數學表徵

當學習者解決數學問題時，能夠以個人的理解為基礎運用數學表徵呈現問題 並解決問題，表示學習者對於問題有進一步的理解並使用數學表徵幫助思考及溝 通。一些研究者也指出(Ainsworth, S., 2006; Brenner, et al., 1999; Fennell & Rowan, 2001)，當學習者能善用多樣化的數學表徵，如圖形、具體操作物、符號等等來表 徵數學問題，是有助於其進行思考及分析的。以下就數學表徵的意義、形式及數 學表徵對學習之影響分別進行探討。

一、數學表徵的意義

表徵(representation)指的是用某一種物理或心理形式，將某種事物或想法重新 表現出來，以達成溝通的目的(蔣治邦, 1994)。而數學表徵指的是當學習者解題 時，基於相關問題的基本知識，以不同的形式表徵重新詮釋問題的存在(楊瑞智, 1994)，美國數學教師協會(NCTM, 2000)則主張數學表徵是一種數學概念的呈現方 式，代表人們對於數學概念的理解與運用。基本上，數學表徵是學習者本身理解 數學問題後所形成的一種表達方式，用來協助思考、溝通並解決問題，亦即為用 來呈現、表達數學思考過程且進行溝通協商的一種方式。

從認知心理學的觀點，學習者在解題歷程中，透過表徵表達對於問題情境的 理解，將問題的內在表徵以外在表徵形式來呈現，藉此達到溝通解題的目的(羅素 真, 1996)，例如畫出問題的圖形、以符號寫出算式等等。Mayer(1992)也提到，當 學習者面對一個新的問題情境時，會首先將所接收到的訊息轉譯成自身能理解的 形式，也就是一種內化的心理表徵，接著經由整合問題、解題計畫與監控、解題 執行的歷程，將內部思考過程轉化為外在解題的表徵，作為溝通數學想法的工 具。因此，數學表徵是內部數學思考的歷程及外在數學形式的展現。

二、數學表徵的形式

數學表徵在學習者形成數學概念扮演了重要的角色，透過不同的表徵進行數 學學習以建構知識，以下分別敘述Bruner(1966)、Heddens(1984)、Kaput(1987)以 及Lesh, Post, & Behr (1987) 的觀點。

Bruner(1966) 認為認知發展的歷程也就是形成表徵系統的過程，將學習分為 三個循序漸進的發展歷程，包括動作、圖像與符號表徵系統：

1、動作表徵(Enactive representation)

個體在接收刺激之後，會引發外在的行動反應，透過這些行動反應來了解周 圍的世界，掌握概念或事物代表的意義。在數學教學上，可以被實際操弄的實物、

或具體物教具(花片、積木)，皆為概念的動作表徵，都能夠被實際外顯地操弄，

例如點數花片的數量。

2、圖像表徵(Iconic representation)

個體經由對物體知覺留在記憶中的心像(mental image)，或透過照片圖形等掌 握概念或事物代表的意義。也就是說個體藉由具體物操作的經驗，在運思過程中 只須憑心像，不需要實際操作具體物即可進行。在數學教學上，例如比較數的大 小，學習者腦海中浮現相對應的花片個數，接著進行兩個數量的比較進而解決問 題。

3、符號表徵(Symbolic representation)

個體運用符號、語言文字等符號為依據來掌握概念，符號與心像不同，是一 個隨意選擇的記號，透過不同的符號代表實物或者心像的抽象意義。在數學教學 上，適切的數學符號可協助學習更為順利，例如我們會用□來呈現未知數、用

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Heddens(1984) 將學生的學習階段區分為具體、半具體、半抽象、抽象四個 表徵階段，主張學習者必須在具體階段將新的知識內化，並且有系統的依循這四 個表徵階段，將所學的新知識賦予抽象化的表徵，在真實的世界與抽象的世界之

間建立良好的連結，進而改善在數學概念理解方面的困難。

1、具體物表徵階段(concrete level)

運用生活當中真實存在的實體。例如以蘋果、汽車、桌子等來進行數的點數。

2、半具體表徵階段(semiconcrete level)

運用圖片或是照片來表示生活中的實際物體。例如以錢幣圖卡來代表生活中 使用的錢幣。

3、半抽象表徵階段(semiabstract level)

運用不同於實際物體的符號或是圖形來代表具體物。例如以畫圈的方式來代 表蘋果的數量，一個圓圈即代表一顆蘋果。

4、抽象表徵階段(abstract level)

運用符號表徵來學習的階段。例如23+10＝33來表示兩堆蘋果數量的總合。

Kaput(1987) 從表徵的內部系統分析，提出四種不同的表徵系統來說明數學 表徵和數學學習密不可分的關係，前三種為內在表徵，後者為外在表徵。學習者 數學知識的內在表徵受到外在表徵的影響；相對的，外在表徵的形式也會反映出 學習者數學知識的內在表徵(蔡志仁, 1999；謝孟珊, 2000)。

1、認知與知覺表徵(cognitive and perceptual representation)

指的是個體內在對於知識與訊息的表徵，也就是個體腦中訊息儲存與轉換的 形式。

2、解釋性表徵(explanatory representation)

指的是描述個體心理結構的模式，也就是心理學家所建構的一種假設性實 體，用以說明個體的內在表徵。

3、數學內的表徵(representation within mathematics)

指的是不同數學結構之間的關聯，也就是以一種數學結構的表徵代表另一種 結構的方式。

4、外在符號系統的表徵(external symbolic representation) 指的是用來表示抽象數學概念的形式。

Lesh, Post, & Behr (1987)則從溝通的觀點探討，認為數學學習及數學解題有 以下五種不同的表徵，並且強調表徵間轉換的重要性，也就是說在數學學習上，

除了能夠了解多樣化的表徵形式，進一步根據問題情境，彈性的轉換表徵形式(如 圖2-1)，以最適當、最便利的表徵方式來幫助解釋問題並解決問題，是應該更被 強調的(黃芳玉, 2003)。

圖2-1 五種類型表徵。引自Lesh, Post, & Behr (1987) p.34 1、實物情境(real script)

利用存在於真實世界情境之中的物體或是知識，來解釋與解決數學問題。例 如在估算操場面積的問題情境下，將操場面積視為長方形，接著以步長、雙手平 舉的長度、掃帚的長度等等真實存在的物體作為基準，約略估計出長度和寬度，

進一步求得操場的約略面積，學習者使用生活中真實存在的實體，運用估算的策 略以及關於長方形面積的知識，來解釋問題情境並解決問題。

2、具體操作物(manipulative models)

藉由具體操作物，如數學積木、百格板、圓形分數板等教具，建立符合問題 情境的關係和運算。例如進行6的因數教學，利用數學積木逐一排列，如果能剛 好排得和6的積木一樣長的就是6的因數，學習者運用具體操作物建立數字之間的 關係，進一步習得因數的數學概念。

3、圖畫(static pictures)

指的是靜態的圖形模式。例如數線、長條圖、面積圖等等，透過這一類圖形 模式的操作，將其內化為心像。例如透過圓形圖呈現

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4、口語符號(spoken languages)

日常生活所用的口語符號，例如「五分之一」。 5、書寫符號(written symbols)

常用的數學算式或是數學符號。例如5＋3＝8，

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三、數學表徵對學習之影響

Davis(1984) 提到數學概念的理解包括兩個面向，一是能夠以一套符號或是 系統來表徵數學概念，一是能以多重表徵來呈現某一個概念，並且能夠在不同的 表徵系統之間作轉換(引自劉秋木譯, 1990)，Lesh, Post, & Behr (1987)也提出經由 不同形式的數學表徵轉換過程，能夠得知學習者對於概念意義的掌握情形。因 此，在數學學習過程中，若能靈活運用數學表徵將獲得良好的學習成效。

國內外的研究，大多著重在表徵的運用，與數學解題有很大的關連。Willis 和 Fuson(1988)研究利用圖畫的表徵方式解決加減文字題，研究對象為國小二年級學 生，研究結果發現透過圖畫的表徵方式，能夠提昇學習者解決加減文字題的學習 成效。Lewis(1989)的研究指出引導學習者運用數線圖的表徵方式，可以增強學習 者解決四則運算應用問題的技巧。Brenner 等人(1997)則進行實施多樣化表徵教學 與純粹以解答為導向的研究，結果顯示實施多樣化表徵教學的實驗班級呈現出比 較優異的問題表徵技巧，並且更容易成功的解決代數問題。Cramer, Post, & delMas (2002) 則 是 比 較 CC(commercial curricula) 以 及 RNP(rational number project curriculum)兩種課程對於分數學習的影響，研究結果顯示RNP 課程，在強調圖 形、具體操作物、真實情境、語言、符號各種不同的表徵系統的轉換之下，對學

習者分數概念的理解是有助益的；而使用CC 課程的學習者則是會傾向機械性操 作，演算固定的標準算則。

蔡志仁(1999)橢圓學習之研究提出藉由動態幾何軟體GSP的圖形表徵操弄，

連結了多重表徵之間的學習，使學習者能夠將圖形表徵提升為核心的表徵，在解 題時發揮多重表徵連結的作用。謝孟珊(2000)研究以不同表徵表示方程式的未知 數之解題表現，發現不論以何種表徵作為溝通的刺激，若學習者能用自己熟悉的 表徵形式重新表徵，而又不失其原刺激的意義，能有助於問題解決。黃芳玉(2003) 進行數學表徵能力與計算能力之研究，發現運用多樣化的表徵方式進行評量較能 夠發現學習者的迷思概念，透過測驗題目中符號以及圖形表徵的理解情形，從不 同向度檢驗迷思概念。彭嘉妮(2007)在分數符號、小數符號和圖形表徵三者間轉 譯表現之研究，則指出當介紹分數和小數兩者關聯性時，應運用多重表徵來介 紹，並提供各表徵間轉譯的練習，以能在不同表徵系統內彈性的處理同一概念。

由上述文獻探討可知，數學表徵可以幫助學習者對於數學概念的理解，在學 習樣式推理概念時，必須將已有的符號、圖形進行歸納整理，尋求其規律樣式，

然而其整體概念是複雜且多元，因此，本研究期望探究不同的數學表徵對學習樣 式推理概念之影響，以便在教學上能夠提供適切的數學表徵，引導學習者靈活運

然而其整體概念是複雜且多元，因此，本研究期望探究不同的數學表徵對學習樣 式推理概念之影響，以便在教學上能夠提供適切的數學表徵，引導學習者靈活運