現具備下列特徵：(1)提供學習者自我發現的機會、(2)鼓勵學習者探討數學關係、(3)將圖形和符號做連結、(4)避免學習者學習分數的加法時，犯典型的錯誤。綜合過去研究結果可知(Reimer & Moyer, 2005; Suh, Moyer, & Heo, 2005; Steen, Brooks, & Lyon, 2006)，使用虛擬教具協助教與學有以下特徵：(1)提供學習者自我發現的機會、(2)鼓勵學習者探討數學關係、(3)將圖形和符號做連結、(4)學習分數的加法時，避免學習者犯典型的錯誤、(5)學習者喜愛立即地回饋、 (6)虛擬操作比起紙筆方式來得更容易、更快。整體來說，學習者認為虛擬教具幫助他們學習、容易操作、可以得到立即性且特定的回饋，比傳統的方法更為迅速，因而提高學習興趣。因此，虛擬教具不僅改善學習者視覺上以及概念上的數學能力，動態的特性、顏色、圖解、互動亦可以讓其保持注意力，進一步持續地完成任務，並且經由探索的方式理解數學概念。對照國小數學的教學，在幾何、分數及邏輯思考推理等較抽象思考概念，透過虛擬教具教學與練習，可以提供學習者自我發現的機會、鼓勵探討數學關係、將圖形和符號做連結、避免犯典型的錯誤；在推理能力的訓練上，透過快速大量的複製、視覺化呈現，可以協助學習者察覺樣式的規律；在教學方面可以增加、提高學習者的注意、動機，這對於一般被認為是無趣的數學學習有很大的幫助。此外，使用虛擬教具可節省收發教具的時間，需要重新操作時也較方便，能讓學習者更集中注意力、練習的質和量均提高、可從事較適當的活動層次，這些都是傳統的紙筆或實體操作活動無法做到的。使用虛擬教具教學不必像實體教具常常需要輪流使用，每位學習者有相同的機會參與相同的教學活動，以教育均等的觀點來看，學習者的立足點是平等的，藉由虛擬教具有同等的學習機會和效果 (Steen, Brooks, & Lyon, 2006)。虛擬教具雖然有許多優點，但截至目前，教室中使用虛擬教具的教學研究仍十分有限，一個可能的原因是教學者使用虛擬教具從事數學教學的知能不足（Reimer & Moyer, 2005）。不同的學習者需要不同的學習鷹架，單一種類的教具 25.

(36) 無法適用於每一個學習者，除了教具本身的好壞之外，更需要教學者選擇教具與引導教學的專業能力，才能提升教具的實質效益(Char, 1989)。也就是說，虛擬教具的使用對學習者而言，有教學者的專業引導才能達到相輔相成的效果。. 三、虛擬教具相關研究虛擬教具相關研究指出，虛擬教具應用在數學教育上或者其他領域皆有良好的學習成效，且學習者有能力從電腦虛擬的環境中轉移至真實環境。Shade & Watson(1990) 對18到36個月大的小孩實施桌子、椅子以及燈的物品分類研究，使用電腦操作圖形一個小時之後，再給予真實物品做分類，研究結果發現大約36個月大的小孩，透過電腦操作可以增進實際物品分類的正確率。Ainsa(1999) 的研究使用M&M’ s虛擬數學操作來測量學生完成數學任務的能力，結果發現在顏色配對、數字配對、形狀辨認、計數能力、加減法等數學任務，使用電腦操作與實體操作皆無顯著差異。在幾何教學方面，Olkun (2003)曾經比較實體和電腦操作的七巧板，對於學習相同平面幾何概念之影響，研究對象為93位國小四、五年級的學生，研究結果顯示不管使用虛擬教具或是實體教具對學生學習平面幾何概念皆有正面的影響，但是並沒有顯著的差異，四年級學生使用實體教具學習成效較好，五年級學生使用虛擬教具學習成效較好，不過可以知道七巧板的虛擬教具促進了學生幾何概念之學習。接著，Olkun的後續研究，探討虛擬七巧板對學習者學習幾何概念及未來幾何概念學習之影響，研究結果顯示家中有電腦的學習者表現較好，接觸電腦的時間長短亦會影響測驗成績(Olkun, Altun, & Smith, 2005)。 Steen, Brooks, & Lyon (2006)則比較實體和電腦操作對學生幾何概念學習成效及學習態度之影響，研究對象為31位國小一年級學生，實驗教學所涵蓋的數學概念有：球體、圓柱、角柱、角錐、圓錐的辨識；複製平面圖形；將圖形轉變為較大或較小圖形之能力；依據邊或角的數量，畫出平面圖形；畫出形狀、大小一樣的平面圖形；使用問題解決策略延伸圖形；畫線對稱圖形；畫出相同分割數量 26.

(37) 的平面圖形。研究結果顯示，使用虛擬教具的學習者前後測得分有顯著的差異，後測分數顯著優於前測，雖然學習者使用虛擬教具學習成效較好，但使用虛擬教具和實體教具在學習成效上無顯著差異，由此可知，虛擬教具可以達到與實體教具一樣之效益。在分數教學方面，Reimer & Moyer (2005)研究虛擬教具對學生分數概念及學習態度之影響，並探討學生使用虛擬教具的學習特徵。研究對象為19位國小三年級學生，皆已學過分數概念，教學內容包括分數部分/整體概念、等值分數、及比較分數大小，首先讓學習者了解如何操作分數虛擬教具後，再給予學習任務，接著學習者獨自操作虛擬教具解決學習任務，依據學生前後測成績檢驗其學習成效。研究結果顯示，使用虛擬教具可以促進分數概念性知識的習得，60%的學習者對虛擬教具持正向的態度，且大部分學習者認為虛擬教具可幫助他們學習分數概念，可以得到立即性的回饋，比過去上課時使用實體教具及紙筆的方式來的方便且迅速。 Kong & Kwo (2005)將虛擬教具作為認知工具，探討虛擬教具對同分母分數加減法學習成效之影響。研究對象為48位國小四年級學生，使用虛擬教具提供學習者圖形的分割模式(Graphical Partitioning Model，簡稱GPM)做為學習支持，學生可以經由具體操作找到兩分數共同的分母。研究結果顯示，虛擬教具可以顯著提升低能力學習者之學習成效，而等值分數是學習分數程序性知識及異分母分數加減的關鍵因素，使用GPM模式可以提升學習者等值分數的概念。 Suh, Moyer, & Heo (2005)則是探討虛擬教具對分數概念性知識與程序性知識連結之影響。研究對象為46位五年級學生，分為低、中、高能力三組，教學內容包含等值分數、異分母分數加法、及比較分數大小，所有學生接受相同的教學、使用相同的虛擬教具、及解決相同的學習任務。研究結果顯示，在分數的概念性知識，使用視覺電腦圖像做練習，可以增加學生解釋和使用圖像形態呈現想法之能力；而分數的程序性知識，透過虛擬教具教學與練習，可提供學習者自我發現的機會、鼓勵學習者探討數學關係、將圖形和符號做連結、避免學習者犯典型的 27.

(38) 錯誤。此外，Moyer, Niezgoda, & Stanley(2005)以兩個行動研究探討使用虛擬教具學習數學的效果。第一個研究為探討幼稚園學童的類型製造活動，研究對象是18位上全日班的幼稚園學童，研究的時程為三天，第一天使用實體教具；第二天用虛擬教具；第三天使用紙筆畫出圖形，讓幼稚園學童創作各種不同的圖案，比較其圖案的數量、型態、複雜度以及創造力。研究目的在了解類型積木、虛擬教具及紙筆三種不同表徵方式的使用，對學習者類型創作的變化性及複雜性之影響。研究結果顯示使用虛擬教具方式表徵，兒童能表現出較多的創作類型，且每個類型所使用的積木數也較多，創作出的類型亦較多元及有變化，使用虛擬教具確能提供兒童創作類型的學習機會，也是學習者表達想法、圖形理解的第二語言。第二個研究探討使用虛擬十進位積木的成效，研究對象為19位國小二年級學童，研究的時程為兩天，第一天使用虛擬教具，第二天用紙筆畫出解題結果。研究目的為虛擬教具對解決問題的過程如何表示及說明之影響，特別是兒童如何解釋10個1變成1個10的過程。研究結果顯示，兒童確實能透過虛擬教具的視覺印象掌握十位數以及個位數的位值概念，兒童在使用虛擬教具後的解題策略也趨向一致，從一開始所使用的數數方法趨向於利用位值及算式解決問題，因此使用虛擬教具可以提升學習成效。由上述文獻探討可知，實體教具與虛擬教具皆可以幫助國小學生學習數學概念，但是學習樣式推理概念時，因為必須進行較抽象的思考，透過實體教具很難快速大量的複製、視覺化呈現，幫助學習者察覺樣式規律的關係。由於資訊科技的蓬勃發展，虛擬教具已被運用於數學教學中，並有良好的學習成效，運用虛擬教具的可變性、無限量供應性以及強化表徵間連結的特性，可以彌補實體教具的不足，因此，本研究期望適切的運用虛擬教具，促進國小學生樣式推理概念的學習。. 28.

(39) 第四節數學自我效能自我效能會影響個人的思考模式與情感反應，所謂的自我效能(self-efficacy) 指的是人們判斷自己擁有多少能力去組織與執行某些行為以達成特定任務 (Bandura, 1986)。學習者對自己學習能力的看法是重要的學習動力，進而影響學業成就的實際表現，此一動力即為學業自我效能，Bandura(1986)也曾指出自我效能的測量應要力求「工作與領域明確性」(task- and domain-specific)，若對自我效能的界定過於廣泛或一般性，不易產生良好的預測，而降低自我效能的影響力。以下就數學自我效能的內涵以及數學自我效能與數學學習成效分別進行探討。. 一、數學自我效能的內涵自我效能是促使個人行動的認知性動機。Godding & Glasgow(1985)認為所謂自我效能是個人對自己在特定情況下，對特定行為的一種能力知覺，可作為解釋行為程度的預測變項，而此變項會因認知、環境及行為等變數之差異，而有不同的表現及效果。Woolfolk & Hoy(1990)則認為自我效能是個人對於自己處理周遭事物之能力的一種評估，此種評估的產生乃是來自於外在環境、自我調適機轉及個人能力經驗或成就與表現之間交互作用的結果。Schunk(2007)將自我效能定義為一個人對自己達成某一特定任務的能力評估，自我效能不僅是知道如何去完成某件事，而且是對於自己是否有能力完成的一種信念。簡而言之，自我效能是個體對於某一情境或特定任務是否有能力完成的信心程度。學習者對自己學習能力的看法是重要的學習動力，進而影響學業成就的實際表現，此一動力即為學業自我效能，學業自我效能是特別針對課業上，學生認為自己是否能理解及完成學業活動的信念，也就是學生相信自己能否控制學習上的結果，因此數學自我效能為在特定數學情境或問題中學習者認為自己可以成功的完成或解決某一特定任務的信心程度(Hackett & Betz, 1989)。龔心怡(2006)在研究中提出建構數學自我效能的構念內涵應包括(1)堅持度：在數學學習上堅持努力、. 29.

(40) 不逃避數學困難；(2)完成度：有信心完成數學作業；(3)目標達成度：對數學學科成績的滿意程度；解決特定數學問題的程度。鄭千佑(2008)則以三個面向進行探討數學自我效能，分別為主動嘗試、努力堅持、自我信心三個向度，「主動嘗試」指的是學習者面對新的數學學習活動，或較困難的數學任務時，主動學習之信心程度；「努力堅持」指的是學習者學習數學時，面臨挫折或對學習目標努力堅持學習之信心程度；「自我信心」指的是學習者學習數學時，對於完成任務之信心程度。個體的自我效能來自於過去成長經驗及對周遭的信念所累積而成，此信念會影響個體面對問題情境持續及努力的程度。以數學的課業學習為例，若個體的數學自我效能高，自然會有較高的動機去學習；相對的，當個體的數學自我效能低而同時又缺乏良好的引導、激發，那麼害怕、甚至逃避學習的態度就會在不自覺中提昇。由此可知，自我效能會有效的影響事情完成的程度，相信自己可以達成任務的信念也會讓人們產生自我實現的期望，高自我效能者再加上努力堅持可以導致較高的成就，如果增加低自我效能者的自我效能，並給予鼓勵，可以增進他們面對困境時的信心與鬥志。 Bandura(1986) 提出影響學習者自我效能判斷有四種資訊來源，包括成就表現(performance accomplishment)、替代經驗(vicarious experience)、言語說服(verbal persuasion)與生理狀態(physiological state)，分別敘述如下： 1、成就表現(performance accomplishment) 影響自我效能高低最重要的資訊來源是學習者能夠從過去親身經驗的成果得到自我效能。當學習者在過去學習時有成功的經驗，則他們也會相信在往後的學習上也會有相同的好成果。通常成功的經驗會提升學習者的自我效能，個人在過去經驗中愈能掌控情境、克服困難與挫折，其自我效能會愈高；而連續失敗的經驗會形成自我懷疑，進而降低自我效能，尤其是當失敗經驗發生在個人學習活動剛開始的階段，其影響力將會更大；但如果是學習者有連續的成功經驗，那麼偶發的失敗經驗對自我效能上的判斷不會產生太大影響。 30.

數學表徵及數學自我效能對國小五年級學生 樣式推理學習成效之影響

數學表徵及數學自我效能對國小五年級學生樣式推理學習成效之影響