數學解題

壹、數學解題歷程理論

本研究的數學解題歷程是以 Mayer（1992）的觀點作為依據，其結合認知心 理學及訊息處理觀點，將數學解題歷程分為兩階段、四個步驟及五種知識類型，

詳述如下（引自王翠鈴，2005；陳淑琳，2002）：

一、問題表徵(problem representation)：指解題者需將問題的陳述轉換成內在的心 理表徵。又包含兩個步驟：

（一）問題轉譯(problem translation)：解題者運用「語言知識」及「事實知識」

了解問題的意義及解題目標，將問題轉譯為內在的心理表徵。

（二）問題整合(problem integration)：解題者運用「基模知識」，辨認解題 所需要或不需要的資料，將問題中的陳述組合成連貫的表徵。

二、問題解決(problem solving)：將問題的陳述轉譯成心理表徵後，接續的解題工 作，便是進行最後的尋找答案過程。又包含兩個步驟：

（一）解題計畫及監控(solution planning and monitoring)：解題者就對問題的 理解，將問題分解成較小的次目標，提出解題的計畫，並能監控自己 的解題過程。

（二）執行解題(solution execution)：解題者須以程序性知識執行解題計畫。

依據Mayer的解題理論，乘法文字題的解題歷程、知識類型與解題知識界定 如表2-1-1：

表 2-1-1 數學解題歷程及知識類型

解題歷程 知識類型 解題知識界定

語文知識 認識及讀出題目中的字詞的能力 問題轉譯

語意知識 辨認問題的已知條件和解題目標

問題整合 基模知識 依問題結構分類，如加、減、乘、除的分類，如 以算式填充題記錄問題

解題計畫及

監控 策略性知識 使用已知條件來計劃和檢視問題解答的技能，及 如何執行的方法

解題執行 程序性知識 執行計劃、運算的實施程序

許多研究（王瑋樺，2001；陳淑琳，2002）皆是以Mayer的解題理論作為基 礎。王瑋樺（2001）以四位三年級學童為研究對象，探討其數學學習障礙學生加 法文字題解題歷程，研究中將每一試題依五種知識類型再分成五個小題，測驗後 並進行訪談以分析學生之解題歷程紀錄，之後再進行補救教學。而陳淑琳（2002）

則以國小二年級學童為研究對象，以自編的乘法文字題測驗為工具探討學童的解 題歷程，每一試題分成四個解題歷程並分別給分，筆試後抽取六名學童進行個別 晤談。

由上述文獻可發現，這些研究在探討學童的解題歷程時，每一試題依四個解 題歷程或五種知識類型再分成小題，施測完成後再進行訪談。而本研究主要在探 討四年級學童解題歷程的「問題整合」步驟，學童將文字題轉譯成算式表徵，這 需要運用到既有的基模知識，選擇最適當的算式填充題選項來記錄問題。

貳、乘除文字題解題之相關研究

一、解題之相關研究

學童解題時，無法選擇合適的解題策略，並將學習的解題策略運用至相似題 目，或是過度類化解題規則於不同情境，可能會迷失於關鍵字中，只知尋找關鍵 字，依關鍵字作答，看到「共」就用加法，「不夠」就減法（王雪瑜，2006；陳 依涵，2008）。而楊美伶、蔣治邦（1992）在分析國小數學科加減法教材中，發 現因為教材中有很高的比例是用關鍵字來解題，無法讓學童針對題目作充分的思 考，形成學童習慣利用關鍵字來解題，且發現某些學生之所以使用關鍵字是來自 老師或家人的教導，因此，一旦擴大至乘除運算時，容易產生學習上的障礙。楊 招謨（2008）以Mayer之解題理論為基礎，探討數學低成就學生除法文字題之解 題歷程中發現：學童在問題的整合方面，其錯誤類型有以下四種：（一）已知條 件與解題目標整合的困難；（二）缺乏除法與分的基模；（三）缺乏陣列型、減除 與加除二步驟問題基模；（四）以關鍵字解題。

綜合上述可得知，關鍵字是影響學童解題的因素之一，而學童最常以關鍵字 來解題，當看到「總共」就用加法或乘法、「剩下」就用減法、「平分」就用除 法。因此，本研究以「總共」與「平分」等關鍵字設計乘除文字題，以探討學童 選擇算式時，是否會以「關鍵字」作為判斷運算符號的依據。

二、錯誤類型

一般教師對於學生的答案，通常只用「對」與「錯」二分法來處理，但經由 學生作答反應的錯誤分析，可提供學童學習乘除概念的訊息，這些訊息可幫助學 童的數學發展，也可以作為診斷的工具，因此，探討學童解題的錯誤類型是有必 要的（許淑萍，2002）。

丁春蘭（2003）以國小六年級學生為研究對象，採用自編的「數學解題能力 測驗」為研究工具，探討學生解決乘除文字題的能力。測驗進行時，要求受試者 針對乘除文字題先列出適當算式，再寫出計算過程及結果。分析後發現學生對乘 除文字題的解題表現，各題最主要的錯誤解題類型為「受多餘資訊干擾」。而謝

旻虔（2009）以Mayer的解題理論及Greer的乘除情境分類，探討67位四年級學童 解單步驟乘除文字題時產生的錯誤類型，從結果中發現：學童在解題時主要有以 下四種錯誤類型：（一）依據題目中兩個數字的大小來表徵，亦即把大的數字當 被除數或積。（二）不了解題目中乘除運算關鍵字「平均」、「每個」、「搭配」、「配 對」及「基準量和比較量」的真正意涵。（三）誤用關鍵字。（四）空白類型，表 示學童缺乏該題型的基模知識。

邱瑤瑢（2006）採用自編的「數學擬題測驗」為研究工具，探討國小四年級 學生將除法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力及其錯誤類型，其中以

「運算符號錯誤」佔所有擬題錯誤類型的比例最高。而許淑萍（2002）探討學生 將算式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力中發現，在單步驟題型中，主要的錯 誤類型為「擬出加減之題目」及「將未知數當作已知數加以擬題」。

綜合上述文獻發現，研究中主要可分成兩類，（一）給問題，立算式：要求 學生針對文字問題，選擇適當算式，再計算出正確的答案；（二）給算式，來擬 題：要求學生編一個合理的題目滿足此算式，再依學童的作答反應歸納出學童的 錯誤類型。本研究則以選擇題的方式來呈現，學童依據文字題來選擇最適合的算 式選項，透過作答反應來做錯誤分析，提供學童學習乘除概念的訊息，及教師教 學上之參考。